Электронный шум — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 4 промежуточные версии этого же участника)
Строка 13: Строка 13:
  
 
<center>[[File:electrotech.png]]</center>
 
<center>[[File:electrotech.png]]</center>
 
:<center><math>\;\;\;\;U=R\cdot I\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;U=\frac{Q}{C}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;U=L\cdot \frac{dI}{dt}</math></center>
 
  
 
''Резистором'' является любой проводник, "затрудняющий" прохождение по нему зарядов так, что справедлив закон Ома: <math>\textstyle U=R\cdot I</math>, где <math>\textstyle R</math> &mdash; константа, называемая ''сопротивлением''.
 
''Резистором'' является любой проводник, "затрудняющий" прохождение по нему зарядов так, что справедлив закон Ома: <math>\textstyle U=R\cdot I</math>, где <math>\textstyle R</math> &mdash; константа, называемая ''сопротивлением''.
Строка 20: Строка 18:
 
''Конденсатором'' может выступать тело, способное накапливать заряд. Например, две параллельные металлические пластины, содержащие заряды противоположного знака. Конденсатор характеризуется ''ёмкостью'' <math>\textstyle C</math>, зависящей от его материала и формы. Чем больше накоплено заряда, тем выше разница потенциалов пластин конденсатора: <math>\textstyle U=Q/C</math>. При зарядке конденсатор внутри себя увеличивает энергию <math>\textstyle E=Q^2/2C</math> электрического поля.
 
''Конденсатором'' может выступать тело, способное накапливать заряд. Например, две параллельные металлические пластины, содержащие заряды противоположного знака. Конденсатор характеризуется ''ёмкостью'' <math>\textstyle C</math>, зависящей от его материала и формы. Чем больше накоплено заряда, тем выше разница потенциалов пластин конденсатора: <math>\textstyle U=Q/C</math>. При зарядке конденсатор внутри себя увеличивает энергию <math>\textstyle E=Q^2/2C</math> электрического поля.
  
''Индуктивность'' &mdash; это активный элемент, реагирующий на изменение тока. Для неё справедлив закон Ома в виде: <math>\textstyle U=L\,dI/dt</math>. Индуктивность накапливает энергию магнитного поля, равную <math>\textstyle E=LI^2/2</math>.
+
''Индуктивность'' реагирует на изменение тока. Для неё справедлив закон Ома в виде: <math>\textstyle U=L\,dI/dt</math>. Индуктивность накапливает энергию магнитного поля, равную <math>\textstyle E=LI^2/2</math>.
  
Рассмотрим последовательное соединение этих трех элементов. \parbox{6cm}{<center>\includegraphics{pic/electrotechRLC.eps}} \parbox{8cm}{
+
Рассмотрим последовательное соединение этих трех элементов.  
  
:<center><math>R\,I +\frac{Q}{C} + L\frac{dI}{dt}= \delta U.</math></center>
+
<center>[[File:electrotechRLC.png]]</center>
  
} </center> В отсутствие внешнего источника суммарное падение напряжения на всех элементах <math>\textstyle U_R+U_C+U_L</math> должно быть равно нулю (замкнутая цепь). Однако в силу тепловых флуктуаций это не так. Обозначим колебания напряжения через <math>\textstyle \delta U</math>.
+
В отсутствие внешнего источника суммарное падение напряжения на всех элементах <math>\textstyle U_R+U_C+U_L</math> должно быть равно нулю (замкнутая цепь). Однако в силу тепловых флуктуаций это не так. Обозначим колебания напряжения через <math>\textstyle \delta U</math>.
  
 
Считая их винеровскими с постоянной волатильностью и учитывая определение тока, можно записать систему стохастических уравнений в следующем виде:
 
Считая их винеровскими с постоянной волатильностью и учитывая определение тока, можно записать систему стохастических уравнений в следующем виде:
Строка 40: Строка 38:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> E(Q, I)=\frac{LI^2}{2}+\frac{Q^2}{2C}\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\frac{dE}{dt}=-R I^2. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> E(Q, I)=\frac{LI^2}{2}+\frac{Q^2}{2C}\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\frac{dE}{dt}=-R I^2. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.6)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 53: Строка 51:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \begin{array}{l} \overline{Q}(t) = \bigl[Q_0 \cos\omega t + (\;I_0\;+\beta Q_0)/\omega) \sin \omega t\bigr] \, e^{-\beta t}\\ \overline{I}(t)\, = \bigl[\,I_0 \;\cos\omega t - (\beta I_0+\alpha Q_0)/\omega) \sin \omega t\bigr] \, e^{-\beta t}. \end{array} </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \begin{array}{l} \overline{Q}(t) = \bigl[Q_0 \cos\omega t + (\;I_0\;+\beta Q_0)/\omega) \sin \omega t\bigr] \, e^{-\beta t}\\ \overline{I}(t)\, = \bigl[\,I_0 \;\cos\omega t - (\beta I_0+\alpha Q_0)/\omega) \sin \omega t\bigr] \, e^{-\beta t}. \end{array} </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.7)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 62: Строка 60:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> P(I,Q) = P_0\, e^{-E(I,Q)/kT}. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> P(I,Q) = P_0\, e^{-E(I,Q)/kT}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.8)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 77: Строка 75:
 
:<center><math>I\,\frac{\partial P}{\partial Q} - \alpha \,Q\,\frac{\partial P}{\partial I} - 2\beta \,\frac{\partial (I P)}{\partial I} - \frac{\sigma^2}{2}\,\frac{\partial^2 P}{\partial I^2} = 0.</math></center>
 
:<center><math>I\,\frac{\partial P}{\partial Q} - \alpha \,Q\,\frac{\partial P}{\partial I} - 2\beta \,\frac{\partial (I P)}{\partial I} - \frac{\sigma^2}{2}\,\frac{\partial^2 P}{\partial I^2} = 0.</math></center>
  
Подставляя () и учитывая (), после простых вычислений находим связь между волатильностью и температурой:
+
Подставляя (7.8) и учитывая (7.6), после простых вычислений находим связь между волатильностью и температурой:
  
 
:<center><math>(L\sigma)^2=2\, kT\,R.</math></center>
 
:<center><math>(L\sigma)^2=2\, kT\,R.</math></center>
Строка 85: Строка 83:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \delta U = \sqrt{2\,kT\,R} \cdot \delta W\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\left\langle \delta U^2\right\rangle =2\,kT\,R\, dt. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \delta U = \sqrt{2\,kT\,R} \cdot \delta W\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\left\langle \delta U^2\right\rangle =2\,kT\,R\, dt. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.9)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Дисперсию заряда и тока в устоявшемся режиме (<math>\textstyle t\to\infty</math>) можно найти из уравнения для дисперсии (), стр. \pageref{n_sys_line_disp_equation}. Положив <math>\textstyle \dot\mathbf{D}=0</math>, имеем:
+
Дисперсию заряда и тока в устоявшемся режиме (<math>\textstyle t\to\infty</math>) можно найти из уравнения для дисперсии (6.29), (см. [[Линейные многомерные модели]]). Положив <math>\textstyle \dot\mathbf{D}=0</math>, имеем:
  
 
:<center><math>\mathbf{A}\cdot \mathbf{D} + \mathbf{D}\cdot \mathbf{A}^T + \,\mathbf{B}\cdot \mathbf{B}^T = 0,</math></center>
 
:<center><math>\mathbf{A}\cdot \mathbf{D} + \mathbf{D}\cdot \mathbf{A}^T + \,\mathbf{B}\cdot \mathbf{B}^T = 0,</math></center>
Строка 96: Строка 94:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{D} = \frac{\sigma^2}{4\alpha\beta} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \alpha \\ \end{pmatrix}= kT \begin{pmatrix} C & 0\\ 0 & 1/L \\ \end{pmatrix}, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{D} = \frac{\sigma^2}{4\alpha\beta} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \alpha \\ \end{pmatrix}= kT \begin{pmatrix} C & 0\\ 0 & 1/L \\ \end{pmatrix}, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.10)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
что согласуется с вероятностью () и <math>\textstyle n-</math>мерным гауссовым распределением на стр. \pageref{n_sys_line_fin_sol}. Заметим, что <math>\textstyle \left\langle Q^2\right\rangle =kTC</math>, <math>\textstyle \left\langle I^2\right\rangle =kT/L</math>, поэтому в среднем энергия между конденсатором и индуктивностью распределена поровну. В качестве упражнений предлагается найти матрицу дисперсий при произвольном <math>\textstyle t</math> (<math>\textstyle \lessdot</math> H), а также ковариацию и спектральную функцию в стационарном режиме (<math>\textstyle \lessdot</math> H).
+
что согласуется с вероятностью (7.8) и <math>\textstyle n-</math>мерным гауссовым распределением. Заметим, что <math>\textstyle \left\langle Q^2\right\rangle =kTC</math>, <math>\textstyle \left\langle I^2\right\rangle =kT/L</math>, поэтому в среднем энергия между конденсатором и индуктивностью распределена поровну. В качестве упражнений предлагается найти матрицу дисперсий при произвольном <math>\textstyle t</math> (<math>\textstyle \lessdot</math> H), а также ковариацию и спектральную функцию в стационарном режиме (<math>\textstyle \lessdot</math> H).
  
 
<math>\textstyle \bullet</math> Тепловые флуктуации тока возникают на резисторе и в отсутствие колебательного контура. Для отдельного электрона с зарядом <math>\textstyle q</math> справедливо уравнение движения:
 
<math>\textstyle \bullet</math> Тепловые флуктуации тока возникают на резисторе и в отсутствие колебательного контура. Для отдельного электрона с зарядом <math>\textstyle q</math> справедливо уравнение движения:
Строка 123: Строка 121:
 
:<center><math>\delta U = \frac{l}{N}\sum^N_{i=1} \mathcal \delta \mathcal E_i = \frac{l}{N}\,\frac{\sigma m}{q} \sum^N_{i=1} \varepsilon_i \sqrt{dt} = \frac{l}{N}\,\frac{\sigma m}{q} \,(\sqrt{N} \,\varepsilon)\,\sqrt{dt} = \sqrt{2kT R} \;\delta W,</math></center>
 
:<center><math>\delta U = \frac{l}{N}\sum^N_{i=1} \mathcal \delta \mathcal E_i = \frac{l}{N}\,\frac{\sigma m}{q} \sum^N_{i=1} \varepsilon_i \sqrt{dt} = \frac{l}{N}\,\frac{\sigma m}{q} \,(\sqrt{N} \,\varepsilon)\,\sqrt{dt} = \sqrt{2kT R} \;\delta W,</math></center>
  
и, следовательно, снова приходим к соотношению Найквиста ().
+
и, следовательно, снова приходим к соотношению Найквиста (7.9).
  
 
----
 
----

Текущая версия на 05:25, 8 июня 2020

Дрожание земной оси << Оглавление >> Хищники и их жертвы

В электротехнических приборах всегда присутствует шум. Если в отсутствие музыки увеличить громкость усилителя, то будет слышно характерное шипение. Величина шума связана с температурой, в которой находится система, и была экспериментально исследована в 1928 г. Джонсоном и теоретически объяснена в этом же году Найквистом.

Основными характеристиками процессов, происходящих в электрической цепи, являются напряжение (разница потенциалов) между двумя точками и проходящий по ней ток . Ток равен величине заряда частиц, пересекающих сечение провода за единицу времени: .

Большинство электротехнических устройств состоят из трёх элементарных деталей — резистора, конденсатора и индуктивности:

Electrotech.png

Резистором является любой проводник, "затрудняющий" прохождение по нему зарядов так, что справедлив закон Ома: , где — константа, называемая сопротивлением.

Конденсатором может выступать тело, способное накапливать заряд. Например, две параллельные металлические пластины, содержащие заряды противоположного знака. Конденсатор характеризуется ёмкостью , зависящей от его материала и формы. Чем больше накоплено заряда, тем выше разница потенциалов пластин конденсатора: . При зарядке конденсатор внутри себя увеличивает энергию электрического поля.

Индуктивность реагирует на изменение тока. Для неё справедлив закон Ома в виде: . Индуктивность накапливает энергию магнитного поля, равную .

Рассмотрим последовательное соединение этих трех элементов.

ElectrotechRLC.png

В отсутствие внешнего источника суммарное падение напряжения на всех элементах должно быть равно нулю (замкнутая цепь). Однако в силу тепловых флуктуаций это не так. Обозначим колебания напряжения через .

Считая их винеровскими с постоянной волатильностью и учитывая определение тока, можно записать систему стохастических уравнений в следующем виде:

где , и . Наша задача состоит в нахождении величины амплитуды шума . В его отсутствие () систему можно привести к единственному уравнению второго порядка:

Это уравнение гармонического осциллятора, испытывающего трение. Вообще аналогия с механикой достаточно тесная. Заряд и ток являются динамическими переменными системы. Заряд аналогичен координате осциллятора, а ток — импульсу. От них также зависит энергия, накапливаемая конденсатором и индуктивностью. Из уравнений движения следует:

(7.6)

Уменьшение энергии происходит из-за тепловых потерь на резисторе, равных . Если сопротивления нет, то энергия сохраняется и происходят незатухающие колебания. При этом энергия периодически переходит из электрической в конденсаторе ("потенциальная") в магнитную ("кинетическая") на индуктивности, и обратно.

Стохастические уравнения линейны, поэтому решения для средних значений тока и заряда совпадают с детерминированными. В нашем случае матрица системы и её собственные значения имеют вид:

где . Мы предполагаем, что сопротивление невелико и . По стандартному алгоритму (стр. \pageref{sys_line_n_eigen}) несложно найти:

(7.7)

Возможно, более быстрый путь — это решение уравнения второго порядка в виде и определение констант при помощи начальных условий , .

Если некоторая система имеет температуру , можно воспользоваться распределением Гиббса (стр. \pageref{distribution_gibbs}) и записать плотность вероятности для динамических переменных в следующем виде:

(7.8)

Она удовлетворяет стационарному уравнению Фоккера-Планка:

В данном случае и

Поэтому:

Подставляя (7.8) и учитывая (7.6), после простых вычислений находим связь между волатильностью и температурой:

Таким образом, флуктуации напряжения являются винеровским шумом с дисперсией, пропорциональной температуре и сопротивлению:

(7.9)

Дисперсию заряда и тока в устоявшемся режиме () можно найти из уравнения для дисперсии (6.29), (см. Линейные многомерные модели). Положив , имеем:

откуда:

(7.10)

что согласуется с вероятностью (7.8) и мерным гауссовым распределением. Заметим, что , , поэтому в среднем энергия между конденсатором и индуктивностью распределена поровну. В качестве упражнений предлагается найти матрицу дисперсий при произвольном ( H), а также ковариацию и спектральную функцию в стационарном режиме ( H).

Тепловые флуктуации тока возникают на резисторе и в отсутствие колебательного контура. Для отдельного электрона с зарядом справедливо уравнение движения:

На электрон действуют две силы — сопротивление со стороны кристаллической решётки (трение) и электрическая сила в поле . Если в проводнике длиной поле однородно , то в устоявшемся режиме (=0) из уравнения движения следует . Пусть — концентрация электронов. За время сечение сопротивления площадью пересекает зарядов. Для электрона , поэтому ток равен:

Следовательно, по закону Ома сопротивление равно:

Когда внешних полей нет, но есть электрическое стохастическое воздействие со стороны тепловых колебаний других зарядов, имеем следующее стохастическое уравнение движения:

где — флуктуации электрического поля. Аналогично броуновскому движению находим стационарное значение квадрата скорости: . Кинетическая энергия равна (одна степень свободы), поэтому .

Если в проводнике электронов, то среднее расстояние между ними и флуктуации разности потенциалов . Их сумма равна разности потенциалов на резисторе. Так как , , получаем:

и, следовательно, снова приходим к соотношению Найквиста (7.9).


Дрожание земной оси << Оглавление >> Хищники и их жертвы

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения