Электронный шум — различия между версиями
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
||
Строка 38: | Строка 38: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> E(Q, I)=\frac{LI^2}{2}+\frac{Q^2}{2C}\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\frac{dE}{dt}=-R I^2. </math> | | width="90%" align="center"|<math> E(Q, I)=\frac{LI^2}{2}+\frac{Q^2}{2C}\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\frac{dE}{dt}=-R I^2. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.6)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 51: | Строка 51: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \begin{array}{l} \overline{Q}(t) = \bigl[Q_0 \cos\omega t + (\;I_0\;+\beta Q_0)/\omega) \sin \omega t\bigr] \, e^{-\beta t}\\ \overline{I}(t)\, = \bigl[\,I_0 \;\cos\omega t - (\beta I_0+\alpha Q_0)/\omega) \sin \omega t\bigr] \, e^{-\beta t}. \end{array} </math> | | width="90%" align="center"|<math> \begin{array}{l} \overline{Q}(t) = \bigl[Q_0 \cos\omega t + (\;I_0\;+\beta Q_0)/\omega) \sin \omega t\bigr] \, e^{-\beta t}\\ \overline{I}(t)\, = \bigl[\,I_0 \;\cos\omega t - (\beta I_0+\alpha Q_0)/\omega) \sin \omega t\bigr] \, e^{-\beta t}. \end{array} </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.7)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 60: | Строка 60: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> P(I,Q) = P_0\, e^{-E(I,Q)/kT}. </math> | | width="90%" align="center"|<math> P(I,Q) = P_0\, e^{-E(I,Q)/kT}. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.8)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 75: | Строка 75: | ||
:<center><math>I\,\frac{\partial P}{\partial Q} - \alpha \,Q\,\frac{\partial P}{\partial I} - 2\beta \,\frac{\partial (I P)}{\partial I} - \frac{\sigma^2}{2}\,\frac{\partial^2 P}{\partial I^2} = 0.</math></center> | :<center><math>I\,\frac{\partial P}{\partial Q} - \alpha \,Q\,\frac{\partial P}{\partial I} - 2\beta \,\frac{\partial (I P)}{\partial I} - \frac{\sigma^2}{2}\,\frac{\partial^2 P}{\partial I^2} = 0.</math></center> | ||
− | Подставляя () и учитывая (), после простых вычислений находим связь между волатильностью и температурой: | + | Подставляя (7.8) и учитывая (7.6), после простых вычислений находим связь между волатильностью и температурой: |
:<center><math>(L\sigma)^2=2\, kT\,R.</math></center> | :<center><math>(L\sigma)^2=2\, kT\,R.</math></center> | ||
Строка 83: | Строка 83: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \delta U = \sqrt{2\,kT\,R} \cdot \delta W\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\left\langle \delta U^2\right\rangle =2\,kT\,R\, dt. </math> | | width="90%" align="center"|<math> \delta U = \sqrt{2\,kT\,R} \cdot \delta W\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\left\langle \delta U^2\right\rangle =2\,kT\,R\, dt. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.9)'''</div> |
|} | |} | ||
− | Дисперсию заряда и тока в устоявшемся режиме (<math>\textstyle t\to\infty</math>) можно найти из уравнения для дисперсии (), | + | Дисперсию заряда и тока в устоявшемся режиме (<math>\textstyle t\to\infty</math>) можно найти из уравнения для дисперсии (6.29), (см. [[Линейные многомерные модели]]). Положив <math>\textstyle \dot\mathbf{D}=0</math>, имеем: |
:<center><math>\mathbf{A}\cdot \mathbf{D} + \mathbf{D}\cdot \mathbf{A}^T + \,\mathbf{B}\cdot \mathbf{B}^T = 0,</math></center> | :<center><math>\mathbf{A}\cdot \mathbf{D} + \mathbf{D}\cdot \mathbf{A}^T + \,\mathbf{B}\cdot \mathbf{B}^T = 0,</math></center> | ||
Строка 94: | Строка 94: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{D} = \frac{\sigma^2}{4\alpha\beta} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \alpha \\ \end{pmatrix}= kT \begin{pmatrix} C & 0\\ 0 & 1/L \\ \end{pmatrix}, </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{D} = \frac{\sigma^2}{4\alpha\beta} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \alpha \\ \end{pmatrix}= kT \begin{pmatrix} C & 0\\ 0 & 1/L \\ \end{pmatrix}, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7.10)'''</div> |
|} | |} | ||
− | что согласуется с вероятностью () и <math>\textstyle n-</math>мерным гауссовым распределением | + | что согласуется с вероятностью (7.8) и <math>\textstyle n-</math>мерным гауссовым распределением. Заметим, что <math>\textstyle \left\langle Q^2\right\rangle =kTC</math>, <math>\textstyle \left\langle I^2\right\rangle =kT/L</math>, поэтому в среднем энергия между конденсатором и индуктивностью распределена поровну. В качестве упражнений предлагается найти матрицу дисперсий при произвольном <math>\textstyle t</math> (<math>\textstyle \lessdot</math> H), а также ковариацию и спектральную функцию в стационарном режиме (<math>\textstyle \lessdot</math> H). |
<math>\textstyle \bullet</math> Тепловые флуктуации тока возникают на резисторе и в отсутствие колебательного контура. Для отдельного электрона с зарядом <math>\textstyle q</math> справедливо уравнение движения: | <math>\textstyle \bullet</math> Тепловые флуктуации тока возникают на резисторе и в отсутствие колебательного контура. Для отдельного электрона с зарядом <math>\textstyle q</math> справедливо уравнение движения: | ||
Строка 121: | Строка 121: | ||
:<center><math>\delta U = \frac{l}{N}\sum^N_{i=1} \mathcal \delta \mathcal E_i = \frac{l}{N}\,\frac{\sigma m}{q} \sum^N_{i=1} \varepsilon_i \sqrt{dt} = \frac{l}{N}\,\frac{\sigma m}{q} \,(\sqrt{N} \,\varepsilon)\,\sqrt{dt} = \sqrt{2kT R} \;\delta W,</math></center> | :<center><math>\delta U = \frac{l}{N}\sum^N_{i=1} \mathcal \delta \mathcal E_i = \frac{l}{N}\,\frac{\sigma m}{q} \sum^N_{i=1} \varepsilon_i \sqrt{dt} = \frac{l}{N}\,\frac{\sigma m}{q} \,(\sqrt{N} \,\varepsilon)\,\sqrt{dt} = \sqrt{2kT R} \;\delta W,</math></center> | ||
− | и, следовательно, снова приходим к соотношению Найквиста (). | + | и, следовательно, снова приходим к соотношению Найквиста (7.9). |
---- | ---- |
Версия 21:26, 6 марта 2010
Дрожание земной оси << | Оглавление | >> Хищники и их жертвы |
---|
В электротехнических приборах всегда присутствует шум. Если в отсутствие музыки увеличить громкость усилителя, то будет слышно характерное шипение. Величина шума связана с температурой, в которой находится система, и была экспериментально исследована в 1928 г. Джонсоном и теоретически объяснена в этом же году Найквистом.
Основными характеристиками процессов, происходящих в электрической цепи, являются напряжение (разница потенциалов) между двумя точками и проходящий по ней ток . Ток равен величине заряда частиц, пересекающих сечение провода за единицу времени: .
Большинство электротехнических устройств состоят из трёх элементарных деталей — резистора, конденсатора и индуктивности:
Резистором является любой проводник, "затрудняющий" прохождение по нему зарядов так, что справедлив закон Ома: , где — константа, называемая сопротивлением.
Конденсатором может выступать тело, способное накапливать заряд. Например, две параллельные металлические пластины, содержащие заряды противоположного знака. Конденсатор характеризуется ёмкостью , зависящей от его материала и формы. Чем больше накоплено заряда, тем выше разница потенциалов пластин конденсатора: . При зарядке конденсатор внутри себя увеличивает энергию электрического поля.
Индуктивность — это активный элемент, реагирующий на изменение тока. Для неё справедлив закон Ома в виде: . Индуктивность накапливает энергию магнитного поля, равную .
Рассмотрим последовательное соединение этих трех элементов.
В отсутствие внешнего источника суммарное падение напряжения на всех элементах должно быть равно нулю (замкнутая цепь). Однако в силу тепловых флуктуаций это не так. Обозначим колебания напряжения через .
Считая их винеровскими с постоянной волатильностью и учитывая определение тока, можно записать систему стохастических уравнений в следующем виде:
где , и . Наша задача состоит в нахождении величины амплитуды шума . В его отсутствие () систему можно привести к единственному уравнению второго порядка:
Это уравнение гармонического осциллятора, испытывающего трение. Вообще аналогия с механикой достаточно тесная. Заряд и ток являются динамическими переменными системы. Заряд аналогичен координате осциллятора, а ток — импульсу. От них также зависит энергия, накапливаемая конденсатором и индуктивностью. Из уравнений движения следует:
(7.6)
|
Уменьшение энергии происходит из-за тепловых потерь на резисторе, равных . Если сопротивления нет, то энергия сохраняется и происходят незатухающие колебания. При этом энергия периодически переходит из электрической в конденсаторе ("потенциальная") в магнитную ("кинетическая") на индуктивности, и обратно.
Стохастические уравнения линейны, поэтому решения для средних значений тока и заряда совпадают с детерминированными. В нашем случае матрица системы и её собственные значения имеют вид:
где . Мы предполагаем, что сопротивление невелико и . По стандартному алгоритму (стр. \pageref{sys_line_n_eigen}) несложно найти:
(7.7)
|
Возможно, более быстрый путь — это решение уравнения второго порядка в виде и определение констант при помощи начальных условий , .
Если некоторая система имеет температуру , можно воспользоваться распределением Гиббса (стр. \pageref{distribution_gibbs}) и записать плотность вероятности для динамических переменных в следующем виде:
(7.8)
|
Она удовлетворяет стационарному уравнению Фоккера-Планка:
В данном случае и
Поэтому:
Подставляя (7.8) и учитывая (7.6), после простых вычислений находим связь между волатильностью и температурой:
Таким образом, флуктуации напряжения являются винеровским шумом с дисперсией, пропорциональной температуре и сопротивлению:
(7.9)
|
Дисперсию заряда и тока в устоявшемся режиме () можно найти из уравнения для дисперсии (6.29), (см. Линейные многомерные модели). Положив , имеем:
откуда:
(7.10)
|
что согласуется с вероятностью (7.8) и мерным гауссовым распределением. Заметим, что , , поэтому в среднем энергия между конденсатором и индуктивностью распределена поровну. В качестве упражнений предлагается найти матрицу дисперсий при произвольном ( H), а также ковариацию и спектральную функцию в стационарном режиме ( H).
Тепловые флуктуации тока возникают на резисторе и в отсутствие колебательного контура. Для отдельного электрона с зарядом справедливо уравнение движения:
На электрон действуют две силы — сопротивление со стороны кристаллической решётки (трение) и электрическая сила в поле . Если в проводнике длиной поле однородно , то в устоявшемся режиме (=0) из уравнения движения следует . Пусть — концентрация электронов. За время сечение сопротивления площадью пересекает зарядов. Для электрона , поэтому ток равен:
Следовательно, по закону Ома сопротивление равно:
Когда внешних полей нет, но есть электрическое стохастическое воздействие со стороны тепловых колебаний других зарядов, имеем следующее стохастическое уравнение движения:
где — флуктуации электрического поля. Аналогично броуновскому движению находим стационарное значение квадрата скорости: . Кинетическая энергия равна (одна степень свободы), поэтому .
Если в проводнике электронов, то среднее расстояние между ними и флуктуации разности потенциалов . Их сумма равна разности потенциалов на резисторе. Так как , , получаем:
и, следовательно, снова приходим к соотношению Найквиста (7.9).
Дрожание земной оси << | Оглавление | >> Хищники и их жертвы |
---|
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения