Электромагнитные волны

Уравнения Максвелла <<	Оглавление	>> Реально ли электромагнитное поле?

---

Напомним, что, записывая в первом разделе дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет закон Кулона, мы, на самом деле, получили несколько более общие законы, чем исходная сила Кулона. Уравнению $\textstyle \nabla \mathbf {E} =4\pi Q\,\delta (\mathbf {r} )$ удовлетворяет сферически симметричная напряжённость поля. Однако, ему также удовлетворяет напряжённость двигающегося заряда, не обладающая такой симметрией!

Аналогична ситуация и с полной системой уравнений Максвелла. Хотя по сути их вывода они описывают напряженности электрического и магнитного поля, создаваемые системой равномерно двигающихся зарядов, они также содержат в себе принципиально новые классы решений.

Пусть в пространстве нет зарядов и токов. В этом случае уравнения Максвелла имеют вид:

${\begin{array}{ll}\nabla \mathbf {E} =0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&\nabla \mathbf {B} =0,\\[5mm][\nabla \times \mathbf {E} ]=-{\frac {\displaystyle \partial \mathbf {B} }{\displaystyle \partial t}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&[\nabla \times \mathbf {B} ]={\frac {\displaystyle \partial \mathbf {E} }{\displaystyle \partial t}}.\end{array}}$

Вторая пара уравнений зависит одновременно и от электрического, и от магнитного поля. Если от этих уравнений вычислить ротор, то получатся волновые уравнения второго порядка, зависящие отдельно от $\textstyle \mathbf {E}$ и $\textstyle \mathbf {B}$:

${\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\Delta \mathbf {E} =0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\Delta \mathbf {B} =0,$

где $\textstyle \Delta =\nabla ^{2}$ - оператор Лапласа. Действительно, например, ротор от левой части уравнения $\textstyle [\nabla \times \mathbf {E} ]=-{\dot {\mathbf {B} }}$ равен:

$[\nabla \times [\nabla \times \mathbf {E} ]]=\nabla (\nabla \mathbf {E} )-(\nabla \nabla )\mathbf {E} =-\Delta \mathbf {E} ,$

где мы учли равенство нулю дивергенции электрического поля (первое уравнение Максвелла в пустоте). С другой стороны, ротор от правой части имеет вид:

$-[\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}]=-{\frac {\partial }{\partial t}}[\nabla \times \mathbf {B} ]==-{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}.$

Очевидным решением уравнений Максвелла в пустоте и следующих из них волновых уравнений являются поля, не зависящие от координат и времени $\textstyle \mathbf {E} _{0}=const$, $\textstyle \mathbf {B} _{0}=const$. Их частным случаем является пространство, в котором полей нет вообще. Однако это не единственная возможность.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим решения уравнений Максвелла, в которых электрическое и магнитное поле зависят от следующей комбинации координат и времени $\textstyle u=\mathbf {n} \mathbf {r} -t$, где $\textstyle \mathbf {n}$ - некоторый постоянный вектор:

$\mathbf {E} =\mathbf {E} (u),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {B} =\mathbf {B} (u),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=\mathbf {n} \mathbf {r} -t.$

Вычислим производные по координатам и времени от $\textstyle j$-той компоненты электрического поля:

$\nabla _{i}\mathbf {E} _{j}={\frac {\partial \mathbf {E} _{j}}{\partial r_{i}}}={\frac {d\mathbf {E} _{j}}{du}}\,{\frac {\partial u}{\partial r_{i}}}=n_{i}\,{\frac {d\mathbf {E} _{j}}{du}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {\partial \mathbf {E} _{j}}{\partial t}}=-{\frac {d\mathbf {E} _{j}}{du}},$

и аналогично для магнитного поля. Подставляя эти выражения в уравнения Максвелла в пустоте для дивергенций, имеем:

${\frac {d(\mathbf {n} \mathbf {E} )}{du}}=0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {d(\mathbf {n} \mathbf {B} )}{du}}=0.$

Аналогично, для роторов:

${\frac {d}{du}}\left([\mathbf {n} \times \mathbf {E} ]-\mathbf {B} \right)=0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {d}{du}}\left([\mathbf {n} \times \mathbf {B} ]+\mathbf {E} \right)=0.$

Интегрируя эти уравнения по $\textstyle u$ и опуская константы интегрирования, которые соответствуют постоянным составляющим электрического и магнитного полей, получаем:

$\mathbf {n} \mathbf {E} =0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {n} \mathbf {B} =0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {B} =[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ],\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {E} =-[\mathbf {n} \times \mathbf {B} ].$

Подставляя третье соотношение в четвёртое:

$\mathbf {E} =-[\mathbf {n} \times [\mathbf {n} \times \mathbf {E} ]]=-\mathbf {n} (\mathbf {n} \mathbf {E} )+\mathbf {n} ^{2}\mathbf {E} =\mathbf {n} ^{2}\mathbf {E} ,$

приходим к выводу, что вектор $\textstyle \mathbf {n}$ должен быть единичным $\textstyle \mathbf {n} ^{2}=1$.

Таким образом, мы получили нетривиальное решение уравнений Максвелла в пустоте:

$\mathbf {B} =[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ],\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {n} \mathbf {E} =0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {n} ^{2}=1,$

в котором функция напряжённости электрического поля $\textstyle \mathbf {E}$ может произвольным образом зависеть от $\textstyle u$. Обратим внимание, что векторы $\textstyle \mathbf {E}$, $\textstyle \mathbf {B}$ и $\textstyle \mathbf {n}$ взаимно перпендикулярны друг другу.

$\textstyle \bullet$ Разберёмся с физическим смыслом полученного решения. Направим ось $\textstyle z$ вдоль вектора $\textstyle \mathbf {n}$ так, что $\textstyle \mathbf {n} \mathbf {r} =z$, а ось $\textstyle x$ вдоль электрического поля, перпендикулярно $\textstyle \mathbf {n}$. Пусть функция $\textstyle \mathbf {E} (u)$ при $\textstyle u=0$ имеет максимум. Ниже на левом рисунке изображено значение электромагнитного поля в точках, находящихся в плоскости $\textstyle (z,y)$, в момент времени $\textstyle t=0$:

Магнитное поле перпендикулярно электрическому и лежит вдоль оси $\textstyle y$. С течением времени этот максимум $\textstyle \mathbf {E} (u)=\mathbf {E} (z-t)$ перемещается вдоль оси $\textstyle z$ (по направлению вектора $\textstyle \mathbf {n}$) с единичной скоростью, которая в принятой нами системе единиц соответствует скорости света. Обратим внимание, что на левом рисунке векторы $\textstyle \mathbf {E}$ и $\textstyle \mathbf {B}$ изображены для точек, лежащих на оси $\textstyle z$. Электрическое поле $\textstyle \mathbf {E}$ не зависит от $\textstyle x$ и $\textstyle y$ и, вообще говоря, при обычном соглашении должно рисоваться параллельными линиями в плоскости $\textstyle (x,y)$, густота которых соответствует напряженности поля. На правом рисунке выше сделана попытка такого представления.

Таким образом, данное решение представляет собой однородное (при фиксированном $\textstyle z$) поле с одинаковой напряженностью во всей плоскости $\textstyle (x,y)$. Поэтому подобный класс решений называется плоскими волнами. Скорость перемещения области сгущения напряженности поля называется фазовой скоростью.

Важный класс монохроматических плоских волн получается, когда поля являются периодическими функциями $\textstyle u$. Рассмотрим сначала случай линейной поляризации:

$\mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \mathbf {r} +\phi ),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {B} =[\mathbf {n} \times \mathbf {E} _{0}]\,\cos(\omega t-\mathbf {k} \mathbf {r} +\phi )$

Постоянный вектор $\textstyle \mathbf {E} _{0}$ определяет амплитуду колебаний, и одновременно задаёт направление, вдоль которого происходит колебание. Вторая константа $\textstyle \phi$ — сдвиг фазы, возникающая при выборе того или иного начального значении поля при $\textstyle t=0$ (не путать с потенциалом $\textstyle \varphi$ !). Наконец, вектор $\textstyle \mathbf {k}$ называется волновым вектором, а $\textstyle \omega$ — круговой частотой. Чтобы получилось общее решение с $\textstyle \mathbf {n} \mathbf {k} -t$, частота и волновой вектор должны быть связаны между собой следующим образом:

$\mathbf {k} =\omega \,\mathbf {n} ,$

где $\textstyle \mathbf {n}$ — единичный вектор, задающий направление распространения электромагнитной волны. Выражение $\textstyle \omega t-\mathbf {k} \mathbf {r}$ называется фазой.

Нарисуем плоскую волну в данный момент времени (слева, $\textstyle t=0$) и в данной точке пространства (справа, $\textstyle \mathbf {k} \mathbf {r} =const$):

Модуль волнового вектора связан с длиной волны $\textstyle \lambda$, а круговая частота — с частотой колебаний $\textstyle \nu$, следующим образом:

$|\mathbf {k} |={\frac {2\pi }{\lambda }},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\omega =2\pi \nu ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\lambda \nu =1.$

Каждый "гребень" плоской монохроматической линейно-поляризованной волны перемещается в пространстве со скоростью света.

Рассмотрим теперь несколько более общий вариант поляризации. Ось $\textstyle z$ снова направим вдоль вектора $\textstyle k$. В этом случае электрическое и магнитное поля будут лежать в плоскости ($\textstyle x,y$). Например, $\textstyle \mathbf {E} =(E_{x},E_{y},0)$. Пусть по каждой компоненте электрическое поле совершает гармонические колебания с амплитудами $\textstyle a$ и $\textstyle b$ следующего вида:

$E_{x}=a\cos(\omega t-\mathbf {k} \mathbf {r} +\phi ),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E_{y}=b\sin(\omega t-\mathbf {k} \mathbf {r} +\phi ).$

В фиксированной точке пространства $\textstyle \phi -\mathbf {k} \mathbf {r} =\phi _{0}=const$, вектор $\textstyle \mathbf {E}$ совершает движения по эллипсу с круговой частотой $\textstyle \omega$:

Такая поляризация называется эллиптической. Если $\textstyle a=b$, то это, соответственно, круговая поляризация. При эллиптической или круговой поляризации вектор напряжённости описывает в пространстве спираль. В зависимости от знаков амплитуд $\textstyle a$ и $\textstyle b$, эта спираль может вкручиваться в направлении движения по правому или левому винту. В первом случае она называется право-поляризованной волной, а во втором — лево-поляризованной. На рисунке выше, если распространение волны направлено к Читателю, то это будет правая поляризация.

Вообще говоря, оси координат $\textstyle x,y$ могли быть выбраны не вдоль главных полуосей эллипса. В этом случае колебания вдоль каждой оси имели бы различные фазы, разность которых соответствовала бы углу поворота эллипса в плоскости $\textstyle (x,y)$.