Электромагнитная масса — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Спин << ! width="40%"|Оглавление (Последняя версия в: [h…»)
 
 
(не показаны 2 промежуточные версии этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
 
  | width="30%"|[[Спин]] <<  
 
  | width="30%"|[[Спин]] <<  
  ! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_05.pdf Глава 6])  
+
  ! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf Глава 7])  
 
  | width="30%" align="right"| >> [[Взаимодействие зарядов без поля]]
 
  | width="30%" align="right"| >> [[Взаимодействие зарядов без поля]]
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Вычислим полную энергию и импульс поля, создаваемого равномерно движущимся точечным зарядом. Так как мы столкнёмся с расходимостью интегралов, сделаем регуляризацию возникающей сингулярности. Будем считать, что на малых расстояниях закон Кулона модифицируется так, как это было записано в начале четвёртой главы (), стр.\,\pageref{kulon_a}. Кроме этого предположим, что параметр регуляризации <math>\textstyle a</math> является "фундаментальной константой" которая не меняется при преобразованиях Лоренца. Тогда электрическое и магнитное поля движущегося заряда (стр.\,\pageref{E_B_main}) будут выглядеть следующим образом:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{E} = \frac{Q\, \gamma\,\mathbf{r}}{(r^2 + \gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{r})^2 + a^2)^{3/2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{B} = [\mathbf{v}\times\mathbf{E}].</math></center>
 +
 +
Нас интересуют полные энергия и импульс электромагнитного поля:
 +
 +
:<center><math>w = \int W d^3\mathbf{r} =\int \frac{\mathbf{E}^2+\mathbf{B}^2}{8\pi}\, d^3\mathbf{r},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{p}=\int \mathbf{P} d^3\mathbf{r}=\int \frac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{4\pi}\, d^3\mathbf{r}.</math></center>
 +
 +
Подставляя напряжённости, найдём соответствующие плотности:
 +
 +
:<center><math>W = \frac{Q^2\gamma^2}{8\pi}\,\frac{r^2 + v^2\,r^2 - (\mathbf{v}\mathbf{r})^2}{(r^2 + \gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{r})^2 + a^2)^3},\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{P} = \frac{Q^2\gamma^2}{4\pi}\,\frac{\mathbf{v}\,r^2 - \mathbf{r} (\mathbf{v}\mathbf{r})}{(r^2 + \gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{r})^2 + a^2)^3}.</math></center>
 +
 +
Направим ось <math>\textstyle z</math> вдоль скорости заряда: <math>\textstyle \mathbf{v}=\{0,0,v\}</math>. Учитывая, что <math>\textstyle r^2=x^2+y^2+z^2</math> и <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{r}=vz</math>, перепишем знаменатель в следующем виде:
 +
 +
:<center><math>r^2 + \gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{r})^2 + a^2 = x^2+y^2 + \frac{z^2}{1-v^2} + a^2.</math></center>
 +
 +
Сделаем замену переменной интегрирования <math>\textstyle z\mapsto \sqrt{1-v^2}\,z=z/\gamma</math> и для объёма <math>\textstyle d^3\mathbf{r}=dxdydz\mapsto d^3\mathbf{r}/\gamma</math>. В результате скорость остаётся только в числителе подынтегральной функции. Для полной энергии имеем:
 +
 +
:<center><math>w = \frac{Q^2\gamma}{8\pi}\,\int \frac{(1+v^2)r^2 - 2v^2 z^2 } {\left(r^2+a^2\right)^3}\, d^3\mathbf{r}.</math></center>
 +
 +
Введём следующее обозначение:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mu = \frac{2}{3}\,Q^2\, \int\limits^\infty_0 \frac{r^4 \,dr}{(r^2+a^2)^3} = \frac{\pi}{8}\,\frac{Q^2}{a}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Этот интеграл может быть вычислен двойным дифференцированием по параметру <math>\textstyle \alpha</math> определённого интеграла с функцией <math>\textstyle 1/(\alpha r^2+1)</math>.
 +
 +
Окончательное вычисление полной энергии проведём в сферических координатах <math>\textstyle d^3\mathbf{r}=r^2dr\,\sin\theta d\theta\, d\phi</math>, в которых <math>\textstyle z=r\cos\theta</math>. Интегрирование по полярному углу <math>\textstyle \phi</math> (от которого подынтегральная функция не зависит) даст множитель <math>\textstyle 2\pi</math>. Интегрирование по <math>\textstyle r^2 dr</math> приводит к <math>\textstyle \mu</math>. Осталось вычислить элементарный интеграл по <math>\textstyle \theta</math>, при помощи "внесения" синуса под дифференциал: <math>\textstyle \sin\theta d\theta = -d(\cos\theta)</math>:
 +
 +
:<center><math>w = \frac{3\mu\gamma}{8}\,\int\limits^\pi_0 \bigl(1+v^2 - 2v^2 \cos^2\theta\bigr)\,\sin\theta d\theta = \mu\,\gamma\,\frac{3+v^2}{4}\,.</math></center>
 +
 +
Аналогично вычисляется интеграл для импульса поля. После интегрирования по всему пространству, единственный вектор от которого может зависеть вектор импульса поля &mdash; это скорость <math>\textstyle \mathbf{v}</math>. Поэтому он пропорционален <math>\textstyle \mathbf{v}</math> и при выбранном направлении скорости достаточно вычислить <math>\textstyle z</math>-компоненту импульса:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{p}_z = v\,\frac{Q^2\gamma}{4\pi}\, \int\frac{r^2 -z^2}{(r^2+a^2)^3} d^3\mathbf{r} = \frac{3}{4}\,\mu v\gamma\, \int\limits^\pi_0 (1 -\cos^2\theta) \sin\theta d\theta= \mu \gamma v.</math></center>
 +
 +
Таким образом, энергия и импульс электромагнитного поля заряда, движущегося с постоянной скоростью <math>\textstyle \mathbf{v}</math> равны:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> w = \frac{\mu}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}} - \frac{\mu}{4}\,\sqrt{1-\mathbf{v}^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{p} = \frac{\mu \mathbf{v}}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Импульс поля имеет такую же зависимость от скорости как и у любой релятивистской частицы с массой <math>\textstyle \mu</math>. А вот у энергии появилась неприятная добавка, и зависимость от скорости отличается от релятивистской. При <math>\textstyle v\mapsto 0</math>, имеем <math>\textstyle w=3\mu /4</math>, <math>\textstyle \mathbf{p}=\mu \mathbf{v}</math>. Считая, что "масса" поля определяется по энергии покоя, мы получим неправильный множитель у массы при импульсе: <math>\textstyle w=m,</math> <math>\textstyle \mathbf{p}=4m\mathbf{v}/3</math>. Или наоборот, определяя массу как коэффициент пропорциональности нерелятивистского импульса и скорости, мы получим энергию покоя, которой не достаёт 1/4 массы, так как она равна 3/4. Поэтому часто этот эффект называют "''проблемой 3/4''" (или "проблемой ''4/3''" в зависимости от того, как определяют массу).
 +
 +
На заре возникновения теории относительности строились модели, в которых заряд электрона был равномерно "размазан" по поверхности сферы. В зависимости от поведения этой сферы при движении электрона, получалась та или иная зависимость от скорости энергии и импульса поля. Макс Абрахам высказал замечательную мысль, что механическую массу электрона можно определить, вычисляя энергию-импульс создаваемого электроном поля.
 +
 +
Сам Абрахам (1902 г.) предполагал, что "сфера электрона" при движении не деформируется. Была также построена модель Альфреда Бачерера (1904 г.), в которой сфера сжималась в направлении движения, сохраняя свой объём. В рамках электронной теории Хендрика Лоренца, предполагалось, что сфера сжимается в соответствии с релятивистским фактором <math>\textstyle \sqrt{1-v^2}</math>, в результате чего получалась верная зависимость импульса поля от скорости \cite{Cushing1981}. Однако во всех этих теориях творилось некое безобразие с энергией поля. Анри Пуанкаре предложил следующее объяснение проблемы. Заряды, расположенные на поверхности сферы, отталкиваются друг от друга. Так как электрон стабилен &mdash; некие силы обязаны удерживать заряды. Именно эти силы, названные ''натяжениями Пуанкаре'', и должны обеспечить недостающую 1/4 массы.
 +
 +
С высоты 100-летнего развития квантовой теории элементарных частиц, классические модели электрона выглядят достаточно наивными. Однако это не означает отсутствия проблемы. Бесконечности возникают и в квантовой теории поля. Поэтому, в любом случае, с силой Кулона необходимо что-то делать, так как она равна бесконечности при <math>\textstyle r=0</math>. Или электрон не должен быть точечным, или должна быть изменена сила. Сферические модели электрона шли по первому пути и пытались, не меняя закона Кулона, сделать электрон неточечным. Можно пойти вторым путём и считать, что на малых расстояниях должен модифицироваться сам закон Кулона. Например, выше мы ввели фундаментальную константу <math>\textstyle a</math>, устраняющую "нефизичную" бесконечность. После этого можно построить теорию электромагнетизма и в результате всё равно получится неверная зависимость энергии поля от скорости, даже в пределе <math>\textstyle a\to 0</math>, хотя ни каких "натяжений Пуанкаре" уже нет.
 +
 +
Было предпринято множество хитрых модификаций классической электродинамики для устранения неправильной зависимости энергии от скорости \cite{FeinmanEd}. По-видимому наиболее простое решение проблемы электромагнитной массы принадлежит Джулиану Швингеру (1982) \cite{Schwinger1982}.
 +
 +
Основная идея Швингера состоит в том, что при вычислении энергии и импульса электромагнитного поля необходимо учитывать не только выражения для <math>\textstyle W</math> и <math>\textstyle \mathbf{P}</math> но и член <math>\textstyle \mathbf{E}\mathbf{j}</math>, возникший при выводе закона сохранения (теорема Пойнтинга, стр.\,\pageref{energy_E}):
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \frac{\partial W}{\partial t} + \mathbf{E}\mathbf{j}+\nabla\mathbf{P}=0. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Сохраняется суммарная энергия поля и частицы, а не только поля. Использование только части полной энергии и приводит к проблеме ''3/4''.
 +
 +
Продемонстрируем это, проделав соответствующие вычисления в ковариантном виде. Ранее (стр.\,\pageref{fld_A_for_point_Q}) мы записывали выражения для 4-потенциала <math>\textstyle A^\alpha</math> и тензора напряженностей поля <math>\textstyle F_{\alpha\beta}</math> точечного заряда:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> A^\alpha = \frac{\;Q\,v^\alpha}{(a^2-\eta^2)^{1/2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;F_{\alpha\beta}= Q\,\frac{\eta_\alpha\,v_\beta-\eta_\beta\,v_\alpha}{(a^2-\eta^2)^{3/2}}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где <math>\textstyle a</math> &mdash; параметр регуляризации и при помощи 4-скорости заряда <math>\textstyle \mathrm{v}\equiv v^\alpha</math> и его координат <math>\textstyle \mathrm{x}\equiv x^\alpha</math> определен следующий 4-вектор (стр.\,\pageref{fld_partial_eta}):
 +
 +
:<center><math>\eta = \mathrm{x} - (\mathrm{v}\cdot \mathrm{x})\,\mathrm{v}.</math></center>
 +
 +
Этот вектор ортогонален 4-скорости (<math>\textstyle \eta\cdot \mathrm{v}=0</math>) и для него справедливы следующие производные:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \partial_\alpha \eta^\beta = \delta^\beta_\alpha-v_\alpha v^\beta,\;\;\;\;\;\;\partial_\alpha \eta^2 = 2\eta_\alpha,\;\;\;\;\;\;\partial_\alpha\eta^\alpha = 3. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Его квадрат равен <math>\textstyle \eta^2=\mathrm{x}^2-(\mathrm{x}\cdot\mathrm{v})^2</math> или <math>\textstyle -\eta^2=\mathbf{x}^2+\gamma^2\,(\mathbf{x}\mathbf{v})^2</math> в момент времени <math>\textstyle t=0</math>, где <math>\textstyle \gamma</math> &mdash; стандартный лоренцевский фактор.
 +
 +
Используя выражения (), запишем симметричный тензор энергии-импульса (), стр.\,\pageref{tensor_en_mom_eld_sym}:
 +
 +
:<center><math>T^{\mu\nu}= \frac{Q^2/4\pi}{(a^2-\eta^2)^3}\left(\frac{1}{2}\,g^{\mu\nu}\eta^2 - \eta^\mu\eta^\nu- v^\mu v^\nu\,\eta^2\right).</math></center>
 +
 +
Как известно, сохраняется суммарный тензор поля и частиц. Сам по себе <math>\textstyle T^{\mu\nu}</math> не сохраняется:
 +
 +
:<center><math>\partial_\mu T^{\mu\nu}= -\frac{3Q^2}{4\pi}\frac{\eta^\nu a^2}{(a^2-\eta^2)^4}</math></center>
 +
 +
поэтому энергия и импульс поля (интегралы от <math>\textstyle T^{0\nu}</math>) ''не являются компонентами 4-вектора'' (стр.\,\pageref{cov_int_val}). В этом и состоит корень проблемы 3/4.
 +
 +
Запишем тензор энергии-импульса в следующем виде:
 +
 +
:<center><math>T^{\mu\nu}= \frac{1}{4\pi}\,\left(\frac{1}{2}\,g^{\mu\nu}\eta^2 - \eta^\mu\eta^\nu - v^\mu v^\nu\, \eta^2 \right)\,f_0,</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle f_0=Q^2/(a^2-\eta^2)^3</math>. Для различных способов регуляризации закона Кулона будут получаться различные функции <math>\textstyle f_0</math>. Дивергенция этого выражения равна:
 +
 +
:<center><math>\partial _\mu T^{\mu\nu} = \frac{\eta^\nu}{4\pi}\, ( \eta^2 \,f'_0 - 3 f_0 ),</math></center>
 +
 +
где штрих &mdash; производная функции <math>\textstyle f_0=f_0(a^2-\eta^2)</math> по её аргументу.
 +
 +
Чтобы скомпенсировать ненулевую дивергенцию, необходимо добавить тензор <math>\textstyle \mathcal{T}^{\mu\nu}</math>, так чтобы выполнялось уравнение непрерывности:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \partial_\mu (T^{\mu\nu} + \mathcal{T}^{\mu\nu}) = 0. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
При помощи величин <math>\textstyle \eta^\mu</math>, <math>\textstyle v^\mu</math>, <math>\textstyle g^{\mu\nu}</math> можно записать следующий симметричный тензор:
 +
 +
:<center><math>\mathcal{T}^{\mu\nu} = -\frac{1}{4\pi}\,\left(\frac{1}{2}\,g^{\mu\nu}\,\eta^2\, f_1 + \eta^\mu\eta^\nu f_2+v^\mu v^\nu\, \eta^2\, f_3\right),</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle f_i=f_i(a^2-\eta^2)</math> &mdash; некоторые скалярные функции. Дивергенция этого выражения равна:
 +
 +
:<center><math>\partial _\mu \mathcal{T}^{\mu\nu} = \frac{\eta^\nu}{4\pi}\,( \eta^2 f'_1 -f_1 + 2 \eta^2\, f'_2 - 4 f_2 ).</math></center>
 +
 +
Заметим, что <math>\textstyle f_3</math> в это выражение не попало и тензор <math>\textstyle v^\mu v^\nu f_3</math> тождественно удовлетворяет уравнению непрерывности. В определение <math>\textstyle \mathcal{T}^{\mu\nu}</math> можно было бы добавить симметричную комбинацию <math>\textstyle (\eta^\mu v^\nu+\eta^\nu v^\mu)\,f_4</math>. Однако, её дивергенция пропорциональна <math>\textstyle v^\nu</math>, а не <math>\textstyle \eta^\nu</math>. Чтобы () было справедливым, должно выполняться следующее соотношение:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \eta^2 \,f'_0 - 3 f_0 = f_1 -\eta^2 f'_1 +4 f_2 - 2 \eta^2\, f'_2. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Для дальнейшего нам потребуются интегралы:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \int f(\eta^2)\,d^3\mathbf{r}=\frac{4\pi}{\gamma}\int\limits^\infty_0 f(-r^2)\, r^2 dr, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \int (\eta^0)^2\,f(\eta^2)\,d^3\mathbf{r}=\frac{4\pi}{3}\,\gamma v^2 \int\limits^\infty_0 f(-r^2)\, r^4 dr, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \int \eta^0\boldsymbol{\eta}\, f(\eta^2)\,d^3\mathbf{r}=\frac{4\pi}{3}\,\gamma \mathbf{v} \int\limits^\infty_0 f(-r^2)\, r^4 dr. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Они вычисляются также, как и в начале раздела (переходим к цилиндрическим координатам, делаем замену <math>\textstyle z\mapsto z/\gamma</math> и окончательное интегрирование проводим в сферических координатах). Кроме этого, определим следующие четыре (<math>\textstyle i=0,...,3</math>) константы:
 +
 +
:<center><math>m_i = \int\limits^\infty_0 f_i(a^2+r^2)\, r^4\, dr.</math></center>
 +
 +
В случае <math>\textstyle f_0=Q^2/(a^2+r^2)^3</math> имеем <math>\textstyle m_0=3\pi Q^2/16a=3\mu/2</math>.
 +
 +
Между константами <math>\textstyle m_i</math> существует определенная связь. Чтобы её найти, умножим соотношение () на <math>\textstyle \eta^2</math> и проинтегрируем по всему пространству. Затем воспользуемся следующим тождеством:
 +
 +
:<center><math>\int\limits^\infty_0 f'(a^2+r^2) \,r^6dr = -\frac{5}{2}\, \int\limits^\infty_0 f(a^2+r^2) \,r^4dr.</math></center>
 +
 +
Для его доказательства необходимо правую часть проинтегрировать по частям (<math>\textstyle 5r^4dr = dr^5</math>) В результате, уравнение непрерывности для суммарного тензора <math>\textstyle T^{\mu\nu} + \mathcal{T}^{\mu\nu}</math> выполняется, если:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> m_0 = 3m_1+2 m_2. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Вычислим теперь энергию и импульс поля при помощи тензора <math>\textstyle T^{\mu\nu}</math>:
 +
 +
:<center><math>\int T^{00}\, d^3\mathbf{r} = \left(\frac{1}{2} +\frac{v^2}{6}\right)\,m_0\gamma, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int T^{0i}\, d^3\mathbf{r} = \frac{2}{3}\,m_0\mathbf{v}^i\gamma.</math></center>
 +
 +
При <math>\textstyle m_0=3\mu/2</math> снова получаются соотношения (). Аналогично вычисляются энергия и импульс для тензора <math>\textstyle \mathcal{T}^{\mu\nu}</math>:
 +
 +
:<center><math>\int \mathcal{T}^{00}\, d^3\mathbf{r}=\frac{m_1}{2\gamma}-\frac{\gamma v^2}{3}\, m_2 +m_3\gamma, \;\;\;\;\;\;\;\;\; \int \mathcal{T}^{0i}\, d^3\mathbf{r}=m_3\gamma \mathbf{v}^i -\frac{m_2}{3}\,\gamma \mathbf{v}^i .</math></center>
 +
 +
Окончательно, учитывая (), для суммарной энергии и импульса получаем:
 +
 +
:<center><math>\int (T^{00}+\mathcal{T}^{00})\, d^3\mathbf{r}=m\,\gamma,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int (T^{0i}+\mathcal{T}^{0i})\, d^3\mathbf{r}= m \gamma \mathbf{v}^i,</math></center>
 +
 +
где масса системы, равна:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> m = 2m_1 + m_2 + m_3. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Таким образом, энергия и импульс, полученные по тензору <math>\textstyle T^{\mu\nu}+\mathcal{T}^{\mu\nu}</math> имеют правильную зависимость от скорости и являются компонентами 4-вектора. Так и должно быть для интеграла от тензора, который удовлетворяет уравнению непрерывности. Обратим внимание, что в энергию и импульс от <math>\textstyle \mathcal{T}^{\mu\nu}</math> член пропорциональный <math>\textstyle m_3</math> сразу входит с верной зависимостью от скорости. Связано это с тем, что часть тензора <math>\textstyle \mathcal{T}^{\mu\nu}</math> которая дала <math>\textstyle m_3</math> удовлетворяет уравнению непрерывности сама по себе при любой функции <math>\textstyle f_3</math>.
 +
 +
Результат вычислений не зависит от выбора функций <math>\textstyle f_i</math> и единственным ограничением на них является уравнение (). Швингер рассмотрел частный случай с <math>\textstyle f_2=0</math> и два варианта с <math>\textstyle f_3=0</math> и <math>\textstyle f_3=-f_1/2</math>.
 +
 +
Обсудим физический смысл введенных выше масс. Масса <math>\textstyle m_0</math> связана с полем заряда и имеет чисто электромагнитное происхождение. Масса <math>\textstyle m_3</math> может быть проинтерпретирована как механическая масса заряда. Напомним (стр.\,\pageref{fld_T_part_def}), что тензор энергии-импульса, связанный с распределенной в пространстве материей имеет вид: <math>\textstyle \mathcal{T}^{\alpha\beta} = \mu(\mathbf{r},t) \, (ds/dt)\,v^\alpha v^\beta.</math> Поэтому <math>\textstyle \mu(\mathbf{r},t) = -\eta^2 \gamma f_3/4\pi</math> (обратим внимание, что при <math>\textstyle t=0</math> мы имеем <math>\textstyle \eta^2<0</math>, поэтому <math>\textstyle \eta</math> &mdash; пространственно-подобный вектор). В теории классического электрона, масса которого полностью обусловлена полевыми эффектами можно положить <math>\textstyle m_3=0</math>.
 +
 +
Запишем компоненты тензора электромагнитного поля <math>\textstyle T^{\mu\nu}</math> в системе покоя электрона в которой <math>\textstyle v^\nu=\{1,0\}</math> и <math>\textstyle \eta^\nu=\{0,\mathbf{x}\}</math>:
 +
 +
:<center><math>T_{00}=\frac{Q^2}{8\pi}\, \frac{r^2}{(r^2+a^2)^3}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; T_{ij}=\frac{Q^2/8\pi}{(r^2+a^2)^3}\, \bigl( \delta_{ij}\,r^2 - 2 x_i x_j\bigr).</math></center>
 +
 +
Компоненты "компенсирующего" тензора <math>\textstyle \mathcal{T}^{\mu\nu}</math> равны:
 +
 +
:<center><math>\mathcal{T}_{00}=\frac{r^2}{8\pi}\, \bigl( f_1+ 2f_3\bigr), \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathcal{T}_{ij}=-\frac{1}{8\pi}\, \bigl( \delta_{ij}\,r^2 f_1+ 2 x_i x_j f_2\bigr)</math></center>
 +
 +
и <math>\textstyle T_{0i}=\mathcal{T}_{0i}=0</math>. Пространственные компоненты тензоров <math>\textstyle T_{ij}</math> и <math>\textstyle \mathcal{T}_{ij}</math> при сложении дадут ноль, если <math>\textstyle f_2=-f_1=-f_0</math>. В этом случае <math>\textstyle m_2=-m_1=-m_0</math> и, следовательно, для полной массы электрона имеем:
 +
 +
:<center><math>m = m_0+m_3 = \frac{3\pi}{16}\, \frac{Q^2}{a}+m_3,</math></center>
 +
 +
где подставлено значение интеграла для <math>\textstyle m_0</math>.
 +
 +
Множитель при <math>\textstyle Q^2/a</math> зависит от способа регуляризации (поведения закона Кулона на малых расстояниях или распределения заряда "в электроне"). Поэтому для <math>\textstyle Q=e</math>, <math>\textstyle \mu=m_e</math>, <math>\textstyle m_3=0</math> в качестве характерного размера <math>\textstyle a</math> принято использовать отношение:
 +
 +
:<center><math>a = \frac{e^2}{m_e c^2} = 2.8\cdot 10^{-13}\;см,</math></center>
 +
 +
где восстановлена скорость света (<math>\textstyle Q\mapsto Q/c</math>). Эта характерная длина называется ''классическим радиусом электрона''. Для сравнения, "размер" атома водорода (боровский радиус) порядка <math>\textstyle 5.3\cdot 10^{-9}</math> см, а типичный размер протона равен <math>\textstyle 0.88\cdot 10^{-13}</math> см.
 +
 +
Выше мы не вводили модели распределения заряда электрона, считая параметр <math>\textstyle a</math> некоторым способом регуляризации бесконечностей. Цель вычислений состояла в демонстрации релятивистской ковариантности интегральных выражений для энергии и импульса, при условии, что они следуют из тензора, удовлетворяющего уравнению непрерывности. Получив ковариантный результат, можно устремить <math>\textstyle a</math> к нулю. Выражения останутся ковариантными, хотя масса окажется бесконечной.
 +
 +
Можно стать на классическую точку зрения, считая, что заряд электрона "размазан" в пространстве и найти плотность заряда, соответствующую регуляризованным выражениям для напряженности поля. Так, из уравнений Максвелла для тензора <math>\textstyle F_{\mu\nu}</math> () следует регуляризованное выражение для тока (), стр.\,\pageref{fld_partial_j}. В системе покоя электрона ему соответствует распределение заряда:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \rho = \frac{3Q}{4\pi}\,\frac{a^2}{(r^2+a^2)^{5/2}}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Чтобы удержать заряды для такого распределения необходимы дополнительные силы неэлектромагнитного происхождения. Именно эти силы (натяжения Пуанкаре) приводят к дополнительному тензору <math>\textstyle \mathcal{T}^{\mu\nu}</math>.
 +
 +
Условие <math>\textstyle T^{ij}+\mathcal{T}^{ij}=0</math> в этом случае означает отсутствие сил, действующих на каждый элемент распределённого в пространстве заряда. Действительно, для энергии-импульса электромагнитного поля справедливо уравнение <math>\textstyle \partial_\mu T^{\mu\nu}=-F^{\mu\nu}j_\nu</math>. В системе покоя <math>\textstyle j^\nu=\{\rho, 0\}</math> и в отсутствии зависимости от времени, интегрируя это уравнение по бесконечно малому объёму, окружающему элемент заряда <math>\textstyle q=\rho dV</math>, получаем:
 +
 +
:<center><math>\int \partial_i T^{ij} dV = \int dS_i T^{ij} = -\int F^{0j}\rho dV = -q E^j,</math></center>
 +
 +
где во втором равенстве по теореме Гаусса, мы перешли к интегралу по поверхности <math>\textstyle dS_i</math>, окружающий заряд, а в последнем, для бесконечно малого объёма, заменили <math>\textstyle \rho dV</math> на <math>\textstyle q</math>. На заряд <math>\textstyle q</math> со стороны остальных зарядов "размазанного в пространстве электрона" действует сила <math>\textstyle qE^j</math>. Если <math>\textstyle T^{ij}+\mathcal{T}^{ij}=0</math> &mdash; суммарная сила со стороны поля и удерживающих от разлетания сил равна нулю и конфигурация () стабильна.
 +
 +
В теории относительности подобные силы необходимо реализовывать при помощи введения нового поля. Такой способ объяснения природы массы становится уже не столь привлекательным как исходная идея Абрахама. Хотя наличие электромагнитной составляющей в массе заряженной частицы сомнения не вызывает. По всей видимости, для объяснения природы массы необходимы другие идеи. Одно из возможных направлений будет рассмотрено в последних двух разделах главы.
  
 
----
 
----
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
 
  | width="30%"|[[Спин]] <<  
 
  | width="30%"|[[Спин]] <<  
  ! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_05.pdf Глава 6])
+
  ! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_07.pdf Глава 7])
 
  | width="30%" align="right"| >> [[Взаимодействие зарядов без поля]]
 
  | width="30%" align="right"| >> [[Взаимодействие зарядов без поля]]
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии
 
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Текущая версия на 19:07, 2 июля 2013

Спин << Оглавление (Последняя версия в: Глава 7) >> Взаимодействие зарядов без поля

Вычислим полную энергию и импульс поля, создаваемого равномерно движущимся точечным зарядом. Так как мы столкнёмся с расходимостью интегралов, сделаем регуляризацию возникающей сингулярности. Будем считать, что на малых расстояниях закон Кулона модифицируется так, как это было записано в начале четвёртой главы (), стр.\,\pageref{kulon_a}. Кроме этого предположим, что параметр регуляризации является "фундаментальной константой" которая не меняется при преобразованиях Лоренца. Тогда электрическое и магнитное поля движущегося заряда (стр.\,\pageref{E_B_main}) будут выглядеть следующим образом:

Нас интересуют полные энергия и импульс электромагнитного поля:

Подставляя напряжённости, найдём соответствующие плотности:

Направим ось вдоль скорости заряда: . Учитывая, что и , перепишем знаменатель в следующем виде:

Сделаем замену переменной интегрирования и для объёма . В результате скорость остаётся только в числителе подынтегральной функции. Для полной энергии имеем:

Введём следующее обозначение:

(EQN)

Этот интеграл может быть вычислен двойным дифференцированием по параметру определённого интеграла с функцией .

Окончательное вычисление полной энергии проведём в сферических координатах , в которых . Интегрирование по полярному углу (от которого подынтегральная функция не зависит) даст множитель . Интегрирование по приводит к . Осталось вычислить элементарный интеграл по , при помощи "внесения" синуса под дифференциал: :

Аналогично вычисляется интеграл для импульса поля. После интегрирования по всему пространству, единственный вектор от которого может зависеть вектор импульса поля — это скорость . Поэтому он пропорционален и при выбранном направлении скорости достаточно вычислить -компоненту импульса:

Таким образом, энергия и импульс электромагнитного поля заряда, движущегося с постоянной скоростью равны:

(EQN)

Импульс поля имеет такую же зависимость от скорости как и у любой релятивистской частицы с массой . А вот у энергии появилась неприятная добавка, и зависимость от скорости отличается от релятивистской. При , имеем , . Считая, что "масса" поля определяется по энергии покоя, мы получим неправильный множитель у массы при импульсе: . Или наоборот, определяя массу как коэффициент пропорциональности нерелятивистского импульса и скорости, мы получим энергию покоя, которой не достаёт 1/4 массы, так как она равна 3/4. Поэтому часто этот эффект называют "проблемой 3/4" (или "проблемой 4/3" в зависимости от того, как определяют массу).

На заре возникновения теории относительности строились модели, в которых заряд электрона был равномерно "размазан" по поверхности сферы. В зависимости от поведения этой сферы при движении электрона, получалась та или иная зависимость от скорости энергии и импульса поля. Макс Абрахам высказал замечательную мысль, что механическую массу электрона можно определить, вычисляя энергию-импульс создаваемого электроном поля.

Сам Абрахам (1902 г.) предполагал, что "сфера электрона" при движении не деформируется. Была также построена модель Альфреда Бачерера (1904 г.), в которой сфера сжималась в направлении движения, сохраняя свой объём. В рамках электронной теории Хендрика Лоренца, предполагалось, что сфера сжимается в соответствии с релятивистским фактором , в результате чего получалась верная зависимость импульса поля от скорости \cite{Cushing1981}. Однако во всех этих теориях творилось некое безобразие с энергией поля. Анри Пуанкаре предложил следующее объяснение проблемы. Заряды, расположенные на поверхности сферы, отталкиваются друг от друга. Так как электрон стабилен — некие силы обязаны удерживать заряды. Именно эти силы, названные натяжениями Пуанкаре, и должны обеспечить недостающую 1/4 массы.

С высоты 100-летнего развития квантовой теории элементарных частиц, классические модели электрона выглядят достаточно наивными. Однако это не означает отсутствия проблемы. Бесконечности возникают и в квантовой теории поля. Поэтому, в любом случае, с силой Кулона необходимо что-то делать, так как она равна бесконечности при . Или электрон не должен быть точечным, или должна быть изменена сила. Сферические модели электрона шли по первому пути и пытались, не меняя закона Кулона, сделать электрон неточечным. Можно пойти вторым путём и считать, что на малых расстояниях должен модифицироваться сам закон Кулона. Например, выше мы ввели фундаментальную константу , устраняющую "нефизичную" бесконечность. После этого можно построить теорию электромагнетизма и в результате всё равно получится неверная зависимость энергии поля от скорости, даже в пределе , хотя ни каких "натяжений Пуанкаре" уже нет.

Было предпринято множество хитрых модификаций классической электродинамики для устранения неправильной зависимости энергии от скорости \cite{FeinmanEd}. По-видимому наиболее простое решение проблемы электромагнитной массы принадлежит Джулиану Швингеру (1982) \cite{Schwinger1982}.

Основная идея Швингера состоит в том, что при вычислении энергии и импульса электромагнитного поля необходимо учитывать не только выражения для и но и член , возникший при выводе закона сохранения (теорема Пойнтинга, стр.\,\pageref{energy_E}):

(EQN)

Сохраняется суммарная энергия поля и частицы, а не только поля. Использование только части полной энергии и приводит к проблеме 3/4.

Продемонстрируем это, проделав соответствующие вычисления в ковариантном виде. Ранее (стр.\,\pageref{fld_A_for_point_Q}) мы записывали выражения для 4-потенциала и тензора напряженностей поля точечного заряда:

(EQN)

где — параметр регуляризации и при помощи 4-скорости заряда и его координат определен следующий 4-вектор (стр.\,\pageref{fld_partial_eta}):

Этот вектор ортогонален 4-скорости () и для него справедливы следующие производные:

(EQN)

Его квадрат равен или в момент времени , где — стандартный лоренцевский фактор.

Используя выражения (), запишем симметричный тензор энергии-импульса (), стр.\,\pageref{tensor_en_mom_eld_sym}:

Как известно, сохраняется суммарный тензор поля и частиц. Сам по себе не сохраняется:

поэтому энергия и импульс поля (интегралы от ) не являются компонентами 4-вектора (стр.\,\pageref{cov_int_val}). В этом и состоит корень проблемы 3/4.

Запишем тензор энергии-импульса в следующем виде:

где . Для различных способов регуляризации закона Кулона будут получаться различные функции . Дивергенция этого выражения равна:

где штрих — производная функции по её аргументу.

Чтобы скомпенсировать ненулевую дивергенцию, необходимо добавить тензор , так чтобы выполнялось уравнение непрерывности:

(EQN)

При помощи величин , , можно записать следующий симметричный тензор:

где — некоторые скалярные функции. Дивергенция этого выражения равна:

Заметим, что в это выражение не попало и тензор тождественно удовлетворяет уравнению непрерывности. В определение можно было бы добавить симметричную комбинацию . Однако, её дивергенция пропорциональна , а не . Чтобы () было справедливым, должно выполняться следующее соотношение:

(EQN)

Для дальнейшего нам потребуются интегралы:

(EQN)
(EQN)
(EQN)

Они вычисляются также, как и в начале раздела (переходим к цилиндрическим координатам, делаем замену и окончательное интегрирование проводим в сферических координатах). Кроме этого, определим следующие четыре () константы:

В случае имеем .

Между константами существует определенная связь. Чтобы её найти, умножим соотношение () на и проинтегрируем по всему пространству. Затем воспользуемся следующим тождеством:

Для его доказательства необходимо правую часть проинтегрировать по частям () В результате, уравнение непрерывности для суммарного тензора выполняется, если:

(EQN)

Вычислим теперь энергию и импульс поля при помощи тензора :

При снова получаются соотношения (). Аналогично вычисляются энергия и импульс для тензора :

Окончательно, учитывая (), для суммарной энергии и импульса получаем:

где масса системы, равна:

(EQN)

Таким образом, энергия и импульс, полученные по тензору имеют правильную зависимость от скорости и являются компонентами 4-вектора. Так и должно быть для интеграла от тензора, который удовлетворяет уравнению непрерывности. Обратим внимание, что в энергию и импульс от член пропорциональный сразу входит с верной зависимостью от скорости. Связано это с тем, что часть тензора которая дала удовлетворяет уравнению непрерывности сама по себе при любой функции .

Результат вычислений не зависит от выбора функций и единственным ограничением на них является уравнение (). Швингер рассмотрел частный случай с и два варианта с и .

Обсудим физический смысл введенных выше масс. Масса связана с полем заряда и имеет чисто электромагнитное происхождение. Масса может быть проинтерпретирована как механическая масса заряда. Напомним (стр.\,\pageref{fld_T_part_def}), что тензор энергии-импульса, связанный с распределенной в пространстве материей имеет вид: Поэтому (обратим внимание, что при мы имеем , поэтому — пространственно-подобный вектор). В теории классического электрона, масса которого полностью обусловлена полевыми эффектами можно положить .

Запишем компоненты тензора электромагнитного поля в системе покоя электрона в которой и :

Компоненты "компенсирующего" тензора равны:

и . Пространственные компоненты тензоров и при сложении дадут ноль, если . В этом случае и, следовательно, для полной массы электрона имеем:

где подставлено значение интеграла для .

Множитель при зависит от способа регуляризации (поведения закона Кулона на малых расстояниях или распределения заряда "в электроне"). Поэтому для , , в качестве характерного размера принято использовать отношение:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle a = \frac{e^2}{m_e c^2} = 2.8\cdot 10^{-13}\;см,}

где восстановлена скорость света (). Эта характерная длина называется классическим радиусом электрона. Для сравнения, "размер" атома водорода (боровский радиус) порядка см, а типичный размер протона равен см.

Выше мы не вводили модели распределения заряда электрона, считая параметр некоторым способом регуляризации бесконечностей. Цель вычислений состояла в демонстрации релятивистской ковариантности интегральных выражений для энергии и импульса, при условии, что они следуют из тензора, удовлетворяющего уравнению непрерывности. Получив ковариантный результат, можно устремить к нулю. Выражения останутся ковариантными, хотя масса окажется бесконечной.

Можно стать на классическую точку зрения, считая, что заряд электрона "размазан" в пространстве и найти плотность заряда, соответствующую регуляризованным выражениям для напряженности поля. Так, из уравнений Максвелла для тензора () следует регуляризованное выражение для тока (), стр.\,\pageref{fld_partial_j}. В системе покоя электрона ему соответствует распределение заряда:

(EQN)

Чтобы удержать заряды для такого распределения необходимы дополнительные силы неэлектромагнитного происхождения. Именно эти силы (натяжения Пуанкаре) приводят к дополнительному тензору .

Условие в этом случае означает отсутствие сил, действующих на каждый элемент распределённого в пространстве заряда. Действительно, для энергии-импульса электромагнитного поля справедливо уравнение . В системе покоя и в отсутствии зависимости от времени, интегрируя это уравнение по бесконечно малому объёму, окружающему элемент заряда , получаем:

где во втором равенстве по теореме Гаусса, мы перешли к интегралу по поверхности , окружающий заряд, а в последнем, для бесконечно малого объёма, заменили на . На заряд со стороны остальных зарядов "размазанного в пространстве электрона" действует сила . Если — суммарная сила со стороны поля и удерживающих от разлетания сил равна нулю и конфигурация () стабильна.

В теории относительности подобные силы необходимо реализовывать при помощи введения нового поля. Такой способ объяснения природы массы становится уже не столь привлекательным как исходная идея Абрахама. Хотя наличие электромагнитной составляющей в массе заряженной частицы сомнения не вызывает. По всей видимости, для объяснения природы массы необходимы другие идеи. Одно из возможных направлений будет рассмотрено в последних двух разделах главы.


Спин << Оглавление (Последняя версия в: Глава 7) >> Взаимодействие зарядов без поля

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии