Что такое симметрия?

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Произвольно движущийся заряд << Оглавление (Последняя версия в: Глава 5) >> Примеры и определения

Мы говорим, что квадрат — более симметричная фигура, чем прямоугольник, а окружность симметричнее квадрата. Откуда возникают такие ощущения? Крутя в руках осколок плоской плитки или целые плитки различной формы, мы замечаем что после некоторых манипуляций плитка снова совпадает со своей начальной ориентацией. Чтобы первая фигура на рисунке ниже совпала сама с собой её необходимо для этого повернуть на 360 градусов, и других возможностей нет:

Sym1.png

У прямоугольника есть уже больше вариантов. Например, его можно повернуть на 180 или 360 градусов. Для квадрата и круга преобразований начального состояния, приводящих к той же ориентации, ещё больше.

Представим лежащую на столе прозрачную квадратную плитку с цифрами в углах. Рассмотрим элементарные операции которые можно совершить "одним движением", чтобы изменилось положение цифр, но не ориентация плитки. Прежде всего квадрат можно повернуть на 90, 180 и 270 градусов:

Sym squar.png

Кроме этого, плитку из исходного состояния "" можно перевернуть "вверх ногами" вокруг двух осей перпендикулярных сторонам и двух осей проходящих по диагоналям квадрата:

Sym squar2.png

Других возможностей для расположения цифр, при неизменной ориентации квадрата не существует.

Обозначим проделанные манипуляции буквами , , , , , , , используя "" для обозначения операции: "ничего не делаем" (остаёмся в первоначальном состоянии). Такую операцию будем называть единичной. Символ "" — это поворот на 90 градусов, "" — на 180, и т.д.

Операции можно проделывать последовательно. Например, повернуть квадрат на 90 градусов (), а затем на 180 градусов (). Такая комбинированная операция эквивалентна одной — повороту на 270 градусов (). Будем этот факт обозначать следующим образом:

Возможно несколько сложнее проследить, что приводит к . Имеет смысл, вырезав квадрат из бумаги, проделать эти операции руками.

Записывая преобразования друг за другом мы тем самым обозначаем их последовательное выполнение — сначала , затем . В результате получается некоторая новая операция . Такую композицию операций будем называть групповым умножением или просто умножением. На самом деле, умножение операций, это функция двух аргументов (бинарная функция), которая каждому и ставит в соответствие некоторый . Тем не менее эту функцию принято записывать в виде умножения с точкой между операциями () или без неё ().

Функция группового умножения не всегда симметрична. Так, поворот плитки на 90 градусов (), и последующий переворот () эквиваленты одной операции . Проделав эти же действия в обратном порядке — переворот и поворот мы получим . В тоже время , т.е. поворот сначала на 90 градусов, а затем на 180 приводит к такому же результату, как и повороты в обратном порядке. Поэтому, не смотря на привычную алгебраическую запись умножения , необходимо помнить, что и это не числа, а некоторые, вообще говоря, не перестановочные действия.

Единичная операция ("ничего не делаем") выполненная до или после любой операции , по определению, приводит к ней же, поэтому:

Последовательное выполнение некоторых операций может снова приводить к исходному состоянию (единичной операции). Такие операции будем называть обратными друг к другу. Если для существует обратная операция обозначаемая как , то

Например, , поэтому и . Поворот на 180 обратен сам к себе , поэтому . Аналогично, сами себе обратны операции по переворачиванию плитки , , , . Обратную операцию иногда также обозначают при помощи черты сверху .

Для любых преобразований выполняется свойство ассоциативности:

В математике очень многие действия с двумя объектами (бинарные функции) обладают ассоциативностью, например, умножение или сложение чисел, умножение матриц и т.п. Хотя существуют и неассоциативные функции. Простейший пример — это возведение в степень , для которой . Тем не менее композиция преобразований ассоциативна. Действительно, означает, что сначала выполняют , затем и на результат воздействуют операцией . Вторая возможность состоит в том, что сначала выполняется , затем находят композицию преобразований и её применяют к результату преобразования . Понятно, что это просто эквивалентно последовательности действий .

Благодаря ассоциативности можно опускать скобки при записи произвольного числа "сомножителей". Часто мы будем использовать сокращение или , обращаясь со степенями "как обычно". В частности . Поэтому, если , то этот "" будет с "" перестановочен: .

Именно наличие свойства ассоциативности у функции групповой композиции привело к термину "групповое умножение" и к обозначению .

Геометрические симметрии наглядны, так как заложены в нашем восприятии пространства. Однако симметрии могут быть не только геометрическими. Определим, например, функцию от 3-х переменных:

В качестве преобразования рассмотрим операцию по перестановке аргументов функции местами. Например, по любой паре аргументов функция антисимметрична . Однако существуют перестановки (операции) которые не изменяют значение функции:

Не сложно видеть, что это циклические перестановки аргументов вправо Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\underrightarrow»): {\displaystyle \textstyle a=(\underrightarrow{x_3,x_1,x_2})} и влево Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\underleftarrow»): {\displaystyle \textstyle \bar{a}=(\underleftarrow{x_2,x_3,x_1})} , от являющегося исходным порядком. Их можно выполнять последовательно:

Видно, что операции и обратны друг другу, и их можно выполнять в любом порядка (групповое умножение симметрично).

Симметричными могут быть уравнения. Рассмотрим систему частиц расположенных на прямой и взаимодействующих друг с другом при помощи парных сил, зависящих только от расстояния между частицами:

Эти динамические уравнения Ньютона записаны в фиксированной системе отсчёта относительно которой заданы координаты. Рассмотрим другую систему отсчета, которая движется относительно первой с постоянной скоростью . Если при начала систем совпадали, то связь координат в них имеет вид: (стр.\,\pageref{Group_Gal_simple}). Несложно проверить (\,H), что в движущейся системе отсчёта уравнения движения будут выглядеть точно также. Это преобразование симметрии уравнений является преобразованием Галилея.

Последовательность преобразований Галилея (переход сначала к системе движущейся со скоростью , а затем к со скоростью ) эквивалентно движению со скоростью :

Преобразование можно записать в операторном виде, действуя оператором на справа:

тогда композиция выражается в виде группового умножения, с "правильной" последовательностью операторов:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle x''=x'\hat{G}(v_2) = x\hat{G}(v_1)\hat{G}(v_2)\;\;\;или\;\;\;\hat{G}(v_1)\, \hat{G}(v_2) = \hat{G}(v_1+v_2).}

Обратное преобразование получается обращением скорости:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle x''= x'+vt = (x-vt) + vt = x\;\;\;или\;\;\;\hat{G}^{-1}(v)=\hat{G}(-v).}

Ассоциативность группового умножения очевидна в силу операторного характера действия . Заметим, что в отличие от предыдущих двух симметрий — это симметрия непрерывная, так как преобразования различаются при помощи "непрерывного индекса" — скорости .

Подведём итоги.

Симметрия — это набор операций по преобразованию системы, которые эту систему или часть её свойств оставляют неизменной.

Математический аппарат, описывающий подобные операции называется теорией групп. Рассмотрим её чуть более формально.

(EQN)

} \end{flushright} где . Последняя формула проверяется возведением в квадрат и подстановкой вместо .

Заметим, что является функцией текущего времени и точки наблюдения. Её вид определяется траекторией заряда и получается из решения уравнения (). При этом .

Свяжем с фантомным зарядом в момент времени инерциальную систему отсчёта . Так как в ней он покоится, для потенциалов поля справедливы кулоновские выражения:

Подставим их в обратные преобразования Лоренца для потенциалов [(), стр.\pageref{transf_poten}] переставим местами штрихованные и нештрихованные величины и сделаем замену ]:

(EQN)

где для расстояния от фантомного заряда в момент времени до точки наблюдения использовано преобразование для модуля радиус-вектора (см. стр. \pageref{force_transf_electro}). При помощи () потенциалы можно также переписать следующим образом:

(EQN)

Эти потенциалы для произвольно движущегося заряда называют потенциалами Лиенара-Вихерта. В качестве полезного упражнения по работе с дельта-функцией стоит вывести эти же соотношения непосредственно из общего решения (), (). Например, для плотности заряда необходимо записать выражение .

Отметим один любопытный момент. Уравнения Максвелла были получены для системы равномерно движущихся зарядов. Затем постулировалось, что они справедливы и для ускоренного движения зарядов. Хотя уравнения Максвелла явно не зависят от ускорений, это не означает, что от ускорений не зависят напряжённости поля. Дело в том, что уравнения Максвелла в исходной записи являются системой дифференциальных уравнений первого порядка. Из этой системы можно исключить, например, магнитное поле, получив для электрического поля уравнение второго порядка:

Оно имеет форму уравнения Д'Аламбера, однако источники, стоящие в правой части, содержат производную по времени от тока. Именно это и приводит к тому, что напряжённости окажутся зависящими от ускорения заряда (в то время как потенциалы - нет).

Найдём напряженности электрического и магнитного полей

Производные потенциалов берутся по координатам фиксированной точки пространства и по текущему моменту времени , а выражения для потенциалов () зависят (в правых частях) от величин в момент времени . Поэтому потребуются определённые математические хитрости. Возьмём дифференциал от условия запаздывания:

где — скорость в момент времени , а . По определению дифференциала функции имеем:

Потенциалы зависят от явно и неявно через . Например, скалярный потенциал () имеет вид:

Поэтому градиент и производная по равны:

Для получения ротора векторного потенциала

необходимо найти также ротор от скорости

где — ускорение частицы в момент времени . Вычисляя все производные и проводя несложные алгебраические преобразования ( H), получим:

(EQN)
(EQN)

где . Магнитное поле оказывается перпендикулярным электрическому и радиус-вектору от заряда в момент времени .

При помощи радиус-вектора от фантомного заряда к точке наблюдения электрическое поле можно записать в следующем виде:

Первое слагаемое является напряжённостью электрического поля равномерно движущегося со скоростью фантомного заряда. Если бы заряд не менял свою скорость, он совпадал бы с этим фантомом.

Напряжённость электрического поля можно также переписать в следующем изящном виде, найденном Ричардом Фейнманом ( H):

Обратим внимание, что все производные вычисляются по текущему времени , а не по , к которому относятся величины и .

Если скорость заряда мала, то напряжённость электрического поля можно приближённо записать следующим образом:

Второе слагаемое убывает, как . Первый же ("кулоновский") член убывает, как , т.е. существенно быстрее. Пренебрегая на больших расстояниях первым слагаемым, найдём импульс электромагнитной волны. Так как второе слагаемое перпендикулярно , т.е. , имеем:

Интенсивность излучения в направлении телесного угла определяется, как поток энергии, проходящий в единицу времени через элемент поверхности сферы радиуса (см. стр.\pageref{intens_dipol_rad}).

где — угол между ускорением и направлением в точку наблюдения из запаздывающего положения заряда . Интеграл по всему телесному углу даёт полное излучение заряда (формула Лармора):

Его можно сравнить с излучением в дипольном приближении (стр.\pageref{intens_dipol_rad}). Для одиночного заряда и, соответственно, .

Изучим теперь излучение заряда, не считая его скорость маленькой. На больших расстояниях от заряда напряжённости поля равны:

Пусть скорость и ускорение параллельны, так что . В этом случае интенсивность излучения равна:

Для медленного заряда излучение максимально в направлении, перпендикулярном ускорению. Чем ближе скорость заряда к скорости света, тем сильнее максимум излучения смещается в направлении движения (см. ниже первые два рисунка). Похожим свойством обладает движущийся изотропный (в собственной системе отсчёта) источник света в результате аберрации (стр.\pageref{aberr_isotr_source}).

Mov E chage.png

Найдём суммарную интенсивность излучения. Интеграл по даст , а для интегрирования по сделаем замену :

(EQN)

Интеграл по находится при помощи дифференцирования определённого интеграла по параметру. Эти вычисления несложны, но сравнительно громоздки ( H).

Найдём энергию, теряемую зарядом при излучении за единицу времени. Её величина для движущегося заряда отличается от . Действительно, проследим за излучённой в прошлом энергией между моментами времени и . Если бы заряд был неподвижен, к текущему моменту эта энергия была бы сконцентрирована между двумя сферами с радиусами и и совпадающими центрами. При движении заряда за время центр внутренней сферы смещается на , а её поверхность прижимается к внешней сфере в направлении движения (3-й рисунок).

В результате толщина зазора между сферами в направлении уменьшается на . Если , то толщина зазора равна . При она равна . Соответственно, в раз изменяется элемент объёма сферического слоя в направлении (хотя суммарный объём между сферами, конечно, не меняется). Энергия, расположенная между слоями в телесном углу , равна:

Поэтому интенсивность теряемой энергии отличается от множителем . Интегрирование по всем телесным углам даёт ( H):

Кроме линейного торможения (например, рентгеновское излучение при ударе электрона об электрод) существует ещё одна важная разновидность излучения. В магнитном поле заряд движется по окружности (или спирали). В этом случае скорость и ускорение перпендикулярны. При малой скорости заряда излучение направлено перпендикулярно плоскости орбиты и называется циклотронным. Если же скорость заряда ультрарелятивистская, то максимум излучения сконцентрирован в направлении текущего (с учётом запаздывания) мгновенного вектора скорости. Подобное излучение (касательное к окружности или спирали) называют синхротронным. Оно возникает в круговых ускорителях частиц (отсюда и происходит название). Его же регулярно наблюдают астрономы в окрестности самых разнообразных космических объектов.

Для произвольной ориентации скорости и ускорения теряемая в единицу времени энергия даётся формулой Льенара (1898 г.):

(EQN)

Вывести её предлагается самостоятельно ( H). Стоит также проверить, что формула Льенара может быть записана в следующем инвариантном виде:

где — 4-импульс частицы с компонентами , а — её собственное время с учётом эффекта запаздывания.



Произвольно движущийся заряд << Оглавление (Последняя версия в: Глава 5) >> Примеры и определения

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии