Что такое истина? — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Строка 5: Строка 5:
 
|}
 
|}
 
----
 
----
<math>\textstyle \bullet</math> Утверждение о том, что "существует некоторое доказательство формулы <math>\textstyle \EuScript F</math> с номером <math>\textstyle f</math>" в логических терминах можно выразить так:
+
<math>\textstyle \bullet</math> Утверждение о том, что "существует некоторое доказательство формулы <math>\textstyle \mathcal F</math> с номером <math>\textstyle f</math>" в логических терминах можно выразить так:
  
:<center><math>\mathbf{Proof}(\EuScript F) \;:\; \exists p\, D(p, f) \;\leftrightarrow\; D(0, f) \vee D(1, f) \vee D(2, f) \vee ...</math></center>
+
:<center><math>\mathbf{Proof}(\mathcal F) \;:\; \exists p\, D(p, f) \;\leftrightarrow\; D(0, f) \vee D(1, f) \vee D(2, f) \vee ...</math></center>
  
 
(справедливо или нулевое доказательство, или первое, или второе, и т.д.). Можно даже написать программу:
 
(справедливо или нулевое доказательство, или первое, или второе, и т.д.). Можно даже написать программу:
  
:<center><math>\begin{array}{llllll} \multicolumn{3}{l}{\mathbf{Proof}(f)\{}\\ \;\;\;& \multicolumn{2}{l}{ p\leftarrow 0; } \\ \;\;\;& \multicolumn{2}{l}{ \mathbf{while} (1=1)\{\; } & :\;бесконечный\;цикл\\ \;\;\;&\;\;\;& \multicolumn{1}{l}{ \mathbf{if}(D(p,f)=1) \;\;\;\;\;\;\;\,\{\mathbf{return} \;1; \} } & :\;доказуемо\;\EuScript F\\ \;\;\;&\;\;\;& \multicolumn{1}{l}{ \mathbf{if}(D(p,\mathbf{not}(f))=1) \{\mathbf{return} \;0; \}}& :\;доказуемо\;\neg\EuScript F\\ \;\;\;&\;\;\;& \multicolumn{1}{l}{ p\leftarrow p+1; } & :\;следующее\;док-во\\ \;\;\;& \multicolumn{2}{l}{ \}} \\ & \multicolumn{3}{l}{ :\;сюда\;никогда\;не\;попадём,\;если\;утверждение\;недоказуемо}\\ \multicolumn{3}{l}{\}} \end{array}</math></center>
+
:<center><math>\begin{array}{llllll} \multicolumn{3}{l}{\mathbf{Proof}(f)\{}\\ \;\;\;& \multicolumn{2}{l}{ p\leftarrow 0; } \\ \;\;\;& \multicolumn{2}{l}{ \mathbf{while} (1=1)\{\; } & :\;бесконечный\;цикл\\ \;\;\;&\;\;\;& \multicolumn{1}{l}{ \mathbf{if}(D(p,f)=1) \;\;\;\;\;\;\;\,\{\mathbf{return} \;1; \} } & :\;доказуемо\;\mathcal F\\ \;\;\;&\;\;\;& \multicolumn{1}{l}{ \mathbf{if}(D(p,\mathbf{not}(f))=1) \{\mathbf{return} \;0; \}}& :\;доказуемо\;\neg\mathcal F\\ \;\;\;&\;\;\;& \multicolumn{1}{l}{ p\leftarrow p+1; } & :\;следующее\;док-во\\ \;\;\;& \multicolumn{2}{l}{ \}} \\ & \multicolumn{3}{l}{ :\;сюда\;никогда\;не\;попадём,\;если\;утверждение\;недоказуемо}\\ \multicolumn{3}{l}{\}} \end{array}</math></center>
  
Мы чуть улучшили исходное определение, и для входного ''номера'' замкнутой формулы <math>\textstyle f</math> проверяется, что <math>\textstyle p</math>-тое доказательство доказывает формулу <math>\textstyle \EuScript F</math> либо её отрицание <math>\textstyle \neg \EuScript F</math>. Проверка доказательства проводится при помощи функции "<math>\textstyle D(p,f)</math>". Функция <math>\textstyle \mathbf{not}</math> добавляет перед строкой формулы символ "<math>\textstyle \neg</math>", и вычисляет номер формулы с отрицанием.
+
Мы чуть улучшили исходное определение, и для входного ''номера'' замкнутой формулы <math>\textstyle f</math> проверяется, что <math>\textstyle p</math>-тое доказательство доказывает формулу <math>\textstyle \mathcal F</math> либо её отрицание <math>\textstyle \neg \mathcal F</math>. Проверка доказательства проводится при помощи функции "<math>\textstyle D(p,f)</math>". Функция <math>\textstyle \mathbf{not}</math> добавляет перед строкой формулы символ "<math>\textstyle \neg</math>", и вычисляет номер формулы с отрицанием.
  
 
Если ''верить'' в доказуемость любого утверждения, то <math>\textstyle \mathbf{Proof}(f)</math> рано или поздно остановится. Если на веру не полагаться, то для некоторых <math>\textstyle f</math> функция <math>\textstyle \mathbf{Proof}(f)</math> может быть ''неопределена''. Иногда она не останавливается и не выдаёт результата, когда цикл <math>\textstyle \mathbf{while}</math> крутится бесконечно долго. И распознать этого мы не можем! Конечно, скорее всего, можно построить более "хитрый", эффективный и всюду определённый алгоритм '<math>\textstyle \mathbf{Proof}</math>", но беда в том, что ''его несуществование мы и пытаемся доказать''.
 
Если ''верить'' в доказуемость любого утверждения, то <math>\textstyle \mathbf{Proof}(f)</math> рано или поздно остановится. Если на веру не полагаться, то для некоторых <math>\textstyle f</math> функция <math>\textstyle \mathbf{Proof}(f)</math> может быть ''неопределена''. Иногда она не останавливается и не выдаёт результата, когда цикл <math>\textstyle \mathbf{while}</math> крутится бесконечно долго. И распознать этого мы не можем! Конечно, скорее всего, можно построить более "хитрый", эффективный и всюду определённый алгоритм '<math>\textstyle \mathbf{Proof}</math>", но беда в том, что ''его несуществование мы и пытаемся доказать''.
Строка 44: Строка 44:
  
 
Возможно два ответа. Один принадлежит Пуанкаре: "''В математике нет символов для неясных мыслей''". Второй ответ &mdash; эти вопросы поставлены ''не верно''. Подобные объекты конечно существуют. Хотя бы в форме определённого возбуждения нейронной сети в голове математиков. И если есть часть математиков, которым нравится о них размышлять, убеждая друг друга, то это их право. Конечно, они могут быть однажды не приятно удивлены появлением новых парадоксов. Но это ведь тоже, в конечном счёте, интересно. Поэтому, СМОТРИ:
 
Возможно два ответа. Один принадлежит Пуанкаре: "''В математике нет символов для неясных мыслей''". Второй ответ &mdash; эти вопросы поставлены ''не верно''. Подобные объекты конечно существуют. Хотя бы в форме определённого возбуждения нейронной сети в голове математиков. И если есть часть математиков, которым нравится о них размышлять, убеждая друг друга, то это их право. Конечно, они могут быть однажды не приятно удивлены появлением новых парадоксов. Но это ведь тоже, в конечном счёте, интересно. Поэтому, СМОТРИ:
 +
 
----
 
----
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   

Версия 14:56, 29 января 2010

Теорема Гёделя о неполноте << Оглавление >> Интуиция искусственного разума

Утверждение о том, что "существует некоторое доказательство формулы с номером " в логических терминах можно выразить так:

(справедливо или нулевое доказательство, или первое, или второе, и т.д.). Можно даже написать программу:

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\multicolumn»): {\displaystyle \begin{array}{llllll} \multicolumn{3}{l}{\mathbf{Proof}(f)\{}\\ \;\;\;& \multicolumn{2}{l}{ p\leftarrow 0; } \\ \;\;\;& \multicolumn{2}{l}{ \mathbf{while} (1=1)\{\; } & :\;бесконечный\;цикл\\ \;\;\;&\;\;\;& \multicolumn{1}{l}{ \mathbf{if}(D(p,f)=1) \;\;\;\;\;\;\;\,\{\mathbf{return} \;1; \} } & :\;доказуемо\;\mathcal F\\ \;\;\;&\;\;\;& \multicolumn{1}{l}{ \mathbf{if}(D(p,\mathbf{not}(f))=1) \{\mathbf{return} \;0; \}}& :\;доказуемо\;\neg\mathcal F\\ \;\;\;&\;\;\;& \multicolumn{1}{l}{ p\leftarrow p+1; } & :\;следующее\;док-во\\ \;\;\;& \multicolumn{2}{l}{ \}} \\ & \multicolumn{3}{l}{ :\;сюда\;никогда\;не\;попадём,\;если\;утверждение\;недоказуемо}\\ \multicolumn{3}{l}{\}} \end{array}}

Мы чуть улучшили исходное определение, и для входного номера замкнутой формулы проверяется, что -тое доказательство доказывает формулу либо её отрицание . Проверка доказательства проводится при помощи функции "". Функция добавляет перед строкой формулы символ "", и вычисляет номер формулы с отрицанием.

Если верить в доказуемость любого утверждения, то рано или поздно остановится. Если на веру не полагаться, то для некоторых функция может быть неопределена. Иногда она не останавливается и не выдаёт результата, когда цикл крутится бесконечно долго. И распознать этого мы не можем! Конечно, скорее всего, можно построить более "хитрый", эффективный и всюду определённый алгоритм '", но беда в том, что его несуществование мы и пытаемся доказать.

Действительно, в теореме Гёделя мы стремимся продемонстрировать, что бывают не доказуемые утверждения. Поэтому, аналогично теореме Тьюринга об остановке, мы "догадываемся", что не существует универсального алгоритма, проверяющего доказуемость любой формулы . Поэтому, получение противоречия в теореме Гёделя "Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle \mathbf{Proof}(\mathbf{G})=Л} " может свидетельствовать не об её истинности, а о не существовании предиката "", применимого к любым высказываниям. Но тогда говорить об истинности несколько странно, так как она определена при помощи не существующего универсального алгоритма. Дракон снова начинает хватать свой собственный хвост.

Что же такое истина? В конкретной теории мы договариваемся о том, что некоторые исходные утверждения считаются истинными. Они объявляются аксиомами, а их отрицание — ложью. Например, пусть есть две аксиомы ": снег белый", ": снег холодный". Тогда мы легко можем вычислить истинности утверждений , , , и т.д. Подобным образом можно сгенерить сколь угодно много истинных или ложных утверждений. "Сколь угодно много" означает потенциальную бесконечность, которую мы не предъявляем при помощи конечных символов, а просто верим в неограниченность некоторого определённого построения.

Проблемы появляются, когда в теории необходимо использовать кванторы всеобщности и существования, охватывающие все объекты теории. Для конечных предметных областей никаких проблем нет. Например, пусть истинно, что "каждая блондинка умна". Тогда очевидно истинно и утверждение "не существует не умных блондинок".

Однако, в бесконечной предметной области кванторы , оказываются актуально бесконечными конструкциями. Они в замкнутой форме говорят обо всех сущностях, которых бесконечно много. В этом случае формулы, которые содержат , , не могут быть вычислены так же, как это делается для остальных логических операторов. Единственный путь проверки истинности утверждения, это построить его формальный вывод из исходных аксиом, а только после этого объявить утверждение истинным или ложным. В этом смысле, истинность или ложность отходят на задний план, а вперед выходит понятие доказуемости. Мы можем при помощи аксиом и правил вывода получать новые формулы. Все выведенные таким образом формулы называются истинными. Если в их множество попадает формула , тогда формулу мы называем ложной. Если теория непротиворечива, то формула не может быть одновременно ложной и истинной, т.е. в множество выводимых формул не может попасть вместе с .

Поэтому, учитывая рассуждения, сделанные в самом начале предыдущего раздела, можно сформулировать следующее достаточно правдоподобное предположение:

Некоторое математическое утверждение может оказаться принципиально недоказуемым, и во множество выводимых из аксиом формул не попадет ни ни . Утверждать, что такое утверждение ложно или истинно мы не имеем никакого права. Оно просто не обладает этим свойством.

Вообще сейчас мы вступаем на скользкую дорогу философии. Для платонически настроенного математика мир математических объектов реально существует — а он его только изучает. Поэтому, истинность или ложность любого утверждения является объективным, реально существующим фактом. Такой математик отождествляет себя с физиком, изучающим внешний по отношению к его сознанию объективный мир. Он верит, что этот мир непротиворечив и познаваем.

Такое отождествление сомнительно. В реальном мире нет даже отрицательных чисел, а уж тем более множества всех множеств. Придуманные правила Игры позволяют эффективно применять математику к окружающему миру для его познания. Однако, вера в то, что порождение человеческого разума должно обязательно оказаться полным и непротиворечивым, а истинность утверждения не требовать доказательств, является проявлением повышенного самомнения. То, что придумал человек, по определению, не может быть объективно.

Платонист, мотивируя абсолютный характер истинности или ложности, обычно приводит следующий аргумент. Математик, изучая структуру выдуманной (изобретенной) им теории, открывает результаты, которые он не закладывал в её аксиоматические основы. Изобретатели комплексных чисел Кардано и Бомбелли и не подозревали, какие удивительные открытия в этой теории в последствии будут сделаны.

Тот факт, что простые исходные правила Игры могут порождать очень сложные и красивые структуры и их свойства, действительно вызывает изумление. Благодаря этому, нам удается относительно простыми методами познавать бесконечно разнообразный окружающий мир. Однако, совершенно очевидно, что в выдуманной человеком системе, такая же сложность может оказаться и парадоксально противоречивой при неудачных исходных изобретениях. Пример тому — парадокс лжеца.

В любом случае, факт богатства выводов, лежащих в основе той или иной изобретенной модели, вряд ли может быть весомым доводом её объективности. А следовательно, то, что некоторое утверждение в такой теории объективно обладает свойством истинности или ложности, вызывает большие сомнения. Особенно, подозрительно объявлять истинным "неясно" определённый объект.

Рассуждать об истинности недоказуемого утверждения, которое себя не может доказать, безусловно забавно. А как быть, например, если окажется, что утверждения о бесконечности или конечности простых близнецов (: \{2,3; 3,5; 5,7; 11,13; 17,19; 29,31; ...\}) не выводимы из аксиом арифметики? Будет ли этот факт истинен или ложен?

Вопрос об истинности недоказуемых утверждений является, в известном смысле, терминологическим. В зависимости от того, как мы определяем "истинность формулы", и какую философскую позицию занимаем, возможно то или иное понимание результатов Гёделя. Однако, в любом случае, математическое мышление не может существовать без точных определений исходных "метапонятий", особенно таких важных, как доказуемость и истинность.

После последних разделов посвящённых Кантору и Гёделю, могут возникнуть вопросы: \item[] "А всё же, существуют ли несчётные множества, трансфинитные числа и подобные им объекты?" \item[] "Можно ли считать гёделевское утверждение G корректно определённым, а следовательно истинным и недоказуемым?" \item[] "Можно ли работать с неконструктивными объектами, для описания которых нет конечного алгоритма?" \item[] "Корректно ли рассуждать об объектах, определённых при помощи бесконечной рекурсии?"

Возможно два ответа. Один принадлежит Пуанкаре: "В математике нет символов для неясных мыслей". Второй ответ — эти вопросы поставлены не верно. Подобные объекты конечно существуют. Хотя бы в форме определённого возбуждения нейронной сети в голове математиков. И если есть часть математиков, которым нравится о них размышлять, убеждая друг друга, то это их право. Конечно, они могут быть однажды не приятно удивлены появлением новых парадоксов. Но это ведь тоже, в конечном счёте, интересно. Поэтому, СМОТРИ:


Теорема Гёделя о неполноте << Оглавление >> Интуиция искусственного разума

Истинность и доказуемость - о конструктивной математике, Канторе и Гёделе