Четырёхмерное пространство-время — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «<math>\textstyle \bullet</math> Физические теории создаются для описания реального мира. Какой бы краси…»)
 
Строка 1: Строка 1:
<math>\textstyle \bullet</math> Физические теории создаются для описания реального мира. Какой бы красивой ни была теория, без экспериментальных подтверждений она лишь остаётся теорией. На заре своего возникновения теория относительности подтверждалась лишь небольшим числом экспериментов, связанных с измерением скорости света в различных условиях. За исключением самого релятивистского объекта &mdash; электромагнитной волны &mdash; любые другие доступные скорости были слишком маленькими, чтобы подтвердить эффекты новой теории.
+
<math>\textstyle \bullet</math> Перейдём теперь к геометрическим аспектам теории относительности. Рассмотрим поворот координатных осей <math>\textstyle (x,y)</math> на угол <math>\textstyle \phi</math>. Координаты ''одной и той же'' точки в исходной и повёрнутой декартовых системах связаны следующим образом: \parbox{6cm}{ <center>
  
Сейчас ситуация иная. Теория относительности фактически стала инженерной наукой. Благодаря развитию ускорительной техники появилась возможность разгонять очень лёгкие частицы, такие как электрон, протон, ядра атомов до ультрарелятивистских скоростей. Эти эксперименты являются рутинными, ежедневно выполняющимися на ускорителях во многих научных центрах. Ни в одном из них не было обнаружено никаких отклонений от основных следствий теории.
+
<center>[[File:rotate_2D.png]]</center>
  
Прежде всего это относится к релятивистской динамике. Соотношения для энергии и импульса выполняются с огромной точностью. С их помощью происходит расчёт треков (траекторий) микрочастиц в электромагнитных полях. На основе этих расчётов определяются технические параметры ускорителей, массы частиц и другие их характеристики. Релятивистские законы сохранения позволяют объяснять множество реакций, происходящих при взаимодействии элементарных частиц.
+
} \parbox{9cm}{
  
Ускорители являются также полигоном по проверке и практическому использованию непосредственных следствий преобразований Лоренца. Высокие скорости, достигаемые в ускорителях, с высокой точностью подтверждают такое необычное следствие теории относительности, как замедление времени в движущейся системе отсчёта (стр. \pageref{time_delay}). Многие частицы имеют очень короткое среднее время жизни, однако оно увеличивается в точном соответствии с предсказанием теории, если частицы быстро движутся \cite{Bailey1977}. Другой эффект &mdash; "сжатие" объекта в направлении движения (стр. \pageref{sec_relativ_shape}) &mdash; требуется для объяснения процесса столкновения ядер, которые при высоких скоростях приобретают "блинообразную" форму.
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{lcl} x'&=& x \,\cos\phi+y \,\sin\phi\\ y'&=& y\, \cos\phi-x \,\sin\phi.\\ \end{array} \right. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
Не стоит забывать и о научном символе XX-века, выраженном в формуле <math>\textstyle E=mc^2</math>. Вся энергетика, в конечном счёте, основана на этом соотношении. Огромная энергия, "хранящаяся" в массах частиц, имеет как мирную, так и военную реализацию в форме атомного и водородного оружия.
+
} </center> Эти преобразования получаются из элементарных геометрических соображений. Заштрихованные на рисунке углы двух подобных прямоугольных треугольников равны <math>\textstyle \phi</math>. Поэтому вертикальная линия, опущенная из точки <math>\textstyle P</math> и имеющая длину <math>\textstyle y</math>, состоит из двух отрезков: гипотенузы <math>\textstyle y'/\cos\phi</math> верхнего треугольника и катета <math>\textstyle x\tg\phi</math> нижнего. Их сумма даёт второе уравнение преобразования. Аналогично <math>\textstyle x'</math> (проекция точки <math>\textstyle P</math> на ось <math>\textstyle x'</math>) состоит из катета <math>\textstyle y'\tg\phi</math> и гипотенузы <math>\textstyle x/\cos\phi</math>, откуда получается первое уравнение. Поворот осей оставляет неизменным расстояние, например от начала координат <math>\textstyle x'^2+y'^2=x^2+y^2</math>.
  
Важно понимать, что не существует "главного", критического эксперимента, подтверждающего теорию относительности. Тем более такими экспериментами не являются исторически важные опыты конца XIX-го, начала XX-го века. Наша вера в справедливость теории относительности основывается на самосогласованности огромного числа экспериментов и теорий, которые возникли на базе релятивистской физики.
+
Преобразования Лоренца имеют похожий линейный вид:
  
Например, объединение теории относительности, квантовой механики и электродинамики Максвелла привело к созданию ''квантовой электродинамики''. Её свойства определяются тремя физическими константами &mdash; скоростью света "<math>\textstyle c</math>", постоянной Планка "<math>\textstyle \hbar</math>" и зарядом электрона "<math>\textstyle e</math>". Их безразмерное отношение называется ''постоянной тонкой структуры'':
+
:<center><math>\left\{ \begin{array}{lcllcl} x'&=& x\, \gamma-t \,v\gamma &=& x\ch\alpha - t\,\sh\alpha\\ t'&=& t \,\gamma-x \,v\gamma &=& \,\,t\,\ch\alpha - x\sh\alpha,\\ \end{array} \right.</math></center>
  
:<center><math>\alpha = \frac{e^2}{\hbar c} = 1/137.035\,999\,679(94).</math></center>
+
где введены гиперболические косинус <math>\textstyle \ch\alpha = \gamma=1/\sqrt{1-v^2}</math> и синус <math>\textstyle \sh\alpha = v\gamma</math>, так, что <math>\textstyle v=\th \alpha</math>. В силу их свойств (стр. \pageref{m_hyperbol}):
  
Предсказания этой теории подтверждаются на эксперименте с фантастической точностью. Приведём лишь один пример. Большинство элементарных частиц обладает спином &mdash; собственным моментом вращения. Если частица заряжена, то у неё возникает магнитный момент, т.е. она становится маленьким магнитом. Взаимодействие магнитного момента с внешним магнитным полем позволяет его измерить. Без учёта эффектов квантовой электродинамики можно достаточно легко рассчитать значение магнитного момента. Такой расчёт немного отличается от измеренного значения, поэтому возник термин ''аномальный магнитный момент''. Использование квантовой электродинамики при помощи теории возмущения по константе <math>\textstyle \alpha</math> позволяет уточнить теоретические расчёты. При этом согласие теории и эксперимента происходит на уровне относительной ошибки <math>\textstyle 10^{-12}</math>. И в этом, в конечном счёте, заслуга релятивистской теории, лежащей в основе квантовой электродинамики! Аналогично, благодаря теории относительности, успешно развиваются астрофизика и космология. Эффекты теории относительности учитываются в системах спутникового позиционирования, и т.д., и т.п.
+
:<center><math>\gamma^2-(v\gamma)^2 = \ch^2\alpha - \sh^2\alpha = 1.</math></center>
  
Всё это, конечно, не означает, что теория относительности является истиной в последней инстанции. Наоборот, крайне интересно обнаружить пределы её применимости, за которыми, возможно, скрывается новая, ещё более интересная физика. Однако в доступной пока экспериментальной области теория относительности отлично работает, и не существует другой теории, которая так же успешно могла бы объяснить ''всё множество'' накопленных к настоящему моменту экспериментальных данных. Рассмотрим несколько экспериментов, сыгравших важную историческую роль при возникновении и становлении теории относительности.
+
Учитывая, что <math>\textstyle \imath \sh(\alpha)= \sin(\imath \alpha)</math>, <math>\textstyle \ch(\alpha)=\cos(\imath\,\alpha)</math>, при помощи мнимой единицы <math>\textstyle \imath</math>, преобразованиям Лоренца можно придать вид, формально совпадающий с поворотом в обычном пространстве:
  
<math>\textstyle \bullet</math> Одним из самых знаменитых опытов, проводимых на заре создания теории относительности, был эксперимент Альберта Абрахама Майкельсона (1881 г). В то время господствовала теория эфира и стояла задача определения скорости Земли относительно системы, в которой эфир покоился. В опыте Майкельсона луч света при помощи полупрозрачного зеркала <math>\textstyle M</math> разделяется на два луча. Они проходят одинаковые пути в двух перпендикулярных направлениях, отражаясь от зеркал, возвращаются обратно, после чего снова складываются. Приведём расчёт этого опыта с точки зрения системы, связанной с "эфиром".
+
:<center><math>\left\{ \begin{array}{lcllcl} x'&=& \,x \cos(\imath\alpha) + \imath t\sin(\imath\alpha)\\ \imath t'&=& \imath t\cos(\imath\alpha) - x\sin(\imath\alpha).\\ \end{array} \right.</math></center>
  
<center>[[File:majkelson.png]]</center>
+
Если считать декартовыми координатами <math>\textstyle (x, \imath t)</math>, то эти преобразования являются поворотами координатных осей на ''мнимый'' угол <math>\textstyle \phi=\imath\alpha</math>. При этом неизменным остаётся квадрат расстояния от начала координат:
  
Пусть скорость света равна <math>\textstyle c</math>, а установка (''интерферометр Майкельсона'') летит через эфир со скоростью <math>\textstyle v</math> в горизонтальном направлении. По теореме Пифагора луч света в "вертикальном" направлении ("туда-обратно") движется в течение времени <math>\textstyle t_y</math> (вторая картинка выше):
+
:<center><math>(x)^2+(\imath t)^2 = x^2 - t^2,</math></center>
  
:<center><math>(ct)^2 = L^2_y + (vt)^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;t_y=2t = \frac{2L_y/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.</math></center>
+
который с точностью до знака совпадает с интервалом между двумя событиями в точке <math>\textstyle (0,0)</math> и <math>\textstyle (x,t)</math> (стр. \pageref{bk_h_ds_inv}). Пространство с подобными необычными свойствами называют ''псевдоевклидовым пространством''.
  
При движении в горизонтальном направлении луч света по ходу движения Земли проходит больший путь (зеркало от него "убегает"), а против хода &mdash; меньший:
+
<math>\textstyle \bullet</math> Общий подход к понятию "пространство" состоит в рассмотрении абстрактного множества точек. Для их "нумерации" можно использовать наборы <math>\textstyle n</math> чисел <math>\textstyle x_1,...,x_n</math>, называемых ''координатами''. Число <math>\textstyle n</math> называется ''размерностью пространства''. Пока рассматривается абстрактная совокупность точек, не существует понятия близости двух точек. Наличие координат само по себе такой меры близости не даёт, так как нумерация точек может быть достаточно произвольной. Поэтому первый шаг по превращению множества точек в пространство совершается, когда задают ''расстояние'' между двумя бесконечно близкими точками. В 3-мерном евклидовом пространстве такое расстояние имеет вид: \parbox{7cm}{ <center>
  
:<center><math>\begin{array}{l} ct_1 = L_x + v t_1,\\ ct_2=L_x-vt_2 \end{array} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t_x = t_1+t_2= \frac{2L_x/c}{1-v^2/c^2}.</math></center>
+
<center>[[File:parallep.png]]</center>
  
Земля движется, по крайней мере, вокруг Солнца со скоростью <math>\textstyle v=30\;км/с</math>. Поэтому отношение <math>\textstyle v/c \sim 10^{-4}</math> мало, и знаменатели в выражениях для <math>\textstyle t_x</math> и <math>\textstyle t_y</math> можно разложить в ряд. Так как <math>\textstyle \sqrt{1-x}\approx 1-x/2</math>, а <math>\textstyle 1/(1-x)\approx 1+x</math>, для разности времён <math>\textstyle \Delta t = t_x - t_y</math> имеем:
+
} \parbox{5cm}{
  
:<center><math>\Delta t \approx \frac{2L_x}{c}\Bigl(1+\frac{v^2}{c^2}\Bigr) - \frac{2L_y}{c}\Bigl(1+\frac{v^2}{2c^2}\Bigr)= \frac{2(L_x-L_y)}{c} + \frac{2L_x-L_y}{c}\,\frac{v^2}{c^2}.</math></center>
+
:<center><math>dl^2 = dx^2_1+dx^2_2+dx^2_3.</math></center>
  
"Горизонтальная" часть максимума световой волны приходит к наблюдателю на <math>\textstyle \Delta t</math> позже, чем "вертикальная" часть. При их сложении возникает определённая интерференционная картина.
+
} </center> Оно имеет привычную геометрическую интерпретацию в виде теоремы Пифагора, связывающей диагональ параллелепипеда, построенного на смещениях по каждой координате <math>\textstyle dx_1</math>, <math>\textstyle dx_2</math>, <math>\textstyle dx_3</math>. Если расстояние равно нулю <math>\textstyle dl^2=0</math>, то это означает, что точки совпадают. Использование бесконечно близких точек для определения расстояния удобно при переходе к пространствам, обладающим кривизной. Перед квадратами дифференциалов координат в евклидовом расстоянии стоят знаки плюс. Говорят, что оно имеет ''сигнатуру'' <math>\textstyle (+,+,+)</math>.
  
Если установку медленно вращать, так, чтобы вертикальное и горизонтальное плечо менялись местами, должно происходить изменение интерференционной картины, которое позволяет вычислить скорость <math>\textstyle v</math>. Однако эксперимент привёл к отрицательным результатам, т.е. скорость <math>\textstyle v</math> в пределах экспериментальных ошибок оказалась равной нулю.
+
Если расстояние задано другим способом, то может получится иное пространство, со свойствами отличающимися от евклидового. Рассмотрим 4-мерное пространство, точки которого будем называть ''событиями'' и нумеровать координатами <math>\textstyle t,x,y,z</math>. Обозначим бесконечно малое расстояние в этом пространстве как <math>\textstyle ds</math> и ''определим'' его следующим образом:
  
С точки зрения теории относительности эксперимент объясняется следующим образом. Как мы увидим в следующей главе, длина горизонтального (в направлении движения) плеча интерферометра сокращается в <math>\textstyle \sqrt{1-v^2/c^2}</math> раз, тогда как перпендикулярное плечо не изменяет свою длину. Если заменить <math>\textstyle L_x\mapsto L_x\sqrt{1-v^2/c^2}</math>, то зависимость времён прохождения плеч интерферометра станет одинаково зависеть от скорости и вращение не изменит интерференционной картины. В системе же отсчёта, связанной с интерферометром, скорость света по каждому пути одинакова, так как эфира в теории относительности нет.
+
:<center><math>ds^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = dt^2-d\mathbf{r}^2.</math></center>
  
Сжатие тел в направлении движения ввёл как гипотезу Фиджеральд, чтобы объяснить отрицательный результат опыта Майкельсона. В теории Лоренца это сжатие возникало в результате электромагнитного взаимодействия заряженных частиц вещества и эфира. В теории же относительности подобное свойство является кинематическим эффектом, который отражает очень общие свойства пространства и времени.
+
Оно имеет сигнатуру <math>\textstyle (+,-,-,-)</math>. За исключением этого оно похоже на евклидово расстояние в декартовых координатах, поэтому его называют ''псевдо''евклидовым. Близость двух точек в таком пространстве оказывается достаточно своеобразной. Например, нулевое расстояние <math>\textstyle ds=0</math> не означает, что точки совпадают (см. стр. \pageref{bk_h_ds_inv}). Кроме этого, не смотря на формальное наличие квадрата, <math>\textstyle ds^2</math> может быть и отрицательным.
  
Описанный выше опыт в дальнейшем повторялся Майкельсоном и Морли (1887 г.), Морли и Миллером (1902-1904 г) и неизменно приводил к отрицательному результату. Правда, ещё позже (1928 г.) Миллер объявил о существовании "эфирного ветра". Однако его скорость <math>\textstyle v=10\;м/c</math> ''не зависела'' от скорости движения Земли и была направлена перпендикулярно к плоскости орбиты. Анализ его установки выявил наличие систематических ошибок, а повторения этого опыта на более точной аппаратуре Кенеди, Иоосом и другими эффекта не выявили.
+
В старых книгах по теории относительности активно использовалась мнимая единица для придания псевдоевклидовому расстоянию вид евклидового: <math>\textstyle -ds^2=(\imath t)^2+(d\mathbf{r})^2</math>. Такое "заметание под ковёр" псевдоевклидовости не является разумным и сейчас редко используется.
  
Отрицательные результаты опыта Майкельсона-Морли можно было бы объяснить при помощи корпускулярной (баллистической) модели света, в которой скорость "световых корпускул" складывается со скоростью установки и имеет относительно неё постоянное значение. Однако эта модель противоречит наблюдению двойных звезд (аргумент Виллема де-Ситтера, 1913г.). При классическом сложении скоростей вращающиеся вокруг общего центра звезды, приближаясь, испускают "корпускулы" света со скоростью <math>\textstyle c+v</math>, а удаляясь &mdash; со скоростью <math>\textstyle c-v</math>. На больших расстояниях более позднее, но быстрое "изображение" может обогнать более раннее, но медленное. В результате видимое поведение двойных звезд было бы очень странным, однако этого не наблюдается.
+
<math>\textstyle \bullet</math> Координатные оси и другие геометрические объекты 2-мерного евклидового пространства легко изображать на плоскости так как она является физическим воплощением такого пространства. С псевдоевклидовым пространством даже в двух измерениях <math>\textstyle (t,x)</math> не всё так просто. Тем не менее нарисуем две перпендикулярные оси. По вертикальной будем откладывать время события <math>\textstyle t</math>, а по горизонтальной его координату <math>\textstyle x</math>. Равномерное и прямолинейное движение <math>\textstyle x=vt</math> со скоростью <math>\textstyle v</math> будем изображать в виде прямой (первый рисунок):
  
<math>\textstyle \bullet</math> Первым наблюдением релятивистского закона сложения скоростей стал опыт Армана Ипполита Луи Физо в 1851 г. На рисунке ниже представлена схема опыта. Луч света от источника <math>\textstyle S</math> при помощи полупрозрачного зеркала <math>\textstyle M</math> разделяется на два луча. Один из них проходит путь <math>\textstyle AB</math> по течению воды, а второй &mdash; путь <math>\textstyle CD</math> против течения. Вода, имея скорость <math>\textstyle v</math> около 7 м/с, бежит по стеклянной трубке.
+
<center>[[File:psevdoevclid.png]]</center>
  
<center>[[File:fizo.png]]</center>
+
Медиана (средняя линия) между координатными осями соответствует распространению светового сигнала. Все остальные траектории, выходящие из <math>\textstyle x=0</math>, <math>\textstyle t=0</math> оказываются сильнее прижатыми к координатной оси <math>\textstyle t</math> по сравнению с медианой, так как физические скорости <math>\textstyle v<1</math>.
  
Скорость света в неподвижной воде меньше, чем в вакууме <math>\textstyle u'=c/n</math>, где <math>\textstyle n>1</math> &mdash; показатель преломления. Происходит это в результате многократного переизлучения света атомами вещества. Скорость света относительно лабораторной системы отсчёта определяется релятивистским законом сложения скоростей, увеличиваясь по течению и уменьшаясь против течения. В первом порядке по <math>\textstyle v</math> она равна:
+
Координата и время некоторого события (точка на втором рисунке) определяются аналогично евклидовым декартовым координатам, при помощи координатной сетки. Она проводится в виде линий (пунктиры), параллельных каждой координатной оси. Это означает что ось <math>\textstyle x</math> имеет уравнение <math>\textstyle t=0</math>, а ось <math>\textstyle t</math>, соответственно, <math>\textstyle x=0</math>. Сетка формируется при помощи горизонтальных <math>\textstyle t=const</math> и вертикальных <math>\textstyle x=const</math> прямых.
  
:<center><math>u=\frac{u'\pm v}{1\pm u'v/c^2} \approx \bigl(u'\pm v\bigr)\bigl(1\mp \frac{u'v}{c^2}\bigr)\approx u' \pm \bigl(1-\frac{u'^2}{c^2}\bigr) v = \frac{c}{n} \pm \bigl(1-\frac{1}{n^2}\bigr)\,v,</math></center>
+
Изобразим на этой же плоскости оси (<math>\textstyle t',x'</math>) системы отсчёта <math>\textstyle S'</math>, движущейся относительно <math>\textstyle S</math> со скоростью <math>\textstyle v</math>. Если в момент <math>\textstyle t'=t=0</math> начала систем отсчёта совпадали <math>\textstyle x'=x=0</math>, то траектория часов, расположенных в начале координат <math>\textstyle (x'=0)</math> системы <math>\textstyle S'</math>, имеет вид прямой <math>\textstyle x=vt</math>. Она является координатной осью <math>\textstyle t'</math>. Аналогично, линия <math>\textstyle t'=\gamma (t-vx)=0</math> соответствует координатной оси <math>\textstyle x'</math> и имеет уравнение <math>\textstyle t=vx</math>. Она наклонена к оси <math>\textstyle x</math> на такой же угол, как ось <math>\textstyle t'</math> к <math>\textstyle t</math> (третий рисунок).
  
где приближённое равенство получено после разложения знаменателя [<math>\textstyle 1/(1+x)\approx 1-x</math>], так как скорость воды <math>\textstyle v/c\approx 2 \cdot 10^{-8}</math> очень небольшая. Именно такая зависимость скорости света от <math>\textstyle n</math> и <math>\textstyle v</math> наблюдалась на эксперименте. Измерялась, естественно, не сама скорость. Любой максимум световой волны делится в <math>\textstyle M</math> на два. Далее они движутся с различными скоростями. Пройдя одинаковый путь, один из максимумов чуть отстаёт от другого, что и наблюдается на интерференционной картине после сложения лучей полупрозрачным зеркалом <math>\textstyle M'</math>.
+
Таким образом, пространственная <math>\textstyle x'</math> и временная <math>\textstyle t'</math> оси системы <math>\textstyle S'</math>, ''изображённые на плоскости'' <math>\textstyle (t,x)</math> системы <math>\textstyle S</math> будут выглядеть сплюснутыми вокруг медианы <math>\textstyle t=x</math> (траектория светового сигнала). Эта же траектория будет медианой и в системе <math>\textstyle S'</math>. Координатная сетка системы <math>\textstyle S'</math> также сплюснута. Временные линии координатной сетки, параллельные оси <math>\textstyle x'</math> имеют уравнения <math>\textstyle t'=const</math> или <math>\textstyle t=vx+t'/\gamma</math>. Аналогично для пространственных линий сетки <math>\textstyle x'=const</math>.
  
Сам Физо и другие учёные долго считали, что этот опыт свидетельствует о ''частичном'' увлечении светового эфира водой, и при выполнении классического правила сложения скоростей скорость света <math>\textstyle c/n</math> увеличивается не на <math>\textstyle v</math>, а на <math>\textstyle (1-1/n^2)v</math>. Подобные свойства эфира, конечно, объясняют опыт Физо. Однако тут же встаёт новый вопрос: как объяснить само свойство такого частичного увлечения эфира водой? Заметим, что теория Френеля, а затем электронная теория Лоренца достаточно далеко продвинулись в ответе на этот вопрос. Это вообще стандартная ситуация с "объяснением" тех или иных экспериментов ''без'' теории относительности. В каждом случае можно придумать ту или иную теорию, однако она рано или поздно начинает противоречить другим экспериментам и постоянно требует новых "заплаток" для своего сохранения.
+
Важно помнить, что событие (''точка'' в пространстве-времени) существует само по себе и не зависит от выбора системы координат (точнее системы отсчёта). Его же ''описание'' (координаты) будут разными в разных системах. Точно также при повороте евклидовой плоскости координаты <math>\textstyle (x,y)</math> меняются, но точка пространства остаётся неизменной.
  
<math>\textstyle \bullet</math> С именем Физо связано также первое лабораторное измерение скорости света (1849 г.). Он использовал быстро вращающееся колесо с зубцами. Луч света проходил сквозь промежуток между зубцами, отражался от зеркала и возвращался обратно. Если за время движения колесо успевало повернуться на пол зубца, свет в приёмник не попадал.  
+
Наличие координатной сетки различных систем отсчёта позволяет легко получать координаты события. Например, два события одновременные в системе <math>\textstyle S</math> должны находится на горизонтальной прямой <math>\textstyle t=const</math>. События одновременные в <math>\textstyle S'</math> находятся на прямых <math>\textstyle t'=const</math> которые наклонены к прямым <math>\textstyle t=const</math>. Это является геометрической иллюстрацией относительности одновременности.
  
<center>[[File:fizo2.png]]</center>
+
Чтобы ввести на плоскости <math>\textstyle (t,x)</math> геометрию, зададим расстояние между двумя точками <math>\textstyle s^2=(t_2-t_1)^2-(x_2-x_1)^2</math>, равное интервалу между событиями. Для "евклидовой интуиции" это очень необычное расстояние. Нарисуем, например, евклидову и псевдоевклидову единичные окружности, как множество точек равноудалённых от центра (ниже начало координат):
  
В опыте Физо расстояние до зеркала составляло 8.633 км. Колесо имело 720 зубцов. Исчезновение света произошло на скорости 12.6 об/c. Увеличение скорости вращения в 2 раза снова привело к появлению света, и т.д. В результате скорость света составила
+
<center>[[File:circles.png]]</center>
  
:<center><math>2\cdot 8.633\;км\,\cdot 720\cdot 2\cdot 12.6/ c \approx 313000\;км/c.</math></center>
+
В псевдоевклидовом пространстве единичная окружность <math>\textstyle s=1</math> &mdash; это гипербола <math>\textstyle t^2-x^2=1</math>. На большом расстоянии от начала координат гипербола стремится к траекториям светового сигнала <math>\textstyle t=\pm x</math>, испущенного из точки <math>\textstyle t=x=0</math>.
  
В современных установках подобного типа используется не механический "прерыватель" света, а электрический &mdash; так называемая ''ячейка Керра''. Некоторые жидкости при приложении к ним электрического поля превращают плоско поляризованную электромагнитную волну, которая через них проходит, в эллиптически поляризованную. Если же поля нет, поляризация не изменяется. Пусть на пути света до входа в жидкость и на выходе находятся поляризаторы с перпендикулярными осями. Если внешнее поле отключено, такая система оказывается непрозрачной, так как первый поляризатор отрезает все волны за исключением, например, вертикально поляризованных. Второй, соответственно, пропускает только горизонтально поляризованные волны. Когда поле включается, плоско поляризованная волна превращается в эллиптически поляризованную, и второй поляризатор её пропускает. Ячейка Керра становится прозрачной. Такой прерыватель света, в отличие от механического колеса, может иметь очень высокую частоту, до <math>\textstyle 10^{9}\div 10^{12}</math> переключений в секунду.
+
Также как обычная окружность на евклидовой плоскости определяет тригонометрические функции синуса и косинуса, так и окружность в псевдоевклидовом пространстве ("псевдоокружность") определяет гиперболические синус <math>\textstyle \sh\alpha</math> и косинус <math>\textstyle \ch\alpha</math>, как проекции точки псевдоокружности на ось <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle t</math>. При этом проектируемая на оси гипотенуза прямоугольного треугольника имеет ''меньшую'' длину <math>\textstyle \sqrt{t^2-x^2}</math>, чем катет <math>\textstyle t</math>! Вместо евклидовой теоремы Пифагора <math>\textstyle a^2+b^2=c^2</math> мы имеем псевдоевклидову теорему <math>\textstyle a^2-b^2=c^2</math>.
  
Если относительная ошибка в опыте Физо составила 5\%, то спустя 100 лет при помощи ячейки Керра ошибка измерений уменьшилась на 5 порядков. В абсолютных величинах ошибка составляет менее 1 км/c. Использование современных стандартов частоты уменьшает ошибку измерения света ещё на три порядка, до 1 м/c. Так как Земля в течение суток меняет свою ориентацию, фактически эти измерения являются ещё одним способом измерения "скорости эфирного ветра", которую поэтому можно считать меньшей 1 м/c.
+
Вообще, изображение на ''евклидовой'' плоскости псевдоевклидового пространства выглядит несколько неуклюже, и наилучшей физической моделью псевдоевклидового пространства является не лист бумаги, а само пространство-время.
 +
 
 +
<math>\textstyle \bullet</math> До сих пор мы рассматривали 2-мерное псевдоевклидово пространство. В реальности оно 4-мерно, однако на листе бумаги можно изобразить не более трёх измерений <math>\textstyle (t,x,y)</math>. В этом случае световые сигналы <math>\textstyle t^2=x^2+y^2</math> являются ''световым конусом'', а псевдоокружность становится ''псевдосферой'' или в терминах евклидового пространства &mdash; гиперболоидом (первый рисунок):
 +
 
 +
<center>[[File:psevdo2.png]]</center>
 +
 
 +
Если в евклидовом пространстве квадрат расстояния всегда положителен, то в псевдоевклидовом он может быть и отрицательным. Поэтому существует две единичные сферы <math>\textstyle t^2-x^2-y^2=1</math> и <math>\textstyle t^2-x^2-y^2=-1</math>. Псевдосфера мнимого радиуса <math>\textstyle s^2=-1</math> является односвязной и также асимптотически стремится к световому конусу (второй рисунок).
 +
 
 +
Так как любая частица имеет скорость меньше скорости света, события, ''причинно связанные'' с событием в точке <math>\textstyle t=x=y=0</math> находятся внутри светового конуса. Причинность означает, что существует возможное влияние одного события на второе при помощи движения между ними некоторого агента со скоростью, меньшей, чем фундаментальная.
 +
 
 +
Траектория <math>\textstyle x(t)</math> частицы, пролетевшей в момент времени <math>\textstyle t=0</math> точку <math>\textstyle x=y=0</math> всё время находится внутри светового конуса. При этом касательная к этой траектории всегда находится внутри локальных конусов, построенных к произвольной точке траектории (третий рисунок).
 +
 
 +
В силу свойств псевдоевклидового расстояния, длина элемента траектории <math>\textstyle d\tau=\sqrt{dt^2-dx^2-dy^2}=dt\sqrt{1-\mathbf{u}^2}<dt</math> будет меньше, чем длина траектории частицы, остававшейся неподвижной в точке <math>\textstyle x=y=0</math> (ось <math>\textstyle t</math>). Хотя на евклидовой плоскости это расстояние и выглядит длиннее. Поэтому переносить привычную евклидову интуицию на псевдоевклидовые пространственно-временные диаграммы необходимо очень осторожно.
 +
 
 +
Верхнюю внутреннюю часть конуса называют множеством ''абсолютно будущих'' событий относительно <math>\textstyle t=x=y=0</math>, а нижнюю &mdash; множеством ''абсолютно прошлых'' событий. Пространство вне конуса называется множеством ''абсолютно удалённых'' событий.
 +
 
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим геометрические интерпретации некоторых кинематических эффектов. Несмотря на некоторые сложности в восприятии псевдоевклидовой плоскости подобный геометрический анализ теории относительности обладает определённой наглядностью.
 +
 
 +
<center>[[File:psevdo1.png]]</center>
 +
 
 +
Пусть наблюдается два "тика" часов, неподвижных в системе <math>\textstyle S'</math> в точке <math>\textstyle x'=0</math>. Первое событие <math>\textstyle A</math> происходит в начале координат <math>\textstyle t'=x'=0</math>, а второе <math>\textstyle B</math> расположено на оси <math>\textstyle t'</math> (выше первый рисунок). Если второй "тик" происходит в момент времени <math>\textstyle t'=1</math>, то это же событие имеет координату <math>\textstyle t=t'\ch\alpha</math> (гиперболическая проекция) Так как <math>\textstyle \ch\alpha = 1/\sqrt{1-\th^2\alpha} = 1/{\sqrt{1-v^2}}</math> мы приходим к релятивистскому замедлению времени. То, что <math>\textstyle t'<t</math> можно увидеть, проведя псевдосферу, отсекающую на осях <math>\textstyle t'</math> и <math>\textstyle t</math> одинаковые единицы времени (отрезки единичной длины). На рисунке видно, что 1 на оси <math>\textstyle t</math> лежит на рисунке ниже, чем проекция события <math>\textstyle t'=1,\;x'=0</math> (точка <math>\textstyle B</math> на рисунке).
 +
 
 +
Аналогично анализируется сокращение длины (выше второй рисунок). Предположим, что стержень единичной длины неподвижен в системе <math>\textstyle S'</math> (отрезок <math>\textstyle OB</math>). Его левый конец находится в начале координат и имеет траекторию, совпадающую с осью <math>\textstyle t'</math>. Траектория правого конца стержня ей параллельна. Измерение длины стрежня производится в системе <math>\textstyle S</math> путём одновременной фиксации его начала и конца. Одновременные события <math>\textstyle A</math> и <math>\textstyle B</math> имеют одинаковое время в системе <math>\textstyle S</math>, но различное в <math>\textstyle S'</math>. Проекция точек <math>\textstyle A</math> и <math>\textstyle B</math> на ось <math>\textstyle x</math> будет равна длине стержня в системе <math>\textstyle S</math>. Видно, что эта проекция короче, чем единица длины, отсекаемая псевдокружностью (в данном случае, имеющей длину -1).
 +
 
 +
На третьем рисунке иллюстрируется эффект Доплера. Источник света, находящийся в начале координат испускает световые сигналы. Первый в момент времени <math>\textstyle t'=t=0</math>, а второй, спустя время <math>\textstyle t'=1</math>. В начало отсчёта <math>\textstyle x=0</math> системы <math>\textstyle S</math> он попадёт, когда траектория света (тонкая линия <math>\textstyle BB_2</math>) пересечёт ось <math>\textstyle t</math>. Это время оказывается больше как единицы длины на оси <math>\textstyle t=1</math>, отсекаемой единичной псевдосферой, так и проекции события <math>\textstyle B</math> испускания сигнала (пунктир).

Версия 19:57, 30 марта 2011

Перейдём теперь к геометрическим аспектам теории относительности. Рассмотрим поворот координатных осей на угол . Координаты одной и той же точки в исходной и повёрнутой декартовых системах связаны следующим образом: \parbox{6cm}{

Rotate 2D.png

} \parbox{9cm}{

(EQN)
}

Эти преобразования получаются из элементарных геометрических соображений. Заштрихованные на рисунке углы двух подобных прямоугольных треугольников равны . Поэтому вертикальная линия, опущенная из точки и имеющая длину , состоит из двух отрезков: гипотенузы верхнего треугольника и катета Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\tg»): {\displaystyle \textstyle x\tg\phi} нижнего. Их сумма даёт второе уравнение преобразования. Аналогично (проекция точки на ось ) состоит из катета Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\tg»): {\displaystyle \textstyle y'\tg\phi} и гипотенузы , откуда получается первое уравнение. Поворот осей оставляет неизменным расстояние, например от начала координат .

Преобразования Лоренца имеют похожий линейный вид:

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\ch»): {\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcllcl} x'&=& x\, \gamma-t \,v\gamma &=& x\ch\alpha - t\,\sh\alpha\\ t'&=& t \,\gamma-x \,v\gamma &=& \,\,t\,\ch\alpha - x\sh\alpha,\\ \end{array} \right.}

где введены гиперболические косинус Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\ch»): {\displaystyle \textstyle \ch\alpha = \gamma=1/\sqrt{1-v^2}} и синус Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\sh»): {\displaystyle \textstyle \sh\alpha = v\gamma} , так, что Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\th»): {\displaystyle \textstyle v=\th \alpha} . В силу их свойств (стр. \pageref{m_hyperbol}):

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\ch»): {\displaystyle \gamma^2-(v\gamma)^2 = \ch^2\alpha - \sh^2\alpha = 1.}

Учитывая, что Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\sh»): {\displaystyle \textstyle \imath \sh(\alpha)= \sin(\imath \alpha)} , Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\ch»): {\displaystyle \textstyle \ch(\alpha)=\cos(\imath\,\alpha)} , при помощи мнимой единицы , преобразованиям Лоренца можно придать вид, формально совпадающий с поворотом в обычном пространстве:

Если считать декартовыми координатами , то эти преобразования являются поворотами координатных осей на мнимый угол . При этом неизменным остаётся квадрат расстояния от начала координат:

который с точностью до знака совпадает с интервалом между двумя событиями в точке и (стр. \pageref{bk_h_ds_inv}). Пространство с подобными необычными свойствами называют псевдоевклидовым пространством.

Общий подход к понятию "пространство" состоит в рассмотрении абстрактного множества точек. Для их "нумерации" можно использовать наборы чисел , называемых координатами. Число называется размерностью пространства. Пока рассматривается абстрактная совокупность точек, не существует понятия близости двух точек. Наличие координат само по себе такой меры близости не даёт, так как нумерация точек может быть достаточно произвольной. Поэтому первый шаг по превращению множества точек в пространство совершается, когда задают расстояние между двумя бесконечно близкими точками. В 3-мерном евклидовом пространстве такое расстояние имеет вид: \parbox{7cm}{

Parallep.png

} \parbox{5cm}{

}

Оно имеет привычную геометрическую интерпретацию в виде теоремы Пифагора, связывающей диагональ параллелепипеда, построенного на смещениях по каждой координате , , . Если расстояние равно нулю , то это означает, что точки совпадают. Использование бесконечно близких точек для определения расстояния удобно при переходе к пространствам, обладающим кривизной. Перед квадратами дифференциалов координат в евклидовом расстоянии стоят знаки плюс. Говорят, что оно имеет сигнатуру .

Если расстояние задано другим способом, то может получится иное пространство, со свойствами отличающимися от евклидового. Рассмотрим 4-мерное пространство, точки которого будем называть событиями и нумеровать координатами . Обозначим бесконечно малое расстояние в этом пространстве как и определим его следующим образом:

Оно имеет сигнатуру . За исключением этого оно похоже на евклидово расстояние в декартовых координатах, поэтому его называют псевдоевклидовым. Близость двух точек в таком пространстве оказывается достаточно своеобразной. Например, нулевое расстояние не означает, что точки совпадают (см. стр. \pageref{bk_h_ds_inv}). Кроме этого, не смотря на формальное наличие квадрата, может быть и отрицательным.

В старых книгах по теории относительности активно использовалась мнимая единица для придания псевдоевклидовому расстоянию вид евклидового: . Такое "заметание под ковёр" псевдоевклидовости не является разумным и сейчас редко используется.

Координатные оси и другие геометрические объекты 2-мерного евклидового пространства легко изображать на плоскости так как она является физическим воплощением такого пространства. С псевдоевклидовым пространством даже в двух измерениях не всё так просто. Тем не менее нарисуем две перпендикулярные оси. По вертикальной будем откладывать время события , а по горизонтальной его координату . Равномерное и прямолинейное движение со скоростью будем изображать в виде прямой (первый рисунок):

Psevdoevclid.png

Медиана (средняя линия) между координатными осями соответствует распространению светового сигнала. Все остальные траектории, выходящие из , оказываются сильнее прижатыми к координатной оси по сравнению с медианой, так как физические скорости .

Координата и время некоторого события (точка на втором рисунке) определяются аналогично евклидовым декартовым координатам, при помощи координатной сетки. Она проводится в виде линий (пунктиры), параллельных каждой координатной оси. Это означает что ось имеет уравнение , а ось , соответственно, . Сетка формируется при помощи горизонтальных и вертикальных прямых.

Изобразим на этой же плоскости оси () системы отсчёта , движущейся относительно со скоростью . Если в момент начала систем отсчёта совпадали , то траектория часов, расположенных в начале координат системы , имеет вид прямой . Она является координатной осью . Аналогично, линия соответствует координатной оси и имеет уравнение . Она наклонена к оси на такой же угол, как ось к (третий рисунок).

Таким образом, пространственная и временная оси системы , изображённые на плоскости системы будут выглядеть сплюснутыми вокруг медианы (траектория светового сигнала). Эта же траектория будет медианой и в системе . Координатная сетка системы также сплюснута. Временные линии координатной сетки, параллельные оси имеют уравнения или . Аналогично для пространственных линий сетки .

Важно помнить, что событие (точка в пространстве-времени) существует само по себе и не зависит от выбора системы координат (точнее системы отсчёта). Его же описание (координаты) будут разными в разных системах. Точно также при повороте евклидовой плоскости координаты меняются, но точка пространства остаётся неизменной.

Наличие координатной сетки различных систем отсчёта позволяет легко получать координаты события. Например, два события одновременные в системе должны находится на горизонтальной прямой . События одновременные в находятся на прямых которые наклонены к прямым . Это является геометрической иллюстрацией относительности одновременности.

Чтобы ввести на плоскости геометрию, зададим расстояние между двумя точками , равное интервалу между событиями. Для "евклидовой интуиции" это очень необычное расстояние. Нарисуем, например, евклидову и псевдоевклидову единичные окружности, как множество точек равноудалённых от центра (ниже начало координат):

Circles.png

В псевдоевклидовом пространстве единичная окружность — это гипербола . На большом расстоянии от начала координат гипербола стремится к траекториям светового сигнала , испущенного из точки .

Также как обычная окружность на евклидовой плоскости определяет тригонометрические функции синуса и косинуса, так и окружность в псевдоевклидовом пространстве ("псевдоокружность") определяет гиперболические синус Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\sh»): {\displaystyle \textstyle \sh\alpha} и косинус Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\ch»): {\displaystyle \textstyle \ch\alpha} , как проекции точки псевдоокружности на ось и . При этом проектируемая на оси гипотенуза прямоугольного треугольника имеет меньшую длину , чем катет ! Вместо евклидовой теоремы Пифагора мы имеем псевдоевклидову теорему .

Вообще, изображение на евклидовой плоскости псевдоевклидового пространства выглядит несколько неуклюже, и наилучшей физической моделью псевдоевклидового пространства является не лист бумаги, а само пространство-время.

До сих пор мы рассматривали 2-мерное псевдоевклидово пространство. В реальности оно 4-мерно, однако на листе бумаги можно изобразить не более трёх измерений . В этом случае световые сигналы являются световым конусом, а псевдоокружность становится псевдосферой или в терминах евклидового пространства — гиперболоидом (первый рисунок):

Psevdo2.png

Если в евклидовом пространстве квадрат расстояния всегда положителен, то в псевдоевклидовом он может быть и отрицательным. Поэтому существует две единичные сферы и . Псевдосфера мнимого радиуса является односвязной и также асимптотически стремится к световому конусу (второй рисунок).

Так как любая частица имеет скорость меньше скорости света, события, причинно связанные с событием в точке находятся внутри светового конуса. Причинность означает, что существует возможное влияние одного события на второе при помощи движения между ними некоторого агента со скоростью, меньшей, чем фундаментальная.

Траектория частицы, пролетевшей в момент времени точку всё время находится внутри светового конуса. При этом касательная к этой траектории всегда находится внутри локальных конусов, построенных к произвольной точке траектории (третий рисунок).

В силу свойств псевдоевклидового расстояния, длина элемента траектории будет меньше, чем длина траектории частицы, остававшейся неподвижной в точке (ось ). Хотя на евклидовой плоскости это расстояние и выглядит длиннее. Поэтому переносить привычную евклидову интуицию на псевдоевклидовые пространственно-временные диаграммы необходимо очень осторожно.

Верхнюю внутреннюю часть конуса называют множеством абсолютно будущих событий относительно , а нижнюю — множеством абсолютно прошлых событий. Пространство вне конуса называется множеством абсолютно удалённых событий.

Рассмотрим геометрические интерпретации некоторых кинематических эффектов. Несмотря на некоторые сложности в восприятии псевдоевклидовой плоскости подобный геометрический анализ теории относительности обладает определённой наглядностью.

Psevdo1.png

Пусть наблюдается два "тика" часов, неподвижных в системе в точке . Первое событие происходит в начале координат , а второе расположено на оси (выше первый рисунок). Если второй "тик" происходит в момент времени , то это же событие имеет координату Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\ch»): {\displaystyle \textstyle t=t'\ch\alpha} (гиперболическая проекция) Так как Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\ch»): {\displaystyle \textstyle \ch\alpha = 1/\sqrt{1-\th^2\alpha} = 1/{\sqrt{1-v^2}}} мы приходим к релятивистскому замедлению времени. То, что можно увидеть, проведя псевдосферу, отсекающую на осях и одинаковые единицы времени (отрезки единичной длины). На рисунке видно, что 1 на оси лежит на рисунке ниже, чем проекция события (точка на рисунке).

Аналогично анализируется сокращение длины (выше второй рисунок). Предположим, что стержень единичной длины неподвижен в системе (отрезок ). Его левый конец находится в начале координат и имеет траекторию, совпадающую с осью . Траектория правого конца стержня ей параллельна. Измерение длины стрежня производится в системе путём одновременной фиксации его начала и конца. Одновременные события и имеют одинаковое время в системе , но различное в . Проекция точек и на ось будет равна длине стержня в системе . Видно, что эта проекция короче, чем единица длины, отсекаемая псевдокружностью (в данном случае, имеющей длину -1).

На третьем рисунке иллюстрируется эффект Доплера. Источник света, находящийся в начале координат испускает световые сигналы. Первый в момент времени , а второй, спустя время . В начало отсчёта системы он попадёт, когда траектория света (тонкая линия ) пересечёт ось . Это время оказывается больше как единицы длины на оси , отсекаемой единичной псевдосферой, так и проекции события испускания сигнала (пунктир).