http://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A5%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F&feed=atom&action=history
Характеристическая функция - История изменений
2024-03-28T12:35:18Z
История изменений этой страницы в вики
MediaWiki 1.31.15
http://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A5%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F&diff=741&oldid=prev
WikiSysop в 15:04, 17 февраля 2010
2010-02-17T15:04:36Z
<p></p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="ru">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← Предыдущая</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Версия 15:04, 17 февраля 2010</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l15" >Строка 15:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 15:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Характеристическую функцию можно записать как среднее от экспоненты: <math>\textstyle \Phi(k) = \left\langle e^{\imath kx}\right\rangle </math>. Очевидно, что <math>\textstyle \Phi(0)=1</math>. Коэффициенты разложения <math>\textstyle \Phi(k)</math> в ряд по <math>\textstyle k</math> являются средними степеней величины <math>\textstyle x</math>:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Характеристическую функцию можно записать как среднее от экспоненты: <math>\textstyle \Phi(k) = \left\langle e^{\imath kx}\right\rangle </math>. Очевидно, что <math>\textstyle \Phi(0)=1</math>. Коэффициенты разложения <math>\textstyle \Phi(k)</math> в ряд по <math>\textstyle k</math> являются средними степеней величины <math>\textstyle x</math>:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:<</del>center<del class="diffchange diffchange-inline">></del><math> \Phi(k)  = \left\langle e^{\imath kx}\right\rangle  = \sum^\infty_{n=0} \frac{\imath^n \left\langle x^n\right\rangle }{n!} \, k^n = 1 + \imath\left\langle x\right\rangle \cdot k - \frac{1}{2}\,\left\langle x^2\right\rangle \cdot k^2 + ... </math></<del class="diffchange diffchange-inline">center</del>></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">{| width="100%"  </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline"> | width="90%" align="</ins>center<ins class="diffchange diffchange-inline">"|</ins><math> \Phi(k)  = \left\langle e^{\imath kx}\right\rangle  = \sum^\infty_{n=0} \frac{\imath^n \left\langle x^n\right\rangle }{n!} \, k^n = 1 + \imath\left\langle x\right\rangle \cdot k - \frac{1}{2}\,\left\langle x^2\right\rangle \cdot k^2 + ... </math></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline"> |  <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1.28)'''</ins></<ins class="diffchange diffchange-inline">div</ins>></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">|}</ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Иногда мы будем рассматривать действительный вариант характеристической функции с: <math>\textstyle k\to k /\imath</math> и называть её ''производящей функцией'': <math>\textstyle \Phi(k/\imath)=\phi(k)=\left\langle e^{kx}\right\rangle </math>.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Иногда мы будем рассматривать действительный вариант характеристической функции с: <math>\textstyle k\to k /\imath</math> и называть её ''производящей функцией'': <math>\textstyle \Phi(k/\imath)=\phi(k)=\left\langle e^{kx}\right\rangle </math>.</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l25" >Строка 25:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 28:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Следовательно, при линейном преобразовании появляется дополнительная фаза, и происходит масштабирование переменной <math>\textstyle k</math> в <math>\textstyle \Phi</math>:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Следовательно, при линейном преобразовании появляется дополнительная фаза, и происходит масштабирование переменной <math>\textstyle k</math> в <math>\textstyle \Phi</math>:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:<</del>center<del class="diffchange diffchange-inline">></del><math> y=a+b\, x\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\Phi_y(k) = e^{\imath k a} \,\Phi_x\bigl(b \, k\bigr). </math></<del class="diffchange diffchange-inline">center</del>></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">{| width="100%"  </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline"> | width="90%" align="</ins>center<ins class="diffchange diffchange-inline">"|</ins><math> y=a+b\, x\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\Phi_y(k) = e^{\imath k a} \,\Phi_x\bigl(b \, k\bigr). </math></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline"> |  <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1.29)'''</ins></<ins class="diffchange diffchange-inline">div</ins>></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">|}</ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Если <math>\textstyle b=0</math>, то <math>\textstyle \Phi_y(k)=e^{\imath k a}</math>, что, учитывая интегральное представление для дельта-функции Дирака , приводит к плотности вероятности <math>\textstyle P(y)=\delta(y-a)</math>. Это уже не случайная величина, а детерминированная константа  <math>\textstyle y=a</math>.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Если <math>\textstyle b=0</math>, то <math>\textstyle \Phi_y(k)=e^{\imath k a}</math>, что, учитывая интегральное представление для дельта-функции Дирака , приводит к плотности вероятности <math>\textstyle P(y)=\delta(y-a)</math>. Это уже не случайная величина, а детерминированная константа  <math>\textstyle y=a</math>.</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l65" >Строка 65:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 71:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>В общем случае распределение <math>\textstyle P(x)</math> называют ''устойчивым'', если для любого <math>\textstyle n</math> существуют такие константы <math>\textstyle a_n</math> и <math>\textstyle b_n</math>, что</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>В общем случае распределение <math>\textstyle P(x)</math> называют ''устойчивым'', если для любого <math>\textstyle n</math> существуют такие константы <math>\textstyle a_n</math> и <math>\textstyle b_n</math>, что</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:<</del>center<del class="diffchange diffchange-inline">></del><math> x_1+...+x_n = a_n + b_n \,x, </math></<del class="diffchange diffchange-inline">center</del>></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">{| width="100%"  </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline"> | width="90%" align="</ins>center<ins class="diffchange diffchange-inline">"|</ins><math> x_1+...+x_n = a_n + b_n \,x, </math></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline"> |  <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1.31)'''</ins></<ins class="diffchange diffchange-inline">div</ins>></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">|}</ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>где <math>\textstyle x_1,...,x_n</math> и <math>\textstyle x</math> имеют одинаковое распределение <math>\textstyle P(x)</math>. Если <math>\textstyle a_n=0</math>, то такое распределение называется ''строго устойчивым''. Таковым является распределение Гаусса с константой <math>\textstyle b_n=\sqrt{n}</math>.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>где <math>\textstyle x_1,...,x_n</math> и <math>\textstyle x</math> имеют одинаковое распределение <math>\textstyle P(x)</math>. Если <math>\textstyle a_n=0</math>, то такое распределение называется ''строго устойчивым''. Таковым является распределение Гаусса с константой <math>\textstyle b_n=\sqrt{n}</math>.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Заметим, что условие <del class="diffchange diffchange-inline"> </del>сильнее огранивает класс допустимых распределений, чем просто требование бесконечной делимости. Дело в том, что в определении () слева и справа стоят случайные величины, имеющие распределения с ''одинаковыми параметрами'', тогда как для делимости это необязательно.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Заметим, что условие <ins class="diffchange diffchange-inline">(1.31) </ins>сильнее огранивает класс допустимых распределений, чем просто требование бесконечной делимости. Дело в том, что в определении (<ins class="diffchange diffchange-inline">1.31</ins>) слева и справа стоят случайные величины, имеющие распределения с ''одинаковыми параметрами'', тогда как для делимости это необязательно.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Аналогично  линейному масштабированию (), для характеристической функции устойчивого распределения справедливо следующее функциональное уравнение:</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Аналогично  линейному масштабированию (<ins class="diffchange diffchange-inline">1.29</ins>), для характеристической функции устойчивого распределения справедливо следующее функциональное уравнение:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math> \Phi^n(k) = e^{ika_n}\Phi(b_n k). </math></center></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math> \Phi^n(k) = e^{ika_n}\Phi(b_n k). </math></center></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Несложно проверить, что распределения Гаусса и Коши удовлетворяют этому уравнению. В то же время гамма-распределение, являющееся бесконечно делимым, не является устойчивым. Общие функции, удовлетворяющие (), называются ''распределениями Леви-Хинчина'':</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Несложно проверить, что распределения Гаусса и Коши удовлетворяют этому уравнению. В то же время гамма-распределение, являющееся бесконечно делимым, не является устойчивым. Общие функции, удовлетворяющие (<ins class="diffchange diffchange-inline">1.32</ins>), называются ''распределениями Леви-Хинчина'':</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math>\Phi(k) = e^{\imath k \beta - \gamma[1 + \imath \theta \mathrm{sign}(k) \mathrm{tg}(\pi\alpha/2)]\cdot |k|^\alpha},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi(k) = e^{\imath k \beta - \gamma |k| - \imath \gamma \theta \, k \ln |k|},</math></center></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math>\Phi(k) = e^{\imath k \beta - \gamma[1 + \imath \theta \mathrm{sign}(k) \mathrm{tg}(\pi\alpha/2)]\cdot |k|^\alpha},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi(k) = e^{\imath k \beta - \gamma |k| - \imath \gamma \theta \, k \ln |k|},</math></center></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l93" >Строка 93:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 102:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math>\Phi_u(k) \;=\; \left[\Phi\left(\frac{k}{\sqrt{n}}\right)\right]^n \;=\; \left[1-\frac{\sigma^2}{2}\, \frac{k^2}{n} + ..\right]^n,</math></center></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math>\Phi_u(k) \;=\; \left[\Phi\left(\frac{k}{\sqrt{n}}\right)\right]^n \;=\; \left[1-\frac{\sigma^2}{2}\, \frac{k^2}{n} + ..\right]^n,</math></center></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>где мы воспользовались уравнением () и разложили <math>\textstyle \Phi(k/\sqrt{n})</math> в ряд до второго порядка малости. Член, пропорциональный <math>\textstyle k</math>, равен нулю, так как <math>\textstyle \left\langle x\right\rangle =0</math>. По определению, число Эйлера является пределом <math>\textstyle e^x=(1+x/n)^n</math>, при <math>\textstyle n\to\infty</math>. Поэтому характеристическая функция и распределение для <math>\textstyle u</math> стремятся к гауссовому виду:</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>где мы воспользовались уравнением (<ins class="diffchange diffchange-inline">1.29</ins>) и разложили <math>\textstyle \Phi(k/\sqrt{n})</math> в ряд до второго порядка малости. Член, пропорциональный <math>\textstyle k</math>, равен нулю, так как <math>\textstyle \left\langle x\right\rangle =0</math>. По определению, число Эйлера является пределом <math>\textstyle e^x=(1+x/n)^n</math>, при <math>\textstyle n\to\infty</math>. Поэтому характеристическая функция и распределение для <math>\textstyle u</math> стремятся к гауссовому виду:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:<</del>center<del class="diffchange diffchange-inline">></del><math> \Phi_u(k) \to e^{-\sigma^2 k^2/2}. </math></<del class="diffchange diffchange-inline">center</del>></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">{| width="100%"  </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline"> | width="90%" align="</ins>center<ins class="diffchange diffchange-inline">"|</ins><math> \Phi_u(k) \to e^{-\sigma^2 k^2/2}. </math></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline"> |  <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1.33)'''</ins></<ins class="diffchange diffchange-inline">div</ins>></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">|}</ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>В качестве упражнения (<math>\textstyle \lessdot</math> H) стоит найти асимметрию и эксцесс при больших <math>\textstyle n</math> для характеристической функции <math>\textstyle \Phi_z(k)=\Phi^{n}(k)</math>.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>В качестве упражнения (<math>\textstyle \lessdot</math> H) стоит найти асимметрию и эксцесс при больших <math>\textstyle n</math> для характеристической функции <math>\textstyle \Phi_z(k)=\Phi^{n}(k)</math>.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Результат () является исключительно важным и <del class="diffchange diffchange-inline">называется ''предельной теоремой''</del>: <blockquote>''"распределение суммы большого числа независимых случайных величин стремится к нормальному распределению".'' </blockquote></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Результат (<ins class="diffchange diffchange-inline">1.33</ins>) является исключительно важным и <ins class="diffchange diffchange-inline">формулируется следующим образом</ins>: <blockquote>''"распределение суммы большого числа независимых случайных величин стремится к нормальному распределению".'' </blockquote></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Например, если некоторая физическая величина подвержена внешним независимым случайным воздействиям, то чаще всего разброс её значений подчиняется распределению Гаусса. На финансовых рынках цена акции также подвержена случайным воздействиям со стороны колебаний спроса и предложения. Однако её распределение не является гауссовым. Связано это в основном с двумя причинами: 1) скоррелированностью действий участников рынка (за счёт синхронизирующего информационного фона) и 2) медленной переоценкой ими риска (волатильности) этой бумаги. Мы вернёмся к обсуждению этих вопросов в главе 8.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Например, если некоторая физическая величина подвержена внешним независимым случайным воздействиям, то чаще всего разброс её значений подчиняется распределению Гаусса. На финансовых рынках цена акции также подвержена случайным воздействиям со стороны колебаний спроса и предложения. Однако её распределение не является гауссовым. Связано это в основном с двумя причинами: 1) скоррелированностью действий участников рынка (за счёт синхронизирующего информационного фона) и 2) медленной переоценкой ими риска (волатильности) этой бумаги. Мы вернёмся к обсуждению этих вопросов в главе 8.</div></td></tr>
</table>
WikiSysop
http://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A5%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F&diff=586&oldid=prev
WikiSysop: Защищена страница «Характеристическая функция» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))
2010-02-11T14:02:47Z
<p>Защищена страница «<a href="/wiki/%D0%A5%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Характеристическая функция">Характеристическая функция</a>» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))</p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<tr class="diff-title" lang="ru">
<td colspan="1" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← Предыдущая</td>
<td colspan="1" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Версия 14:02, 11 февраля 2010</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-notice" lang="ru"><div class="mw-diff-empty">(нет различий)</div>
</td></tr></table>
WikiSysop
http://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A5%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F&diff=292&oldid=prev
WikiSysop в 15:25, 27 января 2010
2010-01-27T15:25:05Z
<p></p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="ru">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← Предыдущая</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Версия 15:25, 27 января 2010</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l55" >Строка 55:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 55:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math>z=x_1+...+x_n\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi_z(k) = \Phi_1(k)\cdot..\cdot \Phi_n(k).</math></center></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math>z=x_1+...+x_n\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi_z(k) = \Phi_1(k)\cdot..\cdot \Phi_n(k).</math></center></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Если распределения каждого <math>\textstyle x_i</math> одинаковые, то <math>\textstyle \Phi_z(k)=\Phi^n(k)</math>. Теперь можно показать что Гаусс, Коши и гамма &mdash; бесконечно делимы <del class="diffchange diffchange-inline">(<math>\textstyle \lessdot</math> H)</del>.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Если распределения каждого <math>\textstyle x_i</math> одинаковые, то <math>\textstyle \Phi_z(k)=\Phi^n(k)</math>. Теперь можно показать что Гаусс, Коши и гамма &mdash; бесконечно делимы.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> При изучении случайных процессов мы будем активно использовать факт бесконечной делимости нормального распределения. В частности, если <math>\textstyle \varepsilon_1</math><del class="diffchange diffchange-inline">,\</del>,...<del class="diffchange diffchange-inline">,\</del>,<math>\textstyle \varepsilon_n</math> &mdash; независимые гауссовы величины с нулевым средним и единичной дисперсией <math>\textstyle \varepsilon_i\sim N(0,1)</math>, то их сумма также гауссова:</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> При изучении случайных процессов мы будем активно использовать факт бесконечной делимости нормального распределения. В частности, если <math>\textstyle \varepsilon_1</math>,...,<math>\textstyle \varepsilon_n</math> &mdash; независимые гауссовы величины с нулевым средним и единичной дисперсией <math>\textstyle \varepsilon_i\sim N(0,1)</math>, то их сумма также гауссова:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math> \varepsilon_1+...+\varepsilon_n = \varepsilon\, \sqrt{n}. </math></center></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math> \varepsilon_1+...+\varepsilon_n = \varepsilon\, \sqrt{n}. </math></center></div></td></tr>
</table>
WikiSysop
http://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A5%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F&diff=213&oldid=prev
WikiSysop в 14:24, 21 января 2010
2010-01-21T14:24:06Z
<p></p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="ru">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← Предыдущая</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Версия 14:24, 21 января 2010</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l5" >Строка 5:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 5:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>|}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>|}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>----</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>----</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> ''Характеристическая функция'' <math>\textstyle \Phi(k)</math> является фурье-образом <del class="diffchange diffchange-inline">(стр. \pageref{math_cont_fourie}) </del>плотности вероятности случайной величины <math>\textstyle x</math>:</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> ''Характеристическая функция'' <math>\textstyle \Phi(k)</math> является фурье-образом <ins class="diffchange diffchange-inline"> </ins>плотности вероятности случайной величины <math>\textstyle x</math>:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math>\Phi(k) = \int\limits^{\infty}_{-\infty} e^{\imath kx} \;P(x) \;dx,\;\;\;\;\;\;\;\;\;P(x) = \frac{1}{2\pi}\int\limits^{\infty}_{-\infty} e^{-\imath kx} \;\Phi(k) \;dk.</math></center></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math>\Phi(k) = \int\limits^{\infty}_{-\infty} e^{\imath kx} \;P(x) \;dx,\;\;\;\;\;\;\;\;\;P(x) = \frac{1}{2\pi}\int\limits^{\infty}_{-\infty} e^{-\imath kx} \;\Phi(k) \;dk.</math></center></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l27" >Строка 27:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 27:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math> y=a+b\, x\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\Phi_y(k) = e^{\imath k a} \,\Phi_x\bigl(b \, k\bigr). </math></center></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math> y=a+b\, x\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\Phi_y(k) = e^{\imath k a} \,\Phi_x\bigl(b \, k\bigr). </math></center></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Если <math>\textstyle b=0</math>, то <math>\textstyle \Phi_y(k)=e^{\imath k a}</math>, что, учитывая интегральное представление для дельта-функции Дирака <del class="diffchange diffchange-inline">(стр. \pageref{math_delta_dirac})</del>, приводит к плотности вероятности <math>\textstyle P(y)=\delta(y-a)</math>. Это уже не случайная величина, а детерминированная константа  <math>\textstyle y=a</math>.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Если <math>\textstyle b=0</math>, то <math>\textstyle \Phi_y(k)=e^{\imath k a}</math>, что, учитывая интегральное представление для дельта-функции Дирака , приводит к плотности вероятности <math>\textstyle P(y)=\delta(y-a)</math>. Это уже не случайная величина, а детерминированная константа  <math>\textstyle y=a</math>.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> Приведём примеры характеристических функций для некоторых важных распределений вероятностей:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> Приведём примеры характеристических функций для некоторых важных распределений вероятностей:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><center><math>\;\;\;<del class="diffchange diffchange-inline">Гаусс:</del>\;\;\;\;\;\;\;\;\;P(x)=\frac{e^{-(x-x_0)^2/2\sigma^2}}{\sigma\sqrt{2\pi}}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi(k) = e^{\imath x_0 k - \sigma^2 k^2 /2}.</math></center></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><center><ins class="diffchange diffchange-inline">Гаусс:</ins><math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;P(x)=\frac{e^{-(x-x_0)^2/2\sigma^2}}{\sigma\sqrt{2\pi}}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi(k) = e^{\imath x_0 k - \sigma^2 k^2 /2}.</math></center></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><center><math><del class="diffchange diffchange-inline">Коши:</del>\;\;\;\;\;\;\;\;P(x)=\frac{a/\pi}{(x-x_0)^2+a^2}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi(k) = e^{\imath x_0 k - a |k|}.</math></center></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><center><ins class="diffchange diffchange-inline">Коши:</ins><math>\;\;\;\;\;\;\;\;P(x)=\frac{a/\pi}{(x-x_0)^2+a^2}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi(k) = e^{\imath x_0 k - a |k|}.</math></center></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><center><math>\;\;\;\;<del class="diffchange diffchange-inline">Гамма:</del>\;\;\;\;\;\;\;P(x) = \frac{1}{\gamma\Gamma(\mu)}\; \left(\frac{x}{\gamma}\right)^{\mu - 1} \;e^{-x/\gamma}, \;\;\;\;\Phi(k) = \frac{1}{(1 - \imath \gamma k)^\mu}.</math></center></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><center><ins class="diffchange diffchange-inline">Гамма:</ins><math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;P(x) = \frac{1}{\gamma\Gamma(\mu)}\; \left(\frac{x}{\gamma}\right)^{\mu - 1} \;e^{-x/\gamma}, \;\;\;\;\Phi(k) = \frac{1}{(1 - \imath \gamma k)^\mu}.</math></center></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Для нахождения <math>\textstyle \Phi(k)</math> распределения Гаусса необходимо выделить полный квадрат в экспоненте. Функция <math>\textstyle \Phi(k)</math> Коши проще проверяется в обратном направлении при вычислении по ней <math>\textstyle P(x)</math>. В третьем случае по формуле <del class="diffchange diffchange-inline">(), стр. \pageref{integral_gamma}, для </del>''гамма-функции'' проводится прямое интегрирование. Заметим, что характеристическая функция Коши <math>\textstyle \Phi(k)</math> не аналитична по <math>\textstyle k</math> и распределение не имеет конечных моментов <math>\textstyle \left\langle x^m\right\rangle </math> при <math>\textstyle m>1</math>.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Для нахождения <math>\textstyle \Phi(k)</math> распределения Гаусса необходимо выделить полный квадрат в экспоненте. Функция <math>\textstyle \Phi(k)</math> Коши проще проверяется в обратном направлении при вычислении по ней <math>\textstyle P(x)</math>. В третьем случае по формуле <ins class="diffchange diffchange-inline"> </ins>''гамма-функции'' проводится прямое интегрирование. Заметим, что характеристическая функция Коши <math>\textstyle \Phi(k)</math> не аналитична по <math>\textstyle k</math> и распределение не имеет конечных моментов <math>\textstyle \left\langle x^m\right\rangle </math> при <math>\textstyle m>1</math>.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим два ''независимых'' случайных числа <math>\textstyle x</math>, <math>\textstyle y</math> с ''произвольными'' распределениями <math>\textstyle P_1(x)</math>, <math>\textstyle P_2(y)</math> и их сумму <math>\textstyle z=x+y</math>. Найдем  плотность вероятности <math>\textstyle P(z)</math> для случайной величины <math>\textstyle z</math>. Для этого вычислим среднее от произвольной функции (пределы от <math>\textstyle -\infty</math> до <math>\textstyle \infty</math>):</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим два ''независимых'' случайных числа <math>\textstyle x</math>, <math>\textstyle y</math> с ''произвольными'' распределениями <math>\textstyle P_1(x)</math>, <math>\textstyle P_2(y)</math> и их сумму <math>\textstyle z=x+y</math>. Найдем  плотность вероятности <math>\textstyle P(z)</math> для случайной величины <math>\textstyle z</math>. Для этого вычислим среднее от произвольной функции (пределы от <math>\textstyle -\infty</math> до <math>\textstyle \infty</math>):</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l61" >Строка 61:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 61:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math> \varepsilon_1+...+\varepsilon_n = \varepsilon\, \sqrt{n}. </math></center></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math> \varepsilon_1+...+\varepsilon_n = \varepsilon\, \sqrt{n}. </math></center></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Множитель <math>\textstyle \sqrt{n}</math> выделен для того, чтобы <math>\textstyle \varepsilon\sim N(0,1)</math> <del class="diffchange diffchange-inline">[ (), стр. \pageref{disper_eq_sum_disper} ]</del>. В результате <math>\textstyle \varepsilon_i</math> и <math>\textstyle \varepsilon</math> имеют ''одинаковое распределение'' с одинаковыми параметрами (среднее, моменты, и т.д.). Характеристическая функция для величины <math>\textstyle \varepsilon</math> удовлетворяет уравнению <math>\textstyle \Phi(k)^n=\Phi(\sqrt{n}\, k)</math> и равна <math>\textstyle \Phi(k)=e^{-k^2/2}</math>.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Множитель <math>\textstyle \sqrt{n}</math> выделен для того, чтобы <math>\textstyle \varepsilon\sim N(0,1)</math>. В результате <math>\textstyle \varepsilon_i</math> и <math>\textstyle \varepsilon</math> имеют ''одинаковое распределение'' с одинаковыми параметрами (среднее, моменты, и т.д.). Характеристическая функция для величины <math>\textstyle \varepsilon</math> удовлетворяет уравнению <math>\textstyle \Phi(k)^n=\Phi(\sqrt{n}\, k)</math> и равна <math>\textstyle \Phi(k)=e^{-k^2/2}</math>.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>В общем случае распределение <math>\textstyle P(x)</math> называют ''устойчивым'', если для любого <math>\textstyle n</math> существуют такие константы <math>\textstyle a_n</math> и <math>\textstyle b_n</math>, что</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>В общем случае распределение <math>\textstyle P(x)</math> называют ''устойчивым'', если для любого <math>\textstyle n</math> существуют такие константы <math>\textstyle a_n</math> и <math>\textstyle b_n</math>, что</div></td></tr>
</table>
WikiSysop
http://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A5%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F&diff=212&oldid=prev
WikiSysop в 14:21, 21 января 2010
2010-01-21T14:21:28Z
<p></p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="ru">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← Предыдущая</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Версия 14:21, 21 января 2010</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l31" >Строка 31:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 31:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> Приведём примеры характеристических функций для некоторых важных распределений вероятностей:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> Приведём примеры характеристических функций для некоторых важных распределений вероятностей:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:</del><center><math>\;\;\;Гаусс:\;\;\;\;\;\;\;\;\;P(x)=\frac{e^{-(x-x_0)^2/2\sigma^2}}{\sigma\sqrt{2\pi}}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi(k) = e^{\imath x_0 k - \sigma^2 k^2 /2}.</math></center></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><center><math>\;\;\;Гаусс:\;\;\;\;\;\;\;\;\;P(x)=\frac{e^{-(x-x_0)^2/2\sigma^2}}{\sigma\sqrt{2\pi}}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi(k) = e^{\imath x_0 k - \sigma^2 k^2 /2}.</math></center></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:</del><center><math>Коши:\;\;\;\;\;\;\;\;P(x)=\frac{a/\pi}{(x-x_0)^2+a^2}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi(k) = e^{\imath x_0 k - a |k|}.</math></center></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><center><math>Коши:\;\;\;\;\;\;\;\;P(x)=\frac{a/\pi}{(x-x_0)^2+a^2}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi(k) = e^{\imath x_0 k - a |k|}.</math></center></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:</del><center><math>\;\;\;\;Гамма:\;\;\;\;\;\;\;P(x) = \frac{1}{\gamma\Gamma(\mu)}\; \left(\frac{x}{\gamma}\right)^{\mu - 1} \;e^{-x/\gamma}, \;\;\;\;\Phi(k) = \frac{1}{(1 - \imath \gamma k)^\mu}.</math></center></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><center><math>\;\;\;\;Гамма:\;\;\;\;\;\;\;P(x) = \frac{1}{\gamma\Gamma(\mu)}\; \left(\frac{x}{\gamma}\right)^{\mu - 1} \;e^{-x/\gamma}, \;\;\;\;\Phi(k) = \frac{1}{(1 - \imath \gamma k)^\mu}.</math></center></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Для нахождения <math>\textstyle \Phi(k)</math> распределения Гаусса необходимо выделить полный квадрат в экспоненте. Функция <math>\textstyle \Phi(k)</math> Коши проще проверяется в обратном направлении при вычислении по ней <math>\textstyle P(x)</math>. В третьем случае по формуле (), стр. \pageref{integral_gamma}, для ''гамма-функции'' проводится прямое интегрирование. Заметим, что характеристическая функция Коши <math>\textstyle \Phi(k)</math> не аналитична по <math>\textstyle k</math> и распределение не имеет конечных моментов <math>\textstyle \left\langle x^m\right\rangle </math> при <math>\textstyle m>1</math>.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Для нахождения <math>\textstyle \Phi(k)</math> распределения Гаусса необходимо выделить полный квадрат в экспоненте. Функция <math>\textstyle \Phi(k)</math> Коши проще проверяется в обратном направлении при вычислении по ней <math>\textstyle P(x)</math>. В третьем случае по формуле (), стр. \pageref{integral_gamma}, для ''гамма-функции'' проводится прямое интегрирование. Заметим, что характеристическая функция Коши <math>\textstyle \Phi(k)</math> не аналитична по <math>\textstyle k</math> и распределение не имеет конечных моментов <math>\textstyle \left\langle x^m\right\rangle </math> при <math>\textstyle m>1</math>.</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l77" >Строка 77:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 77:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Несложно проверить, что распределения Гаусса и Коши удовлетворяют этому уравнению. В то же время гамма-распределение, являющееся бесконечно делимым, не является устойчивым. Общие функции, удовлетворяющие (), называются ''распределениями Леви-Хинчина'':</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Несложно проверить, что распределения Гаусса и Коши удовлетворяют этому уравнению. В то же время гамма-распределение, являющееся бесконечно делимым, не является устойчивым. Общие функции, удовлетворяющие (), называются ''распределениями Леви-Хинчина'':</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math>\Phi(k) = e^{\imath k \beta - \gamma[1 + \imath \theta \mathrm{sign}(k) \tg(\pi\alpha/2)]\cdot |k|^\alpha},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi(k) = e^{\imath k \beta - \gamma |k| - \imath \gamma \theta \, k \ln |k|},</math></center></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math>\Phi(k) = e^{\imath k \beta - \gamma[1 + \imath \theta \mathrm{sign}(k) \<ins class="diffchange diffchange-inline">mathrm{</ins>tg<ins class="diffchange diffchange-inline">}</ins>(\pi\alpha/2)]\cdot |k|^\alpha},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi(k) = e^{\imath k \beta - \gamma |k| - \imath \gamma \theta \, k \ln |k|},</math></center></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>где <math>\textstyle \mathrm{sign}(k)=k/|k|</math> &mdash; знак <math>\textstyle k</math>, параметр <math>\textstyle 0<\alpha\leqslant 2</math>. Кроме этого, <math>\textstyle |\theta|\leqslant 1</math>, <math>\textstyle \gamma\geqslant 0</math>. Первое распределение является четырехпараметрическим, а второе &mdash; трёхпараметрическим, и оказывается пределом первого при <math>\textstyle \alpha\to 1</math>. Эти распределения при соответствующем задании значений параметров могут описывать случайные числа с "толстыми хвостами" (большие эксцессы), что активно используется при моделировании доходностей финансовых инструментов.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>где <math>\textstyle \mathrm{sign}(k)=k/|k|</math> &mdash; знак <math>\textstyle k</math>, параметр <math>\textstyle 0<\alpha\leqslant 2</math>. Кроме этого, <math>\textstyle |\theta|\leqslant 1</math>, <math>\textstyle \gamma\geqslant 0</math>. Первое распределение является четырехпараметрическим, а второе &mdash; трёхпараметрическим, и оказывается пределом первого при <math>\textstyle \alpha\to 1</math>. Эти распределения при соответствующем задании значений параметров могут описывать случайные числа с "толстыми хвостами" (большие эксцессы), что активно используется при моделировании доходностей финансовых инструментов.</div></td></tr>
</table>
WikiSysop
http://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A5%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F&diff=211&oldid=prev
WikiSysop в 14:20, 21 января 2010
2010-01-21T14:20:13Z
<p></p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="ru">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← Предыдущая</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Версия 14:20, 21 января 2010</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l77" >Строка 77:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 77:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Несложно проверить, что распределения Гаусса и Коши удовлетворяют этому уравнению. В то же время гамма-распределение, являющееся бесконечно делимым, не является устойчивым. Общие функции, удовлетворяющие (), называются ''распределениями Леви-Хинчина'':</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Несложно проверить, что распределения Гаусса и Коши удовлетворяют этому уравнению. В то же время гамма-распределение, являющееся бесконечно делимым, не является устойчивым. Общие функции, удовлетворяющие (), называются ''распределениями Леви-Хинчина'':</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math>\Phi(k) = e^{\imath k \beta - \gamma[1 + \imath \theta \sign(k) \tg(\pi\alpha/2)]\cdot |k|^\alpha},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi(k) = e^{\imath k \beta - \gamma |k| - \imath \gamma \theta \, k \ln |k|},</math></center></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math>\Phi(k) = e^{\imath k \beta - \gamma[1 + \imath \theta \<ins class="diffchange diffchange-inline">mathrm{</ins>sign<ins class="diffchange diffchange-inline">}</ins>(k) \tg(\pi\alpha/2)]\cdot |k|^\alpha},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi(k) = e^{\imath k \beta - \gamma |k| - \imath \gamma \theta \, k \ln |k|},</math></center></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>где <math>\textstyle \sign(k)=k/|k|</math> &mdash; знак <math>\textstyle k</math>, параметр <math>\textstyle 0<\alpha\leqslant 2</math>. Кроме этого, <math>\textstyle |\theta|\leqslant 1</math>, <math>\textstyle \gamma\geqslant 0</math>. Первое распределение является четырехпараметрическим, а второе &mdash; трёхпараметрическим, и оказывается пределом первого при <math>\textstyle \alpha\to 1</math>. Эти распределения при соответствующем задании значений параметров могут описывать случайные числа с "толстыми хвостами" (большие эксцессы), что активно используется при моделировании доходностей финансовых инструментов.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>где <math>\textstyle \<ins class="diffchange diffchange-inline">mathrm{</ins>sign<ins class="diffchange diffchange-inline">}</ins>(k)=k/|k|</math> &mdash; знак <math>\textstyle k</math>, параметр <math>\textstyle 0<\alpha\leqslant 2</math>. Кроме этого, <math>\textstyle |\theta|\leqslant 1</math>, <math>\textstyle \gamma\geqslant 0</math>. Первое распределение является четырехпараметрическим, а второе &mdash; трёхпараметрическим, и оказывается пределом первого при <math>\textstyle \alpha\to 1</math>. Эти распределения при соответствующем задании значений параметров могут описывать случайные числа с "толстыми хвостами" (большие эксцессы), что активно используется при моделировании доходностей финансовых инструментов.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим <math>\textstyle n</math> независимых случайных величин <math>\textstyle x_1,...,x_n</math> имеющих произвольные, но одинаковые распределения, и изучим свойства суммы:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим <math>\textstyle n</math> независимых случайных величин <math>\textstyle x_1,...,x_n</math> имеющих произвольные, но одинаковые распределения, и изучим свойства суммы:</div></td></tr>
</table>
WikiSysop
http://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A5%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F&diff=210&oldid=prev
WikiSysop в 14:19, 21 января 2010
2010-01-21T14:19:11Z
<p></p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="ru">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← Предыдущая</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Версия 14:19, 21 января 2010</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l1" >Строка 1:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 1:</td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">{| width="100%"  </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">| width="40%"|[[Стохастическая зависимость]] << </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"> ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"> | width="40%" align="right"| >> [[Многомерное распределение Гаусса]]</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">|}</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">----</ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> ''Характеристическая функция'' <math>\textstyle \Phi(k)</math> является фурье-образом (стр. \pageref{math_cont_fourie}) плотности вероятности случайной величины <math>\textstyle x</math>:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> ''Характеристическая функция'' <math>\textstyle \Phi(k)</math> является фурье-образом (стр. \pageref{math_cont_fourie}) плотности вероятности случайной величины <math>\textstyle x</math>:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l63" >Строка 63:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 69:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>где <math>\textstyle x_1,...,x_n</math> и <math>\textstyle x</math> имеют одинаковое распределение <math>\textstyle P(x)</math>. Если <math>\textstyle a_n=0</math>, то такое распределение называется ''строго устойчивым''. Таковым является распределение Гаусса с константой <math>\textstyle b_n=\sqrt{n}</math>.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>где <math>\textstyle x_1,...,x_n</math> и <math>\textstyle x</math> имеют одинаковое распределение <math>\textstyle P(x)</math>. Если <math>\textstyle a_n=0</math>, то такое распределение называется ''строго устойчивым''. Таковым является распределение Гаусса с константой <math>\textstyle b_n=\sqrt{n}</math>.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Заметим, что условие <del class="diffchange diffchange-inline">(<math>\textstyle </math>) </del>сильнее огранивает класс допустимых распределений, чем просто требование бесконечной делимости. Дело в том, что в определении () слева и справа стоят случайные величины, имеющие распределения с ''одинаковыми параметрами'', тогда как для делимости это необязательно.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Заметим, что условие <ins class="diffchange diffchange-inline"> </ins>сильнее огранивает класс допустимых распределений, чем просто требование бесконечной делимости. Дело в том, что в определении () слева и справа стоят случайные величины, имеющие распределения с ''одинаковыми параметрами'', тогда как для делимости это необязательно.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Аналогично  линейному масштабированию (), для характеристической функции устойчивого распределения справедливо следующее функциональное уравнение:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Аналогично  линейному масштабированию (), для характеристической функции устойчивого распределения справедливо следующее функциональное уравнение:</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l96" >Строка 96:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 102:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Например, если некоторая физическая величина подвержена внешним независимым случайным воздействиям, то чаще всего разброс её значений подчиняется распределению Гаусса. На финансовых рынках цена акции также подвержена случайным воздействиям со стороны колебаний спроса и предложения. Однако её распределение не является гауссовым. Связано это в основном с двумя причинами: 1) скоррелированностью действий участников рынка (за счёт синхронизирующего информационного фона) и 2) медленной переоценкой ими риска (волатильности) этой бумаги. Мы вернёмся к обсуждению этих вопросов в главе 8.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Например, если некоторая физическая величина подвержена внешним независимым случайным воздействиям, то чаще всего разброс её значений подчиняется распределению Гаусса. На финансовых рынках цена акции также подвержена случайным воздействиям со стороны колебаний спроса и предложения. Однако её распределение не является гауссовым. Связано это в основном с двумя причинами: 1) скоррелированностью действий участников рынка (за счёт синхронизирующего информационного фона) и 2) медленной переоценкой ими риска (волатильности) этой бумаги. Мы вернёмся к обсуждению этих вопросов в главе 8.</div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">----</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">{| width="100%"  </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"> | width="40%"|[[Стохастическая зависимость]] << </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"> ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"> | width="40%" align="right"| >> [[Многомерное распределение Гаусса]]</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">|}</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">----</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[Стохастический мир]] - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения</ins></div></td></tr>
</table>
WikiSysop
http://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A5%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F&diff=209&oldid=prev
WikiSysop: Новая страница: «<math>\textstyle \bullet</math> ''Характеристическая функция'' <math>\textstyle \Phi(k)</math> является фурье-образом (…»
2010-01-21T14:16:34Z
<p>Новая страница: «<math>\textstyle \bullet</math> ''Характеристическая функция'' <math>\textstyle \Phi(k)</math> является фурье-образом (…»</p>
<p><b>Новая страница</b></p><div><math>\textstyle \bullet</math> ''Характеристическая функция'' <math>\textstyle \Phi(k)</math> является фурье-образом (стр. \pageref{math_cont_fourie}) плотности вероятности случайной величины <math>\textstyle x</math>:<br />
<br />
:<center><math>\Phi(k) = \int\limits^{\infty}_{-\infty} e^{\imath kx} \;P(x) \;dx,\;\;\;\;\;\;\;\;\;P(x) = \frac{1}{2\pi}\int\limits^{\infty}_{-\infty} e^{-\imath kx} \;\Phi(k) \;dk.</math></center><br />
<br />
С её помощью легко получать средние значения произвольных степеней <math>\textstyle x</math>. Проведя один раз Фурье-интегрирование и найдя характеристическую функцию, можно затем простым дифференцированием определяются значения <math>\textstyle \left\langle x^n\right\rangle </math>:<br />
<br />
:<center><math>\frac{1}{\imath^n} \frac{d^n \Phi(k)}{dk^n}\biggr|_{k=0} = \int\limits^{\infty}_{-\infty} x^n \;P(x) \;dx \;=\; \left\langle x^n\right\rangle .</math></center><br />
<br />
Характеристическую функцию можно записать как среднее от экспоненты: <math>\textstyle \Phi(k) = \left\langle e^{\imath kx}\right\rangle </math>. Очевидно, что <math>\textstyle \Phi(0)=1</math>. Коэффициенты разложения <math>\textstyle \Phi(k)</math> в ряд по <math>\textstyle k</math> являются средними степеней величины <math>\textstyle x</math>:<br />
<br />
:<center><math> \Phi(k) = \left\langle e^{\imath kx}\right\rangle = \sum^\infty_{n=0} \frac{\imath^n \left\langle x^n\right\rangle }{n!} \, k^n = 1 + \imath\left\langle x\right\rangle \cdot k - \frac{1}{2}\,\left\langle x^2\right\rangle \cdot k^2 + ... </math></center><br />
<br />
Иногда мы будем рассматривать действительный вариант характеристической функции с: <math>\textstyle k\to k /\imath</math> и называть её ''производящей функцией'': <math>\textstyle \Phi(k/\imath)=\phi(k)=\left\langle e^{kx}\right\rangle </math>.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Допустим, случайная величина <math>\textstyle y</math> связана с <math>\textstyle x</math> линейной зависимостью <math>\textstyle y=a+b\cdot x</math>. Тогда её характеристическая функция равна:<br />
<br />
:<center><math>\Phi_y\bigl(k\bigr)=\left\langle e^{\imath k y}\right\rangle =\left\langle e^{\imath k (a+b x)}\right\rangle = e^{\imath k a} \left\langle e^{\imath k b x}\right\rangle .</math></center><br />
<br />
Следовательно, при линейном преобразовании появляется дополнительная фаза, и происходит масштабирование переменной <math>\textstyle k</math> в <math>\textstyle \Phi</math>:<br />
<br />
:<center><math> y=a+b\, x\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\Phi_y(k) = e^{\imath k a} \,\Phi_x\bigl(b \, k\bigr). </math></center><br />
<br />
Если <math>\textstyle b=0</math>, то <math>\textstyle \Phi_y(k)=e^{\imath k a}</math>, что, учитывая интегральное представление для дельта-функции Дирака (стр. \pageref{math_delta_dirac}), приводит к плотности вероятности <math>\textstyle P(y)=\delta(y-a)</math>. Это уже не случайная величина, а детерминированная константа <math>\textstyle y=a</math>.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Приведём примеры характеристических функций для некоторых важных распределений вероятностей:<br />
<br />
:<center><math>\;\;\;Гаусс:\;\;\;\;\;\;\;\;\;P(x)=\frac{e^{-(x-x_0)^2/2\sigma^2}}{\sigma\sqrt{2\pi}}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi(k) = e^{\imath x_0 k - \sigma^2 k^2 /2}.</math></center><br />
<br />
:<center><math>Коши:\;\;\;\;\;\;\;\;P(x)=\frac{a/\pi}{(x-x_0)^2+a^2}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi(k) = e^{\imath x_0 k - a |k|}.</math></center><br />
<br />
:<center><math>\;\;\;\;Гамма:\;\;\;\;\;\;\;P(x) = \frac{1}{\gamma\Gamma(\mu)}\; \left(\frac{x}{\gamma}\right)^{\mu - 1} \;e^{-x/\gamma}, \;\;\;\;\Phi(k) = \frac{1}{(1 - \imath \gamma k)^\mu}.</math></center><br />
<br />
Для нахождения <math>\textstyle \Phi(k)</math> распределения Гаусса необходимо выделить полный квадрат в экспоненте. Функция <math>\textstyle \Phi(k)</math> Коши проще проверяется в обратном направлении при вычислении по ней <math>\textstyle P(x)</math>. В третьем случае по формуле (), стр. \pageref{integral_gamma}, для ''гамма-функции'' проводится прямое интегрирование. Заметим, что характеристическая функция Коши <math>\textstyle \Phi(k)</math> не аналитична по <math>\textstyle k</math> и распределение не имеет конечных моментов <math>\textstyle \left\langle x^m\right\rangle </math> при <math>\textstyle m>1</math>.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим два ''независимых'' случайных числа <math>\textstyle x</math>, <math>\textstyle y</math> с ''произвольными'' распределениями <math>\textstyle P_1(x)</math>, <math>\textstyle P_2(y)</math> и их сумму <math>\textstyle z=x+y</math>. Найдем плотность вероятности <math>\textstyle P(z)</math> для случайной величины <math>\textstyle z</math>. Для этого вычислим среднее от произвольной функции (пределы от <math>\textstyle -\infty</math> до <math>\textstyle \infty</math>):<br />
<br />
:<center><math>\left\langle F(z)\right\rangle = \int F(x+y) \;P_1(x)P_2(y) \;dx\,dy = \int F(z) \;\underbrace{P_1(x)P_2(z-x)\;dx}_{P(z)} \,dz,</math></center><br />
<br />
где сделана замена <math>\textstyle y=z-x</math>. Поэтому<br />
<br />
:<center><math>P(z) = \int\limits \;P_1(x)P_2(z-x) \;dx.</math></center><br />
<br />
Характеристическая функция суммы двух независимых величин равна произведению их характеристических функций:<br />
<br />
:<center><math>\Phi_z(k) = \left\langle e^{\imath k(x+y)}\right\rangle = \left\langle e^{\imath kx}\right\rangle \left\langle e^{\imath ky}\right\rangle = \Phi_x(k)\,\Phi_y(k),</math></center><br />
<br />
где мы воспользовались фактом независимости <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math>. Понятно, что и в общем случае <math>\textstyle n</math> независимых случайных величин <math>\textstyle x_i</math> производящая функция их суммы будет равна произведению производящих функций каждого слагаемого:<br />
<br />
:<center><math>z=x_1+...+x_n\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi_z(k) = \Phi_1(k)\cdot..\cdot \Phi_n(k).</math></center><br />
<br />
Если распределения каждого <math>\textstyle x_i</math> одинаковые, то <math>\textstyle \Phi_z(k)=\Phi^n(k)</math>. Теперь можно показать что Гаусс, Коши и гамма &mdash; бесконечно делимы (<math>\textstyle \lessdot</math> H).<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> При изучении случайных процессов мы будем активно использовать факт бесконечной делимости нормального распределения. В частности, если <math>\textstyle \varepsilon_1</math>,\,...,\,<math>\textstyle \varepsilon_n</math> &mdash; независимые гауссовы величины с нулевым средним и единичной дисперсией <math>\textstyle \varepsilon_i\sim N(0,1)</math>, то их сумма также гауссова:<br />
<br />
:<center><math> \varepsilon_1+...+\varepsilon_n = \varepsilon\, \sqrt{n}. </math></center><br />
<br />
Множитель <math>\textstyle \sqrt{n}</math> выделен для того, чтобы <math>\textstyle \varepsilon\sim N(0,1)</math> [ (), стр. \pageref{disper_eq_sum_disper} ]. В результате <math>\textstyle \varepsilon_i</math> и <math>\textstyle \varepsilon</math> имеют ''одинаковое распределение'' с одинаковыми параметрами (среднее, моменты, и т.д.). Характеристическая функция для величины <math>\textstyle \varepsilon</math> удовлетворяет уравнению <math>\textstyle \Phi(k)^n=\Phi(\sqrt{n}\, k)</math> и равна <math>\textstyle \Phi(k)=e^{-k^2/2}</math>.<br />
<br />
В общем случае распределение <math>\textstyle P(x)</math> называют ''устойчивым'', если для любого <math>\textstyle n</math> существуют такие константы <math>\textstyle a_n</math> и <math>\textstyle b_n</math>, что<br />
<br />
:<center><math> x_1+...+x_n = a_n + b_n \,x, </math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle x_1,...,x_n</math> и <math>\textstyle x</math> имеют одинаковое распределение <math>\textstyle P(x)</math>. Если <math>\textstyle a_n=0</math>, то такое распределение называется ''строго устойчивым''. Таковым является распределение Гаусса с константой <math>\textstyle b_n=\sqrt{n}</math>.<br />
<br />
Заметим, что условие (<math>\textstyle </math>) сильнее огранивает класс допустимых распределений, чем просто требование бесконечной делимости. Дело в том, что в определении () слева и справа стоят случайные величины, имеющие распределения с ''одинаковыми параметрами'', тогда как для делимости это необязательно.<br />
<br />
Аналогично линейному масштабированию (), для характеристической функции устойчивого распределения справедливо следующее функциональное уравнение:<br />
<br />
:<center><math> \Phi^n(k) = e^{ika_n}\Phi(b_n k). </math></center><br />
<br />
Несложно проверить, что распределения Гаусса и Коши удовлетворяют этому уравнению. В то же время гамма-распределение, являющееся бесконечно делимым, не является устойчивым. Общие функции, удовлетворяющие (), называются ''распределениями Леви-Хинчина'':<br />
<br />
:<center><math>\Phi(k) = e^{\imath k \beta - \gamma[1 + \imath \theta \sign(k) \tg(\pi\alpha/2)]\cdot |k|^\alpha},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi(k) = e^{\imath k \beta - \gamma |k| - \imath \gamma \theta \, k \ln |k|},</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle \sign(k)=k/|k|</math> &mdash; знак <math>\textstyle k</math>, параметр <math>\textstyle 0<\alpha\leqslant 2</math>. Кроме этого, <math>\textstyle |\theta|\leqslant 1</math>, <math>\textstyle \gamma\geqslant 0</math>. Первое распределение является четырехпараметрическим, а второе &mdash; трёхпараметрическим, и оказывается пределом первого при <math>\textstyle \alpha\to 1</math>. Эти распределения при соответствующем задании значений параметров могут описывать случайные числа с "толстыми хвостами" (большие эксцессы), что активно используется при моделировании доходностей финансовых инструментов.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим <math>\textstyle n</math> независимых случайных величин <math>\textstyle x_1,...,x_n</math> имеющих произвольные, но одинаковые распределения, и изучим свойства суммы:<br />
<br />
:<center><math>u= \frac{x_1+...+x_n}{\sqrt{n}}</math></center><br />
<br />
при <math>\textstyle n\to\infty</math>. Без потери общности можно считать, что <math>\textstyle \left\langle x_i\right\rangle =0</math>, так как сдвигом <math>\textstyle x\to x-\left\langle x\right\rangle </math> всегда можно перейти к таким случайным величинам. В этом случае среднее значение <math>\textstyle u</math> также равно нулю. Среднее его квадрата в силу независимости <math>\textstyle x_i</math> равно среднему квадрата <math>\textstyle x</math>:<br />
<br />
:<center><math>\left\langle u^2\right\rangle = \frac{\left\langle x^2_1\right\rangle +...+\left\langle x^2_n\right\rangle }{n} = \left\langle x^2\right\rangle =\sigma^2.</math></center><br />
<br />
Для одинаковых ''произвольных'' распределений <math>\textstyle x_i</math> с <math>\textstyle \Phi(k)</math> при больших <math>\textstyle n</math> характеристическая функция для <math>\textstyle u</math> имеет вид:<br />
<br />
:<center><math>\Phi_u(k) \;=\; \left[\Phi\left(\frac{k}{\sqrt{n}}\right)\right]^n \;=\; \left[1-\frac{\sigma^2}{2}\, \frac{k^2}{n} + ..\right]^n,</math></center><br />
<br />
где мы воспользовались уравнением () и разложили <math>\textstyle \Phi(k/\sqrt{n})</math> в ряд до второго порядка малости. Член, пропорциональный <math>\textstyle k</math>, равен нулю, так как <math>\textstyle \left\langle x\right\rangle =0</math>. По определению, число Эйлера является пределом <math>\textstyle e^x=(1+x/n)^n</math>, при <math>\textstyle n\to\infty</math>. Поэтому характеристическая функция и распределение для <math>\textstyle u</math> стремятся к гауссовому виду:<br />
<br />
:<center><math> \Phi_u(k) \to e^{-\sigma^2 k^2/2}. </math></center><br />
<br />
В качестве упражнения (<math>\textstyle \lessdot</math> H) стоит найти асимметрию и эксцесс при больших <math>\textstyle n</math> для характеристической функции <math>\textstyle \Phi_z(k)=\Phi^{n}(k)</math>.<br />
<br />
Результат () является исключительно важным и называется ''предельной теоремой'': <blockquote>''"распределение суммы большого числа независимых случайных величин стремится к нормальному распределению".'' </blockquote><br />
<br />
Например, если некоторая физическая величина подвержена внешним независимым случайным воздействиям, то чаще всего разброс её значений подчиняется распределению Гаусса. На финансовых рынках цена акции также подвержена случайным воздействиям со стороны колебаний спроса и предложения. Однако её распределение не является гауссовым. Связано это в основном с двумя причинами: 1) скоррелированностью действий участников рынка (за счёт синхронизирующего информационного фона) и 2) медленной переоценкой ими риска (волатильности) этой бумаги. Мы вернёмся к обсуждению этих вопросов в главе 8.</div>
WikiSysop