Франк Роте 1911 VI

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск

О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся

Филипп Франк и Герман Роте

Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855


Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -


VI

Перейдем теперь к выводу общих уравнений однопараметрической линейной однородной группы , т.е. к определению коэффициентов в (43a).

Из сравнения двух уравнений (51a) и (73a), которые должны согласовываться друг с другом, следует, что четыре коэффициента

(90)

должны быть пропорциональны четырем величинам:

(91)

где коэффициент пропорциональности, который ещё следует определить, может быть лишь функцией от , которую мы обозначим , так что:

(92)

благодаря чему, кроме того, также удовлетворяется тождество (75). Подставляя значения (92) в уравнения (43a), получим их в виде:

(93)

где функция все ещё неизвестна.

18. При помощи уравнений (93) мы можем сделать вывод о кинематическом значении фактора , прежде чем определим его явный вид. А именно, рассмотрим материальную точку , которая двигается вдоль оси с постоянной скоростью по отношению к системе и находится в момент времени в точке . Тогда ее движение по отношению к задается уравнением:

(94)

Теперь, чтобы найти уравнение движения точки по отношению к системе , двигающейся по отношению к со скоростью , решим уравнения (93) по и , что даст нам уравнение для преобразования, обратного к (92):

(95)

и подставим найденные выражения (95) в (94). Таким образом получим:

Решив эти уравнения по , получим:

(96)

или

(97)

если

(98)

имеет значение в момент времени и — скорость точки по отношению к системе , найденная с помощью (73a).

Рассмотрим две материальные точки и , которые имеют пространственно-временные координаты , и , , измеренные в неподвижной системе , и которые двигаются с одной и той же постоянной скоростью . Тогда, если в момент времени

местоположения точек и заданы как

то уравнения движения этих двух точек по отношению к системе выглядят так:

(99)

в то время как их уравнения движения по отношению к системе , двигающейся по отношению к системе со скоростью имеют вид:

(100)

где , и , — пространственно-временные координаты точек и , измеренные в системе . Далее, согласно (98) получим:

(101)

а скорость точек по отношению к системе снова находится с помощью(73a).

Так как обе точки и двигаются по оси с одинаковой скоростью , мы можем представить себе их как два конца жесткого стержня, длину которого , измеренную в системе , получаем как расстояние двух одновременно взятых положений и относительно , для чего положим в (99):

и вычтем первое уравнение из второго:

(102)

Таким же образом полагая в уравнениях (100)

находим для измеренной в системе длины стержня выражение

(103)

Таким образом, из (101) и (102) следует:

(104)

В заключение допустим, что стержень не двигается по отношению к системе , так что . Тогда в соответствии с (69) он двигается по отношению к системе со скоростью , и из (104) получаем:

(105)

и, следовательно:

shape Функция пределяет тот фактор, на который нужно умножить измеренную в неподвижной системе длину жесткого стержня, равномерно двигающегося по отношению к системе со скоростью , чтобы получить его длину в той системе , по отношению к которой он находится в состоянии покоя.

Полученный фактор называется сокращением.

19. Теперь, чтобы определить вид функции , объединим принадлежащее значению параметра преобразование (93), которое отображает в , с некоторым другим преобразованием группы

(106)

которое соответствует значению параметра и преобразует в . Из группового свойства преобразований (93) следует, что результирующее преобразование, которое преобразует непосредственно в , должно иметь вид:

(107)

где параметр задается уравнением (80) как функция от и .

Если явно проделать объединение обоих преобразований (93) и (106), то с учетом уравнения (80) получим:

(108)

откуда путем сравнения с (107) следует:

(109)

таким образом, согласно (80) получим:

(110)

Это — функциональное уравнение, при помощи которого можно определить функцию . С этой целью продифференцируем (110) по и затем положим , получая в результате:

(111)

Однако, согласно последнему уравнению в системе (92),

так что мы получаем также условия для сокращения согласно (44a) и (46a):

(112)

и

(113)

с помощью которых находим из (111) дифференциальное уравнение:

(114)

с начальным условием (112). Из (114) следует:

(115)

а отсюда:

(116)

Если вычислить интегралы с обеих сторон и решить получившееся уравнение по , найдем в результате выражение для сокращения:

(117)

которое действительно удовлетворяет условию (113).

Таким образом, конечные уравнения (93) общей однопараметрической линейной однородной группы, которая генерируется бесконечно малым преобразованием (47) при условии (55), теперь полностью определены. [1]

20. Для группы Галилея находим, в частности, с помощью (46b):

(117a)

и для группы Лоренца с помощью (46c):

(117b)

что находится в соответствии с уравнениями (2) и (1).

Примечания

  1. Изменение знака также не влияет на уравнение (117). (Ср. подстрочное примечание в п. 12)

Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -


Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии