Франк Роте 1911 VI

О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся

Филипп Франк и Герман Роте

Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855

---

Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -

---

VI

Перейдем теперь к выводу общих уравнений однопараметрической линейной однородной группы $\textstyle {\mathfrak {G}}$, т.е. к определению коэффициентов $\textstyle b_{ik}(q)$ в (43a).

Из сравнения двух уравнений (51a) и (73a), которые должны согласовываться друг с другом, следует, что четыре коэффициента

$\left\{{\begin{array}{lll}b_{11}(q),\;\;\;b_{12}(q),\\[2mm]b_{21}(q),\;\;\;b_{22}(q)\end{array}}\right.$

(90)

должны быть пропорциональны четырем величинам:

$\left\{{\begin{array}{lll}1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q,\;\;\;\alpha _{12}q,\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-q,\;\;\;\;\;1\end{array}}\right.$

(91)

где коэффициент пропорциональности, который ещё следует определить, может быть лишь функцией от $\textstyle q$, которую мы обозначим $\textstyle w(q)$, так что:

$\left\{{\begin{array}{lll}b_{11}(q)\equiv w(q)\cdot [1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q],\;\;\;b_{12}(q)\equiv w(q)\cdot \alpha _{12}q,\\b_{21}(q)\equiv w(q)\cdot (-q),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b_{22}(q)\equiv w(q)\end{array}}\right.$

(92)

благодаря чему, кроме того, также удовлетворяется тождество (75). Подставляя значения (92) в уравнения (43a), получим их в виде:

$\left\{{\begin{array}{lll}t'=w(q)\{[1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q]t+\alpha _{12}qx\},\\[2mm]x'=w(q)\{-qt+x\},\end{array}}\right.$

(93)

где функция $\textstyle w(q)$ все ещё неизвестна.

18. При помощи уравнений (93) мы можем сделать вывод о кинематическом значении фактора $\textstyle w(q)$, прежде чем определим его явный вид. А именно, рассмотрим материальную точку $\textstyle M$, которая двигается вдоль оси $\textstyle x$ с постоянной скоростью $\textstyle w$ по отношению к системе $\textstyle S$ и находится в момент времени $\textstyle t=0$ в точке $\textstyle x=a$. Тогда ее движение по отношению к $\textstyle S$ задается уравнением:

$x=a+wt.$

(94)

Теперь, чтобы найти уравнение движения точки $\textstyle M$ по отношению к системе $\textstyle S'$, двигающейся по отношению к $\textstyle S$ со скоростью $\textstyle q$, решим уравнения (93) по $\textstyle t$ и $\textstyle x$, что даст нам уравнение для преобразования, обратного к (92):

$\left\{{\begin{array}{lll}t=\displaystyle {\frac {t'-\alpha _{12}qx'}{w(q)[1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}]}},\\[6mm]x=\displaystyle {\frac {qt'+[1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q]x'}{w(q)[1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}]}}\end{array}}\right.$

(95)

и подставим найденные выражения (95) в (94). Таким образом получим:

$qt'+[1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q]x'=a[1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}]w(q)+wt'-\alpha _{12}qwx'.$

Решив эти уравнения по $\textstyle x$, получим:

$\left\{{\begin{array}{rcl}x'&=&a\displaystyle {\frac {1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}qw}}\cdot w(q)\\[4mm]&+&\displaystyle {\frac {w-q}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}qw}}t',\end{array}}\right.$

(96)

или

$x'=a'+w't',$

(97)

если

$a'=a\displaystyle {\frac {1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}qw}}\cdot w(q)$

(98)

имеет значение $\textstyle x'$ в момент времени $\textstyle t'=0$ и $\textstyle w'$ — скорость точки $\textstyle M$ по отношению к системе $\textstyle S'$, найденная с помощью (73a).

Рассмотрим две материальные точки $\textstyle M_{1}$ и $\textstyle M_{2}$, которые имеют пространственно-временные координаты $\textstyle t_{1}$, $\textstyle x_{1}$ и $\textstyle t_{2}$, $\textstyle x_{2}$, измеренные в неподвижной системе $\textstyle S$, и которые двигаются с одной и той же постоянной скоростью $\textstyle w$. Тогда, если в момент времени

$t_{1}=t_{2}=0$

местоположения точек $\textstyle M_{1}$ и $\textstyle M_{2}$ заданы как

$x_{1}=a_{1},\;\;\;x_{2}=a_{2},$

то уравнения движения этих двух точек по отношению к системе $\textstyle S$ выглядят так:

$x_{1}=a_{1}+wt_{1},\;\;\;x_{2}=a_{2}+wt_{2},$

(99)

в то время как их уравнения движения по отношению к системе $\textstyle S'$, двигающейся по отношению к системе $\textstyle S$ со скоростью $\textstyle q$ имеют вид:

$x'_{1}=a'_{1}+w't'_{1},\;\;\;x'_{2}=a'_{2}+w't'_{2},$

(100)

где $\textstyle t'_{1}$, $\textstyle x'_{1}$ и $\textstyle t'_{2}$, $\textstyle x'_{2}$ — пространственно-временные координаты точек $\textstyle M_{1}$ и $\textstyle M_{2}$, измеренные в системе $\textstyle S'$. Далее, согласно (98) получим:

$\left\{{\begin{array}{lll}a'_{1}=a_{1}\displaystyle {\frac {1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}qw}}\cdot w(q),\\[4mm]a'_{2}=a_{2}\displaystyle {\frac {1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}qw}}\cdot w(q)\end{array}}\right.$

(101)

а скорость точек $\textstyle w'$ по отношению к системе $\textstyle S'$ снова находится с помощью(73a).

Так как обе точки $\textstyle M_{1}$ и $\textstyle M_{2}$ двигаются по оси $\textstyle x$ с одинаковой скоростью $\textstyle w$, мы можем представить себе их как два конца жесткого стержня, длину которого $\textstyle l$, измеренную в системе $\textstyle S$, получаем как расстояние двух одновременно взятых положений $\textstyle M_{1}$ и $\textstyle M_{2}$ относительно $\textstyle S$, для чего положим в (99):

$t_{1}=t_{2}$

и вычтем первое уравнение из второго:

$l=x_{2}-x_{1}=a_{2}-a_{1}.$

(102)

Таким же образом полагая в уравнениях (100)

$t'_{1}=t'_{2},$

находим для измеренной в системе $\textstyle S'$ длины стержня $\textstyle l'$ выражение

$l'=x'_{2}-x'_{1}=a'_{2}-a'_{1}.$

(103)

Таким образом, из (101) и (102) следует:

$l'=\displaystyle {\frac {1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}qw}}\cdot w(q)\cdot l.$

(104)

В заключение допустим, что стержень не двигается по отношению к системе $\textstyle S'$, так что $\textstyle w'=0$. Тогда в соответствии с (69) он двигается по отношению к системе $\textstyle S$ со скоростью $\textstyle w=q$, и из (104) получаем:

$l'=w(q)\cdot l$

(105)

и, следовательно:

shape Функция $\textstyle w(q)$ пределяет тот фактор, на который нужно умножить измеренную в неподвижной системе $\textstyle S$ длину $\textstyle l$ жесткого стержня, равномерно двигающегося по отношению к системе $\textstyle S$ со скоростью $\textstyle w=q$, чтобы получить его длину $\textstyle l'$ в той системе $\textstyle S'$, по отношению к которой он находится в состоянии покоя.

Полученный фактор $\textstyle w(q)$ называется сокращением.

19. Теперь, чтобы определить вид функции $\textstyle w(q)$, объединим принадлежащее значению параметра $\textstyle q$ преобразование (93), которое отображает $\textstyle t,x$ в $\textstyle t',x'$, с некоторым другим преобразованием группы $\textstyle {\mathfrak {G}}$

$\left\{{\begin{array}{lll}t''=w(q')\{[1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q']t'+\alpha _{12}q'x'\},\\[2mm]x''=w(q')\{-q't'+x'\}\end{array}}\right.$

(106)

которое соответствует значению параметра $\textstyle q'$ и преобразует $\textstyle t',x'$ в $\textstyle t'',x''$. Из группового свойства преобразований (93) следует, что результирующее преобразование, которое преобразует $\textstyle t,x$ непосредственно в $\textstyle t'',x''$, должно иметь вид:

$\left\{{\begin{array}{lll}t''=w(q'')\{[1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q'']t+\alpha _{12}q''x\},\\[2mm]x''=w(q'')\{-q''t+x\}\end{array}}\right.$

(107)

где параметр $\textstyle q''$ задается уравнением (80) как функция от $\textstyle q$ и $\textstyle q'$.

Если явно проделать объединение обоих преобразований (93) и (106), то с учетом уравнения (80) получим:

$\left\{{\begin{array}{lll}t''=(1-\alpha _{12}qq')w(q)w(q')\{[1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q'']t+\alpha _{12}q''x\},\\[2mm]x''=(1-\alpha _{12}qq')w(q)w(q')\{-q''t+x''\},\end{array}}\right.$

(108)

откуда путем сравнения с (107) следует:

$w(q'')=(1-\alpha _{12}qq')w(q)w(q'),$

(109)

таким образом, согласно (80) получим:

$w\left({\frac {q+q'+(\alpha _{11}-\alpha _{22})qq'}{1-\alpha _{12}qq'}}\right)=(1-\alpha _{12}qq')w(q)w(q').$

(110)

Это — функциональное уравнение, при помощи которого можно определить функцию $\textstyle w(q)$. С этой целью продифференцируем (110) по $\textstyle q'$ и затем положим $\textstyle q'=0$, получая в результате:

$w'(q)[1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}]=w(q)[w'(0)-\alpha _{12}w(0)q].$

(111)

Однако, согласно последнему уравнению в системе (92),

$w(q)\equiv b_{22}(q),$

так что мы получаем также условия для сокращения $\textstyle w(q)$ согласно (44a) и (46a):

$w(0)=b_{22}(0)=1$

(112)

и

$w'(0)=b'_{22}(0)=\alpha _{22},$

(113)

с помощью которых находим из (111) дифференциальное уравнение:

$w'(q)[1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}]=w(q)[\alpha _{22}-\alpha _{12}q]$

(114)

с начальным условием (112). Из (114) следует:

${\frac {w'(q)}{w(q)}}={\frac {\alpha _{22}-\alpha _{12}q}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}}}$

(115)

а отсюда:

$\int \limits _{0}^{q}{\frac {w'(q)}{w(q)}}dq=\int \limits _{0}^{q}{\frac {\alpha _{22}-\alpha _{12}q}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}}}dq.$

(116)

Если вычислить интегралы с обеих сторон и решить получившееся уравнение по $\textstyle w(q)$, найдем в результате выражение для сокращения:

$w(q)={\frac {1}{\sqrt {1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}}}}\left[{\frac {1+{\frac {\alpha _{11}-\alpha _{22}+{\sqrt {\theta }}}{2}}q}{1+{\frac {\alpha _{11}-\alpha _{22}-{\sqrt {\theta }}}{2}}q}}\right]^{\frac {\alpha _{11}+\alpha _{22}}{2{\sqrt {\theta }}}},$

(117)

которое действительно удовлетворяет условию (113).

Таким образом, конечные уравнения (93) общей однопараметрической линейной однородной группы, которая генерируется бесконечно малым преобразованием (47) при условии (55), теперь полностью определены.

20. Для группы Галилея находим, в частности, с помощью (46b):

$w(q)=1$

(117a)

и для группы Лоренца с помощью (46c):

$w(q)={\frac {1}{\sqrt {1+\alpha _{12}q^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}},$

(117b)

что находится в соответствии с уравнениями (2) и (1).

Примечания

---

Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии