Франк Роте 1911 IV

IV

12. Теперь, чтобы найти конечные уравнения (43) и (52) расширенной группы $\textstyle {\mathfrak {G}}_{1}$, которая генерируется бесконечно малыми преобразованиями (47) и (51), мы должны были бы согласно п.6 (36) интегрировать с начальными условиями (37) систему:

${\frac {dt'}{\alpha _{11}t'+\alpha _{12}x'}}={\frac {dx'}{\alpha _{21}t'+\alpha _{22}x'}}={\frac {dw'}{-[-\alpha _{21}+(\alpha _{11}-\alpha _{22})w'+\alpha _{12}w'^{2}]}}=dp$

(60)

Между тем, мы хотим определить только уравнение (51) для преобразования скорости $\textstyle w$, для чего используем то обстоятельство, что $\textstyle w'$ зависит только от $\textstyle w$ и $\textstyle p$, но не от $\textstyle t$ и $\textstyle x$, так что мы можем непосредственно отдельно интегрировать содержащееся в системе (60) уравнение

${\frac {dw'}{-[-\alpha _{21}+(\alpha _{11}-\alpha _{22})w'+\alpha _{12}w'^{2}]}}=dp$

(61)

с начальным условием

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle w'=w\;\;\;для\;\;\;p=p_{0}. }

(62)

Получаем следующее выражение:

$\int \limits _{w}^{w'}{\frac {dw'}{-[-\alpha _{21}+(\alpha _{11}-\alpha _{22})w'+\alpha _{12}w'^{2}]}}=\int \limits _{p_{0}}^{p}dp,$

(63)

и отсюда, если вычислить интегралы и принять во внимание, что обе выделенные скорости $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$ являются нулями знаменателя в первом интеграле (63):

${\frac {1}{\sqrt {\theta }}}\;\;\ln \;\;(c_{1},c_{2},w,w')=p-p_{0},$

(64)

где под $\textstyle (c_{1},c_{2},w,w')$ понимается двойное перекрестное отношение четырех значений $\textstyle c_{1},c_{2},w,w'$, т.е. выражение

$(c_{1},c_{2},w,w')={\frac {(c_{1}-w)(c_{2}-w')}{(c_{2}-w)(c_{1}-w')}}.$

(65)

Из (64) в итоге следует:

$(c_{1},c_{2},w,w')=e^{{\sqrt {\theta }}\cdot (p-p_{0})},$

(66)

и отсюда можно найти, решая относительно $\textstyle w'$:

$w'={\frac {c_{1}c_{2}[1-e^{{\sqrt {\theta }}(p-p_{0})}]-[c_{2}-c_{1}e^{{\sqrt {\theta }}(p-p_{0})}]\cdot w}{[c_{1}-c_{2}e^{{\sqrt {\theta }}(p-p_{0})}]-[1-e^{{\sqrt {\theta }}(p-p_{0})}]\cdot w}},$

(67)

с помощью чего находится конечное уравнение для преобразования скорости (ср. уравнения (28) и (51)). В (67) можно ещё заменить $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$ на их значения (56).\footnote{Обратим внимание, что уравнения (64), (66) и (67) не зависят от знака, который присваивается величине $\textstyle {\sqrt {\theta }}$. Если заменить $\textstyle {\sqrt {\theta }}$ на $\textstyle -{\sqrt {\theta }}$, то согласно (56) обе выделенные скорости $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$ переходят друг в друга, и уравнения остаются неизменными.}

Наконец, из уравнения (67) можно увидеть, что обе выделенные скорости $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$ фактически остаются неизменными при любом конечном преобразовании группы и, таким образом, в любой системе $\textstyle S'$ имеют одни и те же значения. Положим:

$w=\left\{{\begin{array}{lll}c_{1}\\c_{2}\end{array}}\right.$

откуда следует, что

$w'=\left\{{\begin{array}{lll}c_{1}\\c_{2}\end{array}}\right.=w$

для произвольного значения параметра $\textstyle p$ (ср. п.11).

13. Рассмотрим теперь системы $\textstyle S'$, которые мы ввели в разделе II, п.8, как двигающиеся с различными поcтоянными скоростями $\textstyle q$ по отношению к системе $\textstyle S$, которую мы считаем неподвижной. Тогда с каждой системой $\textstyle S'$ связано как определенное значение параметра $\textstyle p$, так и определенная скорость $\textstyle q$, откуда следует, что между $\textstyle p$ и $\textstyle q$ должна существовать определенная связь, которую мы запишем в виде:

$p=F(q).$

(68)

Таким образом, параметр $\textstyle p$ выступает как функция скорости $\textstyle q$.

При помощи уравнения (68) введем в уравнения (43) и (51) скорость $\textstyle q$ вместо параметра $\textstyle p$; при этом в группе $\textstyle {\mathfrak {G}}_{1}$ ничего существенно не изменится. Скорость $\textstyle q$ может теперь рассматриваться как новый параметр группы.

Чтобы определить скорость $\textstyle q$ и тем самым определить вид функции $\textstyle F(q)$, выдвинем следующий постулат:

shape Если материальная точка $\textstyle M$ двигается в неподвижной системе $\textstyle S$ со скоростью $\textstyle w=q$, то она должна иметь скорость $\textstyle w'=0$ по отношению к системе $\textstyle S'$, равномерно двигающейся относительно $\textstyle S$ со скоростью $\textstyle q$.

Этот постулат утверждает, что пара значений

$w=q,\;\;\;\;w'=0$

(69)

должна удовлетворять уравнению (64), так что мы имеем:

$p-p_{0}={\frac {1}{\sqrt {\theta }}}\;\;\ln \;\;(c_{1},c_{2},q,0).$

(70)

Отсюда находим для искомой функции $\textstyle F(q)$:

$p=F(q)=p_{0}+{\frac {1}{\sqrt {\theta }}}\;\;\ln \;\;{\frac {c_{2}(c_{1}-q)}{c_{1}(c_{2}-q)}}$

(71)

и путем подстановки этого выражения в (67) получаем уравнение преобразования для скорости $\textstyle w$ вида:

$w'={\frac {c_{1}c_{2}(w-q)}{c_{1}c_{2}-(c_{1}+c_{2})q+qw}},$

(72)

и окончательно, в соответствии с (58):

$w'={\frac {-\alpha _{21}(w-q)}{-\alpha _{21}+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}qw}}.$

(73)

Далее, из уравнения (71) следует, что значению параметра $\textstyle p_{0}$ тождественного преобразования соответствует нулевое значение скорости $\textstyle q$, и, таким образом, покоящуюся систему $\textstyle S$ следует рассматривать как одну из систем $\textstyle S'$, которая двигается со скоростью $\textstyle q=0$.

14. Если мы с этого момента будем рассматривать скорость $\textstyle q$ как параметр нашей группы и положим:

$a_{ik}(F(q))\equiv b_{ik}(q),\;\;\;\;(i,k=1,2),$

(74)

то получим вместо (43) и (51) уравнения

$t'=b_{11}(q)\cdot t+b_{12}(q)\cdot x,\;\;\;x'=b_{21}(q)\cdot t+b_{22}(q)\cdot x$

(43a)

и

$w'={\frac {b_{21}(q)+b_{22}(q)\cdot w}{b_{11}(q)+b_{12}(q)\cdot w}},$

(51a)

которые определяют теперь группу $\textstyle {\mathfrak {G}}_{1}$. Если мы положим в уравнении (51a) $\textstyle w=q$, то получим, что $\textstyle w'=0$ при любом значении $\textstyle q$. Отсюда следует тождество:

$b_{21}(q)+q\cdot b_{22}(q)\equiv 0.$

(75)

Если мы положим в основу группы $\textstyle {\mathfrak {G}}_{1}$ новые уравнения (43a) и (51a), то значение $\textstyle q=0$ будет приводить к тождеству, и, следовательно, значение $\textstyle q=\delta q$ — соответствует бесконечно малому преобразованию. Тот же вывод мы можем сделать и из уравнений (47), так как хотя сами значения коэффициентов $\textstyle a_{ik}$ могут измениться в результате введения нового параметра $\textstyle q$, но их отношения — нет, а именно они являются существенными.

В результате нормировки параметра группы, сами коэффициенты $\textstyle a_{ik}$ также получают теперь определенные значения, в то время как до настоящего момента были определены только их отношения. В самом деле, согласно (45) и (46):

$b_{21}(\delta q)=\alpha _{21}\delta q,\;\;\;\;b_{22}(\delta q)=1+\alpha _{22}\delta q,$

и отсюда мы получаем, положив в тождестве (75) $\textstyle q=\delta q$ и опустив в $\textstyle \delta q$ члены второго порядка,

$(\alpha _{21}+1)\delta q=0,$

то есть

$\alpha _{21}=-1,$

(76)

поскольку $\textstyle \delta q\neq 0$. Таким образом, коэффициент $\textstyle a_{21}$, который до сих пор был связан только неравенством (55), теперь определен точно.

В соответствии с (44) и (46) мы далее получаем уравнения для новых коэффициентов $\textstyle b_{ik}(q)$ в (43a) и (51a):

$\left\{{\begin{array}{lll}b_{11}(0)=1,\;\;\;b_{12}(0)=0,\\[2mm]b_{21}(0)=0,\;\;\;b_{22}(0)=1\end{array}}\right.$

(44a)

и

$\left\{{\begin{array}{lll}b'_{11}(0)=\alpha _{11},\;\;\;b'_{12}(0)=\alpha _{12},\\[2mm]b'_{21}(0)=-1,\;\;\;b'_{22}(0)=\alpha _{22}.\end{array}}\right.$

(46a)

Подставив значение (76) в уравнения (47) и (52), мы получим для бесконечно малого преобразовании группы $\textstyle {\mathfrak {G}}$:

$\delta t=(\alpha _{11}\;t+\alpha _{12}\;x)\delta q,\;\;\;\delta x=(-t+\alpha _{22}\;x)\delta q,$

(47a)

и для бесконечно малого преобразовании скорости $\textstyle w$:

$\delta w=-[1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})w+\alpha _{12}w^{2}]\delta q,$

(52a)

или согласно (59):

$\delta w=-\left(1-{\frac {w}{c_{1}}}\right)\left(1-{\frac {w}{c_{2}}}\right)\delta q.$

(59a)

Конечное уравнение (73) для преобразования скорости $\textstyle w$ переходит в

$w'={\frac {w-q}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}qw}},$

(73a)

и из уравнения (57) мы в итоге получаем:

$\theta =(\alpha _{11}-\alpha _{22})^{2}-4\alpha _{12}.$

(57a)

15. Если мы объединим преобразование (73a), соответствующее значению параметра $\textstyle q$ и преобразующее $\textstyle w$ в $\textstyle w'$, с другим преобразованием того же вида:

$w''={\frac {w'-q'}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q'+\alpha _{12}q'w'}},$

(77)

которое соответствует значению параметра $\textstyle q'$ и преобразует $\textstyle w'$ в $\textstyle w''$, то из группового свойства наших преобразований следует, что суммарное преобразование, которое преобразует $\textstyle w$ непосредственно в $\textstyle w''$, должно иметь вид:

$w''={\frac {w-q''}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q''+\alpha _{12}q''w}},$

(78)

где значение параметра $\textstyle q''$ согласно (13) является функцией от $\textstyle q$ и $\textstyle q'$.

Чтобы определить эту функцию в нашем случае, нам нужно лишь найти в явном виде комбинацию двух преобразований (73a) и (77). Получим:

$\left\{{\begin{array}{lll}w''=\displaystyle {\frac {{\displaystyle {\frac {w-q}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}qw}}}-q'}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q'+\displaystyle {\frac {\alpha _{12}q'(w-q)}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}qw}}}}\\[10mm]=\displaystyle {\frac {w-\displaystyle {\frac {q+q'+(\alpha _{11}-\alpha _{22})qq'}{1-\alpha _{12}qq'}}}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})\displaystyle {\frac {q+q'+(\alpha _{11}-\alpha _{22})qq'}{1-\alpha _{12}qq'}}+\alpha _{12}{\frac {q+q'+(\alpha _{11}-\alpha _{22})qq'}{1-\alpha _{12}qq'}}w}},\end{array}}\right.$

(79)

откуда, после сравнения с (78), следует:

$q''={\frac {q+q'+(\alpha _{11}-\alpha _{22})qq'}{1-\alpha _{12}qq'}}.$

(80)

Это уравнение, которое определяет теперь группу параметров $\textstyle {\mathfrak {B}}$ нашей группы $\textstyle {\mathfrak {G}}$ (и $\textstyle {\mathfrak {G_{1}}}$)\footnote{Если придерживаться первоначального группового параметра Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle р} , как это имеет место, например, в (67), то уравнение (13) группы параметров имеет вид: $\textstyle p''=p+p'-p_{0}$.}, выражает теорему сложения скоростей $\textstyle q$, где $\textstyle q''$ и $\textstyle q'$ означают скорость системы $\textstyle S''$ относительно систем $\textstyle S$ и $\textstyle S'$ соответственно, а $\textstyle q$ — скорость $\textstyle S'$ по отношению к неподвижной системе $\textstyle S$.

Наконец, если уравнение (77) представляет собой преобразование, обратное (73a), т.е.

$w''=w$

то комбинированное преобразование (78) должно быть тождественным, а значит, $\textstyle q''=0$. Однако, из (80), если мы обозначим через $\textstyle {\bar {q}}$ значение параметра преобразования, обратного (73a), следует:

$q+{\bar {q}}+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q{\bar {q}}=0,$

(81)

и, таким образом,

${\bar {q}}={\frac {-q}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q}}.$

(82)

Если подставить это значение вместо $\textstyle q'$ в (77), получим уравнение для преобразования, обратного (73a):

$w={\frac {q+w'+(\alpha _{11}-\alpha _{22})qw'}{1-\alpha _{12}qw'}},$

(83)

которое можно также получить непосредственно, решая (73a) относительно $\textstyle w$.

Формула (83) показывает, что $\textstyle w$ находится из $\textstyle q$ и $\textstyle w'$ точно таким же способом, как $\textstyle q''$ из $\textstyle q$ и $\textstyle q'$ — эта аналогия легко объясняется кинематическим смыслом уравнений (80) и (83).