Франк Роте 1911 III

О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся

Филипп Франк и Герман Роте

Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855

---

Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -

---

III

10. Теперь можно подытожить все предположения, которые мы сделали в отношении преобразований (6), следующим образом: shape Преобразования (6), которые связывают пространственно-временные координатаы в начальной и конечной системах $\textstyle S$ и $\textstyle S'$, образуют однопараметрическую линейную однородную группу с параметром $\textstyle p$. Чтобы уравнения (43) со значением параметра $\textstyle p=p_{0}$ преобразовывались в уравнения (15), которые представляют тождественное преобразование, должно быть:

$\left\{{\begin{array}{lll}\displaystyle a_{11}(p_{0})=1,\;\;\;a_{12}(p_{0})=0,\\[2mm]\displaystyle a_{21}(p_{0})=0,\;\;\;a_{22}(p_{0})=1.\end{array}}\right.$

(44)

Для значения параметра $\textstyle p=p_{0}+\delta p$ получим коэффициенты:

$\left\{{\begin{array}{lll}a_{11}(p_{0}+\delta p)=1+a'_{11}(p_{0})\,\delta p,\\[2mm]a_{21}(p_{0}+\delta p)=\;\;\;\;\;\;a'_{21}(p_{0})\,\delta p,\\[2mm]a_{12}(p_{0}+\delta p)=\;\;\;\;\;\;a'_{12}(p_{0})\,\delta p,\\[2mm]a_{22}(p_{0}+\delta p)=1+a'_{22}(p_{0})\,\delta p,\end{array}}\right.$

(45)

и, если мы положим

$\left\{{\begin{array}{lll}a'_{11}(p_{0})=\alpha _{11},\;\;\;a'_{12}(p_{0})=\alpha _{12},\\[2mm]a'_{21}(p_{0})=\alpha _{21},\;\;\;a'_{22}(p_{0})=\alpha _{22},\end{array}}\right.$

(46)

то отсюда следуют уравнения для бесконечно малого преобразования [сравним с уравнениями (19), (20), (21) и (22) в п.5] в виде:

$\delta t=(\alpha _{11}t+\alpha _{12}x)\delta p,\;\;\;\;\delta x=(\alpha _{21}t+\alpha _{22}x)\delta p,$

(47)

таким образом, что для линейной однородной группы (43) выполняется:

$\tau (t,x)\equiv \alpha _{11}t+\alpha _{12}x,\;\;\;\xi (t,x)\equiv \alpha _{21}t+\alpha _{22}x.$

(48)

Коэффициенты $\textstyle \alpha _{11},\alpha _{12},\alpha _{21},\alpha _{22}$ могут быть выбраны произвольно, существенны только их отношения. Таким образом, существует $\textstyle \infty ^{3}$ бесконечно малых преобразований (47), и каждое из них генерирует определенную однопараметрическую линейную однородную группу (43).

11. Рассмотрим теперь некоторое определенное преобразование из $\textstyle {\mathfrak {G}}$, т.е. придадим параметру $\textstyle p$ какое-либо фиксированное значение. Дифференцируя уравнения (43) мы тогда получим:

$dt'=a_{11}(p)\cdot dt+a_{12}(p)\cdot dx,\;\;\;\;dx'=a_{21}(p)\cdot dt+a_{22}(p)\cdot dx,$

(49)

откуда следует, что дифференциалы $\textstyle dt,dx$ преобразовываются так же, как конечные величины $\textstyle t,x$, и что, таким образом, обе пары величин $\textstyle t,x$ и $\textstyle dt,dx$ подвергаются коградиентным преобразованиям (43) и (49).

Из уравнений (49) следует:

${\frac {dx'}{dt'}}={\frac {a_{21}(p)\cdot dt+a_{22}(p)\cdot dx}{a_{11}(p)\cdot dt+a_{12}(p)\cdot dx}}$

(50)

и, таким образом, вследствие (27):

$w'={\frac {a_{21}(p)+a_{22}(p)\cdot w}{a_{11}(p)+a_{12}(p)\cdot w}}.$

(51)

Это уравнение, которое описывает преобразование скорости $\textstyle w$ в $\textstyle w'$, занимает место уравнения (28) и представляет вместе с уравнениями (43) первую расширенную группу $\textstyle {\mathfrak {G}}_{1}$. Особую важность имеет то обстоятельство, что в случае линейной группы $\textstyle w'$ является функцией только от $\textstyle w$ и $\textstyle p$ и не зависит от $\textstyle t$ и $\textstyle x$.

В итоге, мы получаем бесконечно малое преобразование скорости $\textstyle w$ с помощью (34) и (48) в виде:

$\delta w=-[-\alpha _{21}+(\alpha _{11}-\alpha _{22})w+\alpha _{12}w^{2}]\delta p,$

(52)

откуда следует вывод, что функция $\textstyle \eta (t,x,w)$ в (35) уже не содержит величин $\textstyle t$ и $\textstyle x$. С помощью этого бесконечно малого преобразования скорость $\textstyle w$ преобразовывается в $\textstyle w'=w+\delta w$ согласно (33) и, таким образом, тогда и только тогда остается неизменной, когда:

$\delta w=0.$

(53)

Это выполняется для тех скоростей, которые являются корнями квадратного уравнения:

$-\alpha _{21}+(\alpha _{11}-\alpha _{22})w+\alpha _{12}w^{2}=0.$

(54)

Они остаются неизменными при бесконечно малом преобразовании и поэтому (как мы, впрочем, ещё непосредственно покажем в конце п.12) также при любом конечном преобразовании группы $\textstyle {\mathfrak {G}}$. В дальнейшем мы будем называть их выделенными скоростями и предположим, что:

shape Скорость $\textstyle w=0$ (т. е. в состоянии покоя) не должна быть выделенной скоростью, откуда следует, что должно быть:

$\alpha _{21}\neq 0.$

(55)

Из предположения (55) прежде всего следует, что исключается случай:

$\alpha _{11}=\alpha _{22},\;\;\;\;\alpha _{12}=\alpha _{21}=0,$

когда уравнение (54) выполняется тождественно и, таким образом, каждая скорость $\textstyle w$ была бы выделенной. В любом другом случае мы имеем только две выделенные скорости, которые обозначим $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$, а именно:

$c_{1}={\frac {\alpha _{22}-\alpha _{11}+{\sqrt {\theta }}}{2\alpha _{12}}},\;\;\;\;c_{2}={\frac {\alpha _{22}-\alpha _{11}-{\sqrt {\theta }}}{2\alpha _{12}}},$

(56)

где

$\theta =(\alpha _{11}-\alpha _{22})^{2}+4\alpha _{12}\alpha _{21}.$

(57)

Основные симметричные функции корней $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$:

$c_{1}+c_{2}={\frac {\alpha _{22}-\alpha _{11}}{\alpha _{12}}},\;\;\;\;c_{1}c_{2}=-{\frac {\alpha _{21}}{\alpha _{12}}},$

(58)

и при помощи этих отношений можно легко привести бесконечно малое преобразование (52) к виду:

$\delta w=\alpha _{21}\left(1-{\frac {w}{c_{1}}}\right)\left(1-{\frac {w}{c_{2}}}\right)\delta p,$

(59)

в котором значение $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$ как выделенных скоростей становится особенно очевидным.