Франк Роте 1911

Эта статья Филиппа Франк и Германа Роте последовала за докладом и статьёй Игнатовского В.С. Она посвящена построению наиболее общих линейных преобразований между двумя инерциальными системами отсчёта, частным случаем которых являются преобразования Лоренца.

---

О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся

Филипп Франк и Герман Роте

---

Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme

von Philipp Frank und Hermann Rothe

Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855

---

Уравнения преобразования, которые связывают пространственно-временные координаты $\textstyle (x,y,z,t)$ неподвижной системы с координатами $\textstyle (x',y',z',t')$ движущейся системы, скорость $\textstyle q$ которой неизменна по направлению и величине, получили в современной физике настолько большое значение, что представляется уместным провести подробное изучение вопроса о том, какие предпосылки физической или иной природы собственно необходимы, чтобы вывести вид этих уравнений. В теории относительности эти преобразования являются shape преобразованиями Лоренца. Если мы обозначим скорость света в вакууме через $\textstyle c$ и выберем систему координат таким образом, что в момент времени 0 движущаяся система совпадает с неподвижной и потом движется в направлении $\textstyle x$, преобразования Лоренца имеют хорошо известный вид:

$\left\{{\begin{array}{lll}t'&=&\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}\left(t-{\frac {q}{c^{2}}}x\right),\\x'&=&\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}(-qt+x).\\\end{array}}\right.$

(1)

Эти уравнения содержат shape преобразования Галилея в пределе $\textstyle c=\infty$:

$t'=t,\;\;\;x'=-qt+x.$

(2)

Современный вывод уравнений (1) берет свое начало от А. Эйнштейна\footnote{А. Эйнштейн, [1] Ежегодник радиоактивности и электроники, 4. Стр. 411, 1907. Более подробное выведение уравнений Эйнштейном описано в работе: Ф. Франк, [2] Отчет о заседании Королевской Академии Знаний в Вене. Класс мат.-физ. 118. Раздел IIа, стр. 421, 1909.} и по существу основывается на следующих предпосылках:

$\textstyle \alpha$) Если $\textstyle c$ — значение скорости света по отношению к неподвижной системе, то значение скорости света в любой системе, движущейся равномерно и прямолинейно относительно первой, должно равняться $\textstyle c$ для любого направления распространения света. Математически это соответствует требованию, что соотношения: $\textstyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}=0$ \;\;\; и \;\;\; $\textstyle x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-c^{2}t'^{2}=0$ вследствие уравнений преобразования должны следовать друг из друга.

$\textstyle \beta$) Уравнения преобразования должны быть линейно однородными по отношению к координатам; их коэффициенты могут в таком случае зависеть только от $\textstyle q$.

$\textstyle \gamma$) При замене $\textstyle q$ на $\textstyle -q$ преобразование должно превращаться в обратное (т.е. разрешенное относительно $\textstyle x,y,z,t$).

$\textstyle \delta$) Сокращение, которое происходит с длинами вследствие движения, должно зависеть только от абсолютной величины, но не от знака $\textstyle q$.

Мы хотим показать, что можно существенно ограничить количество этих предпосылок и в особенности, что может быть опущен кажущийся наиболее важным пункт $\textstyle \alpha$), который требует постоянства скорости света в неподвижной и движущейся системах. Наш вывод преобразований (1) основывается только на следующих двух предпосылках:

А. Если мы рассматриваем $\textstyle q$ как параметр, уравнения преобразования должны образовывать линейную однородную группу.

В. Сокращение длин должно зависеть не от знака, а только от абсолютной величины $\textstyle q$.

Указанное в п.А групповое свойство уравнений преобразования необходимо для того, чтобы существовал единый для всех скоростей $\textstyle q$ тип уравнений преобразования. Иначе, если бы уравнения не образовывали группу, то два последовательных преобразования — например, переход из одной системы в другую с помощью промежуточной системы — приводили бы к итоговым уравнениям совсем другого вида, нежели исходные.

Далее, мы в первую очередь сформулируем общие уравнения преобразования, которые удовлетворяют требованию А. После этого мы выделим те из них, которые также удовлетворяют требованию В. В результате, останутся только те уравнения, которые либо вообще не приводят к сокращению, либо совпадают с преобразованиями Лоренца (1). Первые образуют новый тип уравнений преобразования (преобразования Доплера) и содержат в себе преобразования Галилея (2) как частный случай.

Часть использованных здесь утверждений и формул мы уже опубликовали в статье [3] <Об обобщении принципов относительности и применимой к ним механики>\footnote{Ф. Франк и Г. Роте, [3] Отчет о заседании Корол. Акад. Знаний в Вене. Класс матем.-естествозн. 119. Раздел IIа, стр. 615, 1910}, в том числе теорему сложения скоростей для наиболее общих уравнений преобразования, удовлетворяющих требованию А\footnote{Там же, [3], уравнение (12) и следующее за ним}.

Игнатовский\footnote{В. фон Игнатовский, [4] Доклады Немецкого Физического Общества, стр. 788, 1910; и Архив математики и физики, 17, стр. 1} уже сделал попытку ограничить предпосылки Эйнштейна меньшим числом. Если рассмотреть сделанные им неявно предположения, можно проинтерпретировать содержание его работы следующим образом: он не использует положение $\textstyle \alpha$) (постоянство скорости света), но сохраняет, в дополнение к нашим, ещё и требование Эйнштейна $\textstyle \gamma$).

Кроме того, он применяет сразу все предпосылки и не формулирует наиболее общие уравнения удовлетворяющие требованию А, из которых было бы явным образом очевидно место преобразований Лоренца среди всех остальных. Данная работа организована следующим образом. Мы делаем априорное предположение, что $\textstyle y'=y$, \;\;\;\; $\textstyle z'=z$, поскольку доказательство этих уравнений, хотя и достаточно простое, привело бы к ненужному отвлечению в ходе наших рассуждений. Таким образом, мы рассматриваем только преобразования $\textstyle x$ и $\textstyle t$.

В разделе I мы кратко обсудим использованные понятия и положения из теории групп преобразований\footnote{Мы ссылаемся всегда при этом на изложение основ теории групп в работе С. Ли и Г. Шеффера, [5] <Лекции о непрерывных группах>, Лейпциг, 1893}. В разделах II и III применим эти положения к определенным предпосылкой А уравнениям преобразования; введем в них в разделе IV параметр\footnote{См. также работу: Ф. Франк и Г. Роте [3], стр. 618} $\textstyle q$, имеющий смысл скорости, что приведет к теореме сложения скоростей. В разделе V приведем примеры применения полученных выражений. Наконец, в разделе VI мы определим вид наиболее общих уравнений преобразования, удовлетворяющих требованию А и, в частности, формулу для сокращения как функции введенной в разделе IV скорости $\textstyle q$. Затем применим в разделе VII к ним наше требование В и получим уравнения, удовлетворяющие нашей системе предпосылок.

I

1. Пусть $\textstyle t,x,p$ — три переменные, причем мы интерпретируем $\textstyle t,x$ как прямоугольные координаты точки $\textstyle P$ в плоскости $\textstyle t,x$, а $\textstyle p$ — как параметр. Далее, пусть

$\varphi (t,x,p),\;\;\;\;\psi (t,x,p)$

(3)

две однозначные непрерывные и дифференцируемые функции трех аргументов\footnote{Если потребуется, три переменных $\textstyle t,x,p$ должны быть ограничены на определенной части поверхности $\textstyle t,x,p$-множества, которому должна принадлежать каждая система значений $\textstyle t,x,p,$ принимаемая далее во внимание.} $\textstyle t,x,p$, для которых функциональный определитель (якобиан):

${\frac {\partial (\varphi ,\psi )}{\partial (t,x)}}=\left|{\begin{array}{lll}\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}&\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\\[4mm]\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x}}&\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x}}\end{array}}\right|$

(4)

не обращается в нуль тождественно и, кроме того, тождества:

${\frac {\partial \varphi }{\partial p}}\equiv 0,\;\;\;\;{\frac {\partial \psi }{\partial p}}\equiv 0$

(5)

не выполняются одновременно. Для фиксированного значения параметра $\textstyle p$, каждой паре значений $\textstyle t,x$ ставится в соответствие пара значений $\textstyle t',x'$, посредством двух уравнений

$t'=\varphi (t,x,p),\;\;\;\;x'=\psi (t,x,p).$

(6)

Это соответствие называется преобразованием и может быть обозначено $\textstyle T_{p}$. Геометрически преобразование $\textstyle T_{p}$ является точечным отображением плоскости $\textstyle t,x$ на плоскость $\textstyle t',x'$, которая, как будет предполагаться дальше, также может совпадать с плоскостью $\textstyle t,x$. Следовательно, мы соотносим координаты $\textstyle t',x'$ преобразованных точек $\textstyle P'$ к той же системе координат, что и координаты $\textstyle t,x$ первоначальных точек $\textstyle P$.

2. Если параметр $\textstyle p$ непрерывно проходит через весь числовой ряд или некоторый его интервал, мы получим множество $\textstyle {\mathfrak {G}}$ преобразований $\textstyle T_{p}$, каждое из которых соответствует определенному значению $\textstyle p$. Это множество также называется однопараметрическим множеством преобразований.

Если $\textstyle T_{p'}$ — некоторое другое преобразование из множества $\textstyle {\mathfrak {G}}$, которое соответствует параметру $\textstyle p'$ и преобразовывает пару $\textstyle t',x'$ в $\textstyle t'',x''$ так, что:

$t''=\varphi (t',x',p'),\;\;\;\;x''=\psi (t',x',p'),$

(7)

то в результате исключения $\textstyle t',x'$ из (6) и (7) получаются уравнения:

$\left\{{\begin{array}{lll}t''=\displaystyle \varphi (\varphi (t,x,p),\;\;\;\psi (t,x,p),\;\;\;p'),\\[2mm]x''=\displaystyle \psi (\varphi (t,x,p),\;\;\;\psi (t,x,p),\;\;\;p'),\\\end{array}}\right.$

(8)

которые представляют собой преобразование $\textstyle T$, которое $\textstyle t,x$ преобразовывает прямо в $\textstyle t'',x''$ и называется "произведением" преобразований $\textstyle T_{p}$ и $\textstyle T_{p'}$. Мы записываем это как

$T=T_{p}T_{p'},$

(9)

где порядок сомножителей указывает на последовательность применения преобразований $\textstyle T_{p}$ и $\textstyle T_{p'}$. В общем случае

$T_{p'}T_{p}\neq T_{p}T_{p'},$

(10)

т.е. коммутативный закон несправедлив для композиции преобразований.

3. Вообще говоря, композиция $\textstyle T$ двух преобразований $\textstyle T_{p}$ и $\textstyle T_{p'}$ из множества $\textstyle {\mathfrak {G}}$ не всегда является преобразованием, которое принадлежит множеству $\textstyle {\mathfrak {G}}$. Тем не менее, если произведение любых двух преобразований множества $\textstyle {\mathfrak {G}}$ снова является преобразованием из множества $\textstyle {\mathfrak {G}}$, то говорят, что преобразования множества $\textstyle {\mathfrak {G}}$ обладают групповым свойством. Тогда

$(T_{p}T_{p'})T_{p''}=T_{p}(T_{p'}T_{p''}),$

(11)

т.е. к композиции трех (и большего числа) факторов применим ассоциативный закон.

Если $\textstyle {\mathfrak {G}}$ обладает групповыми свойствами, т.е. $\textstyle T$ принадлежит $\textstyle {\mathfrak {G}}$, то уравнения (8) должны иметь вид:

$t''=\varphi (t,x,p''),\;\;\;\;x''=\psi (t,x,p'')$

(12)

где

$p''=\pi (p,p')$

(13)

является функцией только $\textstyle p$ и $\textstyle p'$.

Теперь можно сказать, что преобразования множества $\textstyle {\mathfrak {G}}$ образуют группу $\textstyle {\mathfrak {G}}$ при выполнении следующих условий:

А. Преобразования множества $\textstyle {\mathfrak {G}}$ обладают групповым свойством.

В. Существует значение параметра $\textstyle p=p_{0}$, для которого:

$\varphi (t,x,p_{0})\equiv t,\;\;\;\;\psi (t,x,p_{0})\equiv x.$

(14)

Относящееся к этому значению параметра преобразование $\textstyle T_{p_{0}}$, которое представлено уравнениями

$t'=t,\;\;\;\;x'=x$

(15)

оставляет каждую пару значений $\textstyle t,x$ неизменной и называется тождественным преобразованием.

С. Для любого преобразования $\textstyle T_{p}$ в множестве $\textstyle {\mathfrak {G}}$ имеется преобразование, которое в сочетании с $\textstyle T_{p}$ в любой последовательности дает тождественное преобразование $\textstyle T_{p_{0}}$. Это второе преобразование называется обратным к $\textstyle T_{p}$ и обозначается $\textstyle T_{p}^{-1}$, таким образом:

$T_{p}T_{p}^{-1}=T_{p}^{-1}T_{p}=T_{p_{0}}.$

(16)

Обратное преобразование $\textstyle T_{p}$ находят решением уравнений (6) относительно $\textstyle t$ и $\textstyle x$, что всегда возможно, поскольку функциональный определитель не обращается в нуль тождественно. Как преобразование множества $\textstyle {\mathfrak {G}}$, обратное преобразование $\textstyle T_{p}^{-1}$ соответствует параметру $\textstyle {\overline {p}}$, который является функцией только от $\textstyle p$ и может быть найден с использованием условия:

$T_{p}^{-1}=T_{\overline {p}}.$

(17)

Согласно (13) значения $\textstyle p$ и $\textstyle {\overline {p}}$ удовлетворяют уравнению:

$\pi (p,{\overline {p}})=p_{0}.$

(18)

Группа $\textstyle {\mathfrak {G}}$ называется однопараметрической, так как состоит из $\textstyle \infty ^{1}$ преобразований $\textstyle T_{p}$.

4. Если $\textstyle p$ рассматривается в (13) как переменная преобразования, а $\textstyle p'$ — как параметр (или же наоборот), то это уравнение определяет однопараметрическое множество преобразований, которые также составляют группу $\textstyle {\mathfrak {P}}$, где $\textstyle p''$ — преобразованная переменная. Эта группа обозначается как группа параметров $\textstyle {\mathfrak {G}}$.

5. Если $\textstyle \delta p$ — бесконечно малая величина, то преобразование, относящееся к значению параметра

$p=p_{0}+\delta p$

(19)

отличается от тождественного преобразования бесконечно мало; оно называется бесконечно малым преобразованием группы и превращает точку $\textstyle P=(t,x)$ в бесконечно близкую точку $\textstyle P'$ с координатами:

$t'=t+\delta t,\;\;\;\;x'=x+\delta x,$

(20)

где:

$\delta t=\tau (t,x)\delta p,\;\;\;\;\delta x=\xi (t,x)\delta p$

(21)

и введены обозначения:

$\varphi _{p}'(t,x,p_{0})=\tau (t,x),\;\;\;\;\psi _{p}'(t,x,p_{0})=\xi (t,x).$

(22)

В уравнениях (21), которые определяют бесконечно малые преобразования, $\textstyle \delta p$ может быть заменено на $\textstyle \chi \delta p$ (где $\textstyle \chi$ - отличная от нуля константа) без существенных изменений в свойствах группы $\textstyle {\mathfrak {G}}$. Если рассматривать два связанных таким образом бесконечно малых преобразования как тождественные, то каждая однопараметрическая группа будет содержать только одно единственное бесконечно малое преобразование. И наоборот, любое бесконечно малое преобразование (21) однозначно определяет однопараметрическую группу; конечные уравнения (6) находятся путем интегрирования системы:

${\frac {dt'}{\tau (t',x')}}={\frac {dx'}{\xi (t',x')}}=dp$

(23)

с начальными условиями:

$t'=t,\;\;\;x'=x,\;\;\;{\mbox{для}}\;\;\;p=p_{0}.$

(24)

6. Если мы рассмотрим $\textstyle x$ как функцию от $\textstyle t$:

$x=f(t),$

(25)

то получим кривую $\textstyle \Gamma$ в плоскости $\textstyle t,x$, которая превращается при помощи преобразования (6) в другую кривую $\textstyle \Gamma '$ с уравнением

$x'=f_{1}(t').$

(26)

Если мы положим

$w={\frac {dx}{dt}}=f'(t),\;\;\;\;w'={\frac {dx'}{dt'}}=f'_{1}(t'),$

(27)

то преобразование $\textstyle w$, принадлежащее (6):

$w'={\frac {\psi '_{t}(t,x,p)+\psi '_{x}(t,x,p)\cdot w}{\varphi '_{t}(t,x,p)+\varphi '_{x}(t,x,p)\cdot w}}$

(28)

что можно записать сокращенно:

$w'=\chi (t,x,w,p).$

(29)

Это выражение для преобразования $\textstyle w$ при преобразовании координат (6).

Для $\textstyle p=p_{0}$ получим согласно (14):

$\left\{{\begin{array}{lll}\displaystyle \varphi '_{t}(t,x,p_{0})\equiv 1,\;\;\;\displaystyle \varphi '_{x}(t,x,p_{0})\equiv 0,\\[2mm]\displaystyle \psi '_{t}(t,x,p_{0})\equiv 0,\;\;\;\displaystyle \psi '_{x}(t,x,p_{0})\equiv 1,\\\end{array}}\right.$

(30)

следовательно:

$\chi (t,x,w,p_{0})=w,$

(31)

т.е.

$w=w'.$

(32)

Для $\textstyle p=p_{0}+\delta p$ мы получаем:

$w'=w+\delta w$

(33)

и для бесконечно малого преобразования $\textstyle w$:

$\delta w=[\xi '_{t}+(\xi '_{x}-\tau '_{t})w-\tau '_{x}w^{2}]\delta p$

(34)

или более кратко:

$\delta w=\eta (t,x,w)\cdot \delta p.$

(35)

Уравнения (6) и (28) вместе также представляют однопараметрическую группу преобразований $\textstyle {\mathfrak {G}}_{1}$, которые отображают переменные $\textstyle t,x,w$ в $\textstyle t',x',w'$. Эта группа $\textstyle {\mathfrak {G}}_{1}$ называется первой расширенной группой. Ее бесконечно малое преобразование задается уравнениями (21) и (34), и из них же мы находим конечные уравнения (6) и (28) группы путем интегрирования системы

${\frac {dt'}{\tau (t',x')}}={\frac {dx'}{\xi (t',x')}}={\frac {dw'}{\eta (t',x',w')}}=dp$

(36)

с начальными условиями:

$t'=t,\;x'=x,\;w'=w\;\;\;{\mbox{для}}\;\;\;p=p_{0}.$

(37)

II

7. Теперь выберем систему координат $\textstyle S$, состоящую из одной неподвижной прямой — оси $\textstyle x$ и неподвижной точки $\textstyle O$ — начала координат. На оси $\textstyle x$ представим неподвижную шкалу с началом отсчета в точке $\textstyle O$ и часы, размещенные в каждой точке шкалы. Затем рассмотрим движение материальной точки $\textstyle M$ вдоль оси $\textstyle x$ так, что каждому ее положению соответствует определённая пара значений $\textstyle t,x$, то есть определённое положение стрелок тех часов, которые находятся в точке $\textstyle x$ оси, с которой совпадает точка $\textstyle M$, и определённое деление шкалы. Любое такое движение представляется в виде уравнения (25), и скорость $\textstyle w$ тогда задается с помощью первого из уравнений (27).

Если мы рассмотрим величины $\textstyle t,x$ как координаты точки $\textstyle P$ в плоскости $\textstyle t,x$, то каждому положению $\textstyle M$ соответствует определенная точка $\textstyle P$, которая называется относящейся к этому положению пространственно-временной точкой; $\textstyle t,x$ назовем пространственно-временными координатами, измеренными в системе $\textstyle S$. Всё движение точки $\textstyle M$ представляется непрерывной последовательностью пространственно-временных координат, т.е. кривой $\textstyle \Gamma$, уравнение которой — уравнение (25), и которая называется мировой линией этого движения. Скорость $\textstyle w$ в момент времени $\textstyle t$ равна коэффициенту наклона касательной мировой линии в пространственно-временной точке $\textstyle P$. Мировая линия, соответствующая равномерному движению точки $\textstyle M$, является прямой.

8. Наряду с системой $\textstyle S$, мы рассмотрим на той же прямой ещё одно бесконечное множество других систем $\textstyle S'$ (т.е. других измерений длины и времени), каждое из которых связано с определённым значением параметра $\textstyle p$ таким образом, что разным значениям $\textstyle p$ соответствуют разные системы $\textstyle S'$.

Любая пространственно-временная точка $\textstyle P$ с пространственно-временными координатами $\textstyle t,x$ в системе $\textstyle S$, должна также иметь определенные пространственно-временные координаты $\textstyle t',x'$ в каждой из систем $\textstyle S'$, которые зависят только от $\textstyle t,x$ и $\textstyle p$; т. е. пространственно-временные координаты $\textstyle t,x$ и $\textstyle t',x'$ точки $\textstyle P$ в системах $\textstyle S$ и $\textstyle S'$ должны быть связанными посредством уравнений вида (6). Величины $\textstyle t',x'$ называются shape измеренными в системе $\textstyle S'$ пространственно-временными координатами точки $\textstyle P$. Таким образом, соответственно бесконечному количеству пространственно-временных точек, существует бесконечное количество пар значений $\textstyle t',x'$, которые соответствуют бесконечному числу значений параметра $\textstyle p$. Эти пары могут быть получены из $\textstyle t,x$ через однопараметрическое множество $\textstyle {\mathfrak {G}}$ преобразований (6)\footnote{Окончание раздела II с этого момента не является необходимым для понимания хода мыслей работы и служит только для разъяснения нашего постулата А.}.

Если мы выполним одно за другим два преобразования множества $\textstyle {\mathfrak {G}}$ так, что с помощью уравнений преобразования (6) от одной системы $\textstyle S$ перейдем ко второй системе $\textstyle S'$, а от нее — снова с помощью уравнений (7) — к третьей системе $\textstyle S''$, то произведение обоих преобразований, т.е. преобразование (8), которое непосредственно дает переход от $\textstyle S$ к $\textstyle S''$, должно тоже принадлежать множеству $\textstyle {\mathfrak {G}}$. Это значит, что множество $\textstyle {\mathfrak {G}}$ должно обладать групповым свойством.

Далее допустим, что среди систем $\textstyle S'$ встречается сама изначальная система $\textstyle S$. Тогда, если с ней связано значение параметра $\textstyle p_{0}$, то уравнения (6) при $\textstyle p=p_{0}$ должны превращаться в уравнения (15), т.е. множество $\textstyle {\mathfrak {G}}$ должно содержать тождественное преобразование.

Наконец, предположим, что во множестве $\textstyle {\mathfrak {G}}$ для каждого преобразования имеется обратное, то есть для каждого значения параметра $\textstyle p$ существует другое, $\textstyle {\bar {p}}$, такое, что $\textstyle p$ и $\textstyle {\bar {p}}$ удовлетворяют уравнению (18). Тогда преобразования множества $\textstyle {\mathfrak {G}}$ образуют однопараметрическую группу $\textstyle {\mathfrak {G}}$, и мы можем три вышеуказанных допущения свести в одно, предположив, что:

shape Преобразования (6), которые описывают переход от пространственно-временных координат $\textstyle t,x$, измеренных в изначальной системе $\textstyle S$, к пространственно-временным координатам $\textstyle t',x'$, измеренным в системе $\textstyle S'$, образуют однопараметрическую группу с параметром $\textstyle p$.

9. Для дальнейшего уточнения определения группы $\textstyle {\mathfrak {G}}$, сделаем теперь следующие дополнительные допущения:

А. Всякое движение материальной точки $\textstyle M$, которое в отношении неподвижной системы $\textstyle S$ является равномерным, должно также быть равномерным в отношении каждой из двигающихся систем $\textstyle S'$. Следовательно, если мировая линия $\textstyle \Gamma$ движения точки $\textstyle M$ является прямой в $\textstyle S$, то мировая линия $\textstyle \Gamma '$ этого движения в системе $\textstyle S'$ должна также быть прямой; т.е. преобразования группы $\textstyle {\mathfrak {G}}$ должны иметь такие свойства, чтобы преобразовывать прямую снова в прямую.

Однако, единственные преобразования этого вида являются проективными\footnote{С. Ли, Г. Шефферс, [5] стр.32. Теорема 2.}, т.е. такими, уравнения которых (6) имеют следующий специальный вид:

$\left\{{\begin{array}{lll}t'=\displaystyle {\frac {a_{11}(p)t+a_{12}(p)x+a_{13}(p)}{a_{31}(p)t+a_{32}(p)x+a_{33}(p)}},\\[4mm]x'=\displaystyle {\frac {a_{21}(p)t+a_{22}(p)x+a_{23}(p)}{a_{31}(p)t+a_{32}(p)x+a_{33}(p)}}.\end{array}}\right.$

(38)

Итак, группа $\textstyle {\mathfrak {G}}$ определяется как однопараметрическая проективная группа.

В. Всякая пространственно-временная точка, имеющая конечные координаты $\textstyle t,x$ в отношении системы $\textstyle S$, должна также иметь конечные координаты $\textstyle t',x'$ в отношении любой системы $\textstyle S'$. Отсюда следует [5]\footnote{С. Ли, Г. Шефферс, [5], стр. 57-58. Положение 11.}, что в уравнениях (38) должно быть:

$a_{31}(p)\equiv 0,\;\;\;\;a_{32}(p)\equiv 0.$

(39)

Если мы обозначим

${\frac {a_{ik}(p)}{a_{33}(p)}}\;\;\;\;(i=1,2;k=1,2,3)$

(40)

через $\textstyle a_{ik}(p)$, то (38) принимают вид:

$\left\{{\begin{array}{lll}t'=a_{11}(p)t+a_{12}(p)x+a_{13}(p),\\[2mm]x'=a_{21}(p)t+a_{22}(p)x+a_{23}(p).\end{array}}\right.$

(41)

Преобразования (41) оставляют бесконечно удаленную прямую из плоскости $\textstyle t,x$ инвариантной и являются аффинными. Группа $\textstyle {\mathfrak {G}}$, таким образом, называется аффинной или общей линейной.

С. Наконец, точка начала отсчета пространственно-временных измерений должна оставаться той же самой во всех системах, т. е. из

$t=0,\;\;\;\;x=0$

всегда должно следовать

$t'=0,\;\;\;\;x'=0.$

Тогда должно выполняться:

$a_{13}(p)\equiv 0,\;\;\;\;a_{23}(p)\equiv 0,$

(42)

так что уравнения (41) переходят в следующие:

$t'=a_{11}(p)t+a_{12}(p)x,\;\;\;\;x'=a_{21}(p)t+a_{22}(p)x.$

(43)

Таким образом, $\textstyle t',x'$ являются линейными однородными функциями $\textstyle t,x$ с коэффициентами, которые являются функциями только параметра $\textstyle p$. Группа $\textstyle {\mathfrak {G}}$ определяется теперь как однопараметрическая, линейная однородная, и ее преобразования оставляют бесконечно удаленную прямую из плоскости $\textstyle t,x$ и саму точку начала отсчета инвариантными\footnote{С. Ли, Г. Шефферс, [5], с. 134.}. Очевидно, что коэффициенты $\textstyle a_{ik}(p)$ здесь не могут быть выбраны произвольно, а должны удовлетворять определенным условиям, чтобы преобразования составляли группу. В последующих разделах мы займемся определением вида этих коэффициентов.

III

10. Теперь можно подытожить все предположения, которые мы сделали в отношении преобразований (6), следующим образом: shape Преобразования (6), которые связывают пространственно-временные координатаы в начальной и конечной системах $\textstyle S$ и $\textstyle S'$, образуют однопараметрическую линейную однородную группу с параметром $\textstyle p$. Чтобы уравнения (43) со значением параметра $\textstyle p=p_{0}$ преобразовывались в уравнения (15), которые представляют тождественное преобразование, должно быть:

$\left\{{\begin{array}{lll}\displaystyle a_{11}(p_{0})=1,\;\;\;a_{12}(p_{0})=0,\\[2mm]\displaystyle a_{21}(p_{0})=0,\;\;\;a_{22}(p_{0})=1.\end{array}}\right.$

(44)

Для значения параметра $\textstyle p=p_{0}+\delta p$ получим коэффициенты:

$\left\{{\begin{array}{lll}a_{11}(p_{0}+\delta p)=1+a'_{11}(p_{0})\,\delta p,\\[2mm]a_{21}(p_{0}+\delta p)=\;\;\;\;\;\;a'_{21}(p_{0})\,\delta p,\\[2mm]a_{12}(p_{0}+\delta p)=\;\;\;\;\;\;a'_{12}(p_{0})\,\delta p,\\[2mm]a_{22}(p_{0}+\delta p)=1+a'_{22}(p_{0})\,\delta p,\end{array}}\right.$

(45)

и, если мы положим

$\left\{{\begin{array}{lll}a'_{11}(p_{0})=\alpha _{11},\;\;\;a'_{12}(p_{0})=\alpha _{12},\\[2mm]a'_{21}(p_{0})=\alpha _{21},\;\;\;a'_{22}(p_{0})=\alpha _{22},\end{array}}\right.$

(46)

то отсюда следуют уравнения для бесконечно малого преобразования [сравним с уравнениями (19), (20), (21) и (22) в п.5] в виде:

$\delta t=(\alpha _{11}t+\alpha _{12}x)\delta p,\;\;\;\;\delta x=(\alpha _{21}t+\alpha _{22}x)\delta p,$

(47)

таким образом, что для линейной однородной группы (43) выполняется:

$\tau (t,x)\equiv \alpha _{11}t+\alpha _{12}x,\;\;\;\xi (t,x)\equiv \alpha _{21}t+\alpha _{22}x.$

(48)

Коэффициенты $\textstyle \alpha _{11},\alpha _{12},\alpha _{21},\alpha _{22}$ могут быть выбраны произвольно, существенны только их отношения. Таким образом, существует $\textstyle \infty ^{3}$ бесконечно малых преобразований (47), и каждое из них генерирует определенную однопараметрическую линейную однородную группу (43).

11. Рассмотрим теперь некоторое определенное преобразование из $\textstyle {\mathfrak {G}}$, т.е. придадим параметру $\textstyle p$ какое-либо фиксированное значение. Дифференцируя уравнения (43) мы тогда получим:

$dt'=a_{11}(p)\cdot dt+a_{12}(p)\cdot dx,\;\;\;\;dx'=a_{21}(p)\cdot dt+a_{22}(p)\cdot dx,$

(49)

откуда следует, что дифференциалы $\textstyle dt,dx$ преобразовываются так же, как конечные величины $\textstyle t,x$, и что, таким образом, обе пары величин $\textstyle t,x$ и $\textstyle dt,dx$ подвергаются коградиентным преобразованиям (43) и (49).

Из уравнений (49) следует:

${\frac {dx'}{dt'}}={\frac {a_{21}(p)\cdot dt+a_{22}(p)\cdot dx}{a_{11}(p)\cdot dt+a_{12}(p)\cdot dx}}$

(50)

и, таким образом, вследствие (27):

$w'={\frac {a_{21}(p)+a_{22}(p)\cdot w}{a_{11}(p)+a_{12}(p)\cdot w}}.$

(51)

Это уравнение, которое описывает преобразование скорости $\textstyle w$ в $\textstyle w'$, занимает место уравнения (28) и представляет вместе с уравнениями (43) первую расширенную группу $\textstyle {\mathfrak {G}}_{1}$. Особую важность имеет то обстоятельство, что в случае линейной группы $\textstyle w'$ является функцией только от $\textstyle w$ и $\textstyle p$ и не зависит от $\textstyle t$ и $\textstyle x$.

В итоге, мы получаем бесконечно малое преобразование скорости $\textstyle w$ с помощью (34) и (48) в виде:

$\delta w=-[-\alpha _{21}+(\alpha _{11}-\alpha _{22})w+\alpha _{12}w^{2}]\delta p,$

(52)

откуда следует вывод, что функция $\textstyle \eta (t,x,w)$ в (35) уже не содержит величин $\textstyle t$ и $\textstyle x$. С помощью этого бесконечно малого преобразования скорость $\textstyle w$ преобразовывается в $\textstyle w'=w+\delta w$ согласно (33) и, таким образом, тогда и только тогда остается неизменной, когда:

$\delta w=0.$

(53)

Это выполняется для тех скоростей, которые являются корнями квадратного уравнения:

$-\alpha _{21}+(\alpha _{11}-\alpha _{22})w+\alpha _{12}w^{2}=0.$

(54)

Они остаются неизменными при бесконечно малом преобразовании и поэтому (как мы, впрочем, ещё непосредственно покажем в конце п.12) также при любом конечном преобразовании группы $\textstyle {\mathfrak {G}}$. В дальнейшем мы будем называть их выделенными скоростями и предположим, что:

shape Скорость $\textstyle w=0$ (т. е. в состоянии покоя) не должна быть выделенной скоростью, откуда следует, что должно быть:

$\alpha _{21}\neq 0.$

(55)

Из предположения (55) прежде всего следует, что исключается случай:

$\alpha _{11}=\alpha _{22},\;\;\;\;\alpha _{12}=\alpha _{21}=0,$

когда уравнение (54) выполняется тождественно и, таким образом, каждая скорость $\textstyle w$ была бы выделенной. В любом другом случае мы имеем только две выделенные скорости, которые обозначим $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$, а именно:

$c_{1}={\frac {\alpha _{22}-\alpha _{11}+{\sqrt {\theta }}}{2\alpha _{12}}},\;\;\;\;c_{2}={\frac {\alpha _{22}-\alpha _{11}-{\sqrt {\theta }}}{2\alpha _{12}}},$

(56)

где

$\theta =(\alpha _{11}-\alpha _{22})^{2}+4\alpha _{12}\alpha _{21}.$

(57)

Основные симметричные функции корней $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$:

$c_{1}+c_{2}={\frac {\alpha _{22}-\alpha _{11}}{\alpha _{12}}},\;\;\;\;c_{1}c_{2}=-{\frac {\alpha _{21}}{\alpha _{12}}},$

(58)

и при помощи этих отношений можно легко привести бесконечно малое преобразование (52) к виду:

$\delta w=\alpha _{21}\left(1-{\frac {w}{c_{1}}}\right)\left(1-{\frac {w}{c_{2}}}\right)\delta p,$

(59)

в котором значение $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$ как выделенных скоростей становится особенно очевидным.

IV

12. Теперь, чтобы найти конечные уравнения (43) и (52) расширенной группы $\textstyle {\mathfrak {G}}_{1}$, которая генерируется бесконечно малыми преобразованиями (47) и (51), мы должны были бы согласно п.6 (36) интегрировать с начальными условиями (37) систему:

${\frac {dt'}{\alpha _{11}t'+\alpha _{12}x'}}={\frac {dx'}{\alpha _{21}t'+\alpha _{22}x'}}={\frac {dw'}{-[-\alpha _{21}+(\alpha _{11}-\alpha _{22})w'+\alpha _{12}w'^{2}]}}=dp$

(60)

Между тем, мы хотим определить только уравнение (51) для преобразования скорости $\textstyle w$, для чего используем то обстоятельство, что $\textstyle w'$ зависит только от $\textstyle w$ и $\textstyle p$, но не от $\textstyle t$ и $\textstyle x$, так что мы можем непосредственно отдельно интегрировать содержащееся в системе (60) уравнение

${\frac {dw'}{-[-\alpha _{21}+(\alpha _{11}-\alpha _{22})w'+\alpha _{12}w'^{2}]}}=dp$

(61)

с начальным условием

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle w'=w\;\;\;для\;\;\;p=p_{0}. }

(62)

Получаем следующее выражение:

$\int \limits _{w}^{w'}{\frac {dw'}{-[-\alpha _{21}+(\alpha _{11}-\alpha _{22})w'+\alpha _{12}w'^{2}]}}=\int \limits _{p_{0}}^{p}dp,$

(63)

и отсюда, если вычислить интегралы и принять во внимание, что обе выделенные скорости $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$ являются нулями знаменателя в первом интеграле (63):

${\frac {1}{\sqrt {\theta }}}\;\;\ln \;\;(c_{1},c_{2},w,w')=p-p_{0},$

(64)

где под $\textstyle (c_{1},c_{2},w,w')$ понимается двойное перекрестное отношение четырех значений $\textstyle c_{1},c_{2},w,w'$, т.е. выражение

$(c_{1},c_{2},w,w')={\frac {(c_{1}-w)(c_{2}-w')}{(c_{2}-w)(c_{1}-w')}}.$

(65)

Из (64) в итоге следует:

$(c_{1},c_{2},w,w')=e^{{\sqrt {\theta }}\cdot (p-p_{0})},$

(66)

и отсюда можно найти, решая относительно $\textstyle w'$:

$w'={\frac {c_{1}c_{2}[1-e^{{\sqrt {\theta }}(p-p_{0})}]-[c_{2}-c_{1}e^{{\sqrt {\theta }}(p-p_{0})}]\cdot w}{[c_{1}-c_{2}e^{{\sqrt {\theta }}(p-p_{0})}]-[1-e^{{\sqrt {\theta }}(p-p_{0})}]\cdot w}},$

(67)

с помощью чего находится конечное уравнение для преобразования скорости (ср. уравнения (28) и (51)). В (67) можно ещё заменить $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$ на их значения (56).\footnote{Обратим внимание, что уравнения (64), (66) и (67) не зависят от знака, который присваивается величине $\textstyle {\sqrt {\theta }}$. Если заменить $\textstyle {\sqrt {\theta }}$ на $\textstyle -{\sqrt {\theta }}$, то согласно (56) обе выделенные скорости $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$ переходят друг в друга, и уравнения остаются неизменными.}

Наконец, из уравнения (67) можно увидеть, что обе выделенные скорости $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$ фактически остаются неизменными при любом конечном преобразовании группы и, таким образом, в любой системе $\textstyle S'$ имеют одни и те же значения. Положим:

$w=\left\{{\begin{array}{lll}c_{1}\\c_{2}\end{array}}\right.$

откуда следует, что

$w'=\left\{{\begin{array}{lll}c_{1}\\c_{2}\end{array}}\right.=w$

для произвольного значения параметра $\textstyle p$ (ср. п.11).

13. Рассмотрим теперь системы $\textstyle S'$, которые мы ввели в разделе II, п.8, как двигающиеся с различными поcтоянными скоростями $\textstyle q$ по отношению к системе $\textstyle S$, которую мы считаем неподвижной. Тогда с каждой системой $\textstyle S'$ связано как определенное значение параметра $\textstyle p$, так и определенная скорость $\textstyle q$, откуда следует, что между $\textstyle p$ и $\textstyle q$ должна существовать определенная связь, которую мы запишем в виде:

$p=F(q).$

(68)

Таким образом, параметр $\textstyle p$ выступает как функция скорости $\textstyle q$.

При помощи уравнения (68) введем в уравнения (43) и (51) скорость $\textstyle q$ вместо параметра $\textstyle p$; при этом в группе $\textstyle {\mathfrak {G}}_{1}$ ничего существенно не изменится. Скорость $\textstyle q$ может теперь рассматриваться как новый параметр группы.

Чтобы определить скорость $\textstyle q$ и тем самым определить вид функции $\textstyle F(q)$, выдвинем следующий постулат:

shape Если материальная точка $\textstyle M$ двигается в неподвижной системе $\textstyle S$ со скоростью $\textstyle w=q$, то она должна иметь скорость $\textstyle w'=0$ по отношению к системе $\textstyle S'$, равномерно двигающейся относительно $\textstyle S$ со скоростью $\textstyle q$.

Этот постулат утверждает, что пара значений

$w=q,\;\;\;\;w'=0$

(69)

должна удовлетворять уравнению (64), так что мы имеем:

$p-p_{0}={\frac {1}{\sqrt {\theta }}}\;\;\ln \;\;(c_{1},c_{2},q,0).$

(70)

Отсюда находим для искомой функции $\textstyle F(q)$:

$p=F(q)=p_{0}+{\frac {1}{\sqrt {\theta }}}\;\;\ln \;\;{\frac {c_{2}(c_{1}-q)}{c_{1}(c_{2}-q)}}$

(71)

и путем подстановки этого выражения в (67) получаем уравнение преобразования для скорости $\textstyle w$ вида:

$w'={\frac {c_{1}c_{2}(w-q)}{c_{1}c_{2}-(c_{1}+c_{2})q+qw}},$

(72)

и окончательно, в соответствии с (58):

$w'={\frac {-\alpha _{21}(w-q)}{-\alpha _{21}+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}qw}}.$

(73)

Далее, из уравнения (71) следует, что значению параметра $\textstyle p_{0}$ тождественного преобразования соответствует нулевое значение скорости $\textstyle q$, и, таким образом, покоящуюся систему $\textstyle S$ следует рассматривать как одну из систем $\textstyle S'$, которая двигается со скоростью $\textstyle q=0$.

14. Если мы с этого момента будем рассматривать скорость $\textstyle q$ как параметр нашей группы и положим:

$a_{ik}(F(q))\equiv b_{ik}(q),\;\;\;\;(i,k=1,2),$

(74)

то получим вместо (43) и (51) уравнения

$t'=b_{11}(q)\cdot t+b_{12}(q)\cdot x,\;\;\;x'=b_{21}(q)\cdot t+b_{22}(q)\cdot x$

(43a)

и

$w'={\frac {b_{21}(q)+b_{22}(q)\cdot w}{b_{11}(q)+b_{12}(q)\cdot w}},$

(51a)

которые определяют теперь группу $\textstyle {\mathfrak {G}}_{1}$. Если мы положим в уравнении (51a) $\textstyle w=q$, то получим, что $\textstyle w'=0$ при любом значении $\textstyle q$. Отсюда следует тождество:

$b_{21}(q)+q\cdot b_{22}(q)\equiv 0.$

(75)

Если мы положим в основу группы $\textstyle {\mathfrak {G}}_{1}$ новые уравнения (43a) и (51a), то значение $\textstyle q=0$ будет приводить к тождеству, и, следовательно, значение $\textstyle q=\delta q$ — соответствует бесконечно малому преобразованию. Тот же вывод мы можем сделать и из уравнений (47), так как хотя сами значения коэффициентов $\textstyle a_{ik}$ могут измениться в результате введения нового параметра $\textstyle q$, но их отношения — нет, а именно они являются существенными.

В результате нормировки параметра группы, сами коэффициенты $\textstyle a_{ik}$ также получают теперь определенные значения, в то время как до настоящего момента были определены только их отношения. В самом деле, согласно (45) и (46):

$b_{21}(\delta q)=\alpha _{21}\delta q,\;\;\;\;b_{22}(\delta q)=1+\alpha _{22}\delta q,$

и отсюда мы получаем, положив в тождестве (75) $\textstyle q=\delta q$ и опустив в $\textstyle \delta q$ члены второго порядка,

$(\alpha _{21}+1)\delta q=0,$

то есть

$\alpha _{21}=-1,$

(76)

поскольку $\textstyle \delta q\neq 0$. Таким образом, коэффициент $\textstyle a_{21}$, который до сих пор был связан только неравенством (55), теперь определен точно.

В соответствии с (44) и (46) мы далее получаем уравнения для новых коэффициентов $\textstyle b_{ik}(q)$ в (43a) и (51a):

$\left\{{\begin{array}{lll}b_{11}(0)=1,\;\;\;b_{12}(0)=0,\\[2mm]b_{21}(0)=0,\;\;\;b_{22}(0)=1\end{array}}\right.$

(44a)

и

$\left\{{\begin{array}{lll}b'_{11}(0)=\alpha _{11},\;\;\;b'_{12}(0)=\alpha _{12},\\[2mm]b'_{21}(0)=-1,\;\;\;b'_{22}(0)=\alpha _{22}.\end{array}}\right.$

(46a)

Подставив значение (76) в уравнения (47) и (52), мы получим для бесконечно малого преобразовании группы $\textstyle {\mathfrak {G}}$:

$\delta t=(\alpha _{11}\;t+\alpha _{12}\;x)\delta q,\;\;\;\delta x=(-t+\alpha _{22}\;x)\delta q,$

(47a)

и для бесконечно малого преобразовании скорости $\textstyle w$:

$\delta w=-[1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})w+\alpha _{12}w^{2}]\delta q,$

(52a)

или согласно (59):

$\delta w=-\left(1-{\frac {w}{c_{1}}}\right)\left(1-{\frac {w}{c_{2}}}\right)\delta q.$

(59a)

Конечное уравнение (73) для преобразования скорости $\textstyle w$ переходит в

$w'={\frac {w-q}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}qw}},$

(73a)

и из уравнения (57) мы в итоге получаем:

$\theta =(\alpha _{11}-\alpha _{22})^{2}-4\alpha _{12}.$

(57a)

15. Если мы объединим преобразование (73a), соответствующее значению параметра $\textstyle q$ и преобразующее $\textstyle w$ в $\textstyle w'$, с другим преобразованием того же вида:

$w''={\frac {w'-q'}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q'+\alpha _{12}q'w'}},$

(77)

которое соответствует значению параметра $\textstyle q'$ и преобразует $\textstyle w'$ в $\textstyle w''$, то из группового свойства наших преобразований следует, что суммарное преобразование, которое преобразует $\textstyle w$ непосредственно в $\textstyle w''$, должно иметь вид:

$w''={\frac {w-q''}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q''+\alpha _{12}q''w}},$

(78)

где значение параметра $\textstyle q''$ согласно (13) является функцией от $\textstyle q$ и $\textstyle q'$.

Чтобы определить эту функцию в нашем случае, нам нужно лишь найти в явном виде комбинацию двух преобразований (73a) и (77). Получим:

$\left\{{\begin{array}{lll}w''=\displaystyle {\frac {{\displaystyle {\frac {w-q}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}qw}}}-q'}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q'+\displaystyle {\frac {\alpha _{12}q'(w-q)}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}qw}}}}\\[10mm]=\displaystyle {\frac {w-\displaystyle {\frac {q+q'+(\alpha _{11}-\alpha _{22})qq'}{1-\alpha _{12}qq'}}}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})\displaystyle {\frac {q+q'+(\alpha _{11}-\alpha _{22})qq'}{1-\alpha _{12}qq'}}+\alpha _{12}{\frac {q+q'+(\alpha _{11}-\alpha _{22})qq'}{1-\alpha _{12}qq'}}w}},\end{array}}\right.$

(79)

откуда, после сравнения с (78), следует:

$q''={\frac {q+q'+(\alpha _{11}-\alpha _{22})qq'}{1-\alpha _{12}qq'}}.$

(80)

Это уравнение, которое определяет теперь группу параметров $\textstyle {\mathfrak {B}}$ нашей группы $\textstyle {\mathfrak {G}}$ (и $\textstyle {\mathfrak {G_{1}}}$)\footnote{Если придерживаться первоначального группового параметра Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle р} , как это имеет место, например, в (67), то уравнение (13) группы параметров имеет вид: $\textstyle p''=p+p'-p_{0}$.}, выражает теорему сложения скоростей $\textstyle q$, где $\textstyle q''$ и $\textstyle q'$ означают скорость системы $\textstyle S''$ относительно систем $\textstyle S$ и $\textstyle S'$ соответственно, а $\textstyle q$ — скорость $\textstyle S'$ по отношению к неподвижной системе $\textstyle S$.

Наконец, если уравнение (77) представляет собой преобразование, обратное (73a), т.е.

$w''=w$

то комбинированное преобразование (78) должно быть тождественным, а значит, $\textstyle q''=0$. Однако, из (80), если мы обозначим через $\textstyle {\bar {q}}$ значение параметра преобразования, обратного (73a), следует:

$q+{\bar {q}}+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q{\bar {q}}=0,$

(81)

и, таким образом,

${\bar {q}}={\frac {-q}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q}}.$

(82)

Если подставить это значение вместо $\textstyle q'$ в (77), получим уравнение для преобразования, обратного (73a):

$w={\frac {q+w'+(\alpha _{11}-\alpha _{22})qw'}{1-\alpha _{12}qw'}},$

(83)

которое можно также получить непосредственно, решая (73a) относительно $\textstyle w$.

Формула (83) показывает, что $\textstyle w$ находится из $\textstyle q$ и $\textstyle w'$ точно таким же способом, как $\textstyle q''$ из $\textstyle q$ и $\textstyle q'$ — эта аналогия легко объясняется кинематическим смыслом уравнений (80) и (83).

V

16. Прежде чем мы выведем общий случай конечных уравнений (43a) группы $\textstyle {\mathfrak {G}}$, рассмотрим более подробно в качестве иллюстрации к предшествующим выкладкам две специальные однопараметрические однородные группы (2) и (1) преобразований Галилея и Лоренца, упомянутые в начале статьи.

Коэффициенты $\textstyle b_{ik}(q)$ группы (2) преобразований Галилея имеют вид:

$\left\{{\begin{array}{lll}b_{11}(q)\equiv 1,\;\;\;\;\;b_{12}(q)\equiv 0,\\[2mm]b_{21}(q)\equiv -q,\;\;b_{22}(q)\equiv 1;\end{array}}\right.$

(84)

отсюда получаем при $\textstyle q=0$:

$\left\{{\begin{array}{lll}b_{11}(0)=1,\;\;\;\;b_{12}(0)=0,\\[2mm]b_{21}(0)=0,\;\;\;\;b_{22}(0)=1,\end{array}}\right.$

(44b)

в соответствии с уравнениями (44a). Далее, из (84) следует:

$\left\{{\begin{array}{lll}b'_{11}(q)\equiv 0,\;\;\;\;\;b'_{12}(q)\equiv 0,\\[2mm]b'_{21}(q)\equiv -1,\;\;b'_{22}(q)\equiv 0;\end{array}}\right.$

(85)

а отсюда согласно (46a):

$\left\{{\begin{array}{lll}\alpha _{11}=b'_{11}(0)=0,&\alpha _{12}=b'_{12}(0)=0,\\[2mm]\alpha _{21}=b'_{21}(0)=-1,&\alpha _{22}=b'_{22}(0)=0,\end{array}}\right.$

(46b)

так что уравнению (76) выполняется. Для бесконечно малого преобразования (47a) и (52a) получаем:

$\delta t=0,\;\;\;\delta x=-t\delta q$

(47b)

и

$\delta w=-\delta q.$

(52b)

Наконец, используя уравнение (57a), получим:

$\theta =0,$

(57b)

таким образом, обе выделенные скорости $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$ станут равны друг другу, а именно:

$c_{1}=c_{2}=\infty ,$

(86)

в то время как конечное уравнение (73a) для преобразования скорости переходит в

$w'=w-q.$

(73b)

Для группы (1) преобразований Лоренца коэффициенты $\textstyle b_{ik}(q)$ даются выражениями

$\left\{{\begin{array}{lll}b_{11}(q)\equiv \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}},\;\;\;b_{12}(q)\equiv \displaystyle {\frac {-{\frac {q}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}},\\[8mm]b_{21}(q)\equiv \displaystyle {\frac {-q}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}},\;\;\;b_{22}(q)\equiv \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}\end{array}}\right.$

(87)

откуда при $\textstyle q=0$ снова получаем уравнения (44a). Для производных $\textstyle b'_{ik}(q)$ этих коэффициентов находим:

$\left\{{\begin{array}{lll}b'_{11}(q)\equiv \displaystyle {\frac {\frac {q}{c^{2}}}{\left(1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}},\;\;\;b'_{12}(q)\equiv \displaystyle {\frac {-{\frac {1}{c^{2}}}}{\left(1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}},\\[8mm]b'_{21}(q)\equiv \displaystyle {\frac {-1}{\left(1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}},\;\;\;b'_{22}(q)\equiv \displaystyle {\frac {\frac {q}{c^{2}}}{\left(1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}},\end{array}}\right.$

(88)

а отсюда согласно (46a) следует:

$\left\{{\begin{array}{lll}\alpha _{11}=b'_{11}(0)=0,&\alpha _{12}=b'_{12}(0)=-{\frac {1}{c^{2}}},\\[2mm]\alpha _{21}=b'_{21}(0)=-1,&\alpha _{22}=b'_{22}(0)=0,\end{array}}\right.$

(46c)

то есть снова выполняется уравнение (76). С учетом этого уравнения (47a) и (52a) для бесконечно малого преобразования принимают вид:

$\delta t=-{\frac {x}{c^{2}}}\delta q,\;\;\;\delta x=-t\delta q,$

(47c)

и

$\delta w=-\left(1-{\frac {w^{2}}{c^{2}}}\right)\delta q.$

(52c)

Таким образом, мы получаем значения обеих выделенных скоростей $\textstyle c_{1}$ и $\textstyle c_{2}$:

$c_{1}=-c,\;\;\;c_{2}=+c,$

(89)

в то время как согласно (57a):

$\theta ={\frac {4}{c^{2}}}.$

(57c)

Наконец, из (73a) получаем конечное уравнение преобразования скорости $\textstyle w$:

$w'={\frac {w-q}{1-\displaystyle {\frac {q}{c^{2}}}w}}.$

(73a)

VI

Перейдем теперь к выводу общих уравнений однопараметрической линейной однородной группы $\textstyle {\mathfrak {G}}$, т.е. к определению коэффициентов $\textstyle b_{ik}(q)$ в (43a).

Из сравнения двух уравнений (51a) и (73a), которые должны согласовываться друг с другом, следует, что четыре коэффициента

$\left\{{\begin{array}{lll}b_{11}(q),\;\;\;b_{12}(q),\\[2mm]b_{21}(q),\;\;\;b_{22}(q)\end{array}}\right.$

(90)

должны быть пропорциональны четырем величинам:

$\left\{{\begin{array}{lll}1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q,\;\;\;\alpha _{12}q,\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-q,\;\;\;\;\;1\end{array}}\right.$

(91)

где коэффициент пропорциональности, который ещё следует определить, может быть лишь функцией от $\textstyle q$, которую мы обозначим $\textstyle w(q)$, так что:

$\left\{{\begin{array}{lll}b_{11}(q)\equiv w(q)\cdot [1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q],\;\;\;b_{12}(q)\equiv w(q)\cdot \alpha _{12}q,\\b_{21}(q)\equiv w(q)\cdot (-q),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b_{22}(q)\equiv w(q)\end{array}}\right.$

(92)

благодаря чему, кроме того, также удовлетворяется тождество (75). Подставляя значения (92) в уравнения (43a), получим их в виде:

$\left\{{\begin{array}{lll}t'=w(q)\{[1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q]t+\alpha _{12}qx\},\\[2mm]x'=w(q)\{-qt+x\},\end{array}}\right.$

(93)

где функция $\textstyle w(q)$ все ещё неизвестна.

18. При помощи уравнений (93) мы можем сделать вывод о кинематическом значении фактора $\textstyle w(q)$, прежде чем определим его явный вид. А именно, рассмотрим материальную точку $\textstyle M$, которая двигается вдоль оси $\textstyle x$ с постоянной скоростью $\textstyle w$ по отношению к системе $\textstyle S$ и находится в момент времени $\textstyle t=0$ в точке $\textstyle x=a$. Тогда ее движение по отношению к $\textstyle S$ задается уравнением:

$x=a+wt.$

(94)

Теперь, чтобы найти уравнение движения точки $\textstyle M$ по отношению к системе $\textstyle S'$, двигающейся по отношению к $\textstyle S$ со скоростью $\textstyle q$, решим уравнения (93) по $\textstyle t$ и $\textstyle x$, что даст нам уравнение для преобразования, обратного к (92):

$\left\{{\begin{array}{lll}t=\displaystyle {\frac {t'-\alpha _{12}qx'}{w(q)[1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}]}},\\[6mm]x=\displaystyle {\frac {qt'+[1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q]x'}{w(q)[1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}]}}\end{array}}\right.$

(95)

и подставим найденные выражения (95) в (94). Таким образом получим:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle qt'+[1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q]x'\\ =a[1+(\alpha_{11}-\alpha_{22})q+\alpha_{12}q^{2}]w(q)+wt'-\alpha_{12}qwx'.}

Решив эти уравнения по $\textstyle x$, получим:

$\left\{{\begin{array}{rcl}x'&=&a\displaystyle {\frac {1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}qw}}\cdot w(q)\\[4mm]&+&\displaystyle {\frac {w-q}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}qw}}t',\end{array}}\right.$

(96)

или

$x'=a'+w't',$

(97)

если

$a'=a\displaystyle {\frac {1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}qw}}\cdot w(q)$

(98)

имеет значение $\textstyle x'$ в момент времени $\textstyle t'=0$ и $\textstyle w'$ — скорость точки $\textstyle M$ по отношению к системе $\textstyle S'$, найденная с помощью (73a).

Рассмотрим две материальные точки $\textstyle M_{1}$ и $\textstyle M_{2}$, которые имеют пространственно-временные координаты $\textstyle t_{1}$, $\textstyle x_{1}$ и $\textstyle t_{2}$, $\textstyle x_{2}$, измеренные в неподвижной системе $\textstyle S$, и которые двигаются с одной и той же постоянной скоростью $\textstyle w$. Тогда, если в момент времени

$t_{1}=t_{2}=0$

местоположения точек $\textstyle M_{1}$ и $\textstyle M_{2}$ заданы как

$x_{1}=a_{1},\;\;\;x_{2}=a_{2},$

то уравнения движения этих двух точек по отношению к системе $\textstyle S$ выглядят так:

$x_{1}=a_{1}+wt_{1},\;\;\;x_{2}=a_{2}+wt_{2},$

(99)

в то время как их уравнения движения по отношению к системе $\textstyle S'$, двигающейся по отношению к системе $\textstyle S$ со скоростью $\textstyle q$ имеют вид:

$x'_{1}=a'_{1}+w't'_{1},\;\;\;x'_{2}=a'_{2}+w't'_{2},$

(100)

где $\textstyle t'_{1}$, $\textstyle x'_{1}$ и $\textstyle t'_{2}$, $\textstyle x'_{2}$ — пространственно-временные координаты точек $\textstyle M_{1}$ и $\textstyle M_{2}$, измеренные в системе $\textstyle S'$. Далее, согласно (98) получим:

$\left\{{\begin{array}{lll}a'_{1}=a_{1}\displaystyle {\frac {1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}qw}}\cdot w(q),\\[4mm]a'_{2}=a_{2}\displaystyle {\frac {1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}qw}}\cdot w(q)\end{array}}\right.$

(101)

а скорость точек $\textstyle w'$ по отношению к системе $\textstyle S'$ снова находится с помощью(73a).

Так как обе точки $\textstyle M_{1}$ и $\textstyle M_{2}$ двигаются по оси $\textstyle x$ с одинаковой скоростью $\textstyle w$, мы можем представить себе их как два конца жесткого стержня, длину которого $\textstyle l$, измеренную в системе $\textstyle S$, получаем как расстояние двух одновременно взятых положений $\textstyle M_{1}$ и $\textstyle M_{2}$ относительно $\textstyle S$, для чего положим в (99):

$t_{1}=t_{2}$

и вычтем первое уравнение из второго:

$l=x_{2}-x_{1}=a_{2}-a_{1}.$

(102)

Таким же образом полагая в уравнениях (100)

$t'_{1}=t'_{2},$

находим для измеренной в системе $\textstyle S'$ длины стержня $\textstyle l'$ выражение

$l'=x'_{2}-x'_{1}=a'_{2}-a'_{1}.$

(103)

Таким образом, из (101) и (102) следует:

$l'=\displaystyle {\frac {1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}qw}}\cdot w(q)\cdot l.$

(104)

В заключение допустим, что стержень не двигается по отношению к системе $\textstyle S'$, так что $\textstyle w'=0$. Тогда в соответствии с (69) он двигается по отношению к системе $\textstyle S$ со скоростью $\textstyle w=q$, и из (104) получаем:

$l'=w(q)\cdot l$

(105)

и, следовательно:

shape Функция $\textstyle w(q)$ пределяет тот фактор, на который нужно умножить измеренную в неподвижной системе $\textstyle S$ длину $\textstyle l$ жесткого стержня, равномерно двигающегося по отношению к системе $\textstyle S$ со скоростью $\textstyle w=q$, чтобы получить его длину $\textstyle l'$ в той системе $\textstyle S'$, по отношению к которой он находится в состоянии покоя.

Полученный фактор $\textstyle w(q)$ называется сокращением.

19. Теперь, чтобы определить вид функции $\textstyle w(q)$, объединим принадлежащее значению параметра $\textstyle q$ преобразование (93), которое отображает $\textstyle t,x$ в $\textstyle t',x'$, с некоторым другим преобразованием группы $\textstyle {\mathfrak {G}}$

$\left\{{\begin{array}{lll}t''=w(q')\{[1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q']t'+\alpha _{12}q'x'\},\\[2mm]x''=w(q')\{-q't'+x'\}\end{array}}\right.$

(106)

которое соответствует значению параметра $\textstyle q'$ и преобразует $\textstyle t',x'$ в $\textstyle t'',x''$. Из группового свойства преобразований (93) следует, что результирующее преобразование, которое преобразует $\textstyle t,x$ непосредственно в $\textstyle t'',x''$, должно иметь вид:

$\left\{{\begin{array}{lll}t''=w(q'')\{[1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q'']t+\alpha _{12}q''x\},\\[2mm]x''=w(q'')\{-q''t+x\}\end{array}}\right.$

(107)

где параметр $\textstyle q''$ задается уравнением (80) как функция от $\textstyle q$ и $\textstyle q'$.

Если явно проделать объединение обоих преобразований (93) и (106), то с учетом уравнения (80) получим:

$\left\{{\begin{array}{lll}t''=(1-\alpha _{12}qq')w(q)w(q')\{[1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q'']t+\alpha _{12}q''x\},\\[2mm]x''=(1-\alpha _{12}qq')w(q)w(q')\{-q''t+x''\},\end{array}}\right.$

(108)

откуда путем сравнения с (107) следует:

$w(q'')=(1-\alpha _{12}qq')w(q)w(q'),$

(109)

таким образом, согласно (80) получим:

$w\left({\frac {q+q'+(\alpha _{11}-\alpha _{22})qq'}{1-\alpha _{12}qq'}}\right)=(1-\alpha _{12}qq')w(q)w(q').$

(110)

Это — функциональное уравнение, при помощи которого можно определить функцию $\textstyle w(q)$. С этой целью продифференцируем (110) по $\textstyle q'$ и затем положим $\textstyle q'=0$, получая в результате:

$w'(q)[1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}]=w(q)[w'(0)-\alpha _{12}w(0)q].$

(111)

Однако, согласно последнему уравнению в системе (92),

$w(q)\equiv b_{22}(q),$

так что мы получаем также условия для сокращения $\textstyle w(q)$ согласно (44a) и (46a):

$w(0)=b_{22}(0)=1$

(112)

и

$w'(0)=b'_{22}(0)=\alpha _{22},$

(113)

с помощью которых находим из (111) дифференциальное уравнение:

$w'(q)[1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}]=w(q)[\alpha _{22}-\alpha _{12}q]$

(114)

с начальным условием (112). Из (114) следует:

${\frac {w'(q)}{w(q)}}={\frac {\alpha _{22}-\alpha _{12}q}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}}}$

(115)

а отсюда:

$\int \limits _{0}^{q}{\frac {w'(q)}{w(q)}}dq=\int \limits _{0}^{q}{\frac {\alpha _{22}-\alpha _{12}q}{1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}}}dq.$

(116)

Если вычислить интегралы с обеих сторон и решить получившееся уравнение по $\textstyle w(q)$, найдем в результате выражение для сокращения:

$w(q)={\frac {1}{\sqrt {1+(\alpha _{11}-\alpha _{22})q+\alpha _{12}q^{2}}}}\left[{\frac {1+{\frac {\alpha _{11}-\alpha _{22}+{\sqrt {\theta }}}{2}}q}{1+{\frac {\alpha _{11}-\alpha _{22}-{\sqrt {\theta }}}{2}}q}}\right]^{\frac {\alpha _{11}+\alpha _{22}}{2{\sqrt {\theta }}}},$

(117)

которое действительно удовлетворяет условию (113).

Таким образом, конечные уравнения (93) общей однопараметрической линейной однородной группы, которая генерируется бесконечно малым преобразованием (47) при условии (55), теперь полностью определены.\footnote{Изменение знака $\textstyle {\sqrt {\theta }}$ также не влияет на уравнение (117). (Ср. подстрочное примечание в п. 12)}

20. Для группы Галилея находим, в частности, с помощью (46b):

$w(q)=1$

(117a)

и для группы Лоренца с помощью (46c):

$w(q)={\frac {1}{\sqrt {1+\alpha _{12}q^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}},$

(117b)

что находится в соответствии с уравнениями (2) и (1).

VII

21. Приступим теперь к тому, чтобы применить постулат $\textstyle B$ из введения и проверить, какие из $\textstyle \infty ^{3}$ групп преобразований, полученных с помощью уравнений (93) и (117), приводят к сокращению $\textstyle w(q)$, являющемуся четной функцией скорости $\textstyle q$, т.е. не выделяют ни одно из направлений оси $\textstyle x$.

Для этого безусловно необходимо и достаточно, чтобы производные нечетного порядка функции $\textstyle w(q)$ исчезли в точке $\textstyle q=0$. В частности, имеем:

$\left({\frac {dw}{dq}}\right)_{q=0}=w'(0)=0,\;\;\;\left({\frac {d^{3}w}{dq^{3}}}\right)_{q=0}=w'''(0)=0.$

(118)

Таким образом, вычислим величины $\textstyle w(0)$, $\textstyle w'(0)$, $\textstyle w''(0)$, $\textstyle w'''(0)$.

Первые две получаем, используя уравнения (112) и (113); остальные проще всего получить путем повторного дифференцирования уравнения (114). Если наряду с этим мы положим $\textstyle q=0$, то получим:

$w''(0)+(\alpha _{11}-2\alpha _{22})w'(0)+\alpha _{12}w(0)=0,$

(119)

$w'''(0)+(2\alpha _{11}-3\alpha _{22})w''(0)+4\alpha _{12}w'(0)=0.$

(120)

Отсюда следует, что:

$w''(0)=-\alpha _{12}-\alpha _{22}(\alpha _{11}-2\alpha _{22}),$

(121)

$w'''(0)=2\alpha _{11}\alpha _{12}+\alpha _{22}(2\alpha _{11}^{2}-7\alpha _{12}-7\alpha _{11}\alpha _{22}+6\alpha _{22}^{2}).$

(122)

Из первого уравнения в (118) в сочетании с уравнением (113) следует:

$\alpha _{22}=0$

(123)

и в сочетании с (123):

$\alpha _{11}\alpha _{12}=0$

(124)

Итак, уравнения (123) и (124) обязательно должны выполняться, для того, чтобы уравнения преобразования приводили к сокращению, удовлетворяющему постулату $\textstyle B$. Мы вскоре увидим, что существования уравнений (123) и (124) также и достаточно для этого.

22. А именно, в соответствии с уравнением (124) получаем три случая:

$1.\;\;\alpha _{11}=0,\;\;\;\alpha _{12}=0,$

(125a)

$2.\;\;\alpha _{11}=0,\;\;\;\alpha _{12}\neq 0,$

(125b)

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\theequation»): {\displaystyle 3.\;\;\alpha_{11}\neq 0,\;\;\;\alpha_{12}=0. \theequation\addtocounter{equation}{1} }

(125c)

Каждой из этих возможностей соответствует определенный вид уравнений преобразования, удовлетворяющий нашим постулатам $\textstyle A$ и $\textstyle B$.

Как можно увидеть из уравнения (93) в учетом с (117) и (117a), первый случай приводит к группе преобразований Галилея; второй случай, как видно из уравнений (93) в сочетании с (117) и (117b), ведет к преобразованиям Лоренца.

23. Третий подслучай, однако, ведет к пока ещё не рассмотренной группе. Из уравнения (117) в сочетании с (123) и (125c) следует:

$w(q)=1,$

(126)

а из уравнения (93):

$\left\{{\begin{array}{lll}t'=(1+\alpha _{11}q)t,\\[2mm]x'=-qt+x.\end{array}}\right.$

(127)

Выделенные скорости имеют значения:

$c_{1}=-{\frac {1}{\alpha _{11}}},\;\;\;c_{2}=\infty ,$

(128)

так как это корни квадратного уравнения (54) в случае, если его коэффициенты удовлетворяют условиям (76), (123) и (125c). Уравнения преобразования можно в таком случае записать следующим образом:

$\left\{{\begin{array}{lll}t'=\left(1-{\frac {q}{c_{1}}}\right)t,\\[2mm]x'=-qt+x\end{array}}\right.$

(129)

Представленную с помощью этого преобразования синхронизацию часов можно интерпретировать физически аналогично тому, как это делал Эйнштейн\footnote{А. Эйнштейн, [6] Анналы физики, 17, с. 891, 1905.} в случае преобразований Лоренца.

Предположим, что в момент времени $\textstyle t=0$ из начала координат выходит луч света в положительном направлении и распространяется со скоростью $\textstyle c_{1}$. Если тело двигается со скоростью $\textstyle q$, то скорость света по отношению к этому телу будет $\textstyle c_{1}-q$ (в покоящейся система). Если мы хотим, чтобы скорость луча света по отношению к двигающемуся телу была равна $\textstyle c_{1}$, этого можно достигнуть путем изменения скорости хода часов в отношении $\textstyle c_{1}$ к $\textstyle c_{1}-q$. Таким образом, мы вводим для двигающегося тела время $\textstyle t'$, такое что:

$t'={\frac {c_{1}-q}{c_{1}}}t,$

то есть получаемое из первого уравнения (129). Такое регулирование времени соответствует принципу Доплера, и поэтому мы будем называть уравнения (129) преобразованиями Доплера.

Преобразование Доплера весьма существенно отличается от преобразования Лоренца тем, что в двигающейся со скоростью $\textstyle q$ системе время во всех пространственных точках одно и то же. Не существует местного времени, и что ещё важнее, если мы произведем регулирование распространяющихся в положительном направлении оси $\textstyle x$ лучей света так, чтобы они имели одну и ту же скорость $\textstyle c_{1}$ для всех двигающихся систем (мы предполагаем здесь $\textstyle c_{1}>0$), то скорость распространения лучей света, которые распространяются в отрицательном направлении $\textstyle x$ со скоростью $\textstyle c_{1}$ по отношению к системе в состоянии покоя, будет разной по отношению к различным двигающимся телам.

Из того, что $\textstyle c_{1}$ — выделенная скорость, не следует, что $\textstyle -c_{1}$ тоже является таковой. Согласно уравнению (128), это следовало бы только для $\textstyle c_{1}=\infty$, т.е. $\textstyle \alpha _{11}=0$. Однако в таком случае мы имеем дело с преобразованием Галилея.

С другой стороны, для преобразования Лоренца, как следует из уравнения (56) вместе с (76), (123) и (125b), мы имеем:

$c_{1}=-c_{2}=c\;\;\;({\mbox{ср. также уравнение (89)}}).$

Таким образом, мы можем подытожить наше исследованияе следующим образом:

shape Среди всех уравнений преобразования, соответствующих однопараметрическим линейным однородным группам, существует три типа, в которых величина сокращения не зависит от направления движения в абсолютном пространстве. Среди них только один тип имеет своим следствием фактическое сжатие длин, а именно — преобразование Лоренца [уравнение (1)]. Оба других типа (преобразования Галилея и Доплера) [уравнения (2) и (129) соответственно] оставляют длины неизменными. При преобразовании Лоренца скорость света во всех двигающихся системах при любом направлении распространения имеет одно и то же конечное значение $\textstyle c$. В преобразовании Доплера, однако, это верно только при распространении в одном направлении; для преобразования Галилея — только если скорость света является бесконечной.

\\

13 января 1911г., Вена\\

{\small (поступила 15 января 1911г.)}