Просмотр исходного текста страницы Формула Блэка-Шоулза

{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Опционы]] << 
 ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Кривая доходности]]
|}
----

<math>\textstyle \bullet</math> Найдём значение премии европейского опциона в рамках ''модели'' логарифмического блуждания:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> x_n = x_{n-1} \exp(r_n) = x_0 \exp(r_1 + r_2 + ... + r_n) = x_0 \exp ( r ). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(8.14)'''</div>
 |}

Если итоговая доходность через <math>\textstyle n</math> торговых дней является случайным числом с ''гауссовым'' распределением <math>\textstyle r=\mu+\sigma\varepsilon</math>, то распределение для цены будет логнормальным (стр. \pageref{lognorm_def}):

:<center><math>W_L(x) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{(\ln(x/x_0) - \mu)^2}{2\sigma^2}\right].</math></center>

Волатильность со временем увеличивается <math>\textstyle \sigma=\sigma_0\sqrt{\tau}</math>, где <math>\textstyle \sigma_0</math> &mdash; волатильность единицы времени. Если <math>\textstyle \tau</math> измеряется в долях года, то <math>\textstyle \sigma_0</math> будет годовой волатильностью доходности.

Подставляя <math>\textstyle W_L(x)</math> в (8.11) и проводя интегрирование (<math>\textstyle \lessdot</math> H) для средней цены call опциона в момент его истечения, получаем:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \left\langle C\right\rangle = \bar{x} F\left[ \frac{1}{\sigma}\ln\left(\frac{\bar{x}}{x_s}\right) + \frac{\sigma}{2}\right] \;-\; x_s F\left[ \frac{1}{\sigma}\ln\left(\frac{\bar{x}}{x_s}\right) - \frac{\sigma}{2}\right], </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(8.15)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle \bar{x}=\left\langle x\right\rangle =x_0 e^{\mu+\sigma^2/2}</math> &mdash; среднее значение цены, а <math>\textstyle F(z)</math> &mdash; интегральное нормальное распределение (1.12), ([[Нормальное распределение]]). Аналогично находится цена премии put-опциона. В этом случае необходимо просто переставить местами <math>\textstyle x_s</math> и <math>\textstyle \bar{x}</math>.

Для динамики актива, лежащего в основе опциона, можно закладывать различные параметры сноса <math>\textstyle \mu</math> (доходности) и волатильности <math>\textstyle \sigma</math>. Однако обычно считают, что на эффективном рынке среднее будущей цены равняется текущему значению <math>\textstyle \bar{x}=x_0</math>.

Если учитывается стоимость заимствования (временная стоимость денег) (<math>\textstyle \lessdot</math> C), то необходимы некоторые изменения. Пусть актив гарантированно или ''в среднем'' через время <math>\textstyle \tau</math> будет стоить <math>\textstyle \left\langle x\right\rangle </math>. Тогда сегодня с учётом процентной ставки <math>\textstyle r</math> он должен стоить <math>\textstyle x_0=\left\langle x\right\rangle e^{-r\tau}</math>. Аналогично для цены опциона: <math>\textstyle C = \left\langle C\right\rangle e^{-r\tau}</math>. В результате получаем известную формулу Фишера Блэка и Майрона Шоулза:

:<center><math>{ \;\;C = x_0 F\left[ \frac{1}{\sigma}\ln\left(\frac{x_0\,e^{r\tau}}{x_s}\right) + \frac{\sigma}{2}\right] - x_se^{-r\tau} F\left[ \frac{1}{\sigma}\ln\left(\frac{x_0\,e^{r\tau}}{x_s}\right) - \frac{\sigma}{2}\right]\;\; }.</math></center>

Она была выведена в 1973 г., в год открытия централизованной площадки по торговле опционами в Чикаго (CBOE). Рассмотрим ещё один подход к её выводу, который, к тому же, будет применим и к американским опционам.

<math>\textstyle \bullet</math> Если цена <math>\textstyle x</math> актива, лежащего в основе опционного контракта, испытывает логарифмическое блуждание (стр. \pageref{log_winer}):

:<center><math>dx = \mu\, x\, dt + \sigma\, x\, \delta W,</math></center>

то премия опциона <math>\textstyle C=C(x,t)</math> также оказывается стохастической величиной. Её изменение, в силу леммы Ито (, стр. \pageref{process_ito_lemma}), равно:

:<center><math>\;dC = \left[ \frac{\partial C}{\partial t} +\mu \, x\cdot\frac{\partial C}{\partial x} + \frac{\sigma^2\, x^2}{2} \cdot\frac{\partial^2 C}{\partial x^2} \right]dt + \sigma\, x\, \frac{\partial C}{\partial x}\;\delta W.</math></center>

Пусть сформирован дельта-хеджированный портфель, состоящий из выписанного (проданного) call-опциона с премией <math>\textstyle C</math> и купленных <math>\textstyle \Delta</math> единиц базового актива (например, акции), где <math>\textstyle \Delta=\partial C/\partial x</math>. Результирующий портфель:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \Pi(x,t) = \Delta\cdot x - C(x,t) </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(8.16)'''</div>
 |}

является функцией цены актива <math>\textstyle x</math> и текущего времени <math>\textstyle t</math>.

Будем считать, что при малых изменениях цен коэффициент <math>\textstyle \Delta</math> является постоянным. Тогда изменение стоимости портфеля равно:

:<center><math>d\Pi = \Delta \cdot dx - dC.</math></center>

Фактически, мы каждый момент времени переформировываем портфель, купив <math>\textstyle \Delta</math> акций. ''После'' изменения цен <math>\textstyle dx</math>, <math>\textstyle dC</math> выбирается новая <math>\textstyle \Delta</math>, и т.д.

Подставляя выражения для <math>\textstyle dx</math> и <math>\textstyle dC</math>, мы получим изменение стоимости портфеля, которое не зависит от стохастической переменной <math>\textstyle \delta W</math> и сноса <math>\textstyle \mu</math>. Если некоторый портфель ''гарантированно'' увеличивает свою стоимость, то на эффективном рынке этот рост должен быть эквивалентен изменению банковского депозита <math>\textstyle \Pi r dt</math> с начальной суммой <math>\textstyle \Pi</math>:

:<center><math>d\Pi = -\left[ \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{\sigma^2 x^2}{2} \,\frac{\partial^2 C}{\partial x^2} \right]dt = \Pi r dt.</math></center>

Если в правую часть подставить <math>\textstyle \Pi</math> из (8.16) и перейти ко времени, ''оставшемуся'' до истечения опциона <math>\textstyle \tau=T-t</math>, то получится уравнение Блэка-Шоулза:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> { \;\frac{\partial C}{\partial \tau} + r C = \frac{\sigma^2}{2}\;x^2\;\frac{\partial^2 C}{\partial x^2} + rx\;\frac{\partial C}{\partial x}\; }. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(8.17)'''</div>
 |}

Для его решения необходимо задать начальные и граничные условия. Именно различный их выбор приводит к отличающимся результатам для опционов европейского и американского типа.

<math>\textstyle \bullet</math> Решим (8.17) для опционов европейского типа. "Начальные условия" при <math>\textstyle \tau=0</math> (точнее, "конечные" в момент истечения) имеют вид:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> C(x,0)=\mathbf{max}(x-x_s, 0). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(8.18)'''</div>
 |}

В уравнении (8.17) стоит избавиться от множителей <math>\textstyle x</math> при производных. Для этого необходимо перейти к переменой <math>\textstyle y=\ln x</math>. Следующая замена <math>\textstyle C=e^{\alpha y + \beta \tau} U(y,\tau)</math>, при подходящем выборе констант <math>\textstyle \alpha</math> и <math>\textstyle \beta</math>, позволяет избавиться от члена с первой производной по <math>\textstyle y</math>, пропорционального <math>\textstyle U</math>. В результате получается уравнение теплопроводности (<math>\textstyle \lessdot</math> H):

:<center><math>\frac{\partial U}{\partial \tau} = \frac{\sigma^2}{2}\; \frac{\partial^2 U}{\partial y^2}.</math></center>

Мы видели (стр. \pageref{diffus_eq}), что его частным решением является гауссиана:

:<center><math>P(y,\tau;\;y_0) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi \tau}}\; \exp\left(-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau}\right).</math></center>

Общее решение линейного уравнения получается в виде суммы частных решений, соответствующих различным значениям <math>\textstyle y_0</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> U(y,\tau) = \int\limits^{\infty}_{-\infty} u(y_0) P(y, \tau;\;y_0) dy_0. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(8.19)'''</div>
 |}

Функция <math>\textstyle P(y,\tau;\;y_0)</math> имеет единственный максимум в точке <math>\textstyle y=y_0</math>. Его значение <math>\textstyle P(y_0, \tau;\;y_0)=1/\sigma\sqrt{2\pi \tau}</math> стремится к бесконечности при <math>\textstyle \tau\to 0</math>. Ширина "колокола" <math>\textstyle P(y,\tau;\;y_0)</math> при этом стремится к нулю (<math>\textstyle \delta</math> - функция Дирака, стр. \pageref{math_delta_dirac_int}). Следовательно, общее решение в начальный момент времени (при <math>\textstyle \tau=0</math>) совпадает с функцией <math>\textstyle u(x)</math>:

:<center><math>U(y, 0) = \int\limits^{\infty}_{-\infty} u(y_0) \delta(y-y_0) dy_0 = u(y).</math></center>

Поэтому <math>\textstyle u(y)</math> имеет смысл начального значения функции <math>\textstyle U(y,\tau=0)</math>.

С учётом проделанных замен: <math>\textstyle U(y,\tau) = e^{-\alpha y-\beta \tau} C(e^y, \tau) </math> начальные условия (8.18) выглядят следующим образом:

:<center><math>u(y)=U(y,0)=e^{-\alpha y} \;\mathbf{max}(e^y-x_s, 0).</math></center>

Подставляя <math>\textstyle u(y)</math> и гауссову плотность <math>\textstyle P(y,\tau;\;y_0)</math> в общее решение (8.19), мы получим формулу Блэка-Шоулза (<math>\textstyle \lessdot</math> H)

<math>\textstyle \bullet</math> Для опционов американского типа ситуация сложнее. Кроме начальных условий (8.18), необходимо также учитывать граничные условия. Американский call-опцион, в отличие от европейского, не может стоить меньше своей внутренней стоимости. В противном случае его можно купить за <math>\textstyle C</math> и, сразу исполнив по страйковой цене <math>\textstyle x_s</math>, получить гарантированный доход <math>\textstyle (x-x_s)-C</math>. Премия европейского put-опциона при больших процентных ставках и <math>\textstyle x_0<x_s</math>, наоборот, может опускаться ниже внутренней стоимости (<math>\textstyle \lessdot</math> C).

Поэтому в случае американского опциона при решении уравнения (8.17) необходимо всё время следить за тем, чтобы премия была выше внутренней стоимости. Эта процедура называется задачей со свободными ограничениями (free boundary problem). Обычно она решается численно на дискретной решётке <math>\textstyle (x,\tau)</math>. Другой подход &mdash; использование биномиальной модели эволюции цены, в которой из данного состояния возможны только два перехода &mdash; вверх и вниз.

<math>\textstyle \bullet</math> Волатильность доходности цены актива, лежащего в основе опциона, является ключевым параметром, который определяет его стоимость. Различают ''историческую'' и ''подразумеваемую'' (implied) волатильность. Первая вычисляется на основании исторических данных, а вторую рынок закладывает в опционные формулы, стараясь сделать некоторый прогноз будущей волатильности. Подразумеваемая волатильность может быть восстановлена из цен различных опционов. На бирже CBOE вычисляется даже индекс подразумеваемой волатильности VIX.

Обычно подразумеваемая волатильность несколько возрастает при отклонениях цены исполнения <math>\textstyle x_s</math> от текущей цены актива <math>\textstyle x_0</math>, образуя параболоподобную зависимость <math>\textstyle \sigma(x_s)</math>, на профессиональном жаргоне именуемую ''кривой улыбки''.

<math>\textstyle \bullet</math> В заключение заметим, что дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза и одноимённая формула для цены опциона представляет собой ''модель'', базирующуюся на ряде допущений. Прежде всего, предполагается, что распределение изменений цены является логнормальным и стационарным. Если статистические параметры динамики цен (в первую очередь, волатильность) не изменяются, то доходности действительно имеют близкое к нормальному распределение. Однако реальные финансовые рынки нестационарны, волатильность изменяется со временем, и простое логарифмическое блуждание оказывается очень грубым приближением к реальности. Во-вторых, непрерывное перестраивание портфеля для выполнения <math>\textstyle \Delta</math>-хеджирования на самом деле затруднено заметной разницей между котировками bid и ask у маркет-мейкеров.


----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Опционы]] << 
 ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Кривая доходности]]
|}
----
[[Стохастический мир]] - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения