Физические длина и время

Материал из synset
Версия от 21:57, 4 июля 2013; WikiSysop (обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Произвольные неинерциальные системы << Оглавление (Последняя версия в: Глава 4) >> Жёсткие системы отсчёта

Запишем при помощи метрического тензора общее выражение для бесконечно малого расстояния в пространстве-времени:

где греческие индексы изменяются от 0 до 3, а латинские от 1 до 3, и учтено, что . Выделим в этом выражении полный квадрат для членов, зависящих от дифференциала по координатному времени:

(EQN)

Этот интервал формально имеет вид расстояния в псевдоевклидовом пространстве:

где бесконечно малые величины

(EQN)

будем называть физическим временем и квадратом физического расстояния. Для записи квадрата физического расстояния удобно ввести трёхмерный тензор

(EQN)

Обратим внимание, что для обозначения бесконечно малых используется значок "", а не "". Дело в том, что, как мы увидим ниже, величины и в общем случае не являются дифференциалами.

Кроме и введем понятие собственного времени часов, находящихся в фиксированной точке пространства системы отсчёта. Это время равно интервалу между событиями для которых или :

(EQN)

Понятно, что при . Как и раньше, будем считать собственное время физическим временем данных часов неинерциальной системы отсчета. Эти часы движутся относительно инерциальной системы с переменной скоростью и время на них замедлятся в соответствии со стандартной релятивистской формулой.

Для выяснения физического смысла , рассмотрим радиолокационное измерение расстояния, которое проводит наблюдатель, расположенный в точке . Расстояние он измеряет до близкой к нему точки . Интервал между двумя событиями при движении светового импульса равен нулю . Поэтому из () имеем:

Значение соответствует движению импульса в сторону увеличения координат, а — в противоположную. Стоит проверить это на примерах вращающейся и нежесткой равноускоренной систем отсчета. Пусть сигнал отражается от точки в момент времени . Тогда он оправляется из в и возвращается обратно в момент . Половина интервала собственного времени между этими двумя событиями равна:

Nonin dl def.png


Таким образом, физическое расстояние имеет смысл радиолокационного расстояния которое измеряется наблюдателем в точке в его непосредственной окрестности.

Смысл величины можно прояснить и при помощи следующих рассуждений. Пусть в данный момент времени в окрестности фиксированной точки НИСО находится сопутствующая к ней ИСО. Относительно неё эта точка НИСО имеет нулевую скорость , и из (), стр.\,\pageref{nonin_Uk_dX_dT} следует, что Эта производная равна нулю при заданных значениях , для которых имеем следующие коэффициенты метрического тензора ():

откуда: С другой стороны, евклидово расстояние в сопутствующей ИСО равно

Использование одинаковых линеек наблюдателем в НИСО и в сопутствующей ему ИСО приводит к одинаковому расстоянию. В отличие от ИСО величины являются функциями и меняются от точки к точке (в которых надо использовать другие сопутствующие ИСО).

Физическое время при соответствует разнице собственных времен между двумя бесконечно близкими, но различными синхронизированными часами. Действительно, рассмотрим стандартную процедуру синхронизации. Пусть сигнал отправляется в момент времени из точки , в точку . Её он достигает в момент времени и возвращается обратно к в момент . Все эти времена являются координатными. Они связаны с собственным временем часов и , находящихся в точках и . По определению, часы идут синхронно, если выполняется соотношение:

(EQN)

При бесконечно малом изменении координатного времени, для физического собственного времени часов, находящихся в точке , в соответствии с (), имеем:

Учитывая значения , найденные при проведении радиолокационного измерения, из () получаем:

(EQN)

Это соотношение устанавливает правило синхронизации отсчета времени между двумя бесконечно близкими часами.

Когда часы синхронизированы можно говорить о разности времени между событиями, произошедшими в различных точках. Так, пусть из точки в момент координатного времени посылается световой сигнал в точку , который туда приходит в момент . Разница собственных времен часов в точках и будет равна физическому времени из ():

Nonin clocks.png

С помощью двух синхронизированных часов можно определить скорость света при его распространении от к . Она равна где учтено, что для света . Таким образом определенная физическая скорость света всегда равна единице (или "" при восстановлении фундаментальной константы скорости). При этом координатная скорость светового импульса, вообще говоря, отличается от единицы и может быть сколь угодно большой.

Если часы синхронизированы во всей системе отсчета, это означает, что существует функция , позволяющая по данным координатам события определить текущее значение собственного времени наблюдателя. Так, выше в () и . Когда введение такой функции возможно?

Дифференциал функции нескольких переменных равен:

Поэтому () будет дифференциалом, если:

(EQN)

Частные производные должны быть перестановочны. Возьмем в () производную от по , а от по и приравняем их. Аналогично с производными по и :

(EQN)

Если () не выполняются, то физическое время не является полным дифференциалом. В этом случае интеграл между двумя событиями и в 4-пространстве

зависит от пути интегрирования. Это означает, что в данной системе отсчета нельзя ввести единое синхронизированное время. Так, в жесткой равноускоренной системе отсчета (), стр.\,\pageref{nonin_ds_gost} имеем следующий криволинейный интеграл:

Nonin dtau int.png

Если его вычислить между и сначала по линии , то получится . Интеграл же по пути даёт другое значение . Поэтому часы с различными координатами синхронизированы быть не могут. Физически это связано с различным ходом времени в равноускоренной системе. Начальная синхронизация часов стоящих в космопортах кораблей со временем "разрушается".

Условия периодичности для координат могут накладывать дополнительные ограничения на возможность синхронизации часов. Запишем физическое время для вращающейся системы отсчета ():

Для часов (наблюдателей), находящихся на одинаковом расстоянии от центра (), это выражение является дифференциалом:

Такое выражение для физического времени мы получили при выборе условия синхронизации часов в форме (), стр.\,\pageref{nonint_rot_tau} (на стр.\,\pageref{nonint_rot_tau} физическое время обозначалось как , а — было временем инерциальной системы отсчета, которое в координатах Борна совпадает с координатным временем этого раздела).

Не смотря на то, что мы имеем полный дифференциал, функция не является однозначной в силу эквивалентности точек и . Поэтому провести синхронизацию всех часов, вращающихся по окружности, не представляется возможным. Если не считать константой, то не будет полным дифференциалом. Причина аналогична ситуации в жесткой равноускоренной системе: течение собственного времени точек, находящихся на разном расстоянии от центра, различно.

Физическая длина для вращающейся системы имеет вид:

(EQN)

Этот результат мы получили на стр.\,\pageref{nonin_dl_rot}, рассматривая радиолокационный эксперимент, проводимый наблюдателями на вращающихся вокруг общего центра кораблях.

Обратим внимание, что физическая длина не зависит от времени. Это означает, что наблюдатель в точке , измеряя радиолокационное расстояние в соседнюю с ним точку, будет получать неизменное значение. Такая система отсчёта является локально жесткой. В общем случае, система отсчета, получающаяся из инерциальной преобразованиями , , , будет локально жесткой, если тензор

(EQN)

не зависит от времени. Поступательно ускоренные системы () при любой функции являются локально жесткими.

Невозможность синхронизации часов типична для неинерциальных систем отсчёта. Эта проблема, как мы знаем, отсутствует в инерциальных системах. Рассмотрим в качестве примера вывод преобразований Лоренца при помощи координатных преобразований Галилея \cite{Logunov1987}:

(EQN)

Величины и будем считать физическим временем и координатой события в системе . Точки системы движутся относительно со скоростью . Это учтено в преобразовании , из которого (в силу ) следует, что в инерциальной системе траектория точки с координатой имеет вид . Подобное преобразование является примером общего случая (), стр.\,\pageref{nonoin_XR_Tt}.

Преобразования () являются достаточно произвольными, поэтому числа — это координатные величины. Чтобы установить их связь с физическими величинами, запишем интервал в новых координатах:

(EQN)

откуда, используя общие формулы или сразу выделяя полный квадрат по , имеем:

Коэффициенты у дифференциалов и в являются константами, поэтому условия возможности синхронизации часов () выполняются и , можно проинтегрировать:

Выражая через и подставляя их в (), получаем преобразования Лоренца:

связывающие уже не координатные величины, а физические. Координатная скорость света получается из условия :

Такая скорость при движении против оси (знак минус) по модулю больше единицы. При этом, конечно, физическая скорость света по-прежнему равна единице.

Переход к новому координатному времени и другому способу нумерации точек 3-пространства не меняет системы отсчета. Поэтому физические время и длина не должны измениться. Продемонстрируем это. Запишем закон преобразования метрического тензора, исходя из инвариантности интервала:

где подставлены дифференциалы . Отсюда следует, что:

(EQN)

Распишем это соотношение, выделив временной и пространственный индексы, отбрасывая члены с :

(EQN)

и аналогично для дифференциалов старых координат по новым:

(EQN)

Подставим () в выражение для физического времени ():

Исключая дифференциалы и при помощи (), получаем выражение для физического времени (), но выраженное в новых координатах и коэффициентах метрического тензора:

Этот результат не является тривиальным. Из в общем случае не следует, что (вспомним инерциальные системы отсчета). Однако это справедливо при координатных преобразованиях в которых не зависит от времени. Для таких преобразований физическое время не изменяется.

Записывая из () преобразования для пространственных индексов метрического тензора , можно (\,H) получить:

(EQN)

где выражается через так же, как и через . Это означает, что преобразуется подобно метрическому тензору () относительно координатных преобразований и физическая длина является инвариантом таких преобразований.

Рассмотрим некоторые свойства величин (), определяющих физическую длину в неинерциальной системе отсчета.

Прежде всего матрица является обратной к пространственным компонентам метрического тензора с верхними индексами :

(EQN)

Чтобы это доказать, распишем условие ортогональности метрических тензоров с верхними и нижними индексами: . Для , имеем:

(EQN)

Если же , , подставляя выражение для , получаем:

Прямым вычислением определителей можно также проверить следующее соотношение:

(EQN)

где и , т.е. слева стоит определитель матрицы 4x4, составленной из коэффициентов а справа определитель матрицы 3x3 из коэффициентов . Их отношение равно

Отметим естественное требование допустимости координат

связанное с положительностью подкоренного выражения в собственном времени (). Расстояние также должно быть положительным, поэтому положительно определена квадратичная форма:

Это приводит к положительности определителя и, в силу (), к отрицательному значению определителя метрических коэффициентов . Несложно видеть, что в лоренцевых координатах мы имеем . В жесткой равноускоренной системе отсчета (), стр.\,\pageref{nonin_ds_gost}:

а во вращающейся системе ():

Для всех этих величин выполняется соотношение ().



Произвольные неинерциальные системы << Оглавление (Последняя версия в:Глава 4) >> Жёсткие системы отсчёта

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии