Уравнения Максвелла

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Поле равномерно двигающегося заряда << Оглавление >> Электромагнитные волны

В предыдущем разделе, для упрощения формул, мы выбрали момент времени $t'=t=0$, в который заряд находится как в начале системы $S'$, так и в начале системы $S$. Так как заряд двигается, поле в фиксированной точке $\mathbf{r}^*=\mathbf{r}+\mathbf{v}t$ неподвижной системы отсчёта изменяется. Чтобы получить выражение полей для произвольного положения заряда, необходимо в предыдущих формулах заменить $\mathbf{r}\mapsto \mathbf{r} -\mathbf{v}t$. В результате, производная электрического поля по времени равна (по $i$ сумма от 1 до 3): \begin{center} \parbox{11cm}{ $$

      \frac{\partial {\mathbf{E}}}{\partial t}

=\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial r_i}\,\frac{\partial r_i}{\partial t} = - \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial r_i}\,v_i = - (\mathbf{v}\nabla)\mathbf{E}. $$ } \parbox{4cm}{ Сергей Степанов\includegraphics{pic/charge_move.eps} } \end{center} Вычислим ротор магнитного поля (\ref{E_B_main}): $$ [\nabla\times \mathbf{B}] = [\nabla\times [\mathbf{v}\times\mathbf{E}]] = \mathbf{v}(\nabla\mathbf{E})-(\mathbf{v}\nabla)\mathbf{E}. $$ Во втором равенстве мы применили формулу ``бац минус цаб. Воспользовавшись законом Кулона в дифференциальной форме $\nabla\mathbf{E}=4\pi\,\rho$ и подставив вместо $-(\mathbf{v}\nabla)\mathbf{E}$ производную электрического поля по времени, получаем: $$ [\nabla\times \mathbf{B}] = 4\pi\mathbf{j}+\frac{\partial {\mathbf{E}}}{\partial t}, $$ где $\mathbf{j}=\rho\mathbf{v}$ называется плотностью тока.

Учитывая, что ротор от радиус-вектора равен нулю: $[\nabla\times\mathbf{r}]=0$, несложно вычислить ротор напряжённости электрического поля [см. (\ref{nabla_E})]: $$ [\nabla\times \mathbf{E}] = \frac{Q}{r^3}\,[\mathbf{r}\times \nabla]\, \frac{1-v^2}{\left(1-[\mathbf{n}\times\mathbf{v}]^2\right)^{3/2}}= \frac{Q}{r^3}\,[\mathbf{n}\times\mathbf{v}]\, \frac{3(\mathbf{n}\mathbf{v})\,(1-v^2)}{\left(1-[\mathbf{n}\times\mathbf{v}]^2\right)^{5/2}}, $$ который оказывается перпендикулярным к скорости заряда. Следовательно дивергенция магнитного поля равна нулю: $$ \nabla\mathbf{B} = \nabla\,[\mathbf{v}\times\mathbf{E}]=- \mathbf{v}\,[\nabla\times\mathbf{E}] = 0, $$ где учтено, что для смешанного произведения $\mathbf{v}\,[\mathbf{n}\times\mathbf{v}]=[\mathbf{v}\times\mathbf{v}]\mathbf{n}=0$. Таким образом, в отличие от электрического поля, у магнитного поля зарядов нет: $$ \nabla\mathbf{B} = 0, $$ так как правая часть равна нулю во всём пространстве, включая положение электрического заряда.

%\newpage \vskip 1000mm

Вычисленный выше ротор электрического поля $[\nabla\times\mathbf{E}]$ не равен нулю. Выразим его через производную магнитного поля по времени. Аналогично производной электрического поля она равна: $$

      -\frac{\partial {\mathbf{B}}}{\partial t}=  (\mathbf{v}\nabla)\mathbf{B} = (\mathbf{v}\nabla)\,[\mathbf{v}\times \mathbf{E}].

$$ Из тождества $(\mathbf{a}\nabla)[\mathbf{r}\times\mathbf{b}] =[\mathbf{a}\times\mathbf{b}]$ (стр. \pageref{math_vec_df}) следует, что $(\mathbf{v}\nabla)[\mathbf{v}\times\mathbf{r}]=0$, поэтому: $$ -\frac{\partial {\mathbf{B}}}{\partial t} = [\mathbf{v}\times\mathbf{r}](\mathbf{v}\nabla)\,\frac{Q}{r^3} \, \frac{1-v^2}{\left(1-[\mathbf{n}\times\mathbf{v}]^2\right)^{3/2}}. $$ Вычисляя при помощи (\ref{nabla_E}) производную произведения ($\lessdot$ H$_{\ref{h_dot_B}}$),\label{h_bk_dot_B} получаем, что производная $\mathbf{B}$ равна: $$ \frac{\partial {\mathbf{B}}}{\partial t}=-\nabla\times \mathbf{E}. $$ Собирая вместе все соотношения, приходим к следующей системе уравнений, носящих имя Джеймса Клерка Максвелла: $$ \left\{ \begin{array}{lll} ~&\nabla\mathbf{E}=4\pi\,\rho,16:12, 3 июня 2010 (UTC)16:12, 3 июня 2010 (UTC)16:12, 3 июня 2010 (UTC)16:12, 3 июня 2010 (UTC)Сергей Степанов 16:12, 3 июня 2010 (UTC)&\nabla\times\mathbf{B} = 4\pi\mathbf{j}+\frac{\displaystyle \partial \mathbf{E}}{\displaystyle \partial t}, \\[5mm] ~&\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\displaystyle \partial \mathbf{B}}{\displaystyle \partial t},16:12, 3 июня 2010 (UTC)16:12, 3 июня 2010 (UTC)Сергей Степанов 16:12, 3 июня 2010 (UTC)&\nabla \mathbf{B}=0. \end{array}\right. $$ В силу принципа суперпозиции эти уравнения справедливы для любого распределения зарядов и токов. Однако скорость $\mathbf{v}$ считалась постоянной, поэтому и токи в уравнениях постоянны. Это конечно не означает независимость полей от времени. Когда заряд пролетает мимо наблюдателя с постоянной скоростью, электрическое и магнитное поля изменяются со временем, поэтому в уравнениях появляется производная $\partial/\partial t$.

Обратим внимание на линейность уравнений Максвелла, как по полям, так и по плотности заряда и тока (например, нет членов вида $\mathbf{E}\rho$). Благодаря этой линейности мы можем использовать принцип суперпозиции, суммируя независимо поля, создаваемые различными зарядами. (На самом деле конечно всё наоборот, и, постулировав принцип суперпозиции, мы получили линейные уравнения).

Уравнения Максвелла должны быть дополнены силой Лоренца, действующей со стороны электромагнитных полей на двигающийся со скоростью $\mathbf{u}$ точечный заряд $q$: $$ \mathbf{F} = q\mathbf{E}+q[\mathbf{u}\times\mathbf{B}]. $$ Обычно задают фиксированное распределение плотности заряда и плотность тока, затем решая уравнения Максвелла, получают поля $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$, и с их помощью получают значение силы, действующей на небольшой заряд $q$ в этом электромагнитном поле.

\newpage $\bullet$ Два из 4-х уравнений Максвелла содержат в себе важное соотношение, связывающее плотности зарядов и токов. Умножим уравнение для ротора магнитного поля $$ [\nabla\times\mathbf{B}] = 4\pi\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $$ слева на оператор $\nabla$: $$ \nabla[\nabla\times\mathbf{B}]=[\nabla\times\nabla]\mathbf{B} = 0 =4\pi\nabla\mathbf{j}+\frac{\partial \nabla{\mathbf{E}}}{\partial t}. $$ Учитывая, что $\nabla\mathbf{E}=4\pi\rho$, получим уравнение непрерывности: $$ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\mathbf{j}=0, $$ которое выражает закон сохранения заряда. Это ясно видно, если уравнение, при помощи теоремы Гаусса, переписать в интегральной форме, проинтегрировав по некоторому объёму $V$: $$

    I = \oint\limits_S \mathbf{j}\,d\mathbf{S} = - \frac{d}{dt}\int\limits_V \rho\, dV.

$$ Интеграл по объёму от плотности заряда равен заряду, находящемуся в объёме $V$. Изменение этого заряда (производная по времени) связано с током $I$, проходящим через поверхность объёма. Этот ток равен интегралу от скалярного произведения плотности тока на элемент поверхности. Пусть $v_n$ -- нормальная (перпендикулярная) к поверхности составляющая скорости зарядов. Выделим небольшую площадку на поверхности и прилегающий к ней небольшой объём $dS\, v_n dt$ (правый рисунок): \begin{center} \includegraphics{pic/charge_move_V.eps} \end{center} Количество заряда, который через $dS$ покидает этот объём за время $dt$ равно $$

     dQ =\rho\,dV =\rho\cdot  v_ndt\, dS  = (\rho \mathbf{v}d\mathbf{S})\, dt = (\mathbf{j}d\mathbf{S})\, dt.

$$ Другими словами, за время $dt$ из объёма $dV$ уйдут все заряды, имеющие в направлении $d\mathbf{S}$ скорость $v_n$ и находящиеся не далее расстояния $v_n\,dt$ от поверхности. Если $\mathbf{j}$ направлен наружу, то заряд в объёме уменьшается, если вовнутрь -- увеличивается. Заметим, что говоря об уменьшающемся заряде, мы считаем, что он имеет положительный знак, такой как, например, у протона.

\newpage $\bullet$ Интегральная форма уравнений Максвелла получается при помощи теорем Гаусса и Стокса. Прежде всего знакомый нам из электростатики {\it Закон Гаусса} для электрического поля: $$ \nabla\mathbf{E}=4\pi\,\rho16:12, 3 июня 2010 (UTC)~~=>16:12, 3 июня 2010 (UTC)~~\oint\limits_S\mathbf{E}d\mathbf{S}=4\pi\,Q $$ символизирует закон Кулона. Хотя как мы видели выше он является более общим, так как ему удовлетворяет и сферически не симметричное электрическое поле (в случае двигающегося точечного заряда).

Аналогичный {\it закон Гаусса для магнитного поля}: $$ \nabla \mathbf{B}=016:12, 3 июня 2010 (UTC)Сергей Степанов=>16:12, 3 июня 2010 (UTC)Сергей Степанов 16:12, 3 июня 2010 (UTC)\oint\limits_S\mathbf{B}d\mathbf{S}=0 $$ свидетельствует об отсутствии магнитных зарядов. Подчеркнём ещё раз, что магнитное поле -- это релятивистский кинематический эффект. Его источником является движение заряженных частиц.

Ротор электрического поля в общем случае не равен нулю, поэтому: $$ [\nabla\times\mathbf{E}] = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}16:12, 3 июня 2010 (UTC)Сергей Степанов=>16:12, 3 июня 2010 (UTC)Сергей Степанов 16:12, 3 июня 2010 (UTC)\oint\limits_L\mathbf{E}d\mathbf{r}=-\frac{d}{dt}\int\limits_S\mathbf{B}d\mathbf{S} $$ Это уравнение выражает {\it закон электромагнитной индукции Фарадея}. Если поток магнитного поля через незамкнутую поверхность $S$ изменятся, то он создаёт циркулирующее вдоль замкнутого контура электрическое поле. Это, в свою очередь, приводит к появлению электродвижущей силы, действующей на пробные заряды.

Наконец, для ротора магнитного поля интегральная форма имеет вид: $$ [\nabla\times\mathbf{B}] = 4\pi\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} 16:12, 3 июня 2010 (UTC)Сергей Степанов=>16:12, 3 июня 2010 (UTC)Сергей Степанов 16:12, 3 июня 2010 (UTC)\oint\limits_L\mathbf{B}d\mathbf{r}=4\pi I +\frac{d}{dt}\int\limits_S\mathbf{E}d\mathbf{S}, $$ где скалярная величина $I$ -- это полный ток зарядов, проходящих через площадь $S$. Из этого уравнения следует, что циркулирующее магнитное поле возникает как вокруг двигающихся зарядов (ток), так и вокруг переменного электрического поля. Это уравнение часто называется {\it законом Ампера-Максвелла}.

Следующее из уравнений Максвелла уравнение непрерывности: $$ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\mathbf{j}=016:12, 3 июня 2010 (UTC)16:12, 3 июня 2010 (UTC)Сергей Степанов=>16:12, 3 июня 2010 (UTC)Сергей Степанов 16:12, 3 июня 2010 (UTC)\oint\limits_S \mathbf{j}\,d\mathbf{S} = - \frac{d}{dt}\int\limits_V \rho\, dV. $$ выражает закон сохранения заряда.