Уравнения Ито

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Мартингалы << Оглавление >> Лемма Ито

Рассмотрим дискретную модель блуждания (стр. \pageref{discret_Wiener_process}), в которой, кроме случайных толчков , на каждом шаге происходит постоянный сдвиг на величину . Через таких шагов результирующее значение будет равно:

Параметр называют "сносом" процесса. Если , то траектория постепенно (в среднем) будет сдвигаться вверх, иначе — вниз. Накопленное стохастическое изменение пропорционально гауссовой переменной с нулевым средним и единичной дисперсией.

Пусть длительность каждого шага — , и в течение времени их количество равно . Обозначим дисперсию за единицу времени через , а снос . В результате становится случайной функцией, которую можно записать в следующем виде:

В зависимости от значения случайного гауссового числа будет получаться то или иное в момент времени . Таким образом, процесс имеет нормальное распределение с максимумом, сдвигающимся со скоростью , и с шириной, увеличивающейся со временем пропорционально корню .

Рассмотрим теперь изменение за бесконечно малый интервал . В этом случае из () следует:

где введено формальное обозначение . В отличие от обычных дифференциальных уравнений вида , подобное уравнение содержит бесконечно малое изменение по времени в степени 1/2. Чтобы подчеркнуть эту необычность, мы используем символ "", а не "". Процесс, подчиняющийся уравнению (), называется непрерывным винеровским процессом.

Так как мы рассматриваем предел бесконечного числа аддитивных изменений (), то гауссовость величин на самом деле не важна. В силу предельной теоремы сумма большого числа независимых случайных величин окажется гауссовой величиной. Важным является факт их независимости, в результате которого возникает множитель ( C).

Общие процессы Ито представляют собой "деформацию" простого винеровского блуждания при помощи функций и . Предположим, что снос и волатильность — это функции времени , которые могут также зависеть от значения :

где — бесконечно малый винеровский "шум", а . Функция называется коэффициентом сноса, а — коэффициентом волатильности, квадрат которого называют диффузией. Локально, если функции и примерно постоянны, процесс Ито — это обычное аддитивное винеровское блуждание, постепенно изменяющее свои свойства ( C).

Уравнение Ито () позволяет легко моделировать временную динамику произвольного стохастического процесса при помощи итерационной схемы

Для этого выбирается малый интервал времени и начальное значение . Затем генерится нормально распределённое случайное число и вычисляется следующее значение . После чего подставляется на место , время сдвигается . В результате получается последовательность случайных чисел , , ,... Соответствующий график имеет характерную фрактальную изломанность, типичную для динамики цен финансовых инструментов или блуждающей броуновской частицы. Заметим, что на каждой итерации генерится новое случайное число .

Сходимость итерационной процедуры () имеет одну особенность. Решая обычное дифференциальное уравнение в разностях , мы предполагаем, что при заданных начальных условиях решение в момент времени будет получаться примерно одно и то же, стремясь к некоторому пределу при уменьшении временного шага . Однако для стохастических уравнений это абсолютно не так! Какой бы малый интервал мы не выбрали, за счёт случайных чисел будут получаться различные траектории , удалённые друг от друга достаточно далеко.

Сходимость алгоритма () означает, что при уменьшении должны к определённому пределу стремиться среднее значение , волатильность и функция распределения вероятностей случайного процесса .

Снос и волатильность имеют простой смысл. Если в момент времени равен , то средние значения первой и второй степени его изменения через бесконечно близкий интервал будут равны:

где усреднение проводится при условии . Это утверждение означает использование условной вероятности при вычислении среднего:

Моменты времени и явным образом указывают, когда происходит наблюдение и .

Проверим, что дискретная схема Ито () приводит к (). В бесконечно близкий к момент времени отклонение от можно записать в следующем виде:

Напомню, что и — это случайные величины, а в данном случае — константа начального условия. Среднее квадрата отклонения равно:

где , , и учтено, что , . Разделив на и устремив его к нулю, получим . В () начальное условие считается заданной константой, поэтому усредняется только случайная величина .

Несложно проверить, что моменты более высоких порядков в ведущем приближении пропорциональны и после деления на при будут стремиться к нулю.

Класс процессов, свойства которых полностью определяются только бесконечно малыми локальными изменениями первого и второго порядка (), называются диффузными.

Чтобы определить динамическое стохастическое уравнение для того или иного эмпирического процесса, можно вычислить средние () в различные моменты времени и при различных . Кроме этого, необходимо обязательно проверить, является ли процесс диффузным, т.е. стремятся ли к нулю при и . Иногда это проще, чем восстановление из данных функции четырех аргументов .

Мы часто будем записывать решения стохастических уравнений при помощи скалярной случайной величины . Важно чётко понимать смысл такой символики. Пусть в начальный момент времени нам известно, что . После этого начинает изменяться . В каждый фиксированный момент времени величина случайна. При помощи того или иного функционального преобразования можно выразить случайную величину с одним распределением через случайную величину с другим. Поэтому:

означает, что случайная величина в момент времени выражается, например, через гауссову случайную переменную , а, следовательно, плотность вероятности можно получить некоторым преобразованием из нормального распределения. При помощи () легко вычисляются разнообразные средние случайного процесса, так как свойства хорошо известны.

Таким образом, в произвольный фиксированный момент времени — это случайная величина, свойства которой определяются при помощи и значения . Время изменяется, и изменяются её свойства. В результате случайная величина превращается в процесс.

Если мы рассматриваем другой момент времени, мы должны использовать другую случайную величину . Пусть процесс наблюдается после в последовательные моменты времени и , тогда: \begin{eqnarray} x_1&=&f(x_0,t_0, t_1, \varepsilon_1) \\ x_2&=&f(x_0,t_0, t_2, \varepsilon_2) = f(x_1,t_1, t_2, \varepsilon_3) . \end{eqnarray} Первое уравнение () является решением в момент времени . Величина — детерминированная константа, задаваемая начальными условиями. В противоположность ей — случайная величина. Её случайность определяется . Первое равенство уравнения () имеет аналогичный смысл. Однако — это новая случайная величина. Заметим, что она, вообще говоря, статистически зависит от , так как знание значения (и, следовательно, ) даёт нам дополнительную информацию о возможных значениях . В частности, считая, что задано "начальное условие" , мы можем записать второе равенство в (). Величина определяет "случайность" после момента времени , и, следовательно, она независима от . Второе равенство в () имеет смысл функциональной связи между случайными величинами и , . Заметим, что функция во всех соотношениях (), () одна и та же, а все случайные величины имеют одинаковое распределение .


Мартингалы << Оглавление >> Лемма Ито

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения