Уравнения Ито

Мартингалы <<	Оглавление	>> Лемма Ито

---

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим дискретную модель блуждания, в которой, кроме случайных толчков $\textstyle \varepsilon _{i}$, на каждом шаге происходит постоянный сдвиг $\textstyle x$ на величину $\textstyle \mu _{0}$. Через $\textstyle n$ таких шагов результирующее значение $\textstyle x$ будет равно:

$x=x_{0}+\mu _{0}\cdot n+\sigma _{0}{\sqrt {n}}\cdot \varepsilon .$

Параметр $\textstyle \mu _{0}$ называют "сносом" процесса. Если $\textstyle \mu _{0}>0$, то траектория постепенно (в среднем) будет сдвигаться вверх, иначе — вниз. Накопленное стохастическое изменение $\textstyle \varepsilon _{1}+...+\varepsilon _{n}=\varepsilon \,{\sqrt {n}}$ пропорционально гауссовой переменной $\textstyle \varepsilon \sim N(0,1)$ с нулевым средним и единичной дисперсией.

Пусть длительность каждого шага — $\textstyle \Delta t$, и в течение времени $\textstyle t-t_{0}$ их количество равно $\textstyle n=(t-t_{0})/\Delta t$. Обозначим дисперсию за единицу времени через $\textstyle \sigma ^{2}=\sigma _{0}^{2}/\Delta t$, а снос $\textstyle \mu =\mu _{0}/\Delta t$. В результате $\textstyle x$ становится случайной функцией, которую можно записать в следующем виде:

$x(t)=x(t_{0})+\mu \cdot (t-t_{0})+\sigma {\sqrt {t-t_{0}}}\cdot \;\varepsilon .$

В зависимости от значения случайного гауссового числа $\textstyle \varepsilon$ будет получаться то или иное $\textstyle x$ в момент времени $\textstyle t$. Таким образом, процесс $\textstyle x(t)$ имеет нормальное распределение с максимумом, сдвигающимся со скоростью $\textstyle \mu$, и с шириной, увеличивающейся со временем пропорционально корню $\textstyle {\sqrt {t-t_{0}}}$.

Рассмотрим теперь изменение $\textstyle dx=x(t)-x(t_{0})$ за бесконечно малый интервал $\textstyle dt=t-t_{0}$. В этом случае из () следует:

$dx\;=\;\mu \;dt+\sigma \,\delta W,$

где введено формальное обозначение $\textstyle \delta W=\varepsilon {\sqrt {dt}}$. В отличие от обычных дифференциальных уравнений вида $\textstyle dx=a(x,t)dt$, подобное уравнение содержит бесконечно малое изменение по времени в степени 1/2. Чтобы подчеркнуть эту необычность, мы используем символ "$\textstyle \delta$", а не "$\textstyle d$". Процесс, подчиняющийся уравнению (), называется непрерывным винеровским процессом.

Так как мы рассматриваем предел бесконечного числа аддитивных изменений ($\textstyle n\to \infty$), то гауссовость величин $\textstyle \varepsilon$ на самом деле не важна. В силу предельной теоремы сумма большого числа независимых случайных величин окажется гауссовой величиной. Важным является факт их независимости, в результате которого возникает множитель $\textstyle {\sqrt {t}}$ ($\textstyle \lessdot$ C).

$\textstyle \bullet$ Общие процессы Ито представляют собой "деформацию" простого винеровского блуждания при помощи функций $\textstyle a(x,t)$ и $\textstyle b(x,t)$. Предположим, что снос $\textstyle \mu$ и волатильность $\textstyle \sigma$ — это функции времени $\textstyle t$, которые могут также зависеть от значения $\textstyle x$:

${\;dx=a(x,t)\,dt+b(x,t)\,\delta W\;},$

где $\textstyle \delta W=\varepsilon {\sqrt {dt}}$ — бесконечно малый винеровский "шум", а $\textstyle \varepsilon \sim N(0,1)$. Функция $\textstyle a(x,t)$ называется коэффициентом сноса, а $\textstyle b(x,t)$ — коэффициентом волатильности, квадрат которого $\textstyle b^{2}(x,t)$ называют диффузией. Локально, если функции $\textstyle a(x,t)$ и $\textstyle b(x,t)$ примерно постоянны, процесс Ито — это обычное аддитивное винеровское блуждание, постепенно изменяющее свои свойства ($\textstyle \lessdot$ C).

$\textstyle \bullet$ Уравнение Ито () позволяет легко моделировать временную динамику произвольного стохастического процесса при помощи итерационной схемы

$x_{k+1}=x_{k}+a(x_{k},t_{k})\;\Delta t+b(x_{k},t_{k})\;{\sqrt {\Delta t}}\cdot \varepsilon _{k}.$

Для этого выбирается малый интервал времени $\textstyle \Delta t$ и начальное значение $\textstyle x_{0}$. Затем генерится нормально распределённое случайное число $\textstyle \varepsilon _{1}$ и вычисляется следующее значение $\textstyle x_{1}$. После чего $\textstyle x_{1}$ подставляется на место $\textstyle x_{0}$, время сдвигается $\textstyle t_{1}\Rightarrow t_{0}+\Delta t$. В результате получается последовательность случайных чисел $\textstyle x_{0}$, $\textstyle x_{1}$, $\textstyle x_{2}$,... Соответствующий график имеет характерную фрактальную изломанность, типичную для динамики цен финансовых инструментов или блуждающей броуновской частицы. Заметим, что на каждой итерации генерится новое случайное число $\textstyle \varepsilon _{k}$.

Сходимость итерационной процедуры () имеет одну особенность. Решая обычное дифференциальное уравнение $\textstyle dx=a(x,t)\,dt$ в разностях $\textstyle x_{k+1}=x_{k}+a(x_{k},t_{k})\,\Delta t$, мы предполагаем, что при заданных начальных условиях $\textstyle x_{0}=x(t_{0})$ решение в момент времени $\textstyle t$ будет получаться примерно одно и то же, стремясь к некоторому пределу при уменьшении временного шага $\textstyle \Delta t\to 0$. Однако для стохастических уравнений это абсолютно не так! Какой бы малый интервал $\textstyle \Delta t$ мы не выбрали, за счёт случайных чисел $\textstyle \varepsilon _{k}$ будут получаться различные траектории $\textstyle x(t)$, удалённые друг от друга достаточно далеко.

Сходимость алгоритма () означает, что при уменьшении $\textstyle \Delta t$ должны к определённому пределу стремиться среднее значение $\textstyle {\bar {x}}(t)$, волатильность $\textstyle \sigma (t)$ и функция распределения вероятностей $\textstyle P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)$ случайного процесса $\textstyle x(t)$.

$\textstyle \bullet$ Снос $\textstyle a(x,t)$ и волатильность $\textstyle b(x,t)$ имеют простой смысл. Если $\textstyle x$ в момент времени $\textstyle t_{0}$ равен $\textstyle x_{0}$, то средние значения первой и второй степени его изменения через бесконечно близкий интервал $\textstyle \Delta t\to 0$ будут равны:

${\frac {\left\langle x-x_{0}\right\rangle }{\Delta t}}=a(x_{0},t_{0}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {\left\langle (x-x_{0})^{2}\right\rangle }{\Delta t}}=b^{2}(x_{0},t_{0}),$

где усреднение проводится при условии $\textstyle x_{0}=x(t_{0})$. Это утверждение означает использование условной вероятности при вычислении среднего:

$\left\langle (x-x_{0})^{k}\right\rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{k}\cdot P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)\,dx.$

Моменты времени $\textstyle t_{0}$ и $\textstyle t$ явным образом указывают, когда происходит наблюдение $\textstyle x_{0}$ и $\textstyle x$.

Проверим, что дискретная схема Ито () приводит к (). В бесконечно близкий к $\textstyle t_{0}$ момент времени отклонение от $\textstyle x_{0}$ можно записать в следующем виде:

$x-x_{0}=a(x_{0},t_{0})\cdot \Delta t+b(x_{0},t_{0}){\sqrt {\Delta t}}\cdot \varepsilon .$

Напомню, что $\textstyle x$ и $\textstyle \varepsilon$ — это случайные величины, а $\textstyle x_{0}$ в данном случае — константа начального условия. Среднее квадрата отклонения равно:

$\left\langle (x-x_{0})^{2}\right\rangle =\left\langle a_{0}^{2}\;(\Delta t)^{2}+2a_{0}b_{0}\;(\Delta t)^{3/2}\cdot \varepsilon +b_{0}^{2}\,\Delta t\cdot \varepsilon ^{2}\right\rangle =a_{0}^{2}\;\Delta t^{2}+b_{0}^{2}\,\Delta t,$

где $\textstyle a_{0}=a(x_{0},t_{0})$, $\textstyle b_{0}=b(x_{0},t_{0})$, и учтено, что $\textstyle \left\langle \varepsilon \right\rangle =0$, $\textstyle \left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle =1$. Разделив на $\textstyle \Delta t$ и устремив его к нулю, получим $\textstyle b^{2}(x_{0},t_{0})$. В () начальное условие $\textstyle x_{0}$ считается заданной константой, поэтому усредняется только случайная величина $\textstyle \varepsilon$.

Несложно проверить, что моменты более высоких порядков $\textstyle \left\langle (x-x_{0})^{k}\right\rangle$ в ведущем приближении пропорциональны $\textstyle (\Delta t)^{k/2}$ и после деления на $\textstyle \Delta t$ при $\textstyle k>2$ будут стремиться к нулю.

Класс процессов, свойства которых полностью определяются только бесконечно малыми локальными изменениями первого и второго порядка (), называются диффузными.

Чтобы определить динамическое стохастическое уравнение для того или иного эмпирического процесса, можно вычислить средние () в различные моменты времени и при различных $\textstyle x_{0}$. Кроме этого, необходимо обязательно проверить, является ли процесс диффузным, т.е. стремятся ли $\textstyle \left\langle (x-x_{0})^{k}\right\rangle /\Delta t$ к нулю при $\textstyle k>2$ и $\textstyle \Delta t\to 0$. Иногда это проще, чем восстановление из данных функции четырех аргументов $\textstyle P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)$.

$\textstyle \bullet$ Мы часто будем записывать решения стохастических уравнений при помощи скалярной случайной величины $\textstyle \varepsilon$. Важно чётко понимать смысл такой символики. Пусть в начальный момент времени $\textstyle t_{0}$ нам известно, что $\textstyle x=x_{0}$. После этого $\textstyle x$ начинает изменяться $\textstyle x=x(t)$. В каждый фиксированный момент времени $\textstyle t>t_{0}$ величина $\textstyle x$ случайна. При помощи того или иного функционального преобразования можно выразить случайную величину с одним распределением через случайную величину с другим. Поэтому:

$x=f(x_{0},t_{0},\;t,\;\varepsilon )$

означает, что случайная величина $\textstyle x$ в момент времени $\textstyle t$ выражается, например, через гауссову случайную переменную $\textstyle \varepsilon$, а, следовательно, плотность вероятности $\textstyle P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)$ можно получить некоторым преобразованием из нормального распределения. При помощи () легко вычисляются разнообразные средние случайного процесса, так как свойства $\textstyle \varepsilon$ хорошо известны.

Таким образом, в произвольный фиксированный момент времени $\textstyle x(t)$ — это случайная величина, свойства которой определяются при помощи $\textstyle \varepsilon$ и значения $\textstyle t$. Время изменяется, и изменяются её свойства. В результате случайная величина $\textstyle x$ превращается в процесс.

Если мы рассматриваем другой момент времени, мы должны использовать другую случайную величину $\textstyle \varepsilon$. Пусть процесс наблюдается после $\textstyle t_{0}$ в последовательные моменты времени $\textstyle t_{1}$ и $\textstyle t_{2}$, тогда:

${\begin{array}{lcl}x_{1}&=&f(x_{0},t_{0},t_{1},\varepsilon _{1})\\x_{2}&=&f(x_{0},t_{0},t_{2},\varepsilon _{2})=f(x_{1},t_{1},t_{2},\varepsilon _{3}).\end{array}}$

Первое уравнение () является решением в момент времени $\textstyle t_{1}$. Величина $\textstyle x_{0}$ — детерминированная константа, задаваемая начальными условиями. В противоположность ей $\textstyle x_{1}$ — случайная величина. Её случайность определяется $\textstyle \varepsilon _{1}$. Первое равенство уравнения () имеет аналогичный смысл. Однако $\textstyle \varepsilon _{2}$ — это новая случайная величина. Заметим, что она, вообще говоря, статистически зависит от $\textstyle \varepsilon _{1}$, так как знание значения $\textstyle x_{1}$ (и, следовательно, $\textstyle \varepsilon _{1}$) даёт нам дополнительную информацию о возможных значениях $\textstyle x_{2}$. В частности, считая, что задано "начальное условие" $\textstyle x_{1}=x(t_{1})$, мы можем записать второе равенство в (). Величина $\textstyle \varepsilon _{3}$ определяет "случайность" после момента времени $\textstyle t_{1}$, и, следовательно, она независима от $\textstyle \varepsilon _{1}$. Второе равенство в () имеет смысл функциональной связи между случайными величинами $\textstyle x_{2}$ и $\textstyle x_{1}$, $\textstyle \varepsilon _{3}$. Заметим, что функция $\textstyle f$ во всех соотношениях (), () одна и та же, а все случайные величины $\textstyle \varepsilon _{i}$ имеют одинаковое распределение $\textstyle N(0,1)$.

---

Мартингалы <<	Оглавление	>> Лемма Ито

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения