Уравнения Ито — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
Строка 5: Строка 5:
 
|}
 
|}
 
----
 
----
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим дискретную модель блуждания (стр. \pageref{discret_Wiener_process}), в которой, кроме случайных толчков <math>\textstyle \varepsilon_i</math>, на каждом шаге происходит постоянный сдвиг <math>\textstyle x</math> на величину <math>\textstyle \mu_0</math>. Через <math>\textstyle n</math> таких шагов результирующее значение <math>\textstyle x</math> будет равно:
+
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим [[Модель аддитивного блуждания|дискретную модель блуждания]], в которой, кроме случайных толчков <math>\textstyle \varepsilon_i</math>, на каждом шаге происходит постоянный сдвиг <math>\textstyle x</math> на величину <math>\textstyle \mu_0</math>. Через <math>\textstyle n</math> таких шагов результирующее значение <math>\textstyle x</math> будет равно:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
Строка 32: Строка 32:
 
где введено формальное обозначение <math>\textstyle \delta W = \varepsilon \sqrt{dt}</math>. В отличие от обычных дифференциальных уравнений вида <math>\textstyle dx=a(x,t)dt</math>, подобное уравнение содержит бесконечно малое изменение по времени в степени 1/2. Чтобы подчеркнуть эту необычность, мы используем символ "<math>\textstyle \delta</math>", а не "<math>\textstyle d</math>". Процесс, подчиняющийся уравнению (2.3), называется ''непрерывным винеровским процессом''.
 
где введено формальное обозначение <math>\textstyle \delta W = \varepsilon \sqrt{dt}</math>. В отличие от обычных дифференциальных уравнений вида <math>\textstyle dx=a(x,t)dt</math>, подобное уравнение содержит бесконечно малое изменение по времени в степени 1/2. Чтобы подчеркнуть эту необычность, мы используем символ "<math>\textstyle \delta</math>", а не "<math>\textstyle d</math>". Процесс, подчиняющийся уравнению (2.3), называется ''непрерывным винеровским процессом''.
  
Так как мы рассматриваем предел бесконечного числа аддитивных изменений (<math>\textstyle n\to \infty</math>), то гауссовость величин <math>\textstyle \varepsilon</math> на самом деле не важна. В силу вычислений на стр. \pageref{limit_theorem}, сумма большого числа независимых случайных величин окажется гауссовой величиной. Важным является факт их независимости, в результате которого возникает множитель <math>\textstyle \sqrt{t}</math> (<math>\textstyle \lessdot</math> C).
+
Так как мы рассматриваем предел бесконечного числа аддитивных изменений (<math>\textstyle n\to \infty</math>), то гауссовость величин <math>\textstyle \varepsilon</math> на самом деле не важна. В силу вычислений раздела "[[Характеристическая функция]]", сумма большого числа независимых случайных величин окажется гауссовой величиной. Важным является факт их независимости, в результате которого возникает множитель <math>\textstyle \sqrt{t}</math> (<math>\textstyle \lessdot</math> C).
  
 
<math>\textstyle \bullet</math> Общие процессы Ито представляют собой "''деформацию''" простого винеровского блуждания при помощи функций <math>\textstyle a(x,t)</math> и <math>\textstyle b(x,t)</math>. Предположим, что снос <math>\textstyle \mu</math> и волатильность <math>\textstyle \sigma</math> &mdash; это функции времени <math>\textstyle t</math>, которые могут также зависеть от значения <math>\textstyle x</math>:
 
<math>\textstyle \bullet</math> Общие процессы Ито представляют собой "''деформацию''" простого винеровского блуждания при помощи функций <math>\textstyle a(x,t)</math> и <math>\textstyle b(x,t)</math>. Предположим, что снос <math>\textstyle \mu</math> и волатильность <math>\textstyle \sigma</math> &mdash; это функции времени <math>\textstyle t</math>, которые могут также зависеть от значения <math>\textstyle x</math>:
Строка 105: Строка 105:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
  | width="90%" align="center"|<math>x_2&=&f(x_0,t_0, t_2, \varepsilon_2) = f(x_1,t_1, t_2, \varepsilon_3). </math>
+
  | width="90%" align="center"|<math>x_2=f(x_0,t_0, t_2, \varepsilon_2) = f(x_1,t_1, t_2, \varepsilon_3). </math>
 
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(2.10)'''</div>
 
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(2.10)'''</div>
 
  |}
 
  |}

Текущая версия на 18:14, 9 марта 2010

Мартингалы << Оглавление >> Почему Ито

Рассмотрим дискретную модель блуждания, в которой, кроме случайных толчков , на каждом шаге происходит постоянный сдвиг на величину . Через таких шагов результирующее значение будет равно:

(2.1)

Параметр называют "сносом" процесса. Если , то траектория постепенно (в среднем) будет сдвигаться вверх, иначе — вниз. Накопленное стохастическое изменение пропорционально гауссовой переменной с нулевым средним и единичной дисперсией.

Пусть длительность каждого шага — , и в течение времени их количество равно . Обозначим дисперсию за единицу времени через , а снос . В результате становится случайной функцией, которую можно записать в следующем виде:

(2.2)

В зависимости от значения случайного гауссового числа будет получаться то или иное в момент времени . Таким образом, процесс имеет нормальное распределение с максимумом, сдвигающимся со скоростью , и с шириной, увеличивающейся со временем пропорционально корню .

Рассмотрим теперь изменение за бесконечно малый интервал . В этом случае из (2.2) следует:

(2.3)

где введено формальное обозначение . В отличие от обычных дифференциальных уравнений вида , подобное уравнение содержит бесконечно малое изменение по времени в степени 1/2. Чтобы подчеркнуть эту необычность, мы используем символ "", а не "". Процесс, подчиняющийся уравнению (2.3), называется непрерывным винеровским процессом.

Так как мы рассматриваем предел бесконечного числа аддитивных изменений (), то гауссовость величин на самом деле не важна. В силу вычислений раздела "Характеристическая функция", сумма большого числа независимых случайных величин окажется гауссовой величиной. Важным является факт их независимости, в результате которого возникает множитель ( C).

Общие процессы Ито представляют собой "деформацию" простого винеровского блуждания при помощи функций и . Предположим, что снос и волатильность — это функции времени , которые могут также зависеть от значения :

(2.4)

где — бесконечно малый винеровский "шум", а . Функция называется коэффициентом сноса, а — коэффициентом волатильности, квадрат которого называют диффузией. Локально, если функции и примерно постоянны, процесс Ито — это обычное аддитивное винеровское блуждание, постепенно изменяющее свои свойства ( C).

Уравнение Ито (2.4) позволяет легко моделировать временную динамику произвольного стохастического процесса при помощи итерационной схемы

(2.5)

Для этого выбирается малый интервал времени и начальное значение . Затем генерится нормально распределённое случайное число и вычисляется следующее значение . После чего подставляется на место , время сдвигается . В результате получается последовательность случайных чисел , , ,... Соответствующий график имеет характерную фрактальную изломанность, типичную для динамики цен финансовых инструментов или блуждающей броуновской частицы. Заметим, что на каждой итерации генерится новое случайное число .

Сходимость итерационной процедуры (2.5) имеет одну особенность. Решая обычное дифференциальное уравнение в разностях , мы предполагаем, что при заданных начальных условиях решение в момент времени будет получаться примерно одно и то же, стремясь к некоторому пределу при уменьшении временного шага . Однако для стохастических уравнений это абсолютно не так! Какой бы малый интервал мы не выбрали, за счёт случайных чисел будут получаться различные траектории , удалённые друг от друга достаточно далеко.

Сходимость алгоритма (2.5) означает, что при уменьшении должны к определённому пределу стремиться среднее значение , волатильность и функция распределения вероятностей случайного процесса .

Снос и волатильность имеют простой смысл. Если в момент времени равен , то средние значения первой и второй степени его изменения через бесконечно близкий интервал будут равны:

(2.6)

где усреднение проводится при условии . Это утверждение означает использование условной вероятности при вычислении среднего:

Моменты времени и явным образом указывают, когда происходит наблюдение и .

Проверим, что дискретная схема Ито (2.5) приводит к (2.6). В бесконечно близкий к момент времени отклонение от можно записать в следующем виде:

(2.7)

Напомню, что и — это случайные величины, а в данном случае — константа начального условия. Среднее квадрата отклонения равно:

где , , и учтено, что , . Разделив на и устремив его к нулю, получим . В (2.7) начальное условие считается заданной константой, поэтому усредняется только случайная величина .

Несложно проверить, что моменты более высоких порядков в ведущем приближении пропорциональны и после деления на при будут стремиться к нулю.

Класс процессов, свойства которых полностью определяются только бесконечно малыми локальными изменениями первого и второго порядка (2.6), называются диффузными.

Чтобы определить динамическое стохастическое уравнение для того или иного эмпирического процесса, можно вычислить средние (2.6) в различные моменты времени и при различных . Кроме этого, необходимо обязательно проверить, является ли процесс диффузным, т.е. стремятся ли к нулю при и . Иногда это проще, чем восстановление из данных функции четырех аргументов .

Мы часто будем записывать решения стохастических уравнений при помощи скалярной случайной величины . Важно чётко понимать смысл такой символики. Пусть в начальный момент времени нам известно, что . После этого начинает изменяться . В каждый фиксированный момент времени величина случайна. При помощи того или иного функционального преобразования можно выразить случайную величину с одним распределением через случайную величину с другим. Поэтому:

(2.8)

означает, что случайная величина в момент времени выражается, например, через гауссову случайную переменную , а, следовательно, плотность вероятности можно получить некоторым преобразованием из нормального распределения. При помощи (2.8) легко вычисляются разнообразные средние случайного процесса, так как свойства хорошо известны.

Таким образом, в произвольный фиксированный момент времени — это случайная величина, свойства которой определяются при помощи и значения . Время изменяется, и изменяются её свойства. В результате случайная величина превращается в процесс.

Если мы рассматриваем другой момент времени, мы должны использовать другую случайную величину . Пусть процесс наблюдается после в последовательные моменты времени и , тогда:

(2.9)
(2.10)

Первое уравнение (2.9) является решением в момент времени . Величина — детерминированная константа, задаваемая начальными условиями. В противоположность ей — случайная величина. Её случайность определяется . Первое равенство уравнения (2.10) имеет аналогичный смысл. Однако — это новая случайная величина. Заметим, что она, вообще говоря, статистически зависит от , так как знание значения (и, следовательно, ) даёт нам дополнительную информацию о возможных значениях . В частности, считая, что задано "начальное условие" , мы можем записать второе равенство в (2.10). Величина определяет "случайность" после момента времени , и, следовательно, она независима от . Второе равенство в (2.10) имеет смысл функциональной связи между случайными величинами и , . Заметим, что функция во всех соотношениях (2.9), (2.10) одна и та же, а все случайные величины имеют одинаковое распределение .


Мартингалы << Оглавление >> Почему Ито

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения