Уравнение для x — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Разложение вероятности по базису << ! width="20%"|[[Стохастический мир|Огла…»)
 
 
(не показаны 3 промежуточные версии этого же участника)
Строка 6: Строка 6:
 
----
 
----
  
 +
Пусть случайный процесс <math>\textstyle x=f(t,\varepsilon)</math> в момент времени <math>\textstyle t</math> выражен через гауссову переменную <math>\textstyle \varepsilon</math>. Несмотря на случайность величин, <math>\textstyle f(t,\varepsilon)</math> представляет собой обычную функцию двух аргументов. Найдём уравнение, которому она удовлетворяет. При этом будем предполагать, что существует обратная к <math>\textstyle f</math> функция <math>\textstyle \varepsilon=g(x,t)</math>. Нам потребуются переходы от частных производных <math>\textstyle f</math> к <math>\textstyle g</math>. Для этого запишем дифференциалы:
 +
 +
:<center><math>d\varepsilon = \partial_x g\,dx + \partial_t g\, dt,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; dx = \partial_\varepsilon f\,d\varepsilon + \partial_t f\, dt,</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \partial_x g = \partial g/\partial x</math>, и т.д. Подставляя <math>\textstyle dx</math> в первое уравнение, получаем:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \partial_\varepsilon f\cdot \partial_x g = 1,\;\;\;\partial_t g = - \partial_x g\cdot \partial_t f, \;\;\;\partial^2_x g = \partial_x\left(\frac{1}{\partial_\varepsilon f}\right) = - \frac{\partial^2_\varepsilon f \,\partial_x g}{(\partial_\varepsilon f)^2}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.26)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Выведем сначала уравнение для обратной функции <math>\textstyle g(x, t)</math>. Пусть в момент времени <math>\textstyle t</math> случайная величина, от которой зависит <math>\textstyle x</math>, равна <math>\textstyle \varepsilon_1</math>. Через бесконечно малый интервал времени в <math>\textstyle t+dt</math> это уже другая гауссова переменная <math>\textstyle \varepsilon_2</math>:
 +
 +
:<center><math>\varepsilon_2=g\bigl(x + dx,\;t+dt\bigr),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\varepsilon_1=g(x, t).</math></center>
 +
 +
Возведём <math>\textstyle \varepsilon_2</math> в <math>\textstyle k</math>-тую степень <math>\textstyle \varepsilon^k_2=g^k\bigl(x + dx,\;t+dt\bigr)</math> и разложим в ряд до первого порядка малости по <math>\textstyle dt</math>, и до второго по <math>\textstyle dx</math>:
 +
 +
:<center><math>\varepsilon^k_2 = \varepsilon^k_1 + k g^{k-1}\cdot(g' dx + \dot{g} dt) + \bigl[k(k-1)g^{k-2} g'^2 + k g^{k-1} g''\bigr]\,\frac{(dx)^2}{2}+..,</math></center>
 +
 +
где штрих обозначает частную производную по <math>\textstyle x</math>, а точка &mdash; по времени. В качестве <math>\textstyle dx</math> подставим стохастическое уравнение <math>\textstyle dx=adt+b\varepsilon \sqrt{dt}</math>, где случайное число <math>\textstyle \varepsilon</math> не зависит от <math>\textstyle \varepsilon_1</math>. Усредняя левую и правую части <math>\textstyle \left\langle \varepsilon^k_2\right\rangle =\left\langle \varepsilon^k_1\right\rangle </math>, <math>\textstyle \left\langle \varepsilon\right\rangle =0</math>, <math>\textstyle \left\langle \varepsilon^2\right\rangle =1</math> и сдвигая <math>\textstyle k\to k+1</math>, получаем:
 +
 +
:<center><math>\left\langle g^k\cdot \left(g'\, a + \dot{g}+ \frac{D}{2}\,g''\right)+ k g^{k-1} \,\frac{D}{2}\,g'^2\right\rangle = 0,</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle D=b^2</math> &mdash; диффузия процесса. Умножим это соотношение на произвольные коэффициенты <math>\textstyle F_k</math> и просуммируем по <math>\textstyle k=0,1,...</math>:
 +
 +
:<center><math>\left\langle F(g)\cdot \left(g'\, a + \dot{g}+ \frac{D}{2}\,g''\right)+ F'(g)\,g'^2 \,\frac{D}{2}\right\rangle = 0,</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle F(g)=F_0+F_1 g + F_2 g^2 + ..</math> При усреднении производится интегрирование по <math>\textstyle \varepsilon_1=g</math> с плотностью вероятности <math>\textstyle P(\varepsilon_1)</math>. Для функций типа <math>\textstyle g'(x,t)</math> предполагается, что после взятия производной необходимо выразить <math>\textstyle x=f(\varepsilon_1,t)</math> и подставить в <math>\textstyle g'(x,t)</math>.
 +
 +
Проинтегрируем по частям второе слагаемое в среднем:
 +
 +
:<center><math>\int\limits^\infty_{-\infty} F'(\varepsilon_1) g'^2 \,\frac{D}{2} \,P(\varepsilon_1) \,d\varepsilon_1= -\int\limits^\infty_{-\infty} F(\varepsilon_1) \frac{\partial}{\partial \varepsilon_1}\left[g'^2 \,\frac{D}{2} \,P(\varepsilon_1)\right] \,d\varepsilon_1.</math></center>
 +
 +
При вычислении производной можно воспользоваться неявным дифференцированием:
 +
 +
:<center><math>\frac{\partial}{\partial \varepsilon_1}\left[g'^2 \,\frac{D}{2}\right] \;=\; \frac{\partial}{\partial x}\left[g'^2 \,\frac{D}{2}\right]\frac{\partial x}{\partial \varepsilon_1} \;=\; \frac{\partial}{\partial x}\left[g'^2 \,\frac{D}{2}\right]\frac{1}{g'},</math></center>
 +
 +
где учтено, что <math>\textstyle \partial x/\partial \varepsilon_1=f'=1/g'</math> (см. (4.26)).
 +
 +
Вводя функцию <math>\textstyle \psi(\varepsilon_1)=-P'(\varepsilon_1)/P(\varepsilon_1)</math>, получаем:
 +
 +
:<center><math>\left\langle F(g)\cdot \left(g'\, a + \dot{g}+ \frac{D}{2}\,g''+ g'^2 \,\frac{D}{2}\,\psi(\varepsilon_1) - \frac{\partial}{\partial x}\left[g'^2 \,\frac{D}{2}\right]\frac{1}{g'}\right)\right\rangle = 0.</math></center>
 +
 +
В силу произвольности функции <math>\textstyle F</math> множитель в круглых скобках должен быть равен нулю, поэтому для <math>\textstyle \varepsilon_1=g(x,t)</math> имеем:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \dot{g} = \frac{1}{2}\frac{\partial D(x,t)}{\partial x}g' -a(x,t)g' - \frac{D(x,t)}{2} \;\bigl[\psi(g) \,g'^2 - g''\bigr]. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.27)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Воспользовавшись (4.26), после несложных вычислений получаем уравнение относительно <math>\textstyle f(t,\varepsilon)</math>:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|
 +
<math> \dot{f} \;=\; a(f,t) \;-\; \frac{D'(f,t)}{2} \;+\; \frac{D(f,t)}{2}\left[\frac{\psi(\varepsilon)}{f'} + \frac{f''}{f'^2}\right] , </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.28)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где <math>\textstyle D'=\partial D/\partial f</math> и опущен индекс у <math>\textstyle \varepsilon_1</math>.
 +
 +
В детерминированном случае (<math>\textstyle D=0</math>) получается, как и следовало ожидать, обыкновенное дифференциальное уравнение <math>\textstyle \dot{f}=a(f,t)</math>. Начальное условие для (4.28) имеет вид <math>\textstyle x(t_0, \varepsilon)=x_0</math>.
 +
 +
Для гауссового распределения <math>\textstyle \psi(\varepsilon)=\varepsilon</math>. Однако в качестве случайного числа <math>\textstyle \varepsilon</math> можно использовать величину с произвольным распределением. Так, для <math>\textstyle P(\varepsilon)\sim \varepsilon^{\gamma-1} e^{-\lambda \varepsilon}</math> функция <math>\textstyle \psi(\varepsilon)=\lambda - (\gamma-1)/\varepsilon</math>.
 +
 +
В качестве упражнения (<math>\textstyle \lessdot</math> H) предлагается проверить, что уравнения (4.27) и (4.28) согласуются с уравнением Фоккера-Планка.
  
  

Текущая версия на 18:41, 15 марта 2010

Разложение вероятности по базису << Оглавление >> Площадь под траекторией Винера

Пусть случайный процесс в момент времени выражен через гауссову переменную . Несмотря на случайность величин, представляет собой обычную функцию двух аргументов. Найдём уравнение, которому она удовлетворяет. При этом будем предполагать, что существует обратная к функция . Нам потребуются переходы от частных производных к . Для этого запишем дифференциалы:

где , и т.д. Подставляя в первое уравнение, получаем:

(4.26)

Выведем сначала уравнение для обратной функции . Пусть в момент времени случайная величина, от которой зависит , равна . Через бесконечно малый интервал времени в это уже другая гауссова переменная :

Возведём в -тую степень и разложим в ряд до первого порядка малости по , и до второго по :

где штрих обозначает частную производную по , а точка — по времени. В качестве подставим стохастическое уравнение , где случайное число не зависит от . Усредняя левую и правую части , , и сдвигая , получаем:

где — диффузия процесса. Умножим это соотношение на произвольные коэффициенты и просуммируем по :

где При усреднении производится интегрирование по с плотностью вероятности . Для функций типа предполагается, что после взятия производной необходимо выразить и подставить в .

Проинтегрируем по частям второе слагаемое в среднем:

При вычислении производной можно воспользоваться неявным дифференцированием:

где учтено, что (см. (4.26)).

Вводя функцию , получаем:

В силу произвольности функции множитель в круглых скобках должен быть равен нулю, поэтому для имеем:

(4.27)

Воспользовавшись (4.26), после несложных вычислений получаем уравнение относительно :

(4.28)

где и опущен индекс у .

В детерминированном случае () получается, как и следовало ожидать, обыкновенное дифференциальное уравнение . Начальное условие для (4.28) имеет вид .

Для гауссового распределения . Однако в качестве случайного числа можно использовать величину с произвольным распределением. Так, для функция .

В качестве упражнения ( H) предлагается проверить, что уравнения (4.27) и (4.28) согласуются с уравнением Фоккера-Планка.



Разложение вероятности по базису << Оглавление >> Площадь под траекторией Винера

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения