Уравнение для плотности вероятности
Марковские плотности вероятности << | Оглавление | >> Решение уравнения Фоккера-Планка |
---|
Найдём уравнение относительно переменных начального значения , . Для этого воспользуемся уравнением Чепмена-Колмогорова. Чтобы возникла производная по времени , необходимо рассмотреть и бесконечно близкое к нему время . Поэтому для трёх последовательных моментов времени в интегральном уравнении возьмём два соседних , и одно "будущее" :
Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle P(x_0,t_0 \Rightarrow x,t) = \int\limits^\infty_{-\infty} P(x_0,t_0 \Rightarrow y,t_0+\Delta t)\cdot \underbrace{P(y,t_0+\Delta t \Rightarrow x,t)}_{раскладываем\;по\;(y-x_0)} \;dy.}
Интервал мал и, следовательно, величина , соответствующая моменту времени , должна быть близка к в момент времени . Поэтому разложим в ряд Тейлора по , в окрестности точки , второй множитель под интегралом:
где . Вынесем множители, не зависящие от , за знак интеграла. Опуская пределы интегрирования, запишем: \begin{eqnarray*} P(x_0,t_0 \Rightarrow x,t) &=& P(x_0,t_0+\Delta t \Rightarrow x,t)\cdot \int P(x_0,t_0 \Rightarrow y,t_0+\Delta t) dy \\ &+& \frac{\partial P}{\partial x_0 } \cdot \int (y-x_0) \cdot P(x_0,t_0 \Rightarrow y,t_0+\Delta t) dy \\ &+& \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial x_0^2}\cdot \int (y-x_0)^2 \cdot P(x_0,t_0 \Rightarrow y,t_0+\Delta t) dy\\ &+& ... \end{eqnarray*} Первое слагаемое соответствует условию нормировки (переход "хоть куда-нибудь"), и интеграл равен единице. В результате получается просто .
Перенесём направо и разделим обе части на . По определению, при мы можем записать:
что приводит к производной по начальному моменту времени .
Интегрирование по во втором и третьем слагаемых даёт условные средние моментов первого и второго порядков:
Если бы мы продолжили разложение в ряд Тейлора, то в этом уравнении стояли бы также моменты более высоких порядков , и т.д. Однако для диффузных процессов они по определению в пределе равны нулю (см. стр. \pageref{def_a_b}).
Средние значения, как обычно, вычисляются при помощи условной плотности вероятности ():
При вычислении предела сначала необходимо проинтегрировать, вычислив среднее, затем полученную функцию от разделить на , и только после этого устремить к нулю .
Мы видим, что снос и диффузия естественным образом появляются как в уравнениях для плотности вероятности случайного процесса, так и в стохастических дифференциальных уравнениях при записи их через разности.
В результате, вводя коэффициенты сноса и диффузии, получаем "первое уравнение Колмогорова":
(EQN)
|
где . Заметим, что производные в этом уравнении берутся не по будущим аргументам и , а по начальным и .
Если значение задано точно, то первое уравнение Колмогорова необходимо решать с "начальными" условиями в виде дельта-функции Дирака:
Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle P(x_0,t_0 \Rightarrow x,t) = \delta (x-x_0)\;\;\;\;\;при\;\;\; t\to t_0. } | (EQN)
|
Естественно, кроме этого предполагается наличие тех или иных граничных условий. В простейшем случае требуют достаточно быстрого убывания плотности вероятности при увеличении разности в любой момент времени .
Марковские плотности вероятности << | Оглавление | >> Решение уравнения Фоккера-Планка |
---|
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения