Несмотря на простой вид, стохастические уравнения () аналитически интегрировать не так и просто из-за винеровского члена . Это явно видно в случае конечной численной реализации (). Каждое последовательное в итерационной процедуре нелинейным образом зависит от всех предыдущих случайных чисел ( C). Тем не менее, рассмотрим ситуации, в которых можно получить точные решения.
Пусть в процессе Ито функции сноса и волатильности зависят только от времени. Обозначим их через и :
Это уравнение легко интегрируется при помощи "дискретной" интерпретации стохастического члена . Рассмотрим итерации, выполняемые по разностной схеме ():
где и . После итераций итоговое значение будет равно:
Скобки в последнем слагаемом содержат сумму независимых гауссовых чисел, каждое из которых имеет волатильность . В результате получается гауссово число с волатильностью . Поэтому, переходя к непрерывному пределу, получаем ( H):
Решение () уравнения () говорит нам, что является нормально распределённым случайным числом со средним и дисперсией, зависящими от времени. Если — не константа, то будущая неопределённость в значении может увеличиваться уже не как , а по другому закону.
Соотношение () позволяет легко вычислить статистические свойства процесса, в частности, его среднее и волатильность .
Одномерное уравнение Ито для процесса, имеющего произвольный снос и волатильность
заменой иногда можно свести к частному случаю (), для которого решение уже известно. Воспользуемся леммой Ито:
Подберем таким образом, чтобы множители при и в () оказались функциями и , зависящими только от времени:
где вместо в множитель при подставлено первое уравнение () и его производная по ( H). Возьмём частные производные первого уравнения () по и второго по . Вычитая их, мы придём к условию совместности:
Если при данных и можно подобрать такую функцию , при которой уравнение () обратится в тождество, то мы получим решение стохастического уравнения () в следующей неявной форме:
где функция определяется вторым соотношением (), а находится из первого уравнения () ( C).
Решение () — это нестационарный гауссовый процесс для деформации при помощи нелинейной функции . Естественно, что разрешимость () позволяет интегрировать уравнение Ито только в ряде частных случаев. Однако, как мы увидим ниже, эти случаи охватывают достаточно широкий класс важных для практических приложений процессов.
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения