Точные решения уравнения Ито

Лемма Ито <<	Оглавление	>> Простые стохастические модели

---

$\textstyle \bullet$ Несмотря на простой вид, стохастические уравнения () аналитически интегрировать не так и просто из-за винеровского члена $\textstyle \delta W$. Это явно видно в случае конечной численной реализации (). Каждое последовательное $\textstyle x$ в итерационной процедуре нелинейным образом зависит от всех предыдущих случайных чисел $\textstyle \varepsilon _{k}$ ($\textstyle \lessdot$ C). Тем не менее, рассмотрим ситуации, в которых можно получить точные решения.

Пусть в процессе Ито функции сноса и волатильности зависят только от времени. Обозначим их через $\textstyle f(t)$ и $\textstyle s(t)$:

$dx=f(t)\,dt+s(t)\,\delta W.$

Это уравнение легко интегрируется при помощи "дискретной" интерпретации стохастического члена $\textstyle \delta W$. Рассмотрим итерации, выполняемые по разностной схеме ():

${\begin{array}{l}x_{1}=x_{0}+f_{0}\Delta t+s_{0}\varepsilon _{1}{\sqrt {\Delta t}},\\x_{2}=x_{1}+f_{1}\Delta t+s_{1}\varepsilon _{2}{\sqrt {\Delta t}}=x_{0}+(f_{0}+f_{1})\,\Delta t+(s_{0}\varepsilon _{1}+s_{1}\varepsilon _{2}){\sqrt {\Delta t}},\\...,\end{array}}$

где $\textstyle f_{k}=f(t_{k})$ и $\textstyle s_{k}=s(t_{k})$. После $\textstyle n$ итераций итоговое значение будет равно:

$x=x_{0}+(f_{0}+...+f_{n-1})\,\Delta t+(s_{0}\varepsilon _{1}+...+s_{n-1}\varepsilon _{n}){\sqrt {\Delta t}}.$

Скобки в последнем слагаемом содержат сумму независимых гауссовых чисел, каждое из которых имеет волатильность $\textstyle s_{k}$. В результате получается гауссово число с волатильностью $\textstyle {\sqrt {s_{0}^{2}+...+s_{n-1}^{2}}}$. Поэтому, переходя к непрерывному пределу, получаем ($\textstyle \lessdot$ H):

$x(t)=x(t_{0})+\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau )\,d\tau +\left[\int \limits _{t_{0}}^{t}s^{2}(\tau )\,d\tau \right]^{1/2}\cdot \;\varepsilon .$

Решение () уравнения () говорит нам, что $\textstyle x(t)$ является нормально распределённым случайным числом со средним и дисперсией, зависящими от времени. Если $\textstyle s(t)$ — не константа, то будущая неопределённость в значении $\textstyle x$ может увеличиваться уже не как $\textstyle {\sqrt {t}}$, а по другому закону.

Соотношение () позволяет легко вычислить статистические свойства процесса, в частности, его среднее $\textstyle {\overline {x}}(t)$ и волатильность $\textstyle \sigma (t)$.

$\textstyle \bullet$ Одномерное уравнение Ито для процесса, имеющего произвольный снос $\textstyle a(x,t)$ и волатильность $\textstyle b(x,t)$

$dx=a(x,t)\,dt+b(x,t)\,\delta W,$

заменой иногда можно свести к частному случаю (), для которого решение уже известно. Воспользуемся леммой Ито:

$dF=\underbrace {\left({\frac {\partial F}{\partial t}}\,+\,a(x,t){\frac {\partial F}{\partial x}}\,+\,{\frac {b^{2}(x,t)}{2}}\,{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\right)} _{f(t)}\,dt+\underbrace {b(x,t){\frac {\partial F}{\partial x}}} _{s(t)}\,\delta W.$

Подберем $\textstyle F(x,t)$ таким образом, чтобы множители при $\textstyle \delta W$ и $\textstyle dt$ в () оказались функциями $\textstyle s(t)$ и $\textstyle f(t)$, зависящими только от времени:

${\frac {\partial F}{\partial x}}={\frac {s(t)}{b(x,t)}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {\partial F}{\partial t}}+s(t)\cdot \left[{\frac {a(x,t)}{b(x,t)}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial b(x,t)}{\partial x}}\right]=f(t),$

где вместо $\textstyle \partial F/\partial x$ в множитель при $\textstyle dt$ подставлено первое уравнение () и его производная по $\textstyle x$ ($\textstyle \lessdot$ H). Возьмём частные производные первого уравнения () по $\textstyle t$ и второго по $\textstyle x$. Вычитая их, мы придём к условию совместности:

${\frac {1}{s(t)}}\cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\left\{{\frac {s(t)}{b(x,t)}}\right\}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}b(x,t)}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\left\{{\frac {a(x,t)}{b(x,t)}}\right\}.$

Если при данных $\textstyle a(x,t)$ и $\textstyle b(x,t)$ можно подобрать такую функцию $\textstyle s(t)$, при которой уравнение () обратится в тождество, то мы получим решение стохастического уравнения () в следующей неявной форме:

$F{\bigl (}x(t),t{\bigr )}=F{\bigl (}x(t_{0}),t_{0}{\bigr )}+\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau )\,d\tau +\left[\int \limits _{t_{0}}^{t}s^{2}(\tau )\,d\tau \right]^{1/2}\cdot \;\varepsilon ,$

где функция $\textstyle f(t)$ определяется вторым соотношением (), а $\textstyle F(x,t)$ находится из первого уравнения () ($\textstyle \lessdot$ C).

Решение () — это нестационарный гауссовый процесс для деформации $\textstyle x(t)$ при помощи нелинейной функции $\textstyle F(x,t)$. Естественно, что разрешимость () позволяет интегрировать уравнение Ито только в ряде частных случаев. Однако, как мы увидим ниже, эти случаи охватывают достаточно широкий класс важных для практических приложений процессов.

---

Лемма Ито <<	Оглавление	>> Простые стохастические модели

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения