Теорема Нётер

Тензор энергии-импульса <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 7)	>> Применения теоремы Нётер

---

Законы сохранения тесно связаны со существованием различных симметрий. Наличие симметрии означает, что при определённых непрерывных преобразованиях действие (интеграл от лагранжиана) не меняется. Это приводит к тому, что не меняются и уравнения движения. С каждой подобной симметрией связан определённый закон сохранения (Эмми Нётер, 1918 г.)

Пусть существуют непрерывные преобразования координат и полей, зависящие от $\textstyle m$ вещественных параметров $\textstyle \omega ^{a}=(\omega ^{1},...,\omega ^{m})$:

$x^{\mu }\mapsto x'^{\mu }=f^{\mu }(x,\omega ),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Psi _{k}(x)\mapsto \Psi '_{k}(x')=F_{k}(\Psi (x),\omega ),$

(EQN)

которые оставляют инвариантным действие:

$\int \limits _{\Omega '}{\mathcal {L}}{\bigl [}\Psi '(x')]\,d^{4}x'=\int \limits _{\Omega }{\mathcal {L}}{\bigl [}\Psi (x){\bigr ]}\,d^{4}x$

(EQN)

(мы пока не конкретизируем трансформационные свойства поля $\textstyle \Psi _{k}(\mathbf {x} )$ и для краткости опускаем зависимость $\textstyle {\mathcal {L}}$ от производных $\textstyle \partial _{\mu }\Psi _{k}$).

Например, "приличная" полевая теория должна быть инвариантна относительно преобразований Лоренца. В частности уравнения поля выглядят одинаковым образом для всех инерциальных наблюдателей. Обратим внимание, что в условии инвариантности (), несмотря на множество штрихов, функция Лагранжа $\textstyle {\mathcal {L}}$ стоит одна и та же в левой и правой части (поэтому уравнения движения не меняются). При этом область интегрирования $\textstyle \Omega$ для различных наблюдателей (до и после преобразования Лоренца) различная:

Выше на первом рисунке изображены функции поля в два момента времени $\textstyle \Psi (t_{1},\mathbf {x} )$ и $\textstyle \Psi (t_{2},\mathbf {x} )$. Значения этих функций задаются при выводе уравнений Лагранжа (стр.\pageref{lagrang_field}). Область интегрирования $\textstyle \Omega$, ограниченная "трёхмерными пространствами" в моменты времени $\textstyle t=t_{1}$ и $\textstyle t=t_{2}$ приведена на втором рисунке. Эта же область в другой инерциальной системе будет ограничена наклонными к оси времени гиперплоскостями $\textstyle \gamma \,(t'+vx')=t_{1,2}$. В общем случае область интегрирования $\textstyle \Omega$ может быть ограничена двумя произвольно "изогнутыми" пространственно-подобными гиперповерхностями.

$\textstyle \bullet$ Разберём подробнее закон преобразования $\textstyle \Psi '_{k}(x')=F_{k}(\Psi (x),\omega )$. Пусть в качестве преобразования 4-координат выступают преобразования Лоренца с параметрами $\textstyle \omega =(\mathbf {v} ,{\boldsymbol {\phi }})$, где $\textstyle \mathbf {v}$ — скорость системы отсчёта, а $\textstyle {\boldsymbol {\phi }}$ — углы поворота её координатных осей. В этом случае $\textstyle m=6$.

Скалярным полем называют функцию, значение которой, по определению, одинаковое во всех системах отсчёта:

$\Psi '(x')=\Psi (x).$

Представим, например, что в различных точках пространства "стоят" наблюдатели системы отсчёта $\textstyle S$ с синхронизированными часами. Каждый из них "показывает" всем желающим циферблат своих часов. В результате, во всём пространстве системы $\textstyle S$ задана функция $\textstyle \Psi (x)=t$. Она постоянна в данный момент времени для наблюдателей в $\textstyle S$. Эти циферблаты могут видеть соседние к ним наблюдатели из другой системы $\textstyle S'$, движущиеся со скоростью $\textstyle \mathbf {v}$. В силу преобразований Лоренца $\textstyle t=\gamma \,(t'+\mathbf {v} \,\mathbf {x} ')$. Поэтому, эта же скалярная функция (показания часов в различных точках пространства) будет иметь в системе $\textstyle S'$ другую функциональную зависимость от координат и времени $\textstyle \Psi '(x')=\gamma \,(t'+\mathbf {v} \,\mathbf {x} ')$. Однако её значение (число в данной точке пространства и времени) в системе $\textstyle S'$ будет таким же, как и у $\textstyle \Psi (x)$, так как это просто положение стрелки на часах системы $\textstyle S$.

Векторное поле — набор из 4-х функций которые в данной точке 4-пространства имеют различные значения в различных системах отсчёта. Эти значения связаны при помощи преобразований Лоренца. Например, 4-потенциал $\textstyle A^{\nu }(x)=\{\varphi ,\mathbf {A} \}$ является векторным полем:

$\varphi '(x')=\gamma \,(\varphi (x)-\mathbf {v} \mathbf {A} (x)),\;\;\;\;\;\;{\mathbf {A} }'(x')={\mathbf {A} }(x)-\gamma {\mathbf {v} }\,\varphi (x)+\Gamma \,{\mathbf {v} }({\mathbf {v} }{\mathbf {A} }(x)).$

Обратим внимание, что в левой части преобразований аргументы у функций $\textstyle x'=\{t',\mathbf {x} '\}$ имеют штрихи. Это означает, что поле в обоих системах сравнивается в одной точке пространства, в один и тот же момент времени (фиксированное событие 4-пространства). Хотя событие одно, его описание (координаты, время) для наблюдателей в различных системах отсчёта различно и также связано преобразованиями Лоренца.

Тензорное поле второго ранга — набор из 16 функций (два индекса). Их значения в данной точке пространства-времени для наблюдателей в двух системах отсчёта связаны как произведения двух векторных полей. Например, тензор электромагнитного поля является тензорным полем:

$F'^{\mu \nu }(x')=\Lambda _{\;\alpha }^{\mu }\Lambda _{\;\beta }^{\nu }\,F^{\alpha \beta }(x).$

Индексов у тензорного поля может быть естественно больше двух.

$\textstyle \bullet$ Будем считать, что параметризация преобразований () выбрана таким образом, что, при нулевых параметрах получаются тождественные преобразования $\textstyle f(x,0)=x$ и $\textstyle F(\Psi ,0)=\Psi$ (для краткости иногда будем опускать индексы у координат, полей и параметров, если это не приводит к неоднозначности). Разложим в ряд Тейлора по малым $\textstyle \omega$ преобразование координат и полевых функций:

$x'^{\mu }=f^{\mu }(x,\omega )\approx x^{\mu }+\delta x^{\mu },\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Psi '_{k}(x')=F_{k}(\Psi (x),\omega )\approx \Psi _{k}(x)+\delta \Psi _{k}(x),$

где отклонения от тождественных преобразований равны (по $\textstyle a$ сумма):

$\delta x^{\mu }={\frac {\partial f^{\mu }}{\partial \omega ^{a}}}{\Bigr |}_{\omega =0}\cdot \omega ^{a}=X_{a}^{\mu }\,\omega ^{a},\;\;\;\;\;\;\;\;\delta \Psi _{k}(x)={\frac {\partial F_{k}}{\partial \omega ^{a}}}{\Bigr |}_{\omega =0}\cdot \omega ^{a}=Y_{k,a}\,\omega ^{a}.$

При преобразованиях полей может изменяться как их значение (для векторных и тензорных), так и функциональная зависимость от координат и времени. Разделим эти два изменения и найдём связь между ними. Для этого разложим по малым $\textstyle \delta x$ полное изменение поля:

$\Psi '_{k}(x')=\Psi '_{k}(x+\delta x)=\Psi '_{k}(x)+\delta x^{\mu }\,\partial _{\mu }\Psi _{k}(x)$

(во втором равенстве штрих у $\textstyle \Psi$ в $\textstyle \partial _{\mu }\Psi _{k}(x)$ опущен, так как мы ограничиваемся первым порядком малости по $\textstyle \omega$, а они уже присутствуют в $\textstyle \delta x^{\mu }$). С другой стороны $\textstyle \Psi '_{k}(x')=\Psi _{k}(x)+\delta \Psi _{k}(x)$, поэтому изменение формы функции (без изменения координат) при малых параметрах ведёт себя следующим образом:

$\Psi '_{k}(x)=\Psi _{k}(x)+{\bar {\delta }}\Psi _{k}(x),\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\bar {\delta }}\Psi _{k}(x)=\delta \Psi _{k}(x)-\delta x^{\mu }\,\partial _{\mu }\Psi _{k}(x).$

Это функциональное изменение состоит из полного изменения $\textstyle \delta \Psi (x)$ за вычетом трансформации, при изменении только аргументов функции. Обратим внимание на черту $\textstyle {\bar {\delta }}$, помечающую изменение формы.

В качестве примера рассмотрим описанное ранее скалярное поле, дающее показания часов системы $\textstyle S$. По определению, его значение не меняется при преобразованиях Лоренца (одинаково во всех системах отсчёта). Поэтому $\textstyle \delta \Psi (x)=0$. Однако функциональная форма поля $\textstyle \Psi (x)$ различна в различных системах отсчёта. Так как $\textstyle \Psi '(x')=\gamma \,(t'+\mathbf {v} \mathbf {x} ')$, то опуская штрих у координат и времени и раскладывая по малому параметру преобразования $\textstyle \omega ^{a}=v^{a}$, имеем:

$\Psi '(x)=t+\mathbf {v} \mathbf {x} =\Psi (x)+\mathbf {v} \mathbf {x} .$

Поэтому малое функциональное изменение равно $\textstyle {\bar {\delta }}\Psi (x)=\mathbf {v} \mathbf {x}$. В качестве упражнения предлагается найти ($\textstyle \lessdot$\,H) полное и функциональное изменения векторного 4-потенциала заряда, движущегося с постоянной скоростью $\textstyle A^{\alpha }(\mathrm {x} )=Q\,u^{\alpha }/{\sqrt {a^{2}+(\mathrm {x} \cdot \mathrm {u} )^{2}-\mathrm {x} ^{2}}}$ (стр.\,\pageref{field_cov_A_move_Q}).

$\textstyle \bullet$ В условии инвариантности () переменная $\textstyle x'$ в левой части является обычной "немой" переменной интегрирования и может быть переобозначена любым символом. Поэтому опустим у неё штрих:

$\int \limits _{\Omega '}{\mathcal {L}}{\bigl [}\Psi '(x)]\,d^{4}x=\int \limits _{\Omega }{\mathcal {L}}{\bigl [}\Psi (x){\bigr ]}\,d^{4}x$

(EQN)

Так как это не замена переменной интегрирования, а только её переобозначение, область интегрирования $\textstyle \Omega '$ не изменяется и штрих у неё остался. Мы рассматриваем разложение по параметрам преобразования при котором значения старых координат и новых отличаются незначительно: $\textstyle x'^{\nu }=x^{\nu }+\delta x^{\nu }$. Соответственно незначительно отличаются и области интегрирования $\textstyle \Omega$ и $\textstyle \Omega '$. Для произвольной функции координат $\textstyle G(x)$ справедлива следующая формула:

$\int \limits _{\Omega '}G(x)\,d^{4}x\approx \int \limits _{\Omega }\left\{G(x)+\partial _{\mu }(G(x)\,\delta x^{\mu })\right\}dx^{4}.$

(EQN)

Для её доказательства поставим в левой части формулы у координат штрихи и сделаем преобразование координат в результате которого область интегрирования изменится. При замене переменных дополнительно появляется множитель якобиана преобразования:

$\int \limits _{\Omega '}G(x')\,d^{4}x'=\int \limits _{\Omega }G(x+\delta x)\left|{\frac {\partial x'^{\nu }}{\partial x^{\mu }}}\right|\,d^{4}x.$

Для бесконечно малого преобразования якобиан (определитель производных старых координат по новым) вычисляется следующим образом:

$\left|{\frac {\partial x'^{\nu }}{\partial x^{\mu }}}\right|=\left|{\frac {\partial (x^{\nu }+\delta x^{\nu })}{\partial x^{\mu }}}\right|=|\delta _{\mu }^{\nu }+\partial _{\mu }\delta x^{\nu }|={\begin{vmatrix}1+\partial _{0}\delta x^{0}&\partial _{0}\delta x^{1}\\\partial _{1}\delta x^{0}&1+\partial _{1}\delta x^{1}\\\end{vmatrix}},$

где для краткости записана матрица для 2-х измерений. Определитель с точностью до первого порядка по $\textstyle \delta x$ равен: $\textstyle 1+\partial _{0}\delta x^{0}+\partial _{1}\delta x^{1}$. Поэтому

$\int \limits _{\Omega '}G(x')\,d^{4}x'\approx \int \limits _{\Omega }\{G(x)+\delta x^{\mu }\partial _{\mu }G(x)\}(1+\partial _{\nu }x^{\nu })\,d^{4}x.$

В фигурных скобках проведено разложение функции $\textstyle G(x+\delta x)$ в ряд Тейлора по $\textstyle \delta x^{\nu }$. Перемножая скобки, сохраняя первый порядок по $\textstyle \delta x$, и учитывая формулу производной произведения, получаем (). Штрих в левой части у переменной интегрирования можно опустить.

Таким образом, условие инвариантности действия () с одинаковыми областями интегрирования имеет вид:

$\int \limits _{\Omega }\left\{{\mathcal {L}}{\bigl [}\Psi '(x)]+\partial _{\mu }({\mathcal {L}}{\bigl [}\Psi (x)]\,\delta x^{\mu })\right\}dx^{4}=\int \limits _{\Omega }{\mathcal {L}}{\bigl [}\Psi (x)]\,dx^{4}.$

(EQN)

Во втором слагаемом в левой части штрих у $\textstyle \Psi$ снова опущен, так как мы удерживаем первый порядок малости по $\textstyle \omega$, а там уже стоит множитель $\textstyle \delta x^{\mu }$, содержащий $\textstyle \omega$. Разложим в ряд по $\textstyle \omega$ первое слагаемое:

${\mathcal {L}}{\bigl [}\Psi '(x)]={\mathcal {L}}{\bigl [}\Psi (x)+{\bar {\delta }}\Psi (x),\partial \Psi (x)+\partial {\bar {\delta }}\Psi ]$

в первом приближении по $\textstyle \omega$ (по $\textstyle k$ сумма):

${\mathcal {L}}{\bigl [}\Psi '(x)]={\mathcal {L}}{\bigl [}\Psi (x)]+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \Psi _{k}}}\,{\bar {\delta }}\Psi _{k}(x)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k})}}\,\partial _{\mu }{\bar {\delta }}\Psi _{k}(x).$

Подставляя это разложение в () и заменяя производную $\textstyle \partial {\mathcal {L}}/\partial \Psi _{k}$ при помощи уравнений Лагранжа (), стр.\,\pageref{lagrang_field}, получаем:

$\int \limits _{\Omega }\left\{\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k})}}\right)\,{\bar {\delta }}\Psi _{k}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k})}}\,\partial _{\mu }{\bar {\delta }}\Psi _{k}+\partial _{\mu }({\mathcal {L}}\,\delta x^{\mu })\right\}dx^{4}=0.$

Функциональное изменение $\textstyle {\bar {\delta }}\Psi (x)=\Psi '(x)-\Psi (x)$ точно также выглядит и для производных полей $\textstyle {\bar {\delta }}\,[\partial _{\mu }\Psi (x)]=\partial _{\mu }\Psi '(x)-\partial _{\mu }\Psi (x)$. Поэтому $\textstyle \partial _{\mu }{\bar {\delta }}\Psi _{k}={\bar {\delta }}\partial _{\mu }\Psi _{k}$, и в предыдущем соотношении первые два слагаемых сворачиваются в одно как производная произведения:

$\int \limits _{\Omega }\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k})}}\,{\bar {\delta }}\Psi _{k}+{\mathcal {L}}\,\delta x^{\mu }\right)\,dx^{4}=0.$

Подставим изменение функциональной формы поля $\textstyle {\bar {\delta }}\Psi _{k}=\delta \Psi _{k}-\delta x^{\nu }\partial _{\nu }\Psi _{k}$, выраженное через полное изменение поля $\textstyle \delta \Psi$. Изменение координат и поля запишем при помощи коэффициентов $\textstyle X_{a}^{\mu }$ и $\textstyle Y_{k,a}$ разложения по параметрам преобразований: $\textstyle \delta x^{\nu }=X_{a}^{\nu }\,\omega ^{a}$ и $\textstyle \delta \Psi _{k}(x)=Y_{k,a}\,\omega ^{a}$:

$\int \limits _{\Omega }\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k})}}\,(Y_{k,a}-X_{a}^{\nu }\,\partial _{\nu }\Psi _{k})+{\mathcal {L}}\,X_{a}^{\mu }\right)\,\omega ^{a}\,dx^{4}=0.$

Это выражение справедливо для любой области $\textstyle \Omega$ и параметров $\textstyle \omega ^{a}$, поэтому оно будет равно нулю только, если нулю равна подынтегральная функция.

Сформулируем теорему Нётер. Пусть действие (и следовательно уравнения движения) инвариантны относительно преобразований координат $\textstyle x'^{\mu }=f^{\mu }(x,\omega )$ и полей $\textstyle \Psi '_{k}(x')=F_{k}(\Psi (x),\omega )$, зависящих от $\textstyle m$ параметров $\textstyle \omega =(\omega ^{1},...,\omega ^{m})$. Тогда существует $\textstyle m$ сохраняющихся токов $\textstyle J_{a}^{\mu }$, которые нумеруются при помощи индекса $\textstyle a=1,...,m$:

$J_{a}^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k})}}\,Y_{k,a}-\left\{{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k})}}\,\partial _{\nu }\Psi _{k}-\delta _{\nu }^{\mu }\,{\mathcal {L}}\right\}\,X_{a}^{\nu }.$

(EQN)

Эти токи удовлетворяют уравнениям непрерывности:

$\partial _{\mu }J_{a}^{\mu }=0.$

(EQN)

Коэффициенты $\textstyle X_{a}^{\nu }$ и $\textstyle Y_{k,a}$, зависящие от координат и полевых функций, являются частными производными преобразований по параметрам в окрестности тождественного преобразования:

$X_{a}^{\mu }={\frac {\partial f^{\mu }(x,\omega )}{\partial \omega ^{a}}}{\Bigr |}_{\omega =0},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Y_{k,a}={\frac {\partial F_{k}(\Psi ,\omega )}{\partial \omega ^{a}}}{\Bigr |}_{\omega =0}.$

(EQN)

Уравнение непрерывности, как обычно, означает существование сохраняющейся величины. Расписывая его в яном виде:

$\partial _{\mu }J_{a}^{\mu }={\frac {\partial J_{a}^{0}}{\partial t}}+\nabla _{j}J_{a}^{j}=0$

и интегрируя по некоторой области 3-мерного пространства, имеем:

${\frac {dQ_{a}}{dt}}=-\int \limits _{S}J_{a}^{j}\,dS_{j},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Q_{a}=\int \limits _{V}J_{a}^{0}(t,\mathbf {x} )\,d^{3}\mathbf {x} ,$

где применена теорема Гаусса для перехода от объёмного интеграла к поверхностному. Аналогично закону сохранения заряда, пространственные компоненты $\textstyle J_{a}^{j}$ сохраняющегося тока имеют смысл некоторого вектора потока, который меняет "заряды" $\textstyle Q_{a}$ в объёме $\textstyle V$, при пересечении этим потоком поверхности $\textstyle S$, окружающей объём.

Если поля на бесконечности убывают, поверхностный интеграл равен нулю и "заряд" $\textstyle Q_{a}$ во всём пространстве сохраняется:

${\frac {dQ_{a}}{dt}}=0.$

В общем случае существует $\textstyle m$ разновидностей таких сохраняющихся зарядов, по числу параметров преобразования $\textstyle \omega$.

---

Тензор энергии-импульса <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 7)	>> Применения теоремы Нётер

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии