Тензор энергии-импульса

Лагранжев подход <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 6)	>> Теорема Нётер

---

$\textstyle \bullet$ Как для заряженных частиц, движущихся во внешних полях, так и для самих полей, справедливы законы сохранения. Рассмотрим сначала закон сохранения энергии при движении пробной частицы в стационарном поле. Пусть потенциалы поля в лагранжиане явным образом не зависят от времени ($\textstyle \partial L/\partial t=0$). В этом случае время в них входит только через траекторию частицы $\textstyle A^{\alpha }(\mathbf {x} )=A^{\alpha }(\mathbf {x} (t))$. Используя уравнения Лагранжа (), стр.\,\pageref{fld_lagr_vec_form}, запишем полную производную по времени:

${\frac {dL}{dt}}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}\,{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {u} }}\,{\frac {d\mathbf {u} }{dt}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {u} }}\right)\,\mathbf {u} +{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {u} }}\,{\frac {d\mathbf {u} }{dt}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {u} }}\,\mathbf {u} \right).$

Перенося $\textstyle dL/dt$ в правую часть, приходим к выводу, что следующая величина, называемая полной энергией

${\mathcal {E}}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {u} }}\,\mathbf {u} -L$

(EQN)

сохраняется, т.е $\textstyle d{\mathcal {E}}/dt=0$. Производная функции Лагранжа по скоростям динамических переменных называется обобщённым импульсом. Для функции Лагранжа свободной частицы $\textstyle L=-m{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}$ обобщённый импульс совпадает с релятивистским импульсом. При движении частицы в электромагнитном поле он "удлиняется" (стр.\,\pageref{h_bk_fl_dA}) за счёт члена в лагранжиане (), зависящего от скорости:

$L=-m{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}-q\varphi +q\mathbf {A} \mathbf {u} ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {u} }}={\frac {m\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}+q\mathbf {A} .$

Подставляя его в выражение для полной энергии (), получаем:

${\mathcal {E}}={\frac {m}{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}+q\varphi =\mathbb {E} +q\varphi .$

(EQN)

Векторный потенциал сокращается и полная энергия частицы равняется сумме энергии движения $\textstyle \mathbb {E}$ и потенциальной энергии. Последняя определяется только значением скалярного потенциала $\textstyle \varphi$.

Приравнивая полную производную этого выражения по времени нулю, получаем знакомое выражение связи изменения энергии движения и силы (потенциал $\textstyle \varphi$ явно от времени не зависит)

${\frac {d{\mathcal {E}}}{dt}}={\frac {d\mathbb {E} }{dt}}+q\,(\nabla \varphi )\,{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\frac {d\mathbb {E} }{dt}}-\mathbf {F} \mathbf {u} =0,$

где учтено, что $\textstyle \partial \mathbf {A} /\partial t=0$ и, следовательно, $\textstyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi$, а магнитная составляющая силы при произведении на скорость даёт ноль $\textstyle \mathbf {u} [\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]=0$. Таким образом, стационарное электромагнитное поле полную энергию частицы $\textstyle {\mathcal {E}}$ не меняет.

$\textstyle \bullet$ Введём плотность массы точечной частицы $\textstyle \mu (t,\mathbf {r} )=m\,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}(t))$, движущейся по траектории $\textstyle \mathbf {r} _{0}(t)$. По аналогии с плотностью тока заряда (), стр.\,\pageref{j_def} для непрерывного распределения вещества определим плотность тока массы, удовлетворяющего уравнению непрерывности:

$J^{\alpha }=\mu \,{\frac {dx^{\alpha }}{dt}}=\{\mu ,\,\mu \mathbf {v} \},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\partial _{\alpha }J^{\alpha }=0.$

(EQN)

Как и плотность тока заряда, плотность тока массы является 4-вектором, а соответствующее уравнение непрерывности — ковариантным.

Умножим уравнение движения точечного заряда (стр.\,\pageref{lorez_force_cov}):

$m{\frac {du^{\alpha }}{ds}}=q\,F^{\alpha \beta }u_{\beta }$

слева и справа на дельта-функцию $\textstyle \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}(t))$. Слева получится плотность массы $\textstyle \mu$, а справа плотность заряда $\textstyle \rho$. Так как плотность тока заряда равна $\textstyle j^{\nu }=\rho dx^{\nu }/dt=\rho u^{\nu }(ds/dt)$, получаем уравнение движения, справедливое и для непрерывного распределения массы и заряда:

$\mu {\frac {du^{\alpha }}{dt}}=F^{\alpha \beta }j_{\beta }.$

(EQN)

Говоря о непрерывной среде в которой распределён заряд и масса мы подразумеваем, что в каждой точке пространства изменяется не только их плотность но и скорость. Другими словами, скорость становится функцией координат (именно так понимается плотность тока $\textstyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {u}$). Поэтому полная производная по времени от 4-скорости $\textstyle u^{\alpha }=dx^{\alpha }/ds=\{\gamma ,\,\gamma \mathbf {v} \}$ равна $\textstyle du^{\alpha }/dt=(\partial _{\beta }u^{\alpha })\,dx^{\beta }/dt$. В результате уравнение движения () заряженной среды можно переписать следующим образом:

$\mu \,{\frac {du^{\alpha }}{dt}}=J^{\beta }\partial _{\beta }u^{\alpha }=\partial _{\beta }(J^{\beta }\,u^{\alpha })=F^{\alpha \beta }j_{\beta },$

(EQN)

где во втором равенстве использовано уравнение непрерывности массы (). Введём следующий симметричный тензор:

${\mathcal {T}}^{\alpha \beta }=J^{\alpha }u^{\beta }=\mu \,{\frac {ds}{dt}}\,u^{\alpha }u^{\beta }=\mu {\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}\,u^{\alpha }u^{\beta }.$

(EQN)

С его помощью уравнение движения непрерывной заряженной среды () можно записать следующим образом:

$\partial _{\beta }{\mathcal {T}}^{\beta \alpha }=F^{\alpha \beta }j_{\beta }.$

(EQN)

Выпишем в явном виде компоненты тензора $\textstyle {\mathcal {T}}^{\alpha \beta }$:

${\mathcal {T}}^{00}=\mu \gamma ,\;\;\;\;\;\;\;{\mathcal {T}}^{0i}={\mathcal {T}}^{i0}=\mu \gamma v^{i},\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathcal {T}}^{ij}=\mu \gamma v^{i}v^{j},$

где $\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}$ и $\textstyle \mathbf {v} =d\mathbf {r} /dt$ — 3-скорость. Таким образом, $\textstyle {\mathcal {T}}^{00}$ — это плотность энергии движения частиц, а $\textstyle {\mathcal {T}}^{0i}$ — плотность их импульса.

$\textstyle \bullet$ Перейдём теперь к сохранению энергии-импульса электромагнитного поля. Вычислим производную от лагранжиана:

$\partial _{\beta }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\gamma }}}\,\partial _{\beta }A_{\gamma }+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\alpha }A_{\gamma })}}\,\partial _{\beta }(\partial _{\alpha }A_{\gamma }).$

В первом слагаемом подставим уравнения Лагранжа, во втором переставим частные производные $\textstyle \partial _{\beta }\partial _{\alpha }=\partial _{\alpha }\partial _{\beta }$ и воспользуемся формулой производной произведения:

$\partial _{\beta }{\mathcal {L}}=\partial _{\alpha }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\alpha }A_{\gamma })}}\right)\,\partial _{\beta }A_{\gamma }+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\alpha }A_{\gamma })}}\,\partial _{\alpha }(\partial _{\beta }A_{\gamma })=\partial _{\alpha }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\alpha }A_{\gamma })}}\,\partial _{\beta }A_{\gamma }\right).$

Выражение $\textstyle \partial _{\beta }{\mathcal {L}}$, при помощи символа Кронекера, можно переписать в следующем виде: $\textstyle \partial _{\alpha }(\delta _{\beta }^{\alpha }{\mathcal {L}})$. В результате получается уравнение:

$\partial _{\alpha }T_{\;\;\beta }^{\alpha }=0,$

(EQN)

где введен канонический тензор энергии-импульса электромагнитного поля:

$T_{\;\;\beta }^{\alpha }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\alpha }A_{\gamma })}}\,\partial _{\beta }A_{\gamma }-\delta _{\beta }^{\alpha }\,{\mathcal {L}}.$

(EQN)

При помощи метрического тензора $\textstyle g^{\alpha \beta }$ можно поднять индекс $\textstyle \beta$ вверх, переписав канонический тензор энергии-импульса в эквивалентном виде:

$T^{\alpha \beta }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\alpha }A_{\gamma })}}\,\partial ^{\beta }A_{\gamma }-g^{\alpha \beta }\,{\mathcal {L}}.$

(EQN)

Разберёмся с уравнением (), которому удовлетворяет $\textstyle T^{\alpha \beta }$. По своей форме это уравнение непрерывности (стр.\,\pageref{elec_q_save}):

$\partial _{\alpha }T^{\alpha \beta }={\frac {\partial T^{0\beta }}{\partial t}}+\nabla _{i}\,T^{i\beta }=0.$

Для каждого из четырех значений индекса $\textstyle \beta$ мы имеем свой закон сохранения, аналогичный закону сохранение заряда. При этом $\textstyle T^{0\beta }$ — имеет смысл чего-то сохраняющегося в объёме, если поток величин $\textstyle T^{i\beta }$ через поверхность, окружающую объём равен нулю.

Для $\textstyle \beta =0$ введём плотность энергии $\textstyle W=T^{00}$ и плотность импульса $\textstyle \mathbf {P} ^{i}=T^{i0}$ и запишем уравнение непрерывности в векторном виде:

${\frac {\partial W}{\partial t}}+\nabla \,\mathbf {P} =0.$

Это соотношение мы уже получали при рассмотрении энергии электромагнитного поля (теорема Пойнтинга, стр.\,\pageref{energy_E}).

$\textstyle \bullet$ Найдём тензор энергии-импульса для лагранжиана электромагнитного поля в пустом пространстве ($\textstyle j^{\alpha }=0$)

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{16\pi }}\,F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {1}{8\pi }}\,{\Bigl \{}(\partial _{\mu }A_{\nu })(\partial ^{\mu }A^{\nu })-(\partial _{\mu }A_{\nu })(\partial ^{\nu }A^{\mu }){\Bigr \}}.$

Производная лагранжиана по $\textstyle \partial _{\alpha }A_{\gamma }$ равна $\textstyle -F^{\alpha \gamma }/4\pi$ ($\textstyle \lessdot$\,H), поэтому:

$T^{\alpha \beta }=-{\frac {1}{4\pi }}\,F^{\alpha \gamma }\partial ^{\beta }A_{\gamma }+{\frac {1}{16\pi }}\,g^{\alpha \beta }F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.$

(EQN)

К тензору энергии-импульса можно прибавить производную $\textstyle \partial _{\gamma }(F^{\gamma \alpha }\,A^{\beta })$, так как она тождественно удовлетворяет уравнению непрерывности. Действительно, не зависимо от уравнений движения

$\partial _{\alpha }\partial _{\gamma }(F^{\gamma \alpha }\,A^{\beta })=0,$

так как тензор $\textstyle \partial _{\alpha }\partial _{\gamma }$ — симметричен, а $\textstyle F^{\gamma \alpha }$ — антисимметричен и их свёртка равна нулю (стр.\,\pageref{m_antisym_sym}). Таким образом, если $\textstyle T^{\alpha \beta }$ удовлетворяет уравнению непрерывности, то ему будет удовлетворять также тензор

$T^{\alpha \beta }\mapsto T^{\alpha \beta }-{\frac {1}{4\pi }}\partial _{\gamma }(F^{\gamma \alpha }\,A^{\beta }).$

Учитывая уравнения движения (), стр.\,\pageref{cov_macswell} c $\textstyle j^{\alpha }=0$, напишем:

$\partial _{\gamma }(F^{\gamma \alpha }\,A^{\beta })=F^{\gamma \alpha }\,\partial _{\gamma }A^{\beta }=-F^{\alpha \gamma }\,\partial _{\gamma }A^{\beta }$

и разделив на $\textstyle 4\pi$, вычтем из тензора энергии-импульса. В результате:

$T^{\alpha \beta }={\frac {1}{4\pi }}\left(F^{\alpha \gamma }F_{\gamma }^{\;\beta }+{\frac {1}{4}}\,g^{\alpha \beta }\,F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right).$

(EQN)

Этот тензор симметричен по $\textstyle \alpha ,\beta$ и имеет нулевой след: $\textstyle T_{\;\;\alpha }^{\alpha }=0$ ($\textstyle \lessdot$\,H).

Тензор энергии-импульса (), полученный по формуле () называется каноническим. Этот тензор зависит как от напряженностей поля, так и от потенциалов. В отличие от него, симметричный тензор () от потенциалов не зависит. Говорят, что он является калибровочно инвариантным. Действительно, если сделать преобразование $\textstyle A_{\alpha }\mapsto A_{\alpha }+\partial _{\alpha }\Lambda$, где $\textstyle \Lambda$ — произвольная функция координат, то тензор напряженностей $\textstyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }$ не изменится. Не поменяются также уравнения движения и симметричный тензор энергии-импульса. Так как физические результаты не должны зависеть от произвольной функции $\textstyle \Lambda$, более предпочтительными являются калибровочно инвариантные выражения. Тем не менее произвол в выборе тензора энергии-импульса (добавление к нему выражения автоматически удовлетворяющего уравнению непрерывности) не сказывается на физических выводах. Мы вернёмся к этому вопросу чуть позже.

$\textstyle \bullet$ Выше мы симметризовали тензор энергии-импульса, предполагая, что зарядов, создающих поле в пространстве нет (свободное электромагнитное поле). В общем случае, когда токи не равны нулю, в силу уравнения (), будет сохраняться сумма тензора энергии-импульса поля () и частиц ():

$\partial _{\alpha }(T^{\alpha \beta }+{\mathcal {T}}^{\alpha \beta })=0.$

(EQN)

Докажем это, вычислив 4-дивергенцию от ():

$4\pi \,\partial _{\alpha }T_{\;\beta }^{\alpha }=\underbrace {(\partial _{\alpha }F^{\alpha \gamma })} _{4\pi j^{\gamma }}F_{\gamma \beta }+\underbrace {F^{\alpha \gamma }\partial _{\alpha }F_{\gamma \beta }+{\frac {1}{2}}F^{\mu \nu }\partial _{\beta }F_{\mu \nu }} _{0}.$

Первое слагаемое в правой части, благодаря ковариантному уравнению Максвелла, будет пропорционально 4-току. Сумма последних двух слагаемых равна нулю. Действительно, во втором слагаемом переобозначим немые (суммационные) индексы $\textstyle \alpha \mapsto \mu$, $\textstyle \gamma \mapsto \nu$, а в третьем слагаемом подставим второе ковариантное уравнение Максвелла (без источников) () стр.\,\pageref{Macwell_cov_j0}:

$\partial _{\beta }F_{\mu \nu }=-\partial _{\mu }F_{\nu \beta }-\partial _{\nu }F_{\beta \mu }.$

В результате сумма последних двух слагаемых, помеченных фигурной скобкой равна:

$F^{\mu \nu }\partial _{\mu }F_{\nu \beta }-{\frac {1}{2}}F^{\mu \nu }\partial _{\mu }F_{\nu \beta }-{\frac {1}{2}}F^{\mu \nu }\partial _{\nu }F_{\beta \mu }={\frac {1}{2}}F^{\mu \nu }\partial _{\mu }F_{\nu \beta }-{\frac {1}{2}}F^{\mu \nu }\partial _{\nu }F_{\beta \mu }.$

В последнем слагаемом переобозначим индексы $\textstyle \mu \mapsto \nu$, $\textstyle \nu \mapsto \mu$ и получим, в силу антисимметрии $\textstyle F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }$, ноль. Таким образом:

$\partial _{\alpha }T_{\;\,\beta }^{\alpha }=-F_{\beta \gamma }j^{\gamma }.$

С другой стороны, в соответствии с уравнением () для тензора энергии-импульса вещества имеем $\textstyle \partial _{\alpha }{\mathcal {T}}_{\;\,\beta }^{\alpha }=F_{\beta \gamma }j^{\gamma }$. Поэтому 4-дивергенция суммы $\textstyle T^{\alpha \beta }+{\mathcal {T}}^{\alpha \beta }$ будет равна нулю.

Обратим внимание, что в законе сохранения () поля и заряды входят равноправным образом. Этот закон будет выполняться, если одновременно используются уравнения Максвелла для полей, создаваемых зарядами и уравнения движения (сила Лоренца) для этих-же зарядов в создаваемых ими полях. Таким образом, не производится разделения на источники поля и пробные заряды (см. также стр.\,\pageref{energy_E_int}).

$\textstyle \bullet$ В заключение выразим компоненты тензора энергии-импульса:

$T^{\alpha \beta }={\frac {1}{4\pi }}\left(g_{\mu \nu }F^{\alpha \mu }F^{\nu \beta }+{\frac {1}{4}}\,g^{\alpha \beta }\,{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }\right)$

через напряжённости поля. Для первого слагаемого в круглых скобках, имеем:

$g_{\mu \nu }F^{0\mu }F^{\nu 0}=-F^{0i}F^{i0}=\mathbf {E} ^{2},\;\;\;\;\;\;\;\;g_{\mu \nu }F^{0\mu }F^{\nu 1}=-F^{0i}F^{i1}=[\mathbf {E} \times \mathbf {B} ]_{x},$

и т.д. Во втором слагаемом стоит инвариант $\textstyle {F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }=2(\mathbf {B} ^{2}-\mathbf {E^{2}} )$. Поэтому компоненты тензора с нулевым индексом равны плотностям энергии и импульса (стр.\,\pageref{W_P_E_B}):

$T^{00}=W={\frac {\mathbf {E} ^{2}+\mathbf {B} ^{2}}{8\pi }},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T^{0i}=T^{i0}=\mathbf {P} ^{i}={\frac {[\mathbf {E} \times \mathbf {B} ]^{i}}{4\pi }}.$

(EQN)

Аналогично расписываются пространственные компоненты тензора. Это даёт тензор потока импульса (см. стр.\,\pageref{em_P_consv0}):

$T^{ij}=T_{ij}=\sigma _{ij}=\delta _{ij}\,W-{\frac {E_{i}E_{j}+B_{i}B_{j}}{4\pi }}.$

(EQN)

Полученные в главе законы сохранения энергии и импульса непосредственно следуют из уравнения непрерывности $\textstyle \partial _{\mu }(T^{\mu \nu }+{\mathcal {T}}^{\mu \nu })=0$. Действительно, пусть заряды, находящиеся в объёме $\textstyle V$, окруженном поверхностью $\textstyle S$, эту поверхность не пересекают, оставаясь, внутри объёма. Запишем для этого случая интегральную форму уравнения непрерывности:

${\frac {d}{dt}}\int \limits _{V}(T^{0\nu }+{\mathcal {T}}^{0\nu })d^{3}\mathbf {r} +\int \limits _{S}T^{i\nu }\,dS^{i}=0.$

При $\textstyle \nu =0$ плотность энергии среды системы точечных зарядов равна:

${\mathcal {T}}^{00}(t,\mathbf {r} )=\mu \gamma =\sum _{k}{\frac {m_{k}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{k}(t))}{\sqrt {1-\mathbf {v} _{k}^{2}(t))}}}.$

Интегрируя по $\textstyle d^{3}\mathbf {r}$, получаем суммарную энергию движения зарядов. Выражение же для энергии-импульса поля дают закон сохранения энергии (), стр.\,\pageref{energy_E_int}. Аналогично для закона сохранения импульса

Может возникнуть вопрос, почему нельзя ограничится плотностями энергии и импульса и приходится рассматривать тензор? Дело в том, что в отличии, например, от плотности тока, четвёрка величин $\textstyle \{W,\mathbf {P} \}$ не образует 4-вектора. В этом легко убедиться, подставив в них преобразования Лоренца для напряжённостей поля. Простыми трансформационными свойствами обладает именно тензор $\textstyle T^{\alpha \beta }$, частью компонент которого являются плотности энергии и импульса.

---

Лагранжев подход <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 6)	>> Теорема Нётер

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии