Стохастический осциллятор

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Теория броуновского движения << Оглавление >> Дрожание земной оси


Множество механических, электромагнитных, биологических и социальных систем описываются осцилляторными уравнениями. Для определённости мы рассмотрим одномерный механический осциллятор массой , подверженный трению и внешним стохастическим воздействиям. Определение импульса и закон Ньютона в этом случае имеют вид:

Oscillator.png

где сила состоит из трёх компонент:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle F = - \underbrace{(k + {\rm Noise}_1)\cdot x}_{сила\;упругости} \;-\; \underbrace{(2\lambda + {\rm Noise}_2)\cdot p}_{сила\;трения} \;+\; \underbrace{{\rm Noise}_3.}_{внешняя\;сила}}

Сила упругости пропорциональна величине отклонения от положения равновесия . Мы будем считать, что коэффициент упругости испытывает стохастические изменения, которые символически обозначены членом Noise. Знак минус перед упругой силой означает, что она стремится вернуть частицу назад, к положению равновесия. Сила сопротивления тем больше, чем больше скорость (импульс) частицы. Так происходит при движении в среде (воздух, вода). Сопротивление стремится остановить движение. Будем также предполагать, что коэффициент сопротивления подвержен стохастическим воздействиям Noise. Наконец, третья составляющая силы — это шум Noise, который может быть, например, внешними случайными толчками.

Все три стохастические компоненты, в зависимости от ситуации, можно рассматривать как в качестве независимых, так и в качестве зависимых случайных процессов. В общем случае между ними существуют некоторые корреляционные коэффициенты. Мы рассмотрим случай независимых стохастических воздействий, считая, что они имеют различную причину, и поэтому нескоррелированы.

Будем работать в системе единиц, для которой , ( C). Стохастические уравнения движения в этом случае имеют вид:

где — волатильность коэффициента упругости, — силы трения, а — внешнего шума. Винеровские переменные , и представляют собой изменения трёх независимых процессов.

Рассмотрим сначала общий случай, записав систему:

со следующими векторами и матрицами:

Для функции координат и импульсов воспользуемся динамическим уравнением для средних (стр. \pageref{aver_F_n_dim}):

где — вторая производная по , — производная по и , и т.д. Подставляя матрицы и перемножая их, получаем ( H):

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \frac{d}{dt}\, \bigl<F(x,p)\bigr> =\bigl< p F_x - (x+2\lambda p)F_p\bigr> + \frac{1}{2}\bigl<(\sigma^2_1 x^2 + \sigma^2_2 p^2 + \sigma^2_3) F_{pp}\bigr>. }

Выбор и приводит к системе уравнений, совпадающих с детерминированными (снос линеен!):

Её решение с начальными условиями , имеет вид:

(EQN)

где (мы считаем, что трение мало и ). При выводе () можно воспользоваться алгоритмом на стр. \pageref{sec_line_n_dim_models} или привести систему к одному дифференциальному уравнению второго порядка ( H).

Выбор приводит к системе уравнений для моментов:

(EQN)

Эта неоднородная линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений легко решается. Однако, так как уравнение для собственных значений оказывается кубическим, выражения получаются достаточно громоздкими. Ниже мы рассмотрим частные случаи этой системы.

Если , система имеет стационарный режим при , в котором:

(EQN)

При средние стремятся к нулю, и матрица дисперсии оказывается диагональной:

Каждая разновидность шума увеличивает дисперсии, но по-разному. Трение играет стабилизирующую роль, уменьшая .

Заметим, что динамика при продолжается только, если существует внешний шум (). Если , стационарный режим также существует, но он вырождается в полное затухание колебаний, и . Причина подобного поведения та же, что и у логистического уравнения (стр. \pageref{why_logistic_stop}).

Пусть детерминированной составляющей трения нет , а флуктуации упругости и трения имеют одинаковые амплитуды . Введём энергию гармонического осциллятора:

Из () следует, что её среднее значение удовлетворяет уравнению:

а, следовательно, возрастает со временем:

Если стохастическое воздействие обусловлено только внешними толчками (), то рост не такой быстрый и аналогичен винеровскому увеличению неопределённости . Так же, как и броуновская частица под внешним воздействием в среднем удаляется от начального положения, так и квадрат амплитуды осциллятора при в среднем увеличивается.

Если существуют только внешние толчки (), то стохастика имеет постоянную волатильность :

Подобную систему мы рассматривали в шестой главе (стр. \pageref{stochastic_oscillator}). Она обладает точным решением, которое выражается через две независимые гауссовы переменные. Воспользуемся общим алгоритмом решения системы линейных уравнений (см. стр. \pageref{sec_line_n_dim_models}) с матрицами:

Чтобы найти , продифференцируем () по и :

При помощи этой матрицы, интегрируя (), стр. \pageref{n_sys_line_disp}, можно найти дисперсию координаты и импульса:

Верхний знак соответствует дисперсии для : , а нижний — для : . Дисперсия произведения динамических переменных имеет вид:

и стремится к нулю при и . В результате, в стационарном режиме () матрица дисперсий диагональна (), поэтому автоковариационная матрица равна с множителем .

При отсутствии трения , :

и, как мы видели выше, стационарного режима нет. Дисперсии по и растут во времени, совершая периодические колебания. Автоковариационная матрица получается перемножением и .


Теория броуновского движения << Оглавление >> Дрожание земной оси

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения