Стохастический осциллятор — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
м (Защищена страница «Стохастический осциллятор» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно)))
Строка 5: Строка 5:
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 +
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Множество механических, электромагнитных, биологических и социальных систем описываются осцилляторными уравнениями. Для определённости мы рассмотрим одномерный механический осциллятор массой <math>\textstyle m</math>, подверженный трению и внешним стохастическим воздействиям. Определение импульса и закон Ньютона в этом случае имеют вид: \parbox{7cm}{ <center> \includegraphics{pic/oscillator.eps}\\ } \parbox{8cm}{
 +
 +
:<center><math>m\frac{dx}{dt} = p,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{dp}{dt} = F,</math></center>
 +
 +
} </center> где сила состоит из трёх компонент:
 +
 +
:<center><math>F = - \underbrace{(k + {\rm Noise}_1)\cdot x}_{сила\;упругости} \;-\; \underbrace{(2\lambda + {\rm Noise}_2)\cdot p}_{сила\;трения} \;+\; \underbrace{{\rm Noise}_3.}_{внешняя\;сила}</math></center>
 +
 +
''Сила упругости'' пропорциональна величине отклонения от положения равновесия <math>\textstyle x</math>. Мы будем считать, что коэффициент упругости <math>\textstyle k</math> испытывает стохастические изменения, которые символически обозначены членом Noise<math>\textstyle _1</math>. Знак минус перед упругой силой означает, что она стремится вернуть частицу назад, к положению равновесия. ''Сила сопротивления'' тем больше, чем больше скорость (импульс) частицы. Так происходит при движении в среде (воздух, вода). Сопротивление стремится остановить движение. Будем также предполагать, что коэффициент сопротивления подвержен стохастическим воздействиям Noise<math>\textstyle _2</math>. Наконец, третья составляющая силы &mdash; это ''шум'' Noise<math>\textstyle _3</math>, который может быть, например, внешними случайными толчками.
 +
 +
Все три стохастические компоненты, в зависимости от ситуации, можно рассматривать как в качестве независимых, так и в качестве зависимых случайных процессов. В общем случае между ними существуют некоторые корреляционные коэффициенты. Мы рассмотрим случай независимых стохастических воздействий, считая, что они имеют различную причину, и поэтому нескоррелированы.
 +
 +
Будем работать в системе единиц, для которой <math>\textstyle m=1</math>, <math>\textstyle k=1</math> (<math>\textstyle \lessdot</math> C). Стохастические уравнения движения в этом случае имеют вид:
 +
 +
:<center><math>\left\{ \begin{array}{l} dx = p\, dt\\ dp = -x\, dt - 2\lambda\, p \, dt + \sigma_1\, x \, \delta W_1 + \sigma_2\, p \,\delta W_2 + \sigma_3 \, \delta W_3, \end{array} \right.</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \sigma_1</math> &mdash; волатильность коэффициента упругости, <math>\textstyle \sigma_2</math> &mdash; силы трения, а <math>\textstyle \sigma_3</math> &mdash; внешнего шума. Винеровские переменные <math>\textstyle \delta W_1</math>, <math>\textstyle \delta W_2</math> и <math>\textstyle \delta W_3</math> представляют собой изменения трёх независимых процессов.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим сначала общий случай, записав систему:
 +
 +
:<center><math>d\mathbf{x} = \mathbf{a}\, dt + \mathbf{b}\cdot \delta \mathbf{W},</math></center>
 +
 +
со следующими векторами и матрицами:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ p \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\; \mathbf{a} = \begin{pmatrix} p \\ -x -2\lambda p \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\; \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \sigma_1 x & \sigma_2 p & \sigma_3\\ \end{pmatrix}, \;\;\;\; \delta \mathbf{W} = \begin{pmatrix} \delta W_1 \\ \delta W_2 \\ \delta W_3 \\ \end{pmatrix}.</math></center>
 +
 +
Для функции <math>\textstyle F(\mathbf{x})=F(x,p)</math> координат и импульсов воспользуемся динамическим уравнением для средних (стр. \pageref{aver_F_n_dim}):
 +
 +
:<center><math>\frac{d}{dt}{\left\langle F(\mathbf{x})\right\rangle } = \left\langle \frac{\partial F}{\partial \mathbf{x}}\cdot \,\mathbf{a} +\frac{1}{2} \mathrm{Tr}\,\left[ \mathbf{b}^T \cdot \frac{\partial^2 F}{\partial \mathbf{x}^2} \cdot \mathbf{b} \right] \right\rangle , \;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{\partial^2 F}{\partial \mathbf{x}^2}= \begin{pmatrix} F_{xx} & F_{xp} \\ F_{px} & F_{pp} \end{pmatrix},</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle F_{xx}</math> &mdash; вторая производная по <math>\textstyle x</math>, <math>\textstyle F_{xp}</math> &mdash; производная по <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle p</math>, и т.д. Подставляя матрицы и перемножая их, получаем (<math>\textstyle \lessdot</math> H):
 +
 +
:<center><math>\frac{d}{dt}\, {\Bigl<F(x,p)\Bigr>} =\Bigl< p F_x - (x+2\lambda p)F_p\Bigr> + \frac{1}{2}\Bigl< (\sigma^2_1 x^2 + \sigma^2_2 p^2 + \sigma^2_3) F_{pp}\Bigr>.</math></center>
 +
 +
Выбор <math>\textstyle F=x</math> и <math>\textstyle F=p</math> приводит к системе уравнений, совпадающих с детерминированными (снос линеен!):
 +
 +
:<center><math>\left\{ \begin{array}{l} \dot{\left\langle x\right\rangle } = \;\, \left\langle p\right\rangle \\ \dot{\left\langle p\right\rangle } = -\left\langle x\right\rangle - 2\lambda \,\left\langle p\right\rangle .\\ \end{array} \right.</math></center>
 +
 +
Её решение с начальными условиями <math>\textstyle x_0=x(0)</math>, <math>\textstyle p_0=p(0)</math> имеет вид:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{l} \left\langle x\right\rangle = \left( x_0\,\cos \omega t + \frac{p_0+\lambda x_0}{\omega}\,\sin \omega t\right)\, e^{-\lambda t}\\ \left\langle p\right\rangle = \left( p_0\,\cos \omega t - \frac{x_0+\lambda p_0}{\omega}\,\sin \omega t\right)\, e^{-\lambda t}, \end{array} \right. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где <math>\textstyle \omega=\sqrt{1-\lambda^2}</math> (мы считаем, что трение мало и <math>\textstyle \lambda<1</math>). При выводе () можно воспользоваться алгоритмом на стр. \pageref{sec_line_n_dim_models} или привести систему к одному дифференциальному уравнению второго порядка (<math>\textstyle \lessdot</math> H).
 +
 +
Выбор <math>\textstyle F=x^2,\;p^2,\;xp</math> приводит к системе уравнений для моментов:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{l} \dot{\left\langle x^2\right\rangle } = 2\left\langle xp\right\rangle \\ \dot{\left\langle xp\right\rangle } = \left\langle p^2\right\rangle - \left\langle x^2\right\rangle - 2\lambda \,\left\langle xp\right\rangle \\ \dot{\left\langle p^2\right\rangle } = -2\left\langle xp\right\rangle + \sigma^2_1\left\langle x^2\right\rangle + (\sigma^2_2 - 4\lambda) \,\left\langle p^2\right\rangle + \sigma^2_3.\\ \end{array} \right. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Эта неоднородная линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений легко решается. Однако, так как уравнение для собственных значений оказывается кубическим, выражения получаются достаточно громоздкими. Ниже мы рассмотрим частные случаи этой системы.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Если <math>\textstyle 4\lambda>\sigma^2_1+\sigma^2_2</math>, система имеет стационарный режим при <math>\textstyle t\to\infty</math>, в котором:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \left\langle x^2\right\rangle =\left\langle p^2\right\rangle = \frac{\sigma^2_3}{4\lambda -\sigma^2_1-\sigma^2_2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\langle xp\right\rangle =0. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
При <math>\textstyle \lambda>0</math> средние стремятся к нулю, и матрица дисперсии оказывается диагональной:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{D} = \frac{\sigma^2_3}{4\lambda -\sigma^2_1-\sigma^2_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}.</math></center>
 +
 +
Каждая разновидность шума увеличивает дисперсии, но по-разному. Трение <math>\textstyle \lambda</math> играет стабилизирующую роль, уменьшая <math>\textstyle \mathbf{D}</math>.
 +
 +
Заметим, что динамика при <math>\textstyle t\to\infty</math> продолжается только, если существует внешний шум (<math>\textstyle \sigma_3\neq 0</math>). Если <math>\textstyle \sigma_3=0</math>, стационарный режим также существует, но он вырождается в полное затухание колебаний, и <math>\textstyle \left\langle x^2\right\rangle =\left\langle p^2\right\rangle =0</math>. Причина подобного поведения та же, что и у логистического уравнения (стр. \pageref{why_logistic_stop}).
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Пусть детерминированной составляющей трения нет <math>\textstyle \lambda=0</math>, а флуктуации упругости и трения имеют одинаковые амплитуды <math>\textstyle \sigma_1=\sigma_2=\sigma</math>. Введём энергию гармонического осциллятора:
 +
 +
:<center><math>E=\frac{x^2+p^2}{2}.</math></center>
 +
 +
Из () следует, что её среднее значение удовлетворяет уравнению:
 +
 +
:<center><math>\frac{d}{dt}\left\langle E\right\rangle = \sigma^2 \left\langle E\right\rangle + \frac{\sigma^2_3}{2},</math></center>
 +
 +
а, следовательно, возрастает со временем:
 +
 +
:<center><math>\left\langle E\right\rangle = \left(E_0 + \frac{\sigma^2_3}{2\sigma^2}\right)e^{\sigma^2 t} - \frac{\sigma^2_3}{2\sigma^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E_0=\frac{x^2_0+p^2_2}{2}.</math></center>
 +
 +
Если стохастическое воздействие обусловлено только внешними толчками (<math>\textstyle \sigma_1=\sigma_2=0</math>), то рост не такой быстрый и аналогичен винеровскому увеличению неопределённости <math>\textstyle \left\langle E\right\rangle = E_0 + \sigma^2_3\, t/2</math>. Так же, как и броуновская частица под внешним воздействием в среднем удаляется от начального положения, так и квадрат амплитуды осциллятора при <math>\textstyle \lambda=0</math> в среднем увеличивается.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Если существуют только внешние толчки (<math>\textstyle \sigma_1=\sigma_2=0</math>), то стохастика имеет постоянную волатильность <math>\textstyle \sigma_3=\sigma</math>:
 +
 +
:<center><math>\left\{ \begin{array}{l} dx = p\, dt\\ dp = -x\, dt - 2\lambda\, p \, dt + \sigma \, \delta W. \end{array} \right.</math></center>
 +
 +
Подобную систему мы рассматривали в шестой главе (стр. \pageref{stochastic_oscillator}). Она обладает точным решением, которое выражается через две независимые гауссовы переменные. Воспользуемся общим алгоритмом решения системы линейных уравнений (см. стр. \pageref{sec_line_n_dim_models}) с матрицами:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -2\lambda \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\;\;\; \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \sigma \\ \end{pmatrix}.</math></center>
 +
 +
Чтобы найти <math>\textstyle e^{\mathbf{A}t}</math>, продифференцируем () по <math>\textstyle x_0</math> и <math>\textstyle p_0</math>:
 +
 +
:<center><math>e^{\mathbf{A}t} = \begin{pmatrix} \omega \cos \omega t + \lambda\sin \omega t & \sin \omega t \\ -\sin \omega t & \omega \cos \omega t - \lambda\sin \omega t \\ \end{pmatrix} \cdot \frac{e^{-\lambda t}}{\omega}.</math></center>
 +
 +
При помощи этой матрицы, интегрируя (), стр. \pageref{n_sys_line_disp}, можно найти дисперсию координаты и импульса:
 +
 +
:<center><math>\left\{ \begin{matrix} D_{xx}(t) \\ D_{pp}(t) \\ \end{matrix} \right\} = \frac{\sigma^2}{4\lambda} - \frac{\sigma^2}{4\lambda\omega^2} \, \bigl[1-\lambda^2 \cos(2\omega t) \pm \lambda \omega \sin(2\omega t)\bigr]\,e^{-2\lambda t}.</math></center>
 +
 +
Верхний знак соответствует дисперсии для <math>\textstyle x</math>: <math>\textstyle D_{xx}=\left\langle x^2\right\rangle -\left\langle x\right\rangle ^2</math>, а нижний &mdash; для <math>\textstyle p</math>: <math>\textstyle D_{pp}=\left\langle p^2\right\rangle -\left\langle p\right\rangle ^2</math>. Дисперсия произведения динамических переменных <math>\textstyle D_{xp}(t)=\left\langle xp\right\rangle -\left\langle x\right\rangle \left\langle p\right\rangle </math> имеет вид:
 +
 +
:<center><math>D_{xp}(t) = \frac{\sigma^2 }{2\omega^2}\, \sin^2(\omega t)\,e^{-2\lambda t}</math></center>
 +
 +
и стремится к нулю при <math>\textstyle t\to\infty</math> и <math>\textstyle \lambda>0</math>. В результате, в стационарном режиме (<math>\textstyle t\to\infty</math>) матрица дисперсий диагональна (), поэтому автоковариационная матрица <math>\textstyle \mathrm{cov}\,\tau)</math> равна <math>\textstyle e^{\mathbf{A}^T|\tau|}</math> с множителем <math>\textstyle \sigma^2/4\lambda</math>.
 +
 +
При отсутствии трения <math>\textstyle \lambda=0</math>, <math>\textstyle \omega=1</math>:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{D}(t) = \frac{\sigma^2}{2} \begin{pmatrix} t -\sin t\cos t & \sin^2 t \\ \sin^2 t & t +\sin t\cos t \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\;\;\;\; e^{\mathbf{A}t} = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \\ \end{pmatrix}</math></center>
 +
 +
и, как мы видели выше, стационарного режима нет. Дисперсии по <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle p</math> растут во времени, совершая периодические колебания. Автоковариационная матрица <math>\textstyle \mathrm{cov}\,t,t+\tau)</math> получается перемножением <math>\textstyle \mathbf{D}(t)</math> и <math>\textstyle e^{\mathbf{A}^T|\tau|}</math>.
  
 
----
 
----

Версия 19:01, 20 февраля 2010

Теория броуновского движения << Оглавление >> Дрожание земной оси


Множество механических, электромагнитных, биологических и социальных систем описываются осцилляторными уравнениями. Для определённости мы рассмотрим одномерный механический осциллятор массой , подверженный трению и внешним стохастическим воздействиям. Определение импульса и закон Ньютона в этом случае имеют вид: \parbox{7cm}{

\includegraphics{pic/oscillator.eps}\\ } \parbox{8cm}{
}

где сила состоит из трёх компонент:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle F = - \underbrace{(k + {\rm Noise}_1)\cdot x}_{сила\;упругости} \;-\; \underbrace{(2\lambda + {\rm Noise}_2)\cdot p}_{сила\;трения} \;+\; \underbrace{{\rm Noise}_3.}_{внешняя\;сила}}

Сила упругости пропорциональна величине отклонения от положения равновесия . Мы будем считать, что коэффициент упругости испытывает стохастические изменения, которые символически обозначены членом Noise. Знак минус перед упругой силой означает, что она стремится вернуть частицу назад, к положению равновесия. Сила сопротивления тем больше, чем больше скорость (импульс) частицы. Так происходит при движении в среде (воздух, вода). Сопротивление стремится остановить движение. Будем также предполагать, что коэффициент сопротивления подвержен стохастическим воздействиям Noise. Наконец, третья составляющая силы — это шум Noise, который может быть, например, внешними случайными толчками.

Все три стохастические компоненты, в зависимости от ситуации, можно рассматривать как в качестве независимых, так и в качестве зависимых случайных процессов. В общем случае между ними существуют некоторые корреляционные коэффициенты. Мы рассмотрим случай независимых стохастических воздействий, считая, что они имеют различную причину, и поэтому нескоррелированы.

Будем работать в системе единиц, для которой , ( C). Стохастические уравнения движения в этом случае имеют вид:

где — волатильность коэффициента упругости, — силы трения, а — внешнего шума. Винеровские переменные , и представляют собой изменения трёх независимых процессов.

Рассмотрим сначала общий случай, записав систему:

со следующими векторами и матрицами:

Для функции координат и импульсов воспользуемся динамическим уравнением для средних (стр. \pageref{aver_F_n_dim}):

где — вторая производная по , — производная по и , и т.д. Подставляя матрицы и перемножая их, получаем ( H):

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{d}{dt}\, {\Bigl<F(x,p)\Bigr>} =\Bigl< p F_x - (x+2\lambda p)F_p\Bigr> + \frac{1}{2}\Bigl< (\sigma^2_1 x^2 + \sigma^2_2 p^2 + \sigma^2_3) F_{pp}\Bigr>.}

Выбор и приводит к системе уравнений, совпадающих с детерминированными (снос линеен!):

Её решение с начальными условиями , имеет вид:

(EQN)

где (мы считаем, что трение мало и ). При выводе () можно воспользоваться алгоритмом на стр. \pageref{sec_line_n_dim_models} или привести систему к одному дифференциальному уравнению второго порядка ( H).

Выбор приводит к системе уравнений для моментов:

(EQN)

Эта неоднородная линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений легко решается. Однако, так как уравнение для собственных значений оказывается кубическим, выражения получаются достаточно громоздкими. Ниже мы рассмотрим частные случаи этой системы.

Если , система имеет стационарный режим при , в котором:

(EQN)

При средние стремятся к нулю, и матрица дисперсии оказывается диагональной:

Каждая разновидность шума увеличивает дисперсии, но по-разному. Трение играет стабилизирующую роль, уменьшая .

Заметим, что динамика при продолжается только, если существует внешний шум (). Если , стационарный режим также существует, но он вырождается в полное затухание колебаний, и . Причина подобного поведения та же, что и у логистического уравнения (стр. \pageref{why_logistic_stop}).

Пусть детерминированной составляющей трения нет , а флуктуации упругости и трения имеют одинаковые амплитуды . Введём энергию гармонического осциллятора:

Из () следует, что её среднее значение удовлетворяет уравнению:

а, следовательно, возрастает со временем:

Если стохастическое воздействие обусловлено только внешними толчками (), то рост не такой быстрый и аналогичен винеровскому увеличению неопределённости . Так же, как и броуновская частица под внешним воздействием в среднем удаляется от начального положения, так и квадрат амплитуды осциллятора при в среднем увеличивается.

Если существуют только внешние толчки (), то стохастика имеет постоянную волатильность :

Подобную систему мы рассматривали в шестой главе (стр. \pageref{stochastic_oscillator}). Она обладает точным решением, которое выражается через две независимые гауссовы переменные. Воспользуемся общим алгоритмом решения системы линейных уравнений (см. стр. \pageref{sec_line_n_dim_models}) с матрицами:

Чтобы найти , продифференцируем () по и :

При помощи этой матрицы, интегрируя (), стр. \pageref{n_sys_line_disp}, можно найти дисперсию координаты и импульса:

Верхний знак соответствует дисперсии для : , а нижний — для : . Дисперсия произведения динамических переменных имеет вид:

и стремится к нулю при и . В результате, в стационарном режиме () матрица дисперсий диагональна (), поэтому автоковариационная матрица равна с множителем .

При отсутствии трения , :

и, как мы видели выше, стационарного режима нет. Дисперсии по и растут во времени, совершая периодические колебания. Автоковариационная матрица получается перемножением и .


Теория броуновского движения << Оглавление >> Дрожание земной оси

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения