Стохастический мир — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
Строка 1: Строка 1:
 +
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center" style="background-color:#FEDBCA; text-align: center;"
 +
| <span style="color:red">Внимание!</span><br>  Это старая версия сайта. <br>Вход на новую находится на стартовой странице [http://synset.com/ "http://synset.com"].<br> Там можно найти новые материалы и последние версии книг.
 +
|}
 +
 +
 
<blockquote>
 
<blockquote>
 
Эти материалы являются сокращённой электронной версией книги "Стохастический мир". После конвертации из LaTex появились неизбежные артефакты, которые будут постепенно устраняться. Об ошибках или опечатках, найденных в последней версии [http://synset.com/pdf/ito.pdf pdf-файла] '''убедительная просьба''' сообщать, например, в закладке "обсуждение"  вверху на этой странице или почтой math[[File:dog.png]]synset.com. Вы этим очень поможете в улучшении книги. Приветствуются также комментарии общего плана: что понравилось, а что нет.
 
Эти материалы являются сокращённой электронной версией книги "Стохастический мир". После конвертации из LaTex появились неизбежные артефакты, которые будут постепенно устраняться. Об ошибках или опечатках, найденных в последней версии [http://synset.com/pdf/ito.pdf pdf-файла] '''убедительная просьба''' сообщать, например, в закладке "обсуждение"  вверху на этой странице или почтой math[[File:dog.png]]synset.com. Вы этим очень поможете в улучшении книги. Приветствуются также комментарии общего плана: что понравилось, а что нет.

Текущая версия на 09:35, 28 июля 2017

Внимание!
Это старая версия сайта.
Вход на новую находится на стартовой странице "http://synset.com".
Там можно найти новые материалы и последние версии книг.


Эти материалы являются сокращённой электронной версией книги "Стохастический мир". После конвертации из LaTex появились неизбежные артефакты, которые будут постепенно устраняться. Об ошибках или опечатках, найденных в последней версии pdf-файла убедительная просьба сообщать, например, в закладке "обсуждение" вверху на этой странице или почтой mathDog.pngsynset.com. Вы этим очень поможете в улучшении книги. Приветствуются также комментарии общего плана: что понравилось, а что нет. Для чтения книги в web-браузере стоит прочитать совет по настройке браузера для более комфортного просмотра формул.

Версия для печати: (pdf)

С уважением, Степанов Сергей Сергеевич.


Случайные события

Стохастические уравнения

Случайные величины

Нормальное распределение

Совместная и условная вероятность

Вероятностные свойства языка

Вероятности состояния рынка

Стохастическая зависимость

Линейная зависимость

Характеристическая функция

Многомерное распределение Гаусса

Модель аддитивного блуждания

Случайные процессы

Мартингалы

Стохастические уравнения

Уравнения Ито

Почему Ито

Лемма Ито

Точные решения уравнения Ито

Простые стохастические модели

Представление стохастических решений

Автокорреляция и спектр

Порождающий процесс Винера

Средние значения стохастических процессов

Динамическое уравнение для средних

Процесс Феллера

Логистическое уравнение

Степенные ряды для средних

Квазидетерминированное приближение

Вероятности стохастических процессов

Марковские плотности вероятности

Уравнение для плотности вероятности

Решение уравнения Фоккера-Планка

Граничные условия

Вероятность достижения границы

Разложение вероятности по базису

Уравнение для x

Стохастические интегралы

Площадь под траекторией Винера

Интегралы Ито

Квадратичный функционал

Интегрирование стохастических уравнений

Единственность решений

Метод последовательных приближений

Системы уравнений

Скоррелированные блуждания

Системы стохастических уравнений

Уравнение стохастического осциллятора

Линейные многомерные модели

Многомерие помогает одномерию

Некоторые точные решения

Как решать стохастические задачи?

Стохастическая природа

Теория броуновского движения

Стохастический осциллятор

Дрожание земной оси

Электронный шум

Хищники и их жертвы

Стохастическое общество

Финансовые рынки

Эмпирические закономерности

Диверсификация

Портфель на всю жизнь

Опционы

Формула Блэка-Шоулза

Кривая доходности



Краткое содержание

Случайные события

Абсолютно детерминированных событий и процессов не бывает. Вселенная разговаривает с нами на языке теории вероятностей. Предполагается, что Читатель хорошо знаком с ней, поэтому напоминаются только факты, необходимые для дальнейшего изучения предмета.

Первый раздел является вводным, он подводит к необходимости использования стохастических дифференциальных уравнений при исследовании различных систем. Затем обсуждается понятие плотности вероятностей, позволяющей вычислять наблюдаемые в среднем величины. Гауссова вероятность лежит в основе шума, воздействующего на детерминированную динамику. Стохастическая связь между случайными величинами и, наоборот, их независимость важны при обнаружении закономерностей между различными объектами и их характеристиками. Ключевым разделом главы является Модель аддитивного блуждания. Именно обобщение этой простой модели приведёт нас в следующей главе к стохастическим дифференциальным уравнениям. Последний раздел Мартингалы и бесплатный сыр содержит ряд формальных определений, которые при желании можно опустить.

Стохастические уравнения

Эта глава является ключевой. В ней вводится основной математический объект нашего интереса -- стохастические дифференциальные уравнения. Мы будем использовать максимально неформальный, интуитивный путь, считая, что получение конкретных практических результатов важнее, чем математически строгое их обоснование.

Стохастические уравнения представляют собой достаточно естественный непрерывный по времени предел дискретных случайных процессов, рассмотренных в предыдущей главе. Даже решая непрерывное уравнение, мы будем постоянно возвращаться к его дискретному аналогу, как для получения общих аналитических результатов, так и для численного моделирования. Исключительно важным результатом главы является лемма Ито, при помощи которой мы научимся находить точные решения уравнений в некоторых простых, но важных для практических приложений задачах. Затем обсуждаются способы вычисления автокорреляционной функции случайного процесса и его спектральные свойства. В заключение мы затронем тему систем уравнений, к которой более последовательно вернёмся в шестой главе.

Средние значения

Дифференциальное уравнение для случайной функции x(t) - это лишь один из возможных языков описания стохастического процесса. В ситуации, когда система эволюционирует со временем, средние значения также изменяются и подчиняются определённым дифференциальным уравнениям. Фактически, их решение является наиболее прямым способом получения практически полезных результатов.

Мы начнём эту главу с вывода динамического уравнения для средних. С его помощью будет получено простое выражение для плотности вероятности в ситуации, когда система имеет стационарный режим. Затем мы подробно проанализируем две стохастические задачи: уравнение Феллера и логистическое уравнение. В заключение будут рассмотрены метод разложения средних величин в степенной ряд по времени и квазидетерминированное приближение.

Вероятности

Ещё одним способом получения информации о поведении стохастического процесса является решение уравнений для условной плотности вероятности которым посвящена эта глава.

На простых примерах будут продемонстрированы методы решения подобных уравнений. Затем мы рассмотрим вопрос о граничных условиях, которые наиболее естественным образом учитываются при помощи уравнения Фоккера-Планка. Будет вычислено среднее время достижения границы и построен простой метод решения уравнения Фоккера-Планка при наличии граничных условий. Решения уравнений x(t) мы часто записываем при помощи гауссовой случайной переменной.

Стохастические интегралы

Как и в обычном анализе, если определено стохастическое дифференцирование, то естественно ввести и стохастическое интегрирование. Соответствующая техника даст нам ещё один инструмент получения соотношений для иногда достаточно общих случайных процессов. Это очень красивый раздел стохастической математики, который к тому же активно используется в учебной и научной литературе.

В дифференциальных уравнениях присутствуют два бесконечно малых изменения -- снос, пропорциональный dt, и волатильность шума. Соответственно, возможно два вида интегралов. В первом разделе мы рассмотрим стохастические интегралы по dt, изучим их основные свойства и найдём представление некоторых интегралов через обычные случайные величины. Во втором разделе рассматривается интеграл Ито по . Далее будут получены условия, при которых решение стохастического дифференциального уравнения единственно, и рассмотрен итерационный метод построения этого решения.

Системы уравнений

Одномерные стохастические уравнения позволяют описывать только сравнительно простые системы. Даже для обычного физического осциллятора необходимо решать систему из двух уравнений первого порядка. Реальность в общем случае -- многомерна. Она даёт нам множество примеров достаточно сложных, но исключительно интересных случайных процессов.


Как и в одномерном случае, мы начнём с дискретных процессов, обобщение которых на непрерывный случай приведёт нас к системе стохастических дифференциальных уравнений. Фактически, эта глава повторяет большинство результатов предыдущих глав. Для тех, кто уверенно владеет тензорной и матричной алгеброй, соответствующие обобщения служат лишь способом повторения уже известного материала. После вывода основных многомерных уравнений будут рассмотрены решения некоторых задач.

Стохастическая природа

В этой главе приведены примеры природных систем, которые естественным образом описываются при помощи стохастических дифференциальных уравнений. Эти системы охватывают широкий спектр приложений от физики до биологии, однако не требуют глубоких познаний в соответствующих областях. Большинство разделов не связаны друг с другом и могут быть прочитаны в любом порядке, независимо друг от друга. Первое стохастическое дифференциальное уравнение в 1908 году записал Поль Ланжевен (Paul Langevin). Именно с него начинается эта глава.

Стохастическое общество

В этой главе собраны некоторые примеры применения стохастических методов к финансовым рынкам и экономике. Волатильный характер цен и экономических индикаторов приводит к тому, что динамика соответствующих систем является существенно стохастической, и член в уравнениях Ито играет ведущую роль.

Сначала мы сделаем небольшой экскурс в финансовые рынки и эмпирические свойства цен финансовых инструментов. Затем рассмотрим теорию диверсификации и бета - коэффициенты. Стохастические методы оказываются очень полезными при изучении сложных финансовых инструментов. Примером такого инструмента является опцион. Мы рассмотрим основные его свойства и двумя различными способами выведем формулу Блэка-Шоулза. После этого будет рассмотрена простая однофакторная модель кривой доходности.