Стохастические уравнения — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 +
==Стохастический мир==
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Благодаря трудам Ньютона и Лейбница исследователи получили в своё распоряжение дифференциальные уравнения. Если некоторые величины изменяются во времени, то обычно существует система  уравнений, описывающих эту динамику.
 +
 +
Простейший пример -- часто встречающийся закон пропорциональности скорости изменения величины ей самой:
 +
 +
:<math> \frac{dx}{dt} = \alpha\cdot x        =>          x(t)=x_0\, e^{\alpha t}. </math>
 +
 +
Функция  <math>\textstyle x(t)>0</math> может описывать количество кроликов, скорость размножения которых тем больше, чем больше их уже  родилось. Более экономический пример -- динамика роста средств производства, увеличение которых тем больше, чем больше их накоплено к данному моменту времени, или рост численности человечества по Мальтусу. Если <math>\textstyle \alpha>0</math>, то это уравнение называют ''уравнением роста'', в противном случае -- ''уравнением распада''. \index{уравнение!роста}\index{уравнение!распада} В решении присутствует произвольная константа <math>\textstyle x_0</math>, для определения которой необходимо задать, например, начальное количество кроликов <math>\textstyle x_0=x(0)>0</math> в момент времени <math>\textstyle t_0=0</math>.
 +
 +
 +
Экспоненциальная функция растёт очень быстро. Если бы кролики размножались всё время только в соответствии с этим уравнением, Земля быстро стала бы белой и пушистой. На практике они не только размножаются, но и умирают. ''Относительное'' изменение численности популяции <math>\textstyle dx/x = A\, dt</math> в общем случае может быть функцией <math>\textstyle x</math>. Разложим её в ряд <math>\textstyle A(x)=\alpha-\beta\, x + ...</math>, ограничившись линейной зависимостью. Второе слагаемое имеет смысл уменьшения относительного прироста в результате уничтожения природных ресурсов (из-за нехватки травы). Это происходит тем интенсивнее, чем больше численность популяции. В результате более реалистичное уравнение приводит к ''логистической функции'', \index{логистическая функция}\index{функция!логистическая}\index{логистическое уравнение}\index{уравнение!логистическое} которая со временем выходит на стационарное значение <math>\textstyle \alpha/\beta</math> (при <math>\textstyle \alpha>0</math>):
 +
 +
:<math> \frac{dx}{dt} = \alpha x - \beta x^2        =>      x(t)=\frac{\alpha }{\beta  - (\beta - \alpha/x_0 ) \cdot e^{-\alpha t}}. </math>
 +
 +
Решение уравнения () получается (<math>\textstyle \lessdot</math> H<math>\textstyle _{}</math>) после замены <math>\textstyle x(t)=1/y(t)</math>. Асимптотически (<math>\textstyle t\to\infty</math>) равновесное значение <math>\textstyle x_{\infty}=\alpha/\beta</math> легко найти из уравнения, в котором  <math>\textstyle dx/dt=0</math> (<math>\textstyle \lessdot</math> C<math>\textstyle _{}</math>). Стоит напомнить, что () применимо и к приматам, считающим себя разумными и живущим на планете с ограниченными ресурсами, хотя само по себе логистическое уравнение носит оттенок каннибализма (<math>\textstyle \lessdot</math> C<math>\textstyle _{}</math>).
 +
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Дифференциальные уравнения впервые появились в классической механике. Действующая сила <math>\textstyle F(x)</math>\index{уравнения!динамики} изменяет импульс <math>\textstyle p=m \dot{x}</math> частицы:
 +
 +
:<math> \left\{ \begin{array}{l} \dot{p} = F(x)\ \dot{x} = p/m,\ \end{array} \right. </math>
 +
 +
где точка сверху означает производную по времени <math>\textstyle \dot{x}=dx/dt</math>, а <math>\textstyle m</math> -- массу частицы. К примеру, если сила линейна <math>\textstyle F(x)=-kx</math>, то координата частицы совершает  колебания <math>\textstyle x(t)=x_0\cos (wt)+(p_0/\omega m)\, \sin(wt)</math> с частотой <math>\textstyle w=\sqrt{k/m}</math> (<math>\textstyle \lessdot</math> H<math>\textstyle _{}</math>). Так как уравнений два,  возникают две константы. Поэтому необходимо задать два начальных условия для координаты <math>\textstyle x_0=x(0)</math> и импульса <math>\textstyle p_0=p(0)</math>.
 +
 +
 +
Большинство экономических, биологических и физических систем может быть описано при помощи системы дифференциальных уравнений:
 +
 +
:<math> d'''x''' = '''a'''('''x''', t)\, dt, </math>
 +
 +
где <math>\textstyle '''x'''(t) = \{x_1(t),..., x_n(t)\}</math> -- вектор переменных, описывающих состояние системы. Векторная функция  <math>\textstyle '''a'''('''x''', t)</math> определяет её динамику. Любые дифференциальные уравнения, содержащие производные второго и более высоких порядков, можно свести к системе () введением новых динамических переменных. Примером этого служат уравнения механики в форме Гамильтона ().
 +
 +
Мы записали () в виде изменения вектора <math>\textstyle '''x'''(t)</math> за бесконечно малый интервал времени <math>\textstyle dt</math>. Такое представление даёт простой алгоритм численного интегрирования уравнений () в ситуации, когда аналитическое решение получить не удаётся. Для этого бесконечно малые изменения заменяют на малые, но конечные <math>\textstyle \Delta'''x'''='''x'''_{k+1}-'''x'''_k</math>, <math>\textstyle \Delta t = t_{k+1}-t_k</math>. В результате ()  соответствует дискретной  ''итерационной схеме'':\index{итерационная схема}
 +
 +
:<math> '''x'''_{k+1} = '''x'''_k + '''a'''('''x'''_k, t_k)\, \Delta t. </math>
 +
 +
Задав начальный вектор <math>\textstyle '''x'''_0</math>, мы получаем его новое значение <math>\textstyle '''x'''_1</math> через интервал <math>\textstyle \Delta t</math>. Затем <math>\textstyle '''x'''_1</math> подставляем вместо <math>\textstyle '''x'''_0</math> и находим <math>\textstyle '''x'''_2</math>. Повторяя эту процедуру, мы приходим к последовательности значений вектора <math>\textstyle '''x'''(t)</math> в дискретные моменты времени <math>\textstyle t_0</math>, <math>\textstyle t_1=t_0+\Delta t</math>,  <math>\textstyle t_2=t_0+2\Delta t</math>, и т.д. Чем меньше интервал времени <math>\textstyle \Delta t</math>, тем ближе численные значения схемы () будут приближаться к ''истинному'' решению уравнения ().
 +
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math>  Успехи естественных наук, использующих дифференциальные уравнения, за последние 300 лет впечатляют. Однако более аккуратное сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными показывает, что обыкновенные дифференциальные уравнения -- только часть правды.
 +
 +
В большинстве ситуаций изучаемая система подвержена непредсказуемым внешним воздействиям, которые делают динамику не такой гладкой. Летящий по параболе камень лишь в первом приближении следует математической кривой. Его неизбежный контакт с воздухом приводит к некоторым флуктуациям возле этой траектории. Ещё большая нерегулярность обнаруживается при переходе к небольшим объектам, которые, подобно броуновской пыльце, испытывают нерегулярные удары молекул и имеют совсем изломанную траекторию. Степень изломанности координат <math>\textstyle '''x'''(t)</math> пыльцы в этом случае настолько велика, что её производную по времени уже нельзя определить.
 +
 +
По мере структурного усложнения природных систем роль стохастических (случайных) процессов возрастает. Кролики размножаются в соответствии с логистическим уравнением только в очень грубом приближении. Флуктуации численности популяции за счёт случайных внутренних и внешних факторов, не учитываемых простой моделью (), на самом деле очень велики. Аналогично и рост экономики имеет экспоненциальный характер только в первом приближении. Функция <math>\textstyle x_0e^{\alpha t}</math> в реальности сильно искажается экономическими подъёмами и спадами, имеющими стохастический, сложно предсказуемый характер. Наконец, в финансовом мире случайность является доминантой, которая определяет саму сущность рынков. Стохастика в этом случае, как и в броуновском движении, является не малой поправкой, а главным приближением к реальности.
 +
 +
Таким образом, наш мир не является детерминированным. Его истинное лицо -- вероятностное: \begin{quote}\it Обыкновенные дифференциальные уравнения -- это лишь первое приближение к реальности. Более адекватным инструментом исследования являются стохастические уравнения (<math>\textstyle \lessdot</math> C<math>\textstyle _{}</math>). \end{quote} В наших лекциях будет обсуждаться математический аппарат, позволяющий совместить в одной упряжке две столь не похожие друг на друга сущности: детерминированную, гладкую динамику и скачкообразные, изломанные случайные процессы.
 +
 +
 +
Говоря о внешнем шуме, нарушающем гладкую динамику, мы подразумеваем, что справедливо ''стохастическое уравнение'' следующего вида:\index{стохастическое уравнение}
 +
 +
:<math> d'''x''' = '''a'''('''x''', t)\, dt + '''Noise'''('''x''', t, dt). </math>
 +
 +
Оно описывает детерминированное (первое слагаемое) и случайное (второе) изменение переменных состояния системы <math>\textstyle '''x'''</math>. Так как <math>\textstyle d'''x'''</math> предполагается малым, соответственно, определённым образом при уменьшении интервала времени <math>\textstyle dt</math> должен уменьшаться и шум. Наши рассуждения будут посвящены корректному введению в дифференциальные уравнения шума <math>\textstyle '''Noise'''('''x''', t, dt)</math>, обладающего теми или иными свойствами.
 +
 +
Решением стохастического уравнения является ''случайная функция'' <math>\textstyle '''x'''(t)</math>, которая зачастую существенно отличается от ''добропорядочной'' функции математического анализа. Если под ''увеличением'' рассмотреть сильно изгибающуюся обычную функцию, мы увидим, что она гладкая в малых масштабах. Стохастическая, случайная  функция при любом увеличении может оставаться изломанной:  \includegraphics{pic/stat_stoch.eps}  Несмотря на то, что случайная функция <math>\textstyle '''x'''(t)</math>  предполагается непрерывной, обычно это недифференцируемая функция. Действительно, производная представляет собой отношение <math>\textstyle ['''x'''(t+\Delta t)-'''x'''(t)]/\Delta t</math> при <math>\textstyle \Delta t \to 0</math>. Сколь малый интервал времени мы ни взяли  бы, за счёт случайных факторов направление ''изменения'' функции может иметь непредсказуемо различный ''знак''. В результате мы не получаем сходимости к определённому пределу. Понятно, что для такого <math>\textstyle d'''x'''</math>  многие факты математического анализа должны быть существенным образом пересмотрены.
 +
 +
Нас будут интересовать методы решения уравнений, подобных (). В тех случаях, когда точное решение получить не удастся, мы будем использовать численное моделирование или приближенные аналитические соотношения. Излишне напоминать, что любой математический аппарат в конечном счёте разрабатывается для того, чтобы получить более мощные средства исследования окружающего мира. Поэтому за каждым уравнением или его решением необходимо видеть реальный случайный процесс в финансах, физике или биологии.
 +
 +
 
[[:Категория:Стохастические процессы]]
 
[[:Категория:Стохастические процессы]]

Версия 14:37, 14 января 2010

Стохастический мир

Благодаря трудам Ньютона и Лейбница исследователи получили в своё распоряжение дифференциальные уравнения. Если некоторые величины изменяются во времени, то обычно существует система уравнений, описывающих эту динамику.

Простейший пример -- часто встречающийся закон пропорциональности скорости изменения величины ей самой:

Функция может описывать количество кроликов, скорость размножения которых тем больше, чем больше их уже родилось. Более экономический пример -- динамика роста средств производства, увеличение которых тем больше, чем больше их накоплено к данному моменту времени, или рост численности человечества по Мальтусу. Если , то это уравнение называют уравнением роста, в противном случае -- уравнением распада. \index{уравнение!роста}\index{уравнение!распада} В решении присутствует произвольная константа , для определения которой необходимо задать, например, начальное количество кроликов в момент времени .


Экспоненциальная функция растёт очень быстро. Если бы кролики размножались всё время только в соответствии с этим уравнением, Земля быстро стала бы белой и пушистой. На практике они не только размножаются, но и умирают. Относительное изменение численности популяции в общем случае может быть функцией . Разложим её в ряд , ограничившись линейной зависимостью. Второе слагаемое имеет смысл уменьшения относительного прироста в результате уничтожения природных ресурсов (из-за нехватки травы). Это происходит тем интенсивнее, чем больше численность популяции. В результате более реалистичное уравнение приводит к логистической функции, \index{логистическая функция}\index{функция!логистическая}\index{логистическое уравнение}\index{уравнение!логистическое} которая со временем выходит на стационарное значение (при ):

Решение уравнения () получается ( H) после замены . Асимптотически () равновесное значение легко найти из уравнения, в котором ( C). Стоит напомнить, что () применимо и к приматам, считающим себя разумными и живущим на планете с ограниченными ресурсами, хотя само по себе логистическое уравнение носит оттенок каннибализма ( C).


Дифференциальные уравнения впервые появились в классической механике. Действующая сила \index{уравнения!динамики} изменяет импульс частицы:

где точка сверху означает производную по времени , а -- массу частицы. К примеру, если сила линейна , то координата частицы совершает колебания с частотой ( H). Так как уравнений два, возникают две константы. Поэтому необходимо задать два начальных условия для координаты и импульса .


Большинство экономических, биологических и физических систем может быть описано при помощи системы дифференциальных уравнений:

где -- вектор переменных, описывающих состояние системы. Векторная функция определяет её динамику. Любые дифференциальные уравнения, содержащие производные второго и более высоких порядков, можно свести к системе () введением новых динамических переменных. Примером этого служат уравнения механики в форме Гамильтона ().

Мы записали () в виде изменения вектора за бесконечно малый интервал времени . Такое представление даёт простой алгоритм численного интегрирования уравнений () в ситуации, когда аналитическое решение получить не удаётся. Для этого бесконечно малые изменения заменяют на малые, но конечные , . В результате () соответствует дискретной итерационной схеме:\index{итерационная схема}

Задав начальный вектор , мы получаем его новое значение через интервал . Затем подставляем вместо и находим . Повторяя эту процедуру, мы приходим к последовательности значений вектора в дискретные моменты времени , , , и т.д. Чем меньше интервал времени , тем ближе численные значения схемы () будут приближаться к истинному решению уравнения ().


Успехи естественных наук, использующих дифференциальные уравнения, за последние 300 лет впечатляют. Однако более аккуратное сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными показывает, что обыкновенные дифференциальные уравнения -- только часть правды.

В большинстве ситуаций изучаемая система подвержена непредсказуемым внешним воздействиям, которые делают динамику не такой гладкой. Летящий по параболе камень лишь в первом приближении следует математической кривой. Его неизбежный контакт с воздухом приводит к некоторым флуктуациям возле этой траектории. Ещё большая нерегулярность обнаруживается при переходе к небольшим объектам, которые, подобно броуновской пыльце, испытывают нерегулярные удары молекул и имеют совсем изломанную траекторию. Степень изломанности координат пыльцы в этом случае настолько велика, что её производную по времени уже нельзя определить.

По мере структурного усложнения природных систем роль стохастических (случайных) процессов возрастает. Кролики размножаются в соответствии с логистическим уравнением только в очень грубом приближении. Флуктуации численности популяции за счёт случайных внутренних и внешних факторов, не учитываемых простой моделью (), на самом деле очень велики. Аналогично и рост экономики имеет экспоненциальный характер только в первом приближении. Функция в реальности сильно искажается экономическими подъёмами и спадами, имеющими стохастический, сложно предсказуемый характер. Наконец, в финансовом мире случайность является доминантой, которая определяет саму сущность рынков. Стохастика в этом случае, как и в броуновском движении, является не малой поправкой, а главным приближением к реальности.

Таким образом, наш мир не является детерминированным. Его истинное лицо -- вероятностное: \begin{quote}\it Обыкновенные дифференциальные уравнения -- это лишь первое приближение к реальности. Более адекватным инструментом исследования являются стохастические уравнения ( C). \end{quote} В наших лекциях будет обсуждаться математический аппарат, позволяющий совместить в одной упряжке две столь не похожие друг на друга сущности: детерминированную, гладкую динамику и скачкообразные, изломанные случайные процессы.


Говоря о внешнем шуме, нарушающем гладкую динамику, мы подразумеваем, что справедливо стохастическое уравнение следующего вида:\index{стохастическое уравнение}

Оно описывает детерминированное (первое слагаемое) и случайное (второе) изменение переменных состояния системы . Так как предполагается малым, соответственно, определённым образом при уменьшении интервала времени должен уменьшаться и шум. Наши рассуждения будут посвящены корректному введению в дифференциальные уравнения шума , обладающего теми или иными свойствами.

Решением стохастического уравнения является случайная функция , которая зачастую существенно отличается от добропорядочной функции математического анализа. Если под увеличением рассмотреть сильно изгибающуюся обычную функцию, мы увидим, что она гладкая в малых масштабах. Стохастическая, случайная функция при любом увеличении может оставаться изломанной: \includegraphics{pic/stat_stoch.eps} Несмотря на то, что случайная функция предполагается непрерывной, обычно это недифференцируемая функция. Действительно, производная представляет собой отношение при . Сколь малый интервал времени мы ни взяли бы, за счёт случайных факторов направление изменения функции может иметь непредсказуемо различный знак. В результате мы не получаем сходимости к определённому пределу. Понятно, что для такого многие факты математического анализа должны быть существенным образом пересмотрены.

Нас будут интересовать методы решения уравнений, подобных (). В тех случаях, когда точное решение получить не удастся, мы будем использовать численное моделирование или приближенные аналитические соотношения. Излишне напоминать, что любой математический аппарат в конечном счёте разрабатывается для того, чтобы получить более мощные средства исследования окружающего мира. Поэтому за каждым уравнением или его решением необходимо видеть реальный случайный процесс в финансах, физике или биологии.


Категория:Стохастические процессы