Стохастические уравнения — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
(Стохастический мир)
(Стохастический мир)
Строка 8: Строка 8:
  
 
Функция  <math>\textstyle x(t)>0</math> может описывать количество кроликов, скорость размножения которых тем больше, чем больше их уже  родилось. Более экономический пример -- динамика роста средств производства, увеличение которых тем больше, чем больше их накоплено к данному моменту времени, или рост численности человечества по Мальтусу. Если <math>\textstyle \alpha>0</math>, то это уравнение называют ''уравнением роста'', в противном случае -- ''уравнением распада''.  В решении присутствует произвольная константа <math>\textstyle x_0</math>, для определения которой необходимо задать, например, начальное количество кроликов <math>\textstyle x_0=x(0)>0</math> в момент времени <math>\textstyle t_0=0</math>.
 
Функция  <math>\textstyle x(t)>0</math> может описывать количество кроликов, скорость размножения которых тем больше, чем больше их уже  родилось. Более экономический пример -- динамика роста средств производства, увеличение которых тем больше, чем больше их накоплено к данному моменту времени, или рост численности человечества по Мальтусу. Если <math>\textstyle \alpha>0</math>, то это уравнение называют ''уравнением роста'', в противном случае -- ''уравнением распада''.  В решении присутствует произвольная константа <math>\textstyle x_0</math>, для определения которой необходимо задать, например, начальное количество кроликов <math>\textstyle x_0=x(0)>0</math> в момент времени <math>\textstyle t_0=0</math>.
 
  
 
Экспоненциальная функция растёт очень быстро. Если бы кролики размножались всё время только в соответствии с этим уравнением, Земля быстро стала бы белой и пушистой. На практике они не только размножаются, но и умирают. ''Относительное'' изменение численности популяции <math>\textstyle dx/x = A\, dt</math> в общем случае может быть функцией <math>\textstyle x</math>. Разложим её в ряд <math>\textstyle A(x)=\alpha-\beta\, x + ...</math>, ограничившись линейной зависимостью. Второе слагаемое имеет смысл уменьшения относительного прироста в результате уничтожения природных ресурсов (из-за нехватки травы). Это происходит тем интенсивнее, чем больше численность популяции. В результате более реалистичное уравнение приводит к ''логистической функции'',  которая со временем выходит на стационарное значение <math>\textstyle \alpha/\beta</math> (при <math>\textstyle \alpha>0</math>):
 
Экспоненциальная функция растёт очень быстро. Если бы кролики размножались всё время только в соответствии с этим уравнением, Земля быстро стала бы белой и пушистой. На практике они не только размножаются, но и умирают. ''Относительное'' изменение численности популяции <math>\textstyle dx/x = A\, dt</math> в общем случае может быть функцией <math>\textstyle x</math>. Разложим её в ряд <math>\textstyle A(x)=\alpha-\beta\, x + ...</math>, ограничившись линейной зависимостью. Второе слагаемое имеет смысл уменьшения относительного прироста в результате уничтожения природных ресурсов (из-за нехватки травы). Это происходит тем интенсивнее, чем больше численность популяции. В результате более реалистичное уравнение приводит к ''логистической функции'',  которая со временем выходит на стационарное значение <math>\textstyle \alpha/\beta</math> (при <math>\textstyle \alpha>0</math>):
Строка 15: Строка 14:
  
 
Решение уравнения (1.2) получается  после замены <math>\textstyle x(t)=1/y(t)</math>. Асимптотически (<math>\textstyle t\to\infty</math>) равновесное значение <math>\textstyle x_{\infty}=\alpha/\beta</math> легко найти из уравнения, в котором  <math>\textstyle dx/dt=0</math>. Стоит напомнить, что (1.2) применимо и к приматам, считающим себя разумными и живущим на планете с ограниченными ресурсами, хотя само по себе логистическое уравнение носит оттенок каннибализма.
 
Решение уравнения (1.2) получается  после замены <math>\textstyle x(t)=1/y(t)</math>. Асимптотически (<math>\textstyle t\to\infty</math>) равновесное значение <math>\textstyle x_{\infty}=\alpha/\beta</math> легко найти из уравнения, в котором  <math>\textstyle dx/dt=0</math>. Стоит напомнить, что (1.2) применимо и к приматам, считающим себя разумными и живущим на планете с ограниченными ресурсами, хотя само по себе логистическое уравнение носит оттенок каннибализма.
 
  
 
<math>\textstyle \bullet</math> Дифференциальные уравнения впервые появились в классической механике. Действующая сила <math>\textstyle F(x)</math> изменяет импульс <math>\textstyle p=m \dot{x}</math> частицы:
 
<math>\textstyle \bullet</math> Дифференциальные уравнения впервые появились в классической механике. Действующая сила <math>\textstyle F(x)</math> изменяет импульс <math>\textstyle p=m \dot{x}</math> частицы:
Строка 22: Строка 20:
  
 
где точка сверху означает производную по времени <math>\textstyle \dot{x}=dx/dt</math>, а <math>\textstyle m</math> -- массу частицы. К примеру, если сила линейна <math>\textstyle F(x)=-kx</math>, то координата частицы совершает  колебания <math>\textstyle x(t)=x_0\cos (wt)+(p_0/\omega m)\, \sin(wt)</math> с частотой <math>\textstyle w=\sqrt{k/m}</math>. Так как уравнений два,  возникают две константы. Поэтому необходимо задать два начальных условия для координаты <math>\textstyle x_0=x(0)</math> и импульса <math>\textstyle p_0=p(0)</math>.
 
где точка сверху означает производную по времени <math>\textstyle \dot{x}=dx/dt</math>, а <math>\textstyle m</math> -- массу частицы. К примеру, если сила линейна <math>\textstyle F(x)=-kx</math>, то координата частицы совершает  колебания <math>\textstyle x(t)=x_0\cos (wt)+(p_0/\omega m)\, \sin(wt)</math> с частотой <math>\textstyle w=\sqrt{k/m}</math>. Так как уравнений два,  возникают две константы. Поэтому необходимо задать два начальных условия для координаты <math>\textstyle x_0=x(0)</math> и импульса <math>\textstyle p_0=p(0)</math>.
 
  
 
Большинство экономических, биологических и физических систем может быть описано при помощи системы дифференциальных уравнений:
 
Большинство экономических, биологических и физических систем может быть описано при помощи системы дифференциальных уравнений:
Строка 35: Строка 32:
  
 
Задав начальный вектор <math>\textstyle \mathbf{x}_0</math>, мы получаем его новое значение <math>\textstyle \mathbf{x}_1</math> через интервал <math>\textstyle \Delta t</math>. Затем <math>\textstyle \mathbf{x}_1</math> подставляем вместо <math>\textstyle \mathbf{x}_0</math> и находим <math>\textstyle \mathbf{x}_2</math>. Повторяя эту процедуру, мы приходим к последовательности значений вектора <math>\textstyle \mathbf{x}(t)</math> в дискретные моменты времени <math>\textstyle t_0</math>, <math>\textstyle t_1=t_0+\Delta t</math>,  <math>\textstyle t_2=t_0+2\Delta t</math>, и т.д. Чем меньше интервал времени <math>\textstyle \Delta t</math>, тем ближе численные значения схемы (1.5) будут приближаться к ''истинному'' решению уравнения (1.4).
 
Задав начальный вектор <math>\textstyle \mathbf{x}_0</math>, мы получаем его новое значение <math>\textstyle \mathbf{x}_1</math> через интервал <math>\textstyle \Delta t</math>. Затем <math>\textstyle \mathbf{x}_1</math> подставляем вместо <math>\textstyle \mathbf{x}_0</math> и находим <math>\textstyle \mathbf{x}_2</math>. Повторяя эту процедуру, мы приходим к последовательности значений вектора <math>\textstyle \mathbf{x}(t)</math> в дискретные моменты времени <math>\textstyle t_0</math>, <math>\textstyle t_1=t_0+\Delta t</math>,  <math>\textstyle t_2=t_0+2\Delta t</math>, и т.д. Чем меньше интервал времени <math>\textstyle \Delta t</math>, тем ближе численные значения схемы (1.5) будут приближаться к ''истинному'' решению уравнения (1.4).
 
  
 
<math>\textstyle \bullet</math>  Успехи естественных наук, использующих дифференциальные уравнения, за последние 300 лет впечатляют. Однако более аккуратное сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными показывает, что обыкновенные дифференциальные уравнения -- только часть правды.
 
<math>\textstyle \bullet</math>  Успехи естественных наук, использующих дифференциальные уравнения, за последние 300 лет впечатляют. Однако более аккуратное сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными показывает, что обыкновенные дифференциальные уравнения -- только часть правды.

Версия 15:26, 14 января 2010

Стохастический мир

Благодаря трудам Ньютона и Лейбница исследователи получили в своё распоряжение дифференциальные уравнения. Если некоторые величины изменяются во времени, то обычно существует система уравнений, описывающих эту динамику.

Простейший пример - часто встречающийся закон пропорциональности скорости изменения величины ей самой:

Функция может описывать количество кроликов, скорость размножения которых тем больше, чем больше их уже родилось. Более экономический пример -- динамика роста средств производства, увеличение которых тем больше, чем больше их накоплено к данному моменту времени, или рост численности человечества по Мальтусу. Если , то это уравнение называют уравнением роста, в противном случае -- уравнением распада. В решении присутствует произвольная константа , для определения которой необходимо задать, например, начальное количество кроликов в момент времени .

Экспоненциальная функция растёт очень быстро. Если бы кролики размножались всё время только в соответствии с этим уравнением, Земля быстро стала бы белой и пушистой. На практике они не только размножаются, но и умирают. Относительное изменение численности популяции в общем случае может быть функцией . Разложим её в ряд , ограничившись линейной зависимостью. Второе слагаемое имеет смысл уменьшения относительного прироста в результате уничтожения природных ресурсов (из-за нехватки травы). Это происходит тем интенсивнее, чем больше численность популяции. В результате более реалистичное уравнение приводит к логистической функции, которая со временем выходит на стационарное значение (при ):

Решение уравнения (1.2) получается после замены . Асимптотически () равновесное значение легко найти из уравнения, в котором . Стоит напомнить, что (1.2) применимо и к приматам, считающим себя разумными и живущим на планете с ограниченными ресурсами, хотя само по себе логистическое уравнение носит оттенок каннибализма.

Дифференциальные уравнения впервые появились в классической механике. Действующая сила изменяет импульс частицы:

где точка сверху означает производную по времени , а -- массу частицы. К примеру, если сила линейна , то координата частицы совершает колебания с частотой . Так как уравнений два, возникают две константы. Поэтому необходимо задать два начальных условия для координаты и импульса .

Большинство экономических, биологических и физических систем может быть описано при помощи системы дифференциальных уравнений:

где -- вектор переменных, описывающих состояние системы. Векторная функция определяет её динамику. Любые дифференциальные уравнения, содержащие производные второго и более высоких порядков, можно свести к системе (1.4) введением новых динамических переменных. Примером этого служат уравнения механики в форме Гамильтона (1.3).

Мы записали (1.4) в виде изменения вектора за бесконечно малый интервал времени . Такое представление даёт простой алгоритм численного интегрирования уравнений (1.4) в ситуации, когда аналитическое решение получить не удаётся. Для этого бесконечно малые изменения заменяют на малые, но конечные , . В результате (1.4) соответствует дискретной итерационной схеме:

Задав начальный вектор , мы получаем его новое значение через интервал . Затем подставляем вместо и находим . Повторяя эту процедуру, мы приходим к последовательности значений вектора в дискретные моменты времени , , , и т.д. Чем меньше интервал времени , тем ближе численные значения схемы (1.5) будут приближаться к истинному решению уравнения (1.4).

Успехи естественных наук, использующих дифференциальные уравнения, за последние 300 лет впечатляют. Однако более аккуратное сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными показывает, что обыкновенные дифференциальные уравнения -- только часть правды.

В большинстве ситуаций изучаемая система подвержена непредсказуемым внешним воздействиям, которые делают динамику не такой гладкой. Летящий по параболе камень лишь в первом приближении следует математической кривой. Его неизбежный контакт с воздухом приводит к некоторым флуктуациям возле этой траектории. Ещё большая нерегулярность обнаруживается при переходе к небольшим объектам, которые, подобно броуновской пыльце, испытывают нерегулярные удары молекул и имеют совсем изломанную траекторию. Степень изломанности координат пыльцы в этом случае настолько велика, что её производную по времени уже нельзя определить.

По мере структурного усложнения природных систем роль стохастических (случайных) процессов возрастает. Кролики размножаются в соответствии с логистическим уравнением только в очень грубом приближении. Флуктуации численности популяции за счёт случайных внутренних и внешних факторов, не учитываемых простой моделью (1.2), на самом деле очень велики. Аналогично и рост экономики имеет экспоненциальный характер только в первом приближении. Функция в реальности сильно искажается экономическими подъёмами и спадами, имеющими стохастический, сложно предсказуемый характер. Наконец, в финансовом мире случайность является доминантой, которая определяет саму сущность рынков. Стохастика в этом случае, как и в броуновском движении, является не малой поправкой, а главным приближением к реальности.

Таким образом, наш мир не является детерминированным. Его истинное лицо -- вероятностное:

Обыкновенные дифференциальные уравнения -- это лишь первое приближение к реальности. Более адекватным инструментом исследования являются стохастические уравнения.

В наших лекциях будет обсуждаться математический аппарат, позволяющий совместить в одной упряжке две столь не похожие друг на друга сущности: детерминированную, гладкую динамику и скачкообразные, изломанные случайные процессы.

Говоря о внешнем шуме, нарушающем гладкую динамику, мы подразумеваем, что справедливо стохастическое уравнение следующего вида:

Оно описывает детерминированное (первое слагаемое) и случайное (второе) изменение переменных состояния системы . Так как предполагается малым, соответственно, определённым образом при уменьшении интервала времени должен уменьшаться и шум. Наши рассуждения будут посвящены корректному введению в дифференциальные уравнения шума , обладающего теми или иными свойствами.

Решением стохастического уравнения является случайная функция , которая зачастую существенно отличается от добропорядочной функции математического анализа. Если под увеличением рассмотреть сильно изгибающуюся обычную функцию, мы увидим, что она гладкая в малых масштабах. Стохастическая, случайная функция при любом увеличении может оставаться изломанной:

Stat stoch.gif

Несмотря на то, что случайная функция предполагается непрерывной, обычно это недифференцируемая функция. Действительно, производная представляет собой отношение при . Сколь малый интервал времени мы ни взяли бы, за счёт случайных факторов направление изменения функции может иметь непредсказуемо различный знак. В результате мы не получаем сходимости к определённому пределу. Понятно, что для такого многие факты математического анализа должны быть существенным образом пересмотрены.

Нас будут интересовать методы решения уравнений, подобных (1.6). В тех случаях, когда точное решение получить не удастся, мы будем использовать численное моделирование или приближенные аналитические соотношения. Излишне напоминать, что любой математический аппарат в конечном счёте разрабатывается для того, чтобы получить более мощные средства исследования окружающего мира. Поэтому за каждым уравнением или его решением необходимо видеть реальный случайный процесс в финансах, физике или биологии.


Категория:Стохастические процессы