Стохастические уравнения

Стохастический мир

$\textstyle \bullet$ Благодаря трудам Ньютона и Лейбница исследователи получили в своё распоряжение дифференциальные уравнения. Если некоторые величины изменяются во времени, то обычно существует система уравнений, описывающих эту динамику.

Простейший пример -- часто встречающийся закон пропорциональности скорости изменения величины ей самой:

${\frac {dx}{dt}}=\alpha \cdot x~~~~~~~=>~~~~~~~~~~~~x(t)=x_{0}\,e^{\alpha t}.$

Функция $\textstyle x(t)>0$ может описывать количество кроликов, скорость размножения которых тем больше, чем больше их уже родилось. Более экономический пример -- динамика роста средств производства, увеличение которых тем больше, чем больше их накоплено к данному моменту времени, или рост численности человечества по Мальтусу. Если $\textstyle \alpha >0$, то это уравнение называют уравнением роста, в противном случае -- уравнением распада. В решении присутствует произвольная константа $\textstyle x_{0}$, для определения которой необходимо задать, например, начальное количество кроликов $\textstyle x_{0}=x(0)>0$ в момент времени $\textstyle t_{0}=0$.

Экспоненциальная функция растёт очень быстро. Если бы кролики размножались всё время только в соответствии с этим уравнением, Земля быстро стала бы белой и пушистой. На практике они не только размножаются, но и умирают. Относительное изменение численности популяции $\textstyle dx/x=A\,dt$ в общем случае может быть функцией $\textstyle x$. Разложим её в ряд $\textstyle A(x)=\alpha -\beta \,x+...$, ограничившись линейной зависимостью. Второе слагаемое имеет смысл уменьшения относительного прироста в результате уничтожения природных ресурсов (из-за нехватки травы). Это происходит тем интенсивнее, чем больше численность популяции. В результате более реалистичное уравнение приводит к логистической функции, которая со временем выходит на стационарное значение $\textstyle \alpha /\beta$ (при $\textstyle \alpha >0$):

${\frac {dx}{dt}}=\alpha x-\beta x^{2}~~~~~~~~~~=>~~~~~~~~~~x(t)={\frac {\alpha }{\beta -(\beta -\alpha /x_{0})\cdot e^{-\alpha t}}}.$

Решение уравнения () получается после замены $\textstyle x(t)=1/y(t)$. Асимптотически ($\textstyle t\to \infty$) равновесное значение $\textstyle x_{\infty }=\alpha /\beta$ легко найти из уравнения, в котором $\textstyle dx/dt=0$. Стоит напомнить, что () применимо и к приматам, считающим себя разумными и живущим на планете с ограниченными ресурсами, хотя само по себе логистическое уравнение носит оттенок каннибализма.

$\textstyle \bullet$ Дифференциальные уравнения впервые появились в классической механике. Действующая сила $\textstyle F(x)$ изменяет импульс $\textstyle p=m{\dot {x}}$ частицы:

$\left\{{\begin{array}{l}{\dot {p}}=F(x)\ {\dot {x}}=p/m,\ \end{array}}\right.$

где точка сверху означает производную по времени $\textstyle {\dot {x}}=dx/dt$, а $\textstyle m$ -- массу частицы. К примеру, если сила линейна $\textstyle F(x)=-kx$, то координата частицы совершает колебания $\textstyle x(t)=x_{0}\cos(wt)+(p_{0}/\omega m)\,\sin(wt)$ с частотой $\textstyle w={\sqrt {k/m}}$. Так как уравнений два, возникают две константы. Поэтому необходимо задать два начальных условия для координаты $\textstyle x_{0}=x(0)$ и импульса $\textstyle p_{0}=p(0)$.

Большинство экономических, биологических и физических систем может быть описано при помощи системы дифференциальных уравнений:

$d\mathbf {x} =\mathbf {a} (\mathbf {x} ,t)\,dt,$

где $\textstyle \mathbf {x} (t)=\{x_{1}(t),...,x_{n}(t)\}$ -- вектор переменных, описывающих состояние системы. Векторная функция $\textstyle \mathbf {a} (\mathbf {x} ,t)$ определяет её динамику. Любые дифференциальные уравнения, содержащие производные второго и более высоких порядков, можно свести к системе () введением новых динамических переменных. Примером этого служат уравнения механики в форме Гамильтона ().

Мы записали () в виде изменения вектора $\textstyle \mathbf {x} (t)$ за бесконечно малый интервал времени $\textstyle dt$. Такое представление даёт простой алгоритм численного интегрирования уравнений () в ситуации, когда аналитическое решение получить не удаётся. Для этого бесконечно малые изменения заменяют на малые, но конечные $\textstyle \Delta \mathbf {x} =\mathbf {x} _{k+1}-\mathbf {x} _{k}$, $\textstyle \Delta t=t_{k+1}-t_{k}$. В результате () соответствует дискретной итерационной схеме:

$\mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {x} _{k}+\mathbf {a} (\mathbf {x} _{k},t_{k})\,\Delta t.$

Задав начальный вектор $\textstyle \mathbf {x} _{0}$, мы получаем его новое значение $\textstyle \mathbf {x} _{1}$ через интервал $\textstyle \Delta t$. Затем $\textstyle \mathbf {x} _{1}$ подставляем вместо $\textstyle \mathbf {x} _{0}$ и находим $\textstyle \mathbf {x} _{2}$. Повторяя эту процедуру, мы приходим к последовательности значений вектора $\textstyle \mathbf {x} (t)$ в дискретные моменты времени $\textstyle t_{0}$, $\textstyle t_{1}=t_{0}+\Delta t$, $\textstyle t_{2}=t_{0}+2\Delta t$, и т.д. Чем меньше интервал времени $\textstyle \Delta t$, тем ближе численные значения схемы () будут приближаться к истинному решению уравнения ().

$\textstyle \bullet$ Успехи естественных наук, использующих дифференциальные уравнения, за последние 300 лет впечатляют. Однако более аккуратное сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными показывает, что обыкновенные дифференциальные уравнения -- только часть правды.

В большинстве ситуаций изучаемая система подвержена непредсказуемым внешним воздействиям, которые делают динамику не такой гладкой. Летящий по параболе камень лишь в первом приближении следует математической кривой. Его неизбежный контакт с воздухом приводит к некоторым флуктуациям возле этой траектории. Ещё большая нерегулярность обнаруживается при переходе к небольшим объектам, которые, подобно броуновской пыльце, испытывают нерегулярные удары молекул и имеют совсем изломанную траекторию. Степень изломанности координат $\textstyle \mathbf {x} (t)$ пыльцы в этом случае настолько велика, что её производную по времени уже нельзя определить.

По мере структурного усложнения природных систем роль стохастических (случайных) процессов возрастает. Кролики размножаются в соответствии с логистическим уравнением только в очень грубом приближении. Флуктуации численности популяции за счёт случайных внутренних и внешних факторов, не учитываемых простой моделью (), на самом деле очень велики. Аналогично и рост экономики имеет экспоненциальный характер только в первом приближении. Функция $\textstyle x_{0}e^{\alpha t}$ в реальности сильно искажается экономическими подъёмами и спадами, имеющими стохастический, сложно предсказуемый характер. Наконец, в финансовом мире случайность является доминантой, которая определяет саму сущность рынков. Стохастика в этом случае, как и в броуновском движении, является не малой поправкой, а главным приближением к реальности.

Таким образом, наш мир не является детерминированным. Его истинное лицо -- вероятностное: \begin{quote}\it Обыкновенные дифференциальные уравнения -- это лишь первое приближение к реальности. Более адекватным инструментом исследования являются стохастические уравнения. \end{quote} В наших лекциях будет обсуждаться математический аппарат, позволяющий совместить в одной упряжке две столь не похожие друг на друга сущности: детерминированную, гладкую динамику и скачкообразные, изломанные случайные процессы.

Говоря о внешнем шуме, нарушающем гладкую динамику, мы подразумеваем, что справедливо стохастическое уравнение следующего вида:

$d\mathbf {x} =\mathbf {a} (\mathbf {x} ,t)\,dt+\mathbf {Noise} (\mathbf {x} ,t,dt).$

Оно описывает детерминированное (первое слагаемое) и случайное (второе) изменение переменных состояния системы $\textstyle \mathbf {x}$. Так как $\textstyle d\mathbf {x}$ предполагается малым, соответственно, определённым образом при уменьшении интервала времени $\textstyle dt$ должен уменьшаться и шум. Наши рассуждения будут посвящены корректному введению в дифференциальные уравнения шума $\textstyle \mathbf {Noise} (\mathbf {x} ,t,dt)$, обладающего теми или иными свойствами.

Решением стохастического уравнения является случайная функция $\textstyle \mathbf {x} (t)$, которая зачастую существенно отличается от добропорядочной функции математического анализа. Если под увеличением рассмотреть сильно изгибающуюся обычную функцию, мы увидим, что она гладкая в малых масштабах. Стохастическая, случайная функция при любом увеличении может оставаться изломанной: \includegraphics{pic/stat_stoch.eps} Несмотря на то, что случайная функция $\textstyle \mathbf {x} (t)$ предполагается непрерывной, обычно это недифференцируемая функция. Действительно, производная представляет собой отношение $\textstyle [\mathbf {x} (t+\Delta t)-\mathbf {x} (t)]/\Delta t$ при $\textstyle \Delta t\to 0$. Сколь малый интервал времени мы ни взяли бы, за счёт случайных факторов направление изменения функции может иметь непредсказуемо различный знак. В результате мы не получаем сходимости к определённому пределу. Понятно, что для такого $\textstyle d\mathbf {x}$ многие факты математического анализа должны быть существенным образом пересмотрены.

Нас будут интересовать методы решения уравнений, подобных (). В тех случаях, когда точное решение получить не удастся, мы будем использовать численное моделирование или приближенные аналитические соотношения. Излишне напоминать, что любой математический аппарат в конечном счёте разрабатывается для того, чтобы получить более мощные средства исследования окружающего мира. Поэтому за каждым уравнением или его решением необходимо видеть реальный случайный процесс в финансах, физике или биологии.

Категория:Стохастические процессы