Стохастические уравнения — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
  |[[Стохастический мир]] <<  
+
  | width="30%"|[[Стохастический мир]] <<  
  |>> [[Случайные величины]]  
+
! width="40%"|[[Случайные величины|Оглавление]]
 +
  | width="30%" align="right"| >> [[Условная вероятность]]
 
|}
 
|}
 
 
----
 
----
  
Строка 69: Строка 69:
 
----
 
----
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
  |[[Стохастический мир]] <<  
+
  | width="30%"|[[Стохастический мир]] <<  
  |>> [[Случайные величины]]  
+
! width="40%"|[[Случайные величины|Оглавление]]
 +
  | width="30%" align="right"| >> [[Условная вероятность]]
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 
 
[[Стохастический мир]] - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения
 
[[Стохастический мир]] - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Версия 13:34, 21 января 2010

Стохастический мир << Оглавление >> Условная вероятность

Благодаря трудам Ньютона и Лейбница исследователи получили в своё распоряжение дифференциальные уравнения. Если некоторые величины изменяются во времени, то обычно существует система уравнений, описывающих эту динамику.

Простейший пример - часто встречающийся закон пропорциональности скорости изменения величины ей самой:

Функция может описывать количество кроликов, скорость размножения которых тем больше, чем больше их уже родилось. Более экономический пример -- динамика роста средств производства, увеличение которых тем больше, чем больше их накоплено к данному моменту времени, или рост численности человечества по Мальтусу. Если , то это уравнение называют уравнением роста, в противном случае -- уравнением распада. В решении присутствует произвольная константа , для определения которой необходимо задать, например, начальное количество кроликов в момент времени .

Экспоненциальная функция растёт очень быстро. Если бы кролики размножались всё время только в соответствии с этим уравнением, Земля быстро стала бы белой и пушистой. На практике они не только размножаются, но и умирают. Относительное изменение численности популяции в общем случае может быть функцией . Разложим её в ряд , ограничившись линейной зависимостью. Второе слагаемое имеет смысл уменьшения относительного прироста в результате уничтожения природных ресурсов (из-за нехватки травы). Это происходит тем интенсивнее, чем больше численность популяции. В результате более реалистичное уравнение приводит к логистической функции, которая со временем выходит на стационарное значение (при ):

Решение уравнения (1.2) получается после замены . Асимптотически () равновесное значение легко найти из уравнения, в котором . Стоит напомнить, что (1.2) применимо и к приматам, считающим себя разумными и живущим на планете с ограниченными ресурсами, хотя само по себе логистическое уравнение носит оттенок каннибализма.

Дифференциальные уравнения впервые появились в классической механике. Действующая сила изменяет импульс частицы:

где точка сверху означает производную по времени , а -- массу частицы. К примеру, если сила линейна , то координата частицы совершает колебания с частотой . Так как уравнений два, возникают две константы. Поэтому необходимо задать два начальных условия для координаты и импульса .

Большинство экономических, биологических и физических систем может быть описано при помощи системы дифференциальных уравнений:

где -- вектор переменных, описывающих состояние системы. Векторная функция определяет её динамику. Любые дифференциальные уравнения, содержащие производные второго и более высоких порядков, можно свести к системе (1.4) введением новых динамических переменных. Примером этого служат уравнения механики в форме Гамильтона (1.3).

Мы записали (1.4) в виде изменения вектора за бесконечно малый интервал времени . Такое представление даёт простой алгоритм численного интегрирования уравнений (1.4) в ситуации, когда аналитическое решение получить не удаётся. Для этого бесконечно малые изменения заменяют на малые, но конечные , . В результате (1.4) соответствует дискретной итерационной схеме:

Задав начальный вектор , мы получаем его новое значение через интервал . Затем подставляем вместо и находим . Повторяя эту процедуру, мы приходим к последовательности значений вектора в дискретные моменты времени , , , и т.д. Чем меньше интервал времени , тем ближе численные значения схемы (1.5) будут приближаться к истинному решению уравнения (1.4).

Успехи естественных наук, использующих дифференциальные уравнения, за последние 300 лет впечатляют. Однако более аккуратное сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными показывает, что обыкновенные дифференциальные уравнения -- только часть правды.

В большинстве ситуаций изучаемая система подвержена непредсказуемым внешним воздействиям, которые делают динамику не такой гладкой. Летящий по параболе камень лишь в первом приближении следует математической кривой. Его неизбежный контакт с воздухом приводит к некоторым флуктуациям возле этой траектории. Ещё большая нерегулярность обнаруживается при переходе к небольшим объектам, которые, подобно броуновской пыльце, испытывают нерегулярные удары молекул и имеют совсем изломанную траекторию. Степень изломанности координат пыльцы в этом случае настолько велика, что её производную по времени уже нельзя определить.

По мере структурного усложнения природных систем роль стохастических (случайных) процессов возрастает. Кролики размножаются в соответствии с логистическим уравнением только в очень грубом приближении. Флуктуации численности популяции за счёт случайных внутренних и внешних факторов, не учитываемых простой моделью (1.2), на самом деле очень велики. Аналогично и рост экономики имеет экспоненциальный характер только в первом приближении. Функция в реальности сильно искажается экономическими подъёмами и спадами, имеющими стохастический, сложно предсказуемый характер. Наконец, в финансовом мире случайность является доминантой, которая определяет саму сущность рынков. Стохастика в этом случае, как и в броуновском движении, является не малой поправкой, а главным приближением к реальности.

Таким образом, наш мир не является детерминированным. Его истинное лицо -- вероятностное:

Обыкновенные дифференциальные уравнения -- это лишь первое приближение к реальности. Более адекватным инструментом исследования являются стохастические уравнения.

В наших лекциях будет обсуждаться математический аппарат, позволяющий совместить в одной упряжке две столь не похожие друг на друга сущности: детерминированную, гладкую динамику и скачкообразные, изломанные случайные процессы.

Говоря о внешнем шуме, нарушающем гладкую динамику, мы подразумеваем, что справедливо стохастическое уравнение следующего вида:

Оно описывает детерминированное (первое слагаемое) и случайное (второе) изменение переменных состояния системы . Так как предполагается малым, соответственно, определённым образом при уменьшении интервала времени должен уменьшаться и шум. Наши рассуждения будут посвящены корректному введению в дифференциальные уравнения шума , обладающего теми или иными свойствами.

Решением стохастического уравнения является случайная функция , которая зачастую существенно отличается от добропорядочной функции математического анализа. Если под увеличением рассмотреть сильно изгибающуюся обычную функцию, мы увидим, что она гладкая в малых масштабах. Стохастическая, случайная функция при любом увеличении может оставаться изломанной:

Stat stoch.gif

Несмотря на то, что случайная функция предполагается непрерывной, обычно это недифференцируемая функция. Действительно, производная представляет собой отношение при . Сколь малый интервал времени мы ни взяли бы, за счёт случайных факторов направление изменения функции может иметь непредсказуемо различный знак. В результате мы не получаем сходимости к определённому пределу. Понятно, что для такого многие факты математического анализа должны быть существенным образом пересмотрены.

Нас будут интересовать методы решения уравнений, подобных (1.6). В тех случаях, когда точное решение получить не удастся, мы будем использовать численное моделирование или приближенные аналитические соотношения. Излишне напоминать, что любой математический аппарат в конечном счёте разрабатывается для того, чтобы получить более мощные средства исследования окружающего мира. Поэтому за каждым уравнением или его решением необходимо видеть реальный случайный процесс в финансах, физике или биологии.


Стохастический мир << Оглавление >> Условная вероятность

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения