http://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%85%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C&feed=atom&action=history
Стохастическая зависимость - История изменений
2024-03-28T23:25:49Z
История изменений этой страницы в вики
MediaWiki 1.31.15
http://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%85%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C&diff=738&oldid=prev
WikiSysop в 14:49, 17 февраля 2010
2010-02-17T14:49:49Z
<p></p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="ru">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← Предыдущая</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Версия 14:49, 17 февраля 2010</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l5" >Строка 5:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 5:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>|}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>|}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>----</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>----</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> Величины <del class="diffchange diffchange-inline">называются </del>статистически ''независимыми'', если их совместная плотность вероятности <del class="diffchange diffchange-inline">расщепляется на две функции</del>, <del class="diffchange diffchange-inline">соответствующие </del>распределениям каждой из величин:</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> Величины <ins class="diffchange diffchange-inline">являются </ins>статистически ''независимыми'', если их совместная плотность вероятности <ins class="diffchange diffchange-inline">равна произведению функций</ins>, <ins class="diffchange diffchange-inline">соответствующих </ins>распределениям каждой из величин:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math>\;P(x,y) = P_1(x)\cdot P_2(y).</math></center></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math>\;P(x,y) = P_1(x)\cdot P_2(y).</math></center></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l19" >Строка 19:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 19:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Поэтому  ''ковариация'' <math>\textstyle \mathrm{cov}(x,y)</math>:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Поэтому  ''ковариация'' <math>\textstyle \mathrm{cov}(x,y)</math>:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:<</del>center<del class="diffchange diffchange-inline">></del><math> \mathrm{cov}(x,y) = \left\langle (x-\bar{x})(y-\bar{y})\right\rangle  = \left\langle xy\right\rangle -\left\langle x\right\rangle \left\langle y\right\rangle </math></<del class="diffchange diffchange-inline">center</del>></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">{| width="100%"  </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline"> | width="90%" align="</ins>center<ins class="diffchange diffchange-inline">"|</ins><math> \mathrm{cov}(x,y) = \left\langle (x-\bar{x})(y-\bar{y})\right\rangle  = \left\langle xy\right\rangle -\left\langle x\right\rangle \left\langle y\right\rangle </math></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline"> |  <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1.19)'''</ins></<ins class="diffchange diffchange-inline">div</ins>></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">|}</ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>независимых величин нулевая. Обратное может быть и неверным.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>независимых величин нулевая. Обратное может быть и неверным.</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l25" >Строка 25:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 28:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> Функция <math>\textstyle z=f(x,y)</math> двух случайных величин <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math>  также является случайной величиной с некоторым распределением <math>\textstyle P(z)</math>. Чтобы его найти, необходимо так преобразовать формулу для вычисления среднего от произвольной функции <math>\textstyle F(z)</math>, чтобы получился интеграл только по <math>\textstyle z</math>:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> Функция <math>\textstyle z=f(x,y)</math> двух случайных величин <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math>  также является случайной величиной с некоторым распределением <math>\textstyle P(z)</math>. Чтобы его найти, необходимо так преобразовать формулу для вычисления среднего от произвольной функции <math>\textstyle F(z)</math>, чтобы получился интеграл только по <math>\textstyle z</math>:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:<</del>center<del class="diffchange diffchange-inline">></del><math> \left\langle  F(z)\right\rangle  = \int\limits^\infty_{-\infty} F\bigl(f(x,y)\bigr) P(x,y)\,dxdy = \int\limits^\infty_{-\infty} F(z) P(z) \, dz. </math></<del class="diffchange diffchange-inline">center</del>></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">{| width="100%"  </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline"> | width="90%" align="</ins>center<ins class="diffchange diffchange-inline">"|</ins><math> \left\langle  F(z)\right\rangle  = \int\limits^\infty_{-\infty} F\bigl(f(x,y)\bigr) P(x,y)\,dxdy = \int\limits^\infty_{-\infty} F(z) P(z) \, dz. </math> <ins class="diffchange diffchange-inline">|  <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1.20)'''</ins></<ins class="diffchange diffchange-inline">div</ins>></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">|}</ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Например, если <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math>  &mdash; ''независимые'' гауссовы числа с произвольными волатильностями <math>\textstyle \sigma_x</math>, <math>\textstyle \sigma_y</math>, то величина <math>\textstyle z=x+y</math> &mdash; тоже гауссова:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Например, если <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math>  &mdash; ''независимые'' гауссовы числа с произвольными волатильностями <math>\textstyle \sigma_x</math>, <math>\textstyle \sigma_y</math>, то величина <math>\textstyle z=x+y</math> &mdash; тоже гауссова:</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l43" >Строка 43:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 48:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>В общем случае для суммы <math>\textstyle n</math> независимых величин:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>В общем случае для суммы <math>\textstyle n</math> независимых величин:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:<</del>center<del class="diffchange diffchange-inline">></del><math> z=x_1+...+x_n\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sigma^2_z = \sigma^2_1+...+\sigma^2_n. </math></<del class="diffchange diffchange-inline">center</del>></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">{| width="100%"  </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline"> | width="90%" align="</ins>center<ins class="diffchange diffchange-inline">"|</ins><math> z=x_1+...+x_n\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sigma^2_z = \sigma^2_1+...+\sigma^2_n. </math></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline"> |  <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1.3)'''</ins></<ins class="diffchange diffchange-inline">div</ins>></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">|}</ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Для доказательства необходимо рассмотреть <math>\textstyle x_1 + x_2</math> как одну случайную величину и,  добавив к ней <math>\textstyle x_3</math>, получить <math>\textstyle \sigma^2_z+\sigma^2_3=\sigma^2_1+\sigma^2_2+\sigma^2_3</math>, и т.д.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Для доказательства необходимо рассмотреть <math>\textstyle x_1 + x_2</math> как одну случайную величину и,  добавив к ней <math>\textstyle x_3</math>, получить <math>\textstyle \sigma^2_z+\sigma^2_3=\sigma^2_1+\sigma^2_2+\sigma^2_3</math>, и т.д.</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l49" >Строка 49:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 57:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Если волатильности каждого <math>\textstyle x_i</math> одинаковы и равны <math>\textstyle \sigma_0</math>, то волатильность их суммы будет увеличиваться с ростом числа слагаемых, как <math>\textstyle \sigma_z=\sigma_0\sqrt{n}</math>. Эта зависимость в виде корня исключительно важна и лежит в основе всех тех свойств шума '''Noise''', который мы планируем добавлять к детерминированным дифференциальным уравнениям.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Если волатильности каждого <math>\textstyle x_i</math> одинаковы и равны <math>\textstyle \sigma_0</math>, то волатильность их суммы будет увеличиваться с ростом числа слагаемых, как <math>\textstyle \sigma_z=\sigma_0\sqrt{n}</math>. Эта зависимость в виде корня исключительно важна и лежит в основе всех тех свойств шума '''Noise''', который мы планируем добавлять к детерминированным дифференциальным уравнениям.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Обратим внимание, что полученный результат не зависит от вида распределения величин <math>\textstyle x_i</math>. Они могут быть даже различными. Главное &mdash; они должны быть независимыми.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Обратим внимание, что полученный результат <ins class="diffchange diffchange-inline">(1.21) </ins>не зависит от вида распределения величин <math>\textstyle x_i</math>. Они могут быть даже различными. Главное &mdash; они должны быть независимыми.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Аналогичный результат мы получили и для суммы двух независимых распределённых по Гауссу чисел. Однако при этом плотность вероятности суммы также оказалась гауссовой. Случайная величина <math>\textstyle z</math> называется ''бесконечно делимой'', если её можно представить в виде суммы ''независимых'' случайных чисел, имеющих ''такое же'' распределение, как и <math>\textstyle z</math>. Примером бесконечно делимого распределения является плотность вероятности Гаусса, а также  распределения Коши и гамма - функции, рассматриваемые в следующем разделе.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Аналогичный результат мы получили и для суммы двух независимых распределённых по Гауссу чисел. Однако при этом плотность вероятности суммы также оказалась гауссовой. Случайная величина <math>\textstyle z</math> называется ''бесконечно делимой'', если её можно представить в виде суммы ''независимых'' случайных чисел, имеющих ''такое же'' распределение, как и <math>\textstyle z</math> <ins class="diffchange diffchange-inline">(но возможно, с иными параметрами)</ins>. Примером бесконечно делимого распределения является плотность вероятности Гаусса, а также  распределения Коши и гамма - функции, рассматриваемые в следующем разделе.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>На самом деле для ''бесконечной'' делимости достаточно, чтобы у всех ''трёх'' величин в <math>\textstyle z=x+y</math> было одинаковое распределение. При этом, естественно, подразумевается одинаковая ''функциональная'' форма распределения. Его параметры (в частности, волатильность) будут различными. Вообще, для произвольно распределённых чисел их сумма имеет распределение, отличное от распределения каждого из слагаемых. Однако  для независимых величин выполняется в любом случае и является очень общим результатом.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>На самом деле для ''бесконечной'' делимости достаточно, чтобы у всех ''трёх'' величин в <math>\textstyle z=x+y</math> было одинаковое распределение. При этом, естественно, подразумевается одинаковая ''функциональная'' форма распределения. Его параметры (в частности, волатильность) будут различными. Вообще, для произвольно распределённых чисел их сумма имеет распределение, отличное от распределения каждого из слагаемых. Однако <ins class="diffchange diffchange-inline">(1.21) </ins> для независимых величин выполняется в любом случае и является очень общим результатом.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>----</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>----</div></td></tr>
</table>
WikiSysop
http://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%85%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C&diff=582&oldid=prev
WikiSysop: Защищена страница «Стохастическая зависимость» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))
2010-02-11T14:01:44Z
<p>Защищена страница «<a href="/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%85%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Стохастическая зависимость">Стохастическая зависимость</a>» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))</p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<tr class="diff-title" lang="ru">
<td colspan="1" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← Предыдущая</td>
<td colspan="1" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Версия 14:01, 11 февраля 2010</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-notice" lang="ru"><div class="mw-diff-empty">(нет различий)</div>
</td></tr></table>
WikiSysop
http://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%85%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C&diff=286&oldid=prev
WikiSysop в 15:19, 27 января 2010
2010-01-27T15:19:21Z
<p></p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="ru">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← Предыдущая</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Версия 15:19, 27 января 2010</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l2" >Строка 2:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 2:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  | width="40%"|[[Совместная и условная вероятность]] <<  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  | width="40%"|[[Совместная и условная вероятность]] <<  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]]  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]]  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  | width="40%" align="right"| >> [[<del class="diffchange diffchange-inline">Характеристическая функция</del>]]</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  | width="40%" align="right"| >> [[<ins class="diffchange diffchange-inline">Линейная зависимость</ins>]]</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>|}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>|}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>----</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>----</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l53" >Строка 53:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 53:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Аналогичный результат мы получили и для суммы двух независимых распределённых по Гауссу чисел. Однако при этом плотность вероятности суммы также оказалась гауссовой. Случайная величина <math>\textstyle z</math> называется ''бесконечно делимой'', если её можно представить в виде суммы ''независимых'' случайных чисел, имеющих ''такое же'' распределение, как и <math>\textstyle z</math>. Примером бесконечно делимого распределения является плотность вероятности Гаусса, а также  распределения Коши и гамма - функции, рассматриваемые в следующем разделе.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Аналогичный результат мы получили и для суммы двух независимых распределённых по Гауссу чисел. Однако при этом плотность вероятности суммы также оказалась гауссовой. Случайная величина <math>\textstyle z</math> называется ''бесконечно делимой'', если её можно представить в виде суммы ''независимых'' случайных чисел, имеющих ''такое же'' распределение, как и <math>\textstyle z</math>. Примером бесконечно делимого распределения является плотность вероятности Гаусса, а также  распределения Коши и гамма - функции, рассматриваемые в следующем разделе.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>На самом деле для ''бесконечной'' делимости достаточно, чтобы у всех ''трёх'' величин в <math>\textstyle z=x+y</math> было одинаковое распределение. При этом, естественно, подразумевается одинаковая ''функциональная'' форма распределения. Его параметры (в частности, волатильность) будут различными. Вообще, для произвольно распределённых чисел их сумма имеет распределение, отличное от распределения каждого из слагаемых. Однако <del class="diffchange diffchange-inline">() </del>для независимых величин выполняется в любом случае и является очень общим результатом<del class="diffchange diffchange-inline">.</del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>На самом деле для ''бесконечной'' делимости достаточно, чтобы у всех ''трёх'' величин в <math>\textstyle z=x+y</math> было одинаковое распределение. При этом, естественно, подразумевается одинаковая ''функциональная'' форма распределения. Его параметры (в частности, волатильность) будут различными. Вообще, для произвольно распределённых чисел их сумма имеет распределение, отличное от распределения каждого из слагаемых. Однако <ins class="diffchange diffchange-inline"> </ins>для независимых величин выполняется в любом случае и является очень общим результатом.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline"><math>\textstyle \bullet</math> Простейшая связь между двумя случайными величинами <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math> &mdash; это линейная зависимость <math>\textstyle y=\alpha + \beta \, x</math>. В общем случае может существовать третья случайная величина <math>\textstyle \xi</math>, которую мы интерпретируем, как "внешний" ''случайный шум''. Результирующая модель с константами <math>\textstyle \alpha</math> и <math>\textstyle \beta</math> имеет вид:</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:<center><math> y=\alpha+\beta\, x + \xi. </math></center></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">С этого уравнения обычно начинается поиск связей между эмпирическими величинами.</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">Обычно считают, что среднее шума равно нулю <math>\textstyle \left\langle \xi\right\rangle =0</math>. В противном случае его можно включить в параметр <math>\textstyle \alpha</math>. Потребуем, чтобы дисперсия "шума" <math>\textstyle \xi</math> (ошибка модели) была минимальной:</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:<center><math> \sigma^2_\xi = \left\langle \xi^2\right\rangle  = \left\langle (y-\alpha - \beta\, x)^2\right\rangle  = min. </math></center></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">Взяв производные по <math>\textstyle \alpha</math> и <math>\textstyle \beta</math>, можно (<math>\textstyle \lessdot</math> H) найти уравнение ''регрессионной прямой''. Её наклон <math>\textstyle \beta</math> равен:</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:<center><math> \beta = \frac{\left\langle xy\right\rangle -\left\langle x\right\rangle \left\langle y\right\rangle }{\left\langle x^2\right\rangle -\left\langle x\right\rangle ^2} = \frac{\left\langle (x-\bar{x})(y-\bar{y})\right\rangle }{\sigma^2_x}. </math></center></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">Итоговое уравнение мы запишем  в симметричном виде пропорциональности безразмерных отклонений величин от своих средних:</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:<center><math> \frac{y-\bar{y}}{\sigma_y} \;=\; \rho(x,y) \cdot \frac{x-\bar{x}}{\sigma_x} \;+\; \frac{\xi}{\sigma_y}. </math></center></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">Коэффициент этой пропорциональности называется ''корреляцией'':</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:<center><math> \rho_{xy}=\rho(x,y)=\frac{\mathrm{cov}(x,y)}{\sigma_x\sigma_y}. </math></center></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">В его числителе находится ковариационный коэффициент ().</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">Корреляция <math>\textstyle (\rho\neq 0)</math> между двумя величинами <math>\textstyle x</math>, <math>\textstyle y</math> не всегда означает наличие ''причинной связи'' <math>\textstyle y=f(x)</math> или <math>\textstyle x=g(y)</math>. Например, может существовать третья величина <math>\textstyle z</math>, влияющая и на <math>\textstyle x</math>, и на <math>\textstyle y</math>, синхронизируя их поведение. Так, спад мировой экономики оказывает одинаковое воздействие на две не связанные друг с другом экспортно-ориентированные отрасли экономики. ''"Ложная" корреляция'' возникает также, если две величины имеют явно выраженный восходящий или нисходящий ''тренд'' (систематический рост или спад). В этом случае между ними будет появляться заметная корреляция. Эта корреляция характеризует наличие детерминированной составляющей роста (<math>\textstyle \lessdot</math> C).</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline"><math>\textstyle \bullet</math> Корреляционный коэффициент определяет наклон регрессионной прямой. Однако важнее то, что он служит мерой прогностических возможностей линейной модели. Покажем это, подставив в значение наклона () исходное уравнение (). Учтём, что <math>\textstyle \left\langle \xi\right\rangle =0</math> и <math>\textstyle \bar{y}=\alpha+\beta\,\bar{x}</math>:</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:<center><math>\beta = \frac{\left\langle (x-\bar{x})(\beta\cdot (x-\bar{x})+\xi)\right\rangle }{\sigma^2_x} = \beta + \frac{\left\langle x\xi\right\rangle }{\sigma^2_x}.</math></center></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">Поэтому <math>\textstyle \left\langle x\xi\right\rangle =0</math>, что позволяет нам вычислить дисперсию <math>\textstyle y</math>:</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:<center><math>\sigma^2_y = \left\langle (y-\bar{y})^2\right\rangle = \left\langle (\beta\cdot (x-\bar{x}) + \xi)^2\right\rangle  = \beta^2\sigma^2_x + \left\langle \xi^2 \right\rangle .</math></center></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">Так как <math>\textstyle \beta=\rho(x,y)\sigma_y/\sigma_x</math>, получаем выражение для ''относительной ошибки'' модели:</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">:<center><math> E  = \frac{\sigma_\xi}{\sigma_y} = \sqrt{1-\rho^2(x,y)}. </math></center></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">Значение волатильности шума <math>\textstyle \sigma^2_\xi=\left\langle \xi^2\right\rangle </math> можно рассматривать как ошибку линейной модели <math>\textstyle y=\alpha+\beta x</math>. Полезно сравнивать её  с волатильностью <math>\textstyle \sigma_y</math>, которая является типичной ошибкой тривиальной модели <math>\textstyle y=\bar{y}</math>. Мы видим, что такая относительная ошибка <math>\textstyle E</math> зависит от корреляционного коэффициента. Чем ближе к единице его квадрат, тем меньше ошибка. При нулевом <math>\textstyle \rho</math> относительная ошибка равна единице, и, следовательно, линейная модель имеет такую же предсказательную силу, как и тривиальное утверждение о том, что лучшим прогнозом <math>\textstyle y</math> будет его среднее значение. Часто говорят о ''коэффициенте детерминации'' <math>\textstyle R^2=1-E^2=\rho^2</math>. Заметим также, что коэффициент корреляции по модулю всегда меньше единицы <math>\textstyle |\rho|\leqslant 1</math>.</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline"><math>\textstyle \bullet</math> Уравнение линейной модели () может интерпретироваться по-разному.</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">1) Прежде всего, это модель прогнозирования <math>\textstyle y</math>, если стало известно <math>\textstyle x</math> (в духе <math>\textstyle P(x\Rightarrow y)</math>). В этом случае <math>\textstyle \xi</math> &mdash; это внешний  шум или ошибка модели, когда "истинная" зависимость между <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math> не такая простая. В результате шума <math>\textstyle y</math> всегда оказывается случайной величиной. В отношении <math>\textstyle x</math> возможны различные ситуации. Например, при изучении кривой спроса <math>\textstyle x</math> может быть контролируемой и задаваемой исследователем ценой товара (например, с равным шагом). В этом случае она детерминирована. Однако разброс в её значениях позволяет формально определить среднее <math>\textstyle \bar{x}</math> и волатильность <math>\textstyle \sigma_x</math>.</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">2) Часто бывает, что и <math>\textstyle x</math>, и <math>\textstyle y</math> выступают в качестве равноправных случайных величин. Например, на фондовом рынке ежедневные изменения цен акций двух компаний <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math> стохастически связаны друг с другом. Обе величины случайны и не зависят от исследователя</del>.</div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>----</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>----</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l105" >Строка 105:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 59:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  | width="40%"|[[Совместная и условная вероятность]] <<  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  | width="40%"|[[Совместная и условная вероятность]] <<  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]]  </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]]  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  | width="40%" align="right"| >> [[<del class="diffchange diffchange-inline">Характеристическая функция</del>]]</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  | width="40%" align="right"| >> [[<ins class="diffchange diffchange-inline">Линейная зависимость</ins>]]</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>|}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>|}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>----</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>----</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Стохастический мир]] - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Стохастический мир]] - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения</div></td></tr>
</table>
WikiSysop
http://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%85%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C&diff=284&oldid=prev
WikiSysop в 15:16, 27 января 2010
2010-01-27T15:16:12Z
<p></p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="ru">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← Предыдущая</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Версия 15:16, 27 января 2010</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l49" >Строка 49:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 49:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Если волатильности каждого <math>\textstyle x_i</math> одинаковы и равны <math>\textstyle \sigma_0</math>, то волатильность их суммы будет увеличиваться с ростом числа слагаемых, как <math>\textstyle \sigma_z=\sigma_0\sqrt{n}</math>. Эта зависимость в виде корня исключительно важна и лежит в основе всех тех свойств шума '''Noise''', который мы планируем добавлять к детерминированным дифференциальным уравнениям.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Если волатильности каждого <math>\textstyle x_i</math> одинаковы и равны <math>\textstyle \sigma_0</math>, то волатильность их суммы будет увеличиваться с ростом числа слагаемых, как <math>\textstyle \sigma_z=\sigma_0\sqrt{n}</math>. Эта зависимость в виде корня исключительно важна и лежит в основе всех тех свойств шума '''Noise''', который мы планируем добавлять к детерминированным дифференциальным уравнениям.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Обратим внимание, что полученный результат <del class="diffchange diffchange-inline">() </del>не зависит от вида распределения величин <math>\textstyle x_i</math>. Они могут быть даже различными. Главное &mdash; они должны быть независимыми.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Обратим внимание, что полученный результат не зависит от вида распределения величин <math>\textstyle x_i</math>. Они могут быть даже различными. Главное &mdash; они должны быть независимыми.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Аналогичный результат мы получили и для суммы двух независимых распределённых по Гауссу чисел. Однако при этом плотность вероятности суммы также оказалась гауссовой. Случайная величина <math>\textstyle z</math> называется ''бесконечно делимой'', если её можно представить в виде суммы ''независимых'' случайных чисел, имеющих ''такое же'' распределение, как и <math>\textstyle z</math>. Примером бесконечно делимого распределения является плотность вероятности Гаусса, а также  распределения Коши и гамма - функции, рассматриваемые в следующем разделе.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Аналогичный результат мы получили и для суммы двух независимых распределённых по Гауссу чисел. Однако при этом плотность вероятности суммы также оказалась гауссовой. Случайная величина <math>\textstyle z</math> называется ''бесконечно делимой'', если её можно представить в виде суммы ''независимых'' случайных чисел, имеющих ''такое же'' распределение, как и <math>\textstyle z</math>. Примером бесконечно делимого распределения является плотность вероятности Гаусса, а также  распределения Коши и гамма - функции, рассматриваемые в следующем разделе.</div></td></tr>
</table>
WikiSysop
http://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%85%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C&diff=283&oldid=prev
WikiSysop в 15:15, 27 января 2010
2010-01-27T15:15:26Z
<p></p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="ru">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← Предыдущая</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Версия 15:15, 27 января 2010</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l31" >Строка 31:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 31:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math>\left\langle  F(z)\right\rangle  = \int\limits^\infty_{-\infty} F\bigl(x+y\bigr) \,e^{-x^2/2\sigma^2_x-y^2/2\sigma^2_y}\;\frac{dxdy}{2\pi\sigma_x\sigma_y} = \int\limits^\infty_{-\infty} F(z) e^{-z^2/2\sigma^2} \, \frac{dz}{\sigma\sqrt{2\pi}},</math></center></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math>\left\langle  F(z)\right\rangle  = \int\limits^\infty_{-\infty} F\bigl(x+y\bigr) \,e^{-x^2/2\sigma^2_x-y^2/2\sigma^2_y}\;\frac{dxdy}{2\pi\sigma_x\sigma_y} = \int\limits^\infty_{-\infty} F(z) e^{-z^2/2\sigma^2} \, \frac{dz}{\sigma\sqrt{2\pi}},</math></center></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>где <math>\textstyle \sigma^2=\sigma^2_x+\sigma^2_y</math>. В двойном интеграле делается замена <math>\textstyle z=x+y</math>, <math>\textstyle u=x</math>, и проводится интегрирование по <math>\textstyle u</math> при помощи <del class="diffchange diffchange-inline">формулы () на стр. \pageref{gauss_int_gen} приложения М</del>. Таким образом, ''сумма двух нормальных чисел оказывается нормально распределённой величиной''.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>где <math>\textstyle \sigma^2=\sigma^2_x+\sigma^2_y</math>. В двойном интеграле делается замена <math>\textstyle z=x+y</math>, <math>\textstyle u=x</math>, и проводится интегрирование по <math>\textstyle u</math> при помощи <ins class="diffchange diffchange-inline">[[Гауссов_интеграл|гауссового интеграла]]</ins>. Таким образом, ''сумма двух нормальных чисел оказывается нормально распределённой величиной''.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> Пусть  <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math> &mdash; две случайные ''независимые'' величины с ''произвольным'' распределением. Рассмотрим <math>\textstyle z</math>, являющуюся их суммой <math>\textstyle z=x+y</math>. Очевидно, что среднее равно сумме средних <math>\textstyle \bar{z}=\bar{x}+\bar{y}</math>. Найдём дисперсию:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> Пусть  <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math> &mdash; две случайные ''независимые'' величины с ''произвольным'' распределением. Рассмотрим <math>\textstyle z</math>, являющуюся их суммой <math>\textstyle z=x+y</math>. Очевидно, что среднее равно сумме средних <math>\textstyle \bar{z}=\bar{x}+\bar{y}</math>. Найдём дисперсию:</div></td></tr>
</table>
WikiSysop
http://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%85%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C&diff=282&oldid=prev
WikiSysop в 15:13, 27 января 2010
2010-01-27T15:13:07Z
<p></p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="ru">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← Предыдущая</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Версия 15:13, 27 января 2010</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l21" >Строка 21:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 21:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math> \mathrm{cov}(x,y) = \left\langle (x-\bar{x})(y-\bar{y})\right\rangle  = \left\langle xy\right\rangle -\left\langle x\right\rangle \left\langle y\right\rangle </math></center></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math> \mathrm{cov}(x,y) = \left\langle (x-\bar{x})(y-\bar{y})\right\rangle  = \left\langle xy\right\rangle -\left\langle x\right\rangle \left\langle y\right\rangle </math></center></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>независимых величин нулевая. Обратное может быть и неверным <del class="diffchange diffchange-inline">(<math>\textstyle \lessdot</math> C)</del>.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>независимых величин нулевая. Обратное может быть и неверным.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> Функция <math>\textstyle z=f(x,y)</math> двух случайных величин <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math>  также является случайной величиной с некоторым распределением <math>\textstyle P(z)</math>. Чтобы его найти, необходимо так преобразовать формулу для вычисления среднего от произвольной функции <math>\textstyle F(z)</math>, чтобы получился интеграл только по <math>\textstyle z</math>:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> Функция <math>\textstyle z=f(x,y)</math> двух случайных величин <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math>  также является случайной величиной с некоторым распределением <math>\textstyle P(z)</math>. Чтобы его найти, необходимо так преобразовать формулу для вычисления среднего от произвольной функции <math>\textstyle F(z)</math>, чтобы получился интеграл только по <math>\textstyle z</math>:</div></td></tr>
</table>
WikiSysop
http://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%85%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C&diff=281&oldid=prev
WikiSysop в 15:12, 27 января 2010
2010-01-27T15:12:39Z
<p></p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="ru">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← Предыдущая</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Версия 15:12, 27 января 2010</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l11" >Строка 11:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 11:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Мы часто будем опускать индексы и использовать одну и ту же букву для обозначения различных функций, отличая их аргументами.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Мы часто будем опускать индексы и использовать одну и ту же букву для обозначения различных функций, отличая их аргументами.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del class="diffchange diffchange-inline">Из определения () следует, что для </del>независимых событий условная плотность <math>\textstyle P(x\Rightarrow y)=P(y)</math> зависит только от <math>\textstyle y</math>. Это соотношение может быть ещё одним определением независимости событий. Если вероятность события <math>\textstyle y</math> не зависит от того, произошло или нет <math>\textstyle x</math>, то они независимы.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Для </ins>независимых событий условная плотность <math>\textstyle P(x\Rightarrow y)=P(y)</math> зависит только от <math>\textstyle y</math>. Это соотношение может быть ещё одним определением независимости событий. Если вероятность события <math>\textstyle y</math> не зависит от того, произошло или нет <math>\textstyle x</math>, то они независимы.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Среднее произведение независимых величин равно произведению их средних:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Среднее произведение независимых величин равно произведению их средних:</div></td></tr>
</table>
WikiSysop
http://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%85%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C&diff=208&oldid=prev
WikiSysop в 14:14, 21 января 2010
2010-01-21T14:14:29Z
<p></p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="ru">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← Предыдущая</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Версия 14:14, 21 января 2010</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l1" >Строка 1:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 1:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>{| width="100%"   </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>{| width="100%"   </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  | width="<del class="diffchange diffchange-inline">30</del>%"|[[Совместная и условная вероятность]] <<  </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  | width="<ins class="diffchange diffchange-inline">40</ins>%"|[[Совместная и условная вероятность]] <<  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  ! width="<del class="diffchange diffchange-inline">40</del>%"|[[Стохастический мир|Оглавление]]  </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  ! width="<ins class="diffchange diffchange-inline">20</ins>%"|[[Стохастический мир|Оглавление]]  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  | width="<del class="diffchange diffchange-inline">30</del>%" align="right"| >> [[Характеристическая функция]]</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  | width="<ins class="diffchange diffchange-inline">40</ins>%" align="right"| >> [[Характеристическая функция]]</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>|}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>|}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>----</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>----</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> Величины называются статистически ''независимыми'', если их совместная плотность вероятности расщепляется на две функции, соответствующие распределениям каждой из величин:</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>\textstyle \bullet</math> Величины называются статистически ''независимыми'', если их совместная плотность вероятности расщепляется на две функции, соответствующие распределениям каждой из величин:</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l18" >Строка 18:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 17:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math>\left\langle x\cdot y\right\rangle  = \int\limits^\infty_{-\infty} x\cdot y \;P(x)P(y)\; dxdy = \left\langle x\right\rangle \cdot \left\langle y\right\rangle .</math></center></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math>\left\langle x\cdot y\right\rangle  = \int\limits^\infty_{-\infty} x\cdot y \;P(x)P(y)\; dxdy = \left\langle x\right\rangle \cdot \left\langle y\right\rangle .</math></center></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Поэтому  ''ковариация'' <math>\textstyle \cov(x,y)</math>:</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Поэтому  ''ковариация'' <math>\textstyle \<ins class="diffchange diffchange-inline">mathrm{</ins>cov<ins class="diffchange diffchange-inline">}</ins>(x,y)</math>:</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math> \cov(x,y) = \left\langle (x-\bar{x})(y-\bar{y})\right\rangle  = \left\langle xy\right\rangle -\left\langle x\right\rangle \left\langle y\right\rangle </math></center></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math> \<ins class="diffchange diffchange-inline">mathrm{</ins>cov<ins class="diffchange diffchange-inline">}</ins>(x,y) = \left\langle (x-\bar{x})(y-\bar{y})\right\rangle  = \left\langle xy\right\rangle -\left\langle x\right\rangle \left\langle y\right\rangle </math></center></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>независимых величин нулевая. Обратное может быть и неверным (<math>\textstyle \lessdot</math> C).</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>независимых величин нулевая. Обратное может быть и неверным (<math>\textstyle \lessdot</math> C).</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l76" >Строка 76:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 75:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Коэффициент этой пропорциональности называется ''корреляцией'':</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Коэффициент этой пропорциональности называется ''корреляцией'':</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math> \rho_{xy}=\rho(x,y)=\frac{\cov(x,y)}{\sigma_x\sigma_y}. </math></center></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<center><math> \rho_{xy}=\rho(x,y)=\frac{\<ins class="diffchange diffchange-inline">mathrm{</ins>cov<ins class="diffchange diffchange-inline">}</ins>(x,y)}{\sigma_x\sigma_y}. </math></center></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>В его числителе находится ковариационный коэффициент ().</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>В его числителе находится ковариационный коэффициент ().</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l104" >Строка 104:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 103:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>----</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>----</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>{| width="100%"   </div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>{| width="100%"   </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  | width="<del class="diffchange diffchange-inline">30</del>%"|[[Совместная и условная вероятность]] <<  </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  | width="<ins class="diffchange diffchange-inline">40</ins>%"|[[Совместная и условная вероятность]] <<  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  ! width="<del class="diffchange diffchange-inline">40</del>%"|[[Стохастический мир|Оглавление]]  </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  ! width="<ins class="diffchange diffchange-inline">20</ins>%"|[[Стохастический мир|Оглавление]]  </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  | width="<del class="diffchange diffchange-inline">30</del>%" align="right"| >> [[Характеристическая функция]]</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>  | width="<ins class="diffchange diffchange-inline">40</ins>%" align="right"| >> [[Характеристическая функция]]</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>|}</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>|}</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>----</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>----</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Стохастический мир]] - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Стохастический мир]] - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения</div></td></tr>
</table>
WikiSysop
http://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%85%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C&diff=207&oldid=prev
WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Совместная и условная вероятность << ! width="40%"|[[Стохастический мир|Огл…»
2010-01-21T14:12:49Z
<p>Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|<a href="/wiki/%D0%A1%D0%BE%D0%B2%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B8_%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Совместная и условная вероятность">Совместная и условная вероятность</a> << ! width="40%"|[[Стохастический мир|Огл…»</p>
<p><b>Новая страница</b></p><div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Совместная и условная вероятность]] << <br />
! width="40%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Характеристическая функция]]<br />
|}<br />
<br />
----<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Величины называются статистически ''независимыми'', если их совместная плотность вероятности расщепляется на две функции, соответствующие распределениям каждой из величин:<br />
<br />
:<center><math>\;P(x,y) = P_1(x)\cdot P_2(y).</math></center><br />
<br />
Мы часто будем опускать индексы и использовать одну и ту же букву для обозначения различных функций, отличая их аргументами.<br />
<br />
Из определения () следует, что для независимых событий условная плотность <math>\textstyle P(x\Rightarrow y)=P(y)</math> зависит только от <math>\textstyle y</math>. Это соотношение может быть ещё одним определением независимости событий. Если вероятность события <math>\textstyle y</math> не зависит от того, произошло или нет <math>\textstyle x</math>, то они независимы.<br />
<br />
Среднее произведение независимых величин равно произведению их средних:<br />
<br />
:<center><math>\left\langle x\cdot y\right\rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} x\cdot y \;P(x)P(y)\; dxdy = \left\langle x\right\rangle \cdot \left\langle y\right\rangle .</math></center><br />
<br />
Поэтому ''ковариация'' <math>\textstyle \cov(x,y)</math>:<br />
<br />
:<center><math> \cov(x,y) = \left\langle (x-\bar{x})(y-\bar{y})\right\rangle = \left\langle xy\right\rangle -\left\langle x\right\rangle \left\langle y\right\rangle </math></center><br />
<br />
независимых величин нулевая. Обратное может быть и неверным (<math>\textstyle \lessdot</math> C).<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Функция <math>\textstyle z=f(x,y)</math> двух случайных величин <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math> также является случайной величиной с некоторым распределением <math>\textstyle P(z)</math>. Чтобы его найти, необходимо так преобразовать формулу для вычисления среднего от произвольной функции <math>\textstyle F(z)</math>, чтобы получился интеграл только по <math>\textstyle z</math>:<br />
<br />
:<center><math> \left\langle F(z)\right\rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} F\bigl(f(x,y)\bigr) P(x,y)\,dxdy = \int\limits^\infty_{-\infty} F(z) P(z) \, dz. </math></center><br />
<br />
Например, если <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math> &mdash; ''независимые'' гауссовы числа с произвольными волатильностями <math>\textstyle \sigma_x</math>, <math>\textstyle \sigma_y</math>, то величина <math>\textstyle z=x+y</math> &mdash; тоже гауссова:<br />
<br />
:<center><math>\left\langle F(z)\right\rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} F\bigl(x+y\bigr) \,e^{-x^2/2\sigma^2_x-y^2/2\sigma^2_y}\;\frac{dxdy}{2\pi\sigma_x\sigma_y} = \int\limits^\infty_{-\infty} F(z) e^{-z^2/2\sigma^2} \, \frac{dz}{\sigma\sqrt{2\pi}},</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle \sigma^2=\sigma^2_x+\sigma^2_y</math>. В двойном интеграле делается замена <math>\textstyle z=x+y</math>, <math>\textstyle u=x</math>, и проводится интегрирование по <math>\textstyle u</math> при помощи формулы () на стр. \pageref{gauss_int_gen} приложения М. Таким образом, ''сумма двух нормальных чисел оказывается нормально распределённой величиной''.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Пусть <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math> &mdash; две случайные ''независимые'' величины с ''произвольным'' распределением. Рассмотрим <math>\textstyle z</math>, являющуюся их суммой <math>\textstyle z=x+y</math>. Очевидно, что среднее равно сумме средних <math>\textstyle \bar{z}=\bar{x}+\bar{y}</math>. Найдём дисперсию:<br />
<br />
:<center><math>\sigma^2_z=\left\langle (z-\overline{z})^2\right\rangle = \left\langle (x-\overline{x}+y-\overline{y})^2\right\rangle = \sigma^2_x+\sigma^2_y+2\left\langle (x-\overline{x})\cdot(y-\overline{y})\right\rangle ,</math></center><br />
<br />
где под знаком среднего мы возвели в квадрат и ввели волатильности каждой величины, например, <math>\textstyle \sigma^2_x=\left\langle (x-\bar{x})^2\right\rangle </math>. ''Если'' (!) <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math> ''независимы'', то ковариация между ними (последнее слагаемое) равна нулю: <math>\textstyle \left\langle (x-\overline{x})\cdot(y-\overline{y})\right\rangle =\left\langle x-\overline{x}\right\rangle \left\langle y-\overline{y}\right\rangle =0</math>. Следовательно:<br />
<br />
:<center><math>\sigma^2_z=\sigma^2_x+\sigma^2_y.</math></center><br />
<br />
В общем случае для суммы <math>\textstyle n</math> независимых величин:<br />
<br />
:<center><math> z=x_1+...+x_n\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sigma^2_z = \sigma^2_1+...+\sigma^2_n. </math></center><br />
<br />
Для доказательства необходимо рассмотреть <math>\textstyle x_1 + x_2</math> как одну случайную величину и, добавив к ней <math>\textstyle x_3</math>, получить <math>\textstyle \sigma^2_z+\sigma^2_3=\sigma^2_1+\sigma^2_2+\sigma^2_3</math>, и т.д.<br />
<br />
Если волатильности каждого <math>\textstyle x_i</math> одинаковы и равны <math>\textstyle \sigma_0</math>, то волатильность их суммы будет увеличиваться с ростом числа слагаемых, как <math>\textstyle \sigma_z=\sigma_0\sqrt{n}</math>. Эта зависимость в виде корня исключительно важна и лежит в основе всех тех свойств шума '''Noise''', который мы планируем добавлять к детерминированным дифференциальным уравнениям.<br />
<br />
Обратим внимание, что полученный результат () не зависит от вида распределения величин <math>\textstyle x_i</math>. Они могут быть даже различными. Главное &mdash; они должны быть независимыми.<br />
<br />
Аналогичный результат мы получили и для суммы двух независимых распределённых по Гауссу чисел. Однако при этом плотность вероятности суммы также оказалась гауссовой. Случайная величина <math>\textstyle z</math> называется ''бесконечно делимой'', если её можно представить в виде суммы ''независимых'' случайных чисел, имеющих ''такое же'' распределение, как и <math>\textstyle z</math>. Примером бесконечно делимого распределения является плотность вероятности Гаусса, а также распределения Коши и гамма - функции, рассматриваемые в следующем разделе.<br />
<br />
На самом деле для ''бесконечной'' делимости достаточно, чтобы у всех ''трёх'' величин в <math>\textstyle z=x+y</math> было одинаковое распределение. При этом, естественно, подразумевается одинаковая ''функциональная'' форма распределения. Его параметры (в частности, волатильность) будут различными. Вообще, для произвольно распределённых чисел их сумма имеет распределение, отличное от распределения каждого из слагаемых. Однако () для независимых величин выполняется в любом случае и является очень общим результатом.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Простейшая связь между двумя случайными величинами <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math> &mdash; это линейная зависимость <math>\textstyle y=\alpha + \beta \, x</math>. В общем случае может существовать третья случайная величина <math>\textstyle \xi</math>, которую мы интерпретируем, как "внешний" ''случайный шум''. Результирующая модель с константами <math>\textstyle \alpha</math> и <math>\textstyle \beta</math> имеет вид:<br />
<br />
:<center><math> y=\alpha+\beta\, x + \xi. </math></center><br />
<br />
С этого уравнения обычно начинается поиск связей между эмпирическими величинами.<br />
<br />
Обычно считают, что среднее шума равно нулю <math>\textstyle \left\langle \xi\right\rangle =0</math>. В противном случае его можно включить в параметр <math>\textstyle \alpha</math>. Потребуем, чтобы дисперсия "шума" <math>\textstyle \xi</math> (ошибка модели) была минимальной:<br />
<br />
:<center><math> \sigma^2_\xi = \left\langle \xi^2\right\rangle = \left\langle (y-\alpha - \beta\, x)^2\right\rangle = min. </math></center><br />
<br />
Взяв производные по <math>\textstyle \alpha</math> и <math>\textstyle \beta</math>, можно (<math>\textstyle \lessdot</math> H) найти уравнение ''регрессионной прямой''. Её наклон <math>\textstyle \beta</math> равен:<br />
<br />
:<center><math> \beta = \frac{\left\langle xy\right\rangle -\left\langle x\right\rangle \left\langle y\right\rangle }{\left\langle x^2\right\rangle -\left\langle x\right\rangle ^2} = \frac{\left\langle (x-\bar{x})(y-\bar{y})\right\rangle }{\sigma^2_x}. </math></center><br />
<br />
Итоговое уравнение мы запишем в симметричном виде пропорциональности безразмерных отклонений величин от своих средних:<br />
<br />
:<center><math> \frac{y-\bar{y}}{\sigma_y} \;=\; \rho(x,y) \cdot \frac{x-\bar{x}}{\sigma_x} \;+\; \frac{\xi}{\sigma_y}. </math></center><br />
<br />
Коэффициент этой пропорциональности называется ''корреляцией'':<br />
<br />
:<center><math> \rho_{xy}=\rho(x,y)=\frac{\cov(x,y)}{\sigma_x\sigma_y}. </math></center><br />
<br />
В его числителе находится ковариационный коэффициент ().<br />
<br />
Корреляция <math>\textstyle (\rho\neq 0)</math> между двумя величинами <math>\textstyle x</math>, <math>\textstyle y</math> не всегда означает наличие ''причинной связи'' <math>\textstyle y=f(x)</math> или <math>\textstyle x=g(y)</math>. Например, может существовать третья величина <math>\textstyle z</math>, влияющая и на <math>\textstyle x</math>, и на <math>\textstyle y</math>, синхронизируя их поведение. Так, спад мировой экономики оказывает одинаковое воздействие на две не связанные друг с другом экспортно-ориентированные отрасли экономики. ''"Ложная" корреляция'' возникает также, если две величины имеют явно выраженный восходящий или нисходящий ''тренд'' (систематический рост или спад). В этом случае между ними будет появляться заметная корреляция. Эта корреляция характеризует наличие детерминированной составляющей роста (<math>\textstyle \lessdot</math> C).<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Корреляционный коэффициент определяет наклон регрессионной прямой. Однако важнее то, что он служит мерой прогностических возможностей линейной модели. Покажем это, подставив в значение наклона () исходное уравнение (). Учтём, что <math>\textstyle \left\langle \xi\right\rangle =0</math> и <math>\textstyle \bar{y}=\alpha+\beta\,\bar{x}</math>:<br />
<br />
:<center><math>\beta = \frac{\left\langle (x-\bar{x})(\beta\cdot (x-\bar{x})+\xi)\right\rangle }{\sigma^2_x} = \beta + \frac{\left\langle x\xi\right\rangle }{\sigma^2_x}.</math></center><br />
<br />
Поэтому <math>\textstyle \left\langle x\xi\right\rangle =0</math>, что позволяет нам вычислить дисперсию <math>\textstyle y</math>:<br />
<br />
:<center><math>\sigma^2_y = \left\langle (y-\bar{y})^2\right\rangle = \left\langle (\beta\cdot (x-\bar{x}) + \xi)^2\right\rangle = \beta^2\sigma^2_x + \left\langle \xi^2 \right\rangle .</math></center><br />
<br />
Так как <math>\textstyle \beta=\rho(x,y)\sigma_y/\sigma_x</math>, получаем выражение для ''относительной ошибки'' модели:<br />
<br />
:<center><math> E = \frac{\sigma_\xi}{\sigma_y} = \sqrt{1-\rho^2(x,y)}. </math></center><br />
<br />
Значение волатильности шума <math>\textstyle \sigma^2_\xi=\left\langle \xi^2\right\rangle </math> можно рассматривать как ошибку линейной модели <math>\textstyle y=\alpha+\beta x</math>. Полезно сравнивать её с волатильностью <math>\textstyle \sigma_y</math>, которая является типичной ошибкой тривиальной модели <math>\textstyle y=\bar{y}</math>. Мы видим, что такая относительная ошибка <math>\textstyle E</math> зависит от корреляционного коэффициента. Чем ближе к единице его квадрат, тем меньше ошибка. При нулевом <math>\textstyle \rho</math> относительная ошибка равна единице, и, следовательно, линейная модель имеет такую же предсказательную силу, как и тривиальное утверждение о том, что лучшим прогнозом <math>\textstyle y</math> будет его среднее значение. Часто говорят о ''коэффициенте детерминации'' <math>\textstyle R^2=1-E^2=\rho^2</math>. Заметим также, что коэффициент корреляции по модулю всегда меньше единицы <math>\textstyle |\rho|\leqslant 1</math>.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Уравнение линейной модели () может интерпретироваться по-разному.<br />
<br />
1) Прежде всего, это модель прогнозирования <math>\textstyle y</math>, если стало известно <math>\textstyle x</math> (в духе <math>\textstyle P(x\Rightarrow y)</math>). В этом случае <math>\textstyle \xi</math> &mdash; это внешний шум или ошибка модели, когда "истинная" зависимость между <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math> не такая простая. В результате шума <math>\textstyle y</math> всегда оказывается случайной величиной. В отношении <math>\textstyle x</math> возможны различные ситуации. Например, при изучении кривой спроса <math>\textstyle x</math> может быть контролируемой и задаваемой исследователем ценой товара (например, с равным шагом). В этом случае она детерминирована. Однако разброс в её значениях позволяет формально определить среднее <math>\textstyle \bar{x}</math> и волатильность <math>\textstyle \sigma_x</math>.<br />
<br />
2) Часто бывает, что и <math>\textstyle x</math>, и <math>\textstyle y</math> выступают в качестве равноправных случайных величин. Например, на фондовом рынке ежедневные изменения цен акций двух компаний <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math> стохастически связаны друг с другом. Обе величины случайны и не зависят от исследователя.<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Совместная и условная вероятность]] << <br />
! width="40%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Характеристическая функция]]<br />
|}<br />
<br />
----<br />
[[Стохастический мир]] - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения</div>
WikiSysop