Степенные ряды для средних

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Логистическое уравнение << Оглавление >> Квазидетерминированное приближение


Решение обыкновенного дифференциального уравнения можно представлять в виде ряда по степеням . Аналогично будем поступать и в стохастическом случае, однако в ряд разложим непосредственно средние величины.

Для уравнения Ито:

возьмём первую итерацию от начального условия :

Учитывая и , вычислим, с точностью до линейного приближения по , среднее значение и среднее квадрата: \begin{eqnarray*} \left\langle x\right\rangle &=& x_0 + a(x_0, t_0)\cdot (t-t_0) + ...\\ \left\langle x^2\right\rangle &=& x^2_0 + \bigl[2x_0\cdot a(x_0, t_0)+b^2(x_0,t_0)\bigr]\cdot (t-t_0) + ... \end{eqnarray*} Соответственно, дисперсия процесса в этом приближении будет равна . Чтобы получить дальнейшие члены разложения, воспользуемся динамическим уравнением для средних.

Для определённости рассмотрим логистическое уравнение:

В этом случае: \begin{eqnarray*} \left\langle x\right\rangle &=& x_0 + x_0\,(1-x_0)\cdot t + f\, t^2 + ... \\ \left\langle x^2\right\rangle &=& x^2_0 + 2\bigl[x^2_0(1-x_0) + \gamma\,x^2_0 \bigr]\, t + ... \end{eqnarray*} Найдём коэффициент . Для этого подставим разложения в уравнение для среднего:

ограничившись первым порядком по :

откуда:

Аналогично находятся следующие коэффициенты разложения.

Найдём рекуррентные соотношения для произвольного члена разложения. Выбирая в (), стр. \pageref{df_av_F_t}, функцию , запишем систему связанных дифференциальных уравнений:

Разложим средние в степенной ряд:

Подставляя его в уравнение для средних и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем при систему рекуррентных уравнений ():

На системе аналитических расчётов Matematica фирмы Wolfram Research, Inc. вычисления среднего с точностью до можно записать так:

\cppsrc{src/math_t.cpp} \\ \\ Первые две строки представляют собой рекурсивное определение функции . Затем в цикле Do происходит суммирование разложения по . Последняя строка осуществляет вывод результата, сгруппированного в виде множителей при , к каждому из которых применяется операция упрощения.

Заметим, что для большого числа членов разложения более быстрой будет нерекурсивная реализация программы:

\cppsrc{src/math_t2.cpp} \\ \\ где в двойном цикле по и происходит явное вычисление коэффициентов . Хотя и рекурсивную реализацию можно ускорить, написав: f[n\_, k\_]:=f[n,k]=(n/k)...

Приведём первые три члена разложения: \begin{eqnarray*} \left\langle \frac{x}{x_0}\right\rangle &=& 1 + \bigl[1-x_0\bigr]\, t + \bigl[1-(3+2\gamma)x_0+2x^2_0\bigr]\,\frac{t^2}{2!} \\ &+& \bigl[1 - (7 + 10 \gamma + 4\gamma^2)\,x_0 + (12 + 16 \gamma)\, x_0^2 - 6 x_0^3\bigr]\,\frac{t^3}{3!} + ... \end{eqnarray*} Аналогично для дисперсии процесса :

Подобным образом получаются разложения для моментов произвольного порядка. Выражения несколько упрощаются, если в качестве начального условия выбирается точка детерминированного асимптотического равновесия . При в этом случае решение не зависит от времени. В стохастической системе оно должно проэволюционировать к значению: Поэтому зависимость от времени существует: \begin{eqnarray*} \frac{\left\langle x\right\rangle - 1}{2\gamma} = &-& \frac{t^2}{2!} + (3-2\gamma) \, \frac{ t^3}{3!} - (7-38 \gamma+4\gamma^2) \, \frac{t^4}{4!} \\ &+&(15-334 \gamma+284 \gamma^2- 8\gamma^3) \, \frac{t^5}{5!}\\ &-&(31-2146 \gamma+7012 \gamma^2- 1848\gamma^3 + 16\gamma^4) \, \frac{t^6}{6!}+ ... \end{eqnarray*}

Графики разложений () различного порядка (от до ) для среднего (слева) и волатильности (справа) имеют вид:

Logistic t.png

Подобные степенные разложения часто являются асимптотическими рядами и хорошо работают только при малых временах. Однако их сходимость можно улучшать при помощи различных методов, например, аппроксимацией Падэ.

Естественно, можно строить разложения не только в виде ряда по . Достаточно универсальным является метод последовательных приближений. Его идея в следующем. Выберем некоторые функции , являющиеся нулевым приближением для , так, что . Подставляя их в правые части уравнений для средних, получаем дифференциальные уравнения. Решая их, мы найдём более точное приближение для функции . При повторении этой процедуры будет получаться всё более точное выражение для средних. При этом на каждой итерации необходимо использовать начальное условие . Чем удачнее выбор , тем быстрее будут сходиться к точному значению последовательные приближения, и тем шире диапазон для их применимости.

Рассмотрим логистическое уравнение:

В простейшем случае можно выбрать . Тогда в первом приближении:

откуда:

и т.д. В результате снова получаются степенные ряды по , в которых коэффициенты разложения единым образом выражаются через для любого .

Другой вариант выбора нулевого приближения . В этом случае:

В качестве нулевого приближения можно выбрать решение детерминированного уравнения. Тогда последовательно получаемые приближения окажутся рядами по величине волатильности стохастического шума .


Логистическое уравнение << Оглавление >> Квазидетерминированное приближение

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения