Спин

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Неоднозначность и ковариантность << Оглавление (Последняя версия в: Глава 7) >> Электромагнитная масса

На протяжении этой книги понятие спина вводилось несколько раз. Напомним (стр.\,\pageref{spin_def}, \pageref{sec_group_puancare}), что при помощи 4-тензора полного момента импульса системы , можно определить следующий 4-вектор:

(EQN)

где — 4-скорость, — полный 4-импульс и . Подчеркнем, что величины и являются интегральными. В случае системы точечных частиц они получаются при суммировании импульса и момента импульса по частицам, а в теории поля — это интегралы от соответствующих тензорных плотностей. В системе, в которой , компоненты равны . Поэтому в этой системе 3-вектор спина совпадает с полным моментом импульса (пространственные компоненты ). В произвольной же системе он пропорционален (стр.\,\pageref{spin_def}) разности полного момента и момента импульса центра энергии. На этом основании величина имеет смысл собственного момента вращения системы (без учета перемещения её как целого). В силу антисимметричности , 4-вектор спина ортогонален 4-скорости системы (или полному 4-импульсу):

(EQN)

Тензор суммарного момента импульса поля равен (стр.):

(EQN)

где компонента зависит от 4-координат только через полевые функции, а — тензор энергии-импульса. Подынтегральная функция неинвариантна относительно трансляционных преобразований . Если перейти в другую, "сдвинутую" систему отсчета, то поля не поменяются (лагранжиан явно от координат не зависит), но наличие под интегралом приведет к тому, что полный момент изменится:

(EQN)

где — суммарный 4-импульс. Собственный момент импульса (спин) не должен меняться при таком преобразовании. Этому требованию удовлетворяет 4-вектор спина (). Кроме этого, если , сохраняются, то будет сохраняться и (в отличие от интеграла от ).

При помощи 4-вектора спина можно определить антисимметричный 4-тензор спина:

(EQN)

Очевидно, что он также как и не изменяется при трансляционных преобразованиях и, в силу антисимметрии , ортогонален 4-спину и 4-скорости:

Дуальный к тензор равен:

(EQN)

Сворачивая это соотношение с и учитывая, что , а , имеем:

(EQN)

Таким образом, 4-вектор спина выражается через 4-тензор спина так же как и через полный момент импульса ().

Подставляя () в () и проводя свёртку символов Леви-Чевиты, можно выразить тензор спина через тензор полного момента импульса:

(EQN)

Сворачивая () или () с символом Леви-Чевиты, получаем ещё одно соотношение между введенными величинами:

(EQN)

Заметим, что в () по индексам , , проводится циклическая перестановка. Компоненты антисимметричного 4-тензора выражается через два 3-вектора с проекциями:

(EQN)

В системе покоя первый вектор равен нулю, а второй совпадает с вектором спина (или полного момента ). Напомним, что в векторных обозначениях компоненты 4-вектора спина равны (стр.\,\pageref{spin_def2}):

где , и . В системе покоя отличны от нуля только пространственные компоненты .

Таким образом, описывать собственный момент импульса системы можно при помощи двух величин: 4-вектора спина и 4-тензора спина . Ненулевые компоненты обоих величин в системе покоя совпадают друг с другом и с полным моментом системы.

Представим тензор спина в ещё одном виде. Соотношение () можно переписать следующим образом:

(EQN)

где

(EQN)

а — некоторый скаляр. Второе слагаемое непосредственно входит в (), а первое слагаемое сокращается при произвольном .

Пусть система имеет компактные размеры и движется в пространстве вдоль некоторой траектории. Вектор можно интерпретировать как эффективный центр на этой траектории, относительно которого определяется собственный момент вращения (тензор спина):

где предполагается, что "спиновая" составляющая плотности полного момента "упрятана" при помощи процедуры Белифанте в симметричный тензор энергии импульса . Так как величины не зависят от координат , то их можно вынести за интеграл и получается ().

В качестве эффективной траектории системы, напрашивается выбрать её центр энергии:

Если система является замкнутой, то полный момент импульса и импульс сохраняются и являются ковариантными величинами. В этом случае центр энергии движется равномерно и прямолинейно. Действительно, так как , имеем:

откуда следует, что положение центра энергии линейно зависит от времени , где , а — скорость центра энергии, определяемая через её полный импульс и энергию.

Если же система не замкнута (рассматривается только её часть), момент импульса такой части не только не будет сохраняться, но и не будет 4-тензором относительно преобразований Лоренца (см.стр.\,\pageref{cov_int_val}).

Для описания равномерного движения центра энергии введём 4-вектор (\,H). Покажем, что если система вращается (её спин отличен от нуля), то эффективная траектория оказывается сдвинутой относительно центра энергии системы. Тензор полного момента импульса определяется двумя 3-векторами и . Для фиксирования значения в () потребуем, чтобы нулевая компонента 4-вектора была временем:

(EQN)

где учтено, что . Поэтому и 4-вектор эффективной траектории имеет вид:

(EQN)

Заметим, что в силу антисимметричности тензора полного момента и единичности 4-скорости имеет место равенство проекций 4-векторов и на 4-скорость: . Пространственные компоненты вектора образуют модифицированный центр инерции:

Учитывая, что пространственные компонент 4-вектора спина () равны , эффективную траекторию можно переписать следующим образом:

(EQN)

где проекции вектора являются пространственными компонентами тензора спина (). Таким образом, сдвинут относительно тем сильнее, чем быстрее движется и вращается система. Кинематически этот эффект связан со сгущением плотности энергии в нижней части системы относительно плоскости в которой лежат в векторы спина и скорости (см.стр.\,\pageref{rotating_and_moveing_disk}).

Если рассматривается вращающаяся система, которая движется во внешнем поле, то суммарный момент импульса и спин должны быть разбиты на две части (системы и поля). В этом случае спин системы не будет сохраняться, а движение центра энергии не будет прямолинейным и равномерным. Заметим также, что величина при этом не является 4-вектором, как, впрочем, не будут ковариантными остальные интегральные величины. Тем не менее, считая эффекты нековариантности малыми, можно описать динамику спина во внешнем поле исходя из достаточно общих соображений, что мы сейчас и проделаем.

Рассмотрим частицу (или компактную систему зарядов), обладающую спином и магнитным моментом. Найдем релятивистское уравнение которое описывает движение такой частицы во внешнем электромагнитном поле. В системе покоя частицы, находящейся в магнитном поле, спин испытывает ларморовскую прецессию (),(), стр.\,\pageref{em_larmor_prec}:

(EQN)

где , — заряд и масса частицы, а — гиромагнитный фактор (для электрона , ). Запишем ковариантную версию этого уравнения, справедливую в любой системе отсчета.

В ковариантном уравнении вектор спина должен замениться на 4-вектор спина, а производная по времени, на производную по инвариантному собственному времени частицы . Вместо магнитного поля должен появиться 4-тензор . Так как в 3-мерном уравнении Лармора производная линейна по спину и магнитному полю, будем считать, что и в ковариантном уравнении она будет линейна по тензору электромагнитного поля и спину . Кроме этих двух величин есть ещё 4-вектор скорости от которого также может зависеть прецессия спина (в () её нет, так это система покоя частицы). В таких предположениях, наиболее общее ковариантное уравнение имеет вид:

(EQN)

где — некоторые константы. Будем считать, что магнитное поле однородно (см.стр.\,\pageref{com_force_m_notodnor_B}) и на частицу действует только сила Лоренца:

(EQN)

Производная условия ортогональности () 4-спина и 4-скорости:

с учётом уравнений (), () даёт , . Уравнение Лармора () при позволяет найти оставшиеся коэффициенты: , . В результате получается уравнение Баргмана-Мишеля-Телегди (BMT) \cite{BargmannMichelTelegdi1959}:

(EQN)

где 4-ускорение определяется силой Лоренца ().

Компоненты 4-вектора, получающегося при свертке и равны , где и — электрическое и магнитное поле. Поэтому в 3-мерных обозначениях BMT уравнение имеет вид:

(EQN)

Если магнитный момент у частицы со спином отсутствует (), то прецессия спина имеет чисто кинематическую природу, и из () следует уравнение (), стр.\,\pageref{main_spin}. На самом деле частицы, с зарядом и спином, но без магнитного момента, нам неизвестны. Однако, например, для ядра урана g-фактор равен , что в 11 раз меньше, чем у протона и в 8, чем у электрона, при том, что спин в 7 раз больше (). Для такого объекта кинематический эффект преобладает над динамическим.

При движении в однородном магнитном поле (, ) модуль скорости частицы постоянен и 3-вектор ускорения равен (стр.\,\pageref{dynamic_magnit_eq}):

(EQN)

где — единичный вектор в направлении магнитного поля, а циклотронная частота , в зависимости от знака заряда частицы может быть как положительной, так и отрицательной. Уравнение для спина () принимает вид:

(EQN)

откуда, используя () несложно получить:

(EQN)

Эти уравнения приводят к уравнениям осцилляторного типа:

(EQN)

где . Потому проекции спина на скорость и ускорение совершают гармонические колебания с частотой, не зависящей от величины скорости:

(EQN)

Для электрона и динамическая ларморовская прецессия практически полностью компенсирует кинематическую прецессию. Небольшое изменение поляризации электрона связано с отклонением -фактора от двойки, что позволяет измерять аномальные магнитные моменты \cite{Field1979}.


Неоднозначность и ковариантность << Оглавление (Последняя версия в: Глава 7) >> Электромагнитная масса

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии