Спин — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Неоднозначность и ковариантность << ! width="40%"|[[Релятивистский мир|Огла…»)
 
Строка 5: Строка 5:
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 +
 +
На протяжении этой книги понятие спина вводилось несколько раз. Напомним (стр.\,\pageref{spin_def}, \pageref{sec_group_puancare}), что при помощи 4-тензора полного момента импульса системы <math>\textstyle J^{\alpha\beta}</math>, можно определить следующий 4-вектор:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> S_\nu = \frac{1}{2}\,\varepsilon_{\nu\alpha\beta\gamma}\,J^{\alpha\beta}\,U^\gamma, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где <math>\textstyle U^\alpha=P^\alpha/M</math> &mdash; 4-скорость, <math>\textstyle P^\alpha</math> &mdash; полный 4-импульс и <math>\textstyle M^2=P^\alpha P_\alpha</math>. Подчеркнем, что величины <math>\textstyle P^\alpha</math> и <math>\textstyle J^{\alpha\beta}</math> являются интегральными. В случае системы точечных частиц они получаются при суммировании импульса и момента импульса по частицам, а в теории поля &mdash; это интегралы от соответствующих тензорных плотностей. В системе, в которой <math>\textstyle \mathbf{P}=0</math>, компоненты <math>\textstyle S^\nu=\{S^0,\mathbf{S}\}</math> равны <math>\textstyle \{0,\,J^{23}, J^{31}, J^{12}\}</math>. Поэтому в этой системе 3-вектор спина <math>\textstyle \mathbf{S}</math> совпадает с полным моментом импульса (пространственные компоненты <math>\textstyle J^{\mu\nu}</math>). В произвольной же системе он пропорционален (стр.\,\pageref{spin_def}) разности полного момента и момента импульса центра энергии. На этом основании величина <math>\textstyle S_\nu</math> имеет смысл собственного момента вращения системы (без учета перемещения её как целого). В силу антисимметричности <math>\textstyle \varepsilon_{\nu\alpha\beta\gamma}</math>, 4-вектор спина ортогонален 4-скорости системы (или полному 4-импульсу):
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mathrm{S}\cdot\mathrm{U} = S_\nu U^\nu=0. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Тензор суммарного момента импульса поля равен (стр.):
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> J^{\mu\nu} = \int (x^\mu T^{0\nu} - x^\nu T^{0\mu} + S^{0,\mu\nu})d^3x, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где компонента <math>\textstyle S^{0,\mu\nu}</math> зависит от 4-координат только через полевые функции, а <math>\textstyle T^{\mu\nu}</math> &mdash; тензор энергии-импульса. Подынтегральная функция неинвариантна относительно трансляционных преобразований <math>\textstyle x^\nu\mapsto x^\nu+a^\nu</math>. Если перейти в другую, "сдвинутую" систему отсчета, то поля не поменяются (лагранжиан явно от координат не зависит), но наличие <math>\textstyle x^\mu</math> под интегралом приведет к тому, что полный момент изменится:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> J^{\mu\nu} \mapsto J^{\mu\nu} + a^\mu P^\nu - a^\nu P^\mu,\;\;\;\;\;\;\;P^\mu=\int T^{0\mu}\,d^3x, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где <math>\textstyle P^\mu</math> &mdash; суммарный 4-импульс. Собственный момент импульса (спин) не должен меняться при таком преобразовании. Этому требованию удовлетворяет 4-вектор спина (). Кроме этого, если <math>\textstyle J^{\alpha\beta}</math>, <math>\textstyle P^\gamma</math> сохраняются, то будет сохраняться и <math>\textstyle S_\nu</math> (в отличие от интеграла от <math>\textstyle S^{0,\alpha\beta}</math>).
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> При помощи 4-вектора спина можно определить антисимметричный 4-тензор спина:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> S^{\alpha\beta}=\varepsilon^{\alpha\beta\mu\nu}U_\mu S_\nu. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Очевидно, что он также как и <math>\textstyle S^\nu</math> не изменяется при трансляционных преобразованиях и, в силу антисимметрии <math>\textstyle \varepsilon^{\alpha\beta\mu\nu}</math>, ортогонален 4-спину и 4-скорости:
 +
 +
:<center><math>S^{\alpha\beta}S_\beta = S^{\alpha\beta}U_\beta = 0.</math></center>
 +
 +
Дуальный к <math>\textstyle S^{\alpha\beta}</math> тензор равен:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \frac{1}{2}\,\varepsilon_{\alpha\beta\mu\nu}S^{\mu\nu}= S_\alpha U_\beta - S_\beta U_\alpha. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Сворачивая это соотношение с <math>\textstyle U^\beta</math> и учитывая, что <math>\textstyle \mathrm{U}^2=1</math>, а <math>\textstyle \mathrm{S}\cdot\mathrm{U}=0</math>, имеем:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> S_\nu = \frac{1}{2}\,\varepsilon_{\nu\alpha\beta\gamma} S^{\alpha\beta}U^\gamma. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Таким образом, 4-вектор спина выражается через 4-тензор спина так же как и через полный момент импульса ().
 +
 +
Подставляя () в () и проводя свёртку символов Леви-Чевиты, можно выразить тензор спина через тензор полного момента импульса:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> S^{\alpha\beta}= J^{\alpha\beta}-(J^{\alpha\gamma}U^\beta-J^{\beta\gamma}U^\alpha)U_\gamma. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Сворачивая () или () с символом Леви-Чевиты, получаем ещё одно соотношение между введенными величинами:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \varepsilon_{\alpha\beta\gamma\nu}S^\nu = J_{\alpha\beta}U_\gamma+J_{\gamma\alpha}U_\beta+J_{\beta\gamma}U_\alpha = S_{\alpha\beta}U_\gamma+S_{\gamma\alpha}U_\beta+S_{\beta\gamma}U_\alpha, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Заметим, что в () по индексам <math>\textstyle \alpha</math>, <math>\textstyle \beta</math>, <math>\textstyle \gamma</math> проводится циклическая перестановка. Компоненты антисимметричного 4-тензора выражается через два 3-вектора с проекциями:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{g}=\{S^{10},S^{20},S^{30}\} = \mathbf{U}\times\mathbf{S}, \;\;\;\;\;\mathbf{s}=\{S^{23},S^{31},S^{12}\} = U^0\mathbf{S}-S^0\mathbf{U}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
В системе покоя <math>\textstyle \mathbf{P}=\mathbf{U}=0</math> первый вектор равен нулю, а второй совпадает с вектором спина <math>\textstyle \mathbf{S}</math> (или полного момента <math>\textstyle \mathbf{J}</math>). Напомним, что в векторных обозначениях компоненты 4-вектора спина равны (стр.\,\pageref{spin_def2}):
 +
 +
:<center><math>S^0 = \mathbf{J}\mathbf{U}=\mathbf{S}\mathbf{U}/U^0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{S}=\mathbf{J} U^0 - \mathbf{G}\times\mathbf{U},</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \mathbf{J}=\{J^{23},J^{31},J^{12}\}</math>, <math>\textstyle \mathbf{G}=\{J^{10},J^{20},J^{30}\}</math> и <math>\textstyle \mathrm{U}=\{U^0,\,\mathbf{U}\}</math>. В системе покоя отличны от нуля только пространственные компоненты <math>\textstyle \mathbf{S}</math>.
 +
 +
Таким образом, описывать собственный момент импульса системы можно при помощи двух величин: 4-вектора спина <math>\textstyle S^\nu</math> и 4-тензора спина <math>\textstyle S^{\mu\nu}</math>. Ненулевые компоненты обоих величин в системе покоя совпадают друг с другом и с полным моментом системы.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Представим тензор спина в ещё одном виде. Соотношение () можно переписать следующим образом:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> S^{\alpha\beta}=J^{\alpha\beta} - (X^\alpha P^\beta-X^\beta P^\alpha), </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> X^\alpha = \lambda \, U^\alpha + \frac{1}{M}\, J^{\alpha\gamma} U_\gamma, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
а <math>\textstyle \lambda</math> &mdash; некоторый скаляр. Второе слагаемое непосредственно входит в (), а первое слагаемое сокращается при ''произвольном'' <math>\textstyle \lambda</math>.
 +
 +
Пусть система имеет компактные размеры и движется в пространстве вдоль некоторой траектории. Вектор <math>\textstyle X^\alpha</math> можно интерпретировать как эффективный центр на этой траектории, относительно которого определяется собственный момент вращения (тензор спина):
 +
 +
:<center><math>S^{\alpha\beta} = \int [(x^\alpha-X^\alpha) T^{0\beta} - (x^\beta-X^\beta) T^{0\alpha} ]\,d^3x,</math></center>
 +
 +
где предполагается, что "спиновая" составляющая <math>\textstyle S^{0,\alpha\beta}</math> плотности полного момента "упрятана" при помощи процедуры Белифанте в симметричный тензор энергии импульса <math>\textstyle T^{\alpha\beta}</math>. Так как величины <math>\textstyle X^{\alpha}</math> не зависят от координат <math>\textstyle \mathbf{x}</math>, то их можно вынести за интеграл и получается ().
 +
 +
В качестве эффективной траектории системы, напрашивается выбрать её центр энергии:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{R}=\frac{\int \mathbf{x} T^{00} \,d^3 x}{\int T^{00} \,d^3 x}.</math></center>
 +
 +
''Если'' система является замкнутой, то полный момент импульса <math>\textstyle J^{\alpha\beta}</math> и импульс <math>\textstyle P^\alpha</math> сохраняются и являются ковариантными величинами. В этом случае центр энергии движется равномерно и прямолинейно. Действительно, так как <math>\textstyle dJ^{\alpha\beta}/dt=0</math>, имеем:
 +
 +
:<center><math>J^{i0} = \int ( x^i T^{00} - t T^{0i} )\, d^3x = P^0 R^i - t P^i= const,</math></center>
 +
 +
откуда следует, что положение центра энергии линейно зависит от времени <math>\textstyle \mathbf{R}=\mathbf{R}_0+\mathbf{u}t</math>, где <math>\textstyle \mathbf{R}_0=\mathbf{R}(0)</math>, а <math>\textstyle \mathbf{u}=\mathbf{P}/P^0</math> &mdash; скорость центра энергии, определяемая через её полный импульс и энергию.
 +
 +
Если же система не замкнута (рассматривается только её часть), момент импульса <math>\textstyle J^{\alpha\beta}</math> такой части не только не будет сохраняться, но и не будет 4-тензором относительно преобразований Лоренца (см.стр.\,\pageref{cov_int_val}).
 +
 +
Для описания равномерного движения центра энергии введём 4-вектор <math>\textstyle \mathrm{R}=\{t,\,\mathbf{R}\}</math> (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H). Покажем, что если система вращается (её спин отличен от нуля), то эффективная траектория <math>\textstyle X^\alpha</math> оказывается сдвинутой относительно центра энергии системы. Тензор полного момента импульса <math>\textstyle J^{\alpha\beta}</math> определяется двумя 3-векторами <math>\textstyle \mathbf{G}=P^0\mathbf{R}-\mathbf{P}t=\{J^{10},J^{20}, J^{30}\}</math> и <math>\textstyle \mathbf{J}=\{J^{23},J^{31}, J^{12}\}</math>. Для фиксирования значения <math>\textstyle \lambda</math> в () потребуем, чтобы нулевая компонента 4-вектора <math>\textstyle X^\alpha</math> была временем:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> X^0 = \lambda \gamma + \frac{\gamma}{M}\,\mathbf{G}\mathbf{u}=\lambda \gamma + \gamma^2\,(\mathbf{R}\mathbf{u}) - \gamma^2 \mathbf{u}^2 t = t, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где учтено, что <math>\textstyle U^\alpha=\{\gamma,\gamma\mathbf{u}\}</math>. Поэтому <math>\textstyle \lambda = \gamma t -\gamma\,\mathbf{R}\mathbf{u}= \mathrm{R}\cdot \mathrm{U}</math> и 4-вектор эффективной траектории имеет вид:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> X^\alpha = (\mathrm{R}\cdot \mathrm{U}) \, U^\alpha + \frac{1}{M}\, J^{\alpha\beta} U_\beta. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Заметим, что в силу антисимметричности тензора полного момента <math>\textstyle J^{\alpha\beta}</math> и единичности 4-скорости <math>\textstyle \mathrm{U}^2=1</math> имеет место равенство проекций 4-векторов <math>\textstyle \mathrm{R}</math> и <math>\textstyle \mathrm{X}</math> на 4-скорость: <math>\textstyle \mathrm{R}\cdot\mathrm{U}=\mathrm{X}\cdot\mathrm{U}</math>. Пространственные компоненты вектора <math>\textstyle \mathrm{X}=\{t,\mathbf{X}\}</math> образуют модифицированный центр инерции:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{X}= \mathbf{R} - \frac{\gamma}{M}\,\mathbf{u}\times(\mathbf{J}-\mathbf{R}\times\mathbf{P}).</math></center>
 +
 +
Учитывая, что пространственные компонент 4-вектора спина () равны <math>\textstyle \mathbf{S}=\gamma (\mathbf{J}-\mathbf{R}\times\mathbf{P})</math>, эффективную траекторию можно переписать следующим образом:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{X}= \mathbf{R} - \frac{\mathbf{u}\times\mathbf{S}}{M} = \mathbf{R} - \frac{\mathbf{u}\times\mathbf{s}}{P^0}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где проекции вектора <math>\textstyle \mathbf{s}=\{S^{23},S^{31}, S^{12}\}</math> являются пространственными компонентами тензора спина (). Таким образом, <math>\textstyle \mathbf{X}</math> сдвинут относительно <math>\textstyle \mathbf{R}</math> тем сильнее, чем быстрее движется и вращается система. Кинематически этот эффект связан со сгущением плотности энергии в нижней части системы относительно плоскости в которой лежат в векторы спина и скорости (см.стр.\,\pageref{rotating_and_moveing_disk}).
 +
 +
Если рассматривается вращающаяся система, которая движется во внешнем поле, то суммарный момент импульса и спин должны быть разбиты на две части (системы и поля). В этом случае спин системы не будет сохраняться, а движение центра энергии не будет прямолинейным и равномерным. Заметим также, что величина <math>\textstyle \mathrm{R}=\{t,\mathrm{R}\}</math> при этом не является 4-вектором, как, впрочем, не будут ковариантными остальные интегральные величины. Тем не менее, считая эффекты нековариантности малыми, можно описать динамику спина во внешнем поле исходя из достаточно общих соображений, что мы сейчас и проделаем.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим частицу (или компактную систему зарядов), обладающую спином и магнитным моментом. Найдем релятивистское уравнение которое описывает движение такой частицы во внешнем электромагнитном поле. В системе покоя частицы, находящейся в магнитном поле, спин испытывает ларморовскую прецессию (),(), стр.\,\pageref{em_larmor_prec}:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{S}}{dt} = \frac{gQ}{2m}\, \mathbf{S}\times \mathbf{B}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где <math>\textstyle Q</math>, <math>\textstyle m</math> &mdash; заряд и масса частицы, а <math>\textstyle g</math> &mdash; гиромагнитный фактор (для электрона <math>\textstyle Q=-e</math>, <math>\textstyle g\approx 2</math>). Запишем ковариантную версию этого уравнения, справедливую в любой системе отсчета.
 +
 +
В ковариантном уравнении вектор спина должен замениться на 4-вектор спина, а производная по времени, на производную по инвариантному собственному времени частицы <math>\textstyle d\tau=dt\sqrt{1-\mathbf{u}^2}</math>. Вместо магнитного поля должен появиться 4-тензор <math>\textstyle F_{\mu\nu}</math>. Так как в 3-мерном уравнении Лармора производная ''линейна'' по спину и магнитному полю, будем считать, что и в ковариантном уравнении она будет линейна по тензору электромагнитного поля <math>\textstyle \mathrm{F}\equiv F^{\alpha\beta}</math> и спину <math>\textstyle \mathrm{S}\equiv S^\alpha</math>. Кроме этих двух величин есть ещё 4-вектор скорости <math>\textstyle \mathrm{U}=\{ \gamma,\,\mathbf{u}\gamma \}</math> от которого также может зависеть прецессия спина (в () её нет, так это система покоя частицы). В таких предположениях, наиболее общее ковариантное уравнение имеет вид:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathrm{S}}{d\tau} = \alpha_1\,\mathrm{S}+\alpha_2\,\mathrm{U}+\alpha_3\,\mathrm{F}\cdot\mathrm{S} +\alpha_4\,\mathrm{F}\cdot\mathrm{U}+\alpha_5\,(\mathrm{S}\cdot\mathrm{F}\cdot\mathrm{U})\,\mathrm{U}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где <math>\textstyle \alpha_i</math> &mdash; некоторые константы. Будем считать, что магнитное поле ''однородно'' (см.стр.\,\pageref{com_force_m_notodnor_B}) и на частицу действует только сила Лоренца:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mathrm{A} = \frac{d\mathrm{U}}{d\tau} = \frac{Q}{m}\,\mathrm{F}\cdot\mathrm{U}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Производная условия ортогональности () 4-спина и 4-скорости:
 +
 +
:<center><math>\mathrm{S}\cdot\mathrm{U}=0\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{d\mathrm{S}}{d\tau}\cdot\mathrm{U} = -\mathrm{S}\cdot\mathrm{A}</math></center>
 +
 +
с учётом уравнений (), () даёт <math>\textstyle \alpha_2=0</math>, <math>\textstyle \alpha_5=\alpha_3-Q/m</math>. Уравнение Лармора () при <math>\textstyle \mathrm{U}=\{1,\mathbf{0}\}</math> позволяет найти оставшиеся коэффициенты: <math>\textstyle \alpha_1=\alpha_4=0</math>, <math>\textstyle \alpha_3=gQ/2m</math>. В результате получается ''уравнение Баргмана-Мишеля-Телегди'' (BMT) \cite{BargmannMichelTelegdi1959}:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathrm{S}}{d\tau} = \frac{gQ}{2m}\,\mathrm{F}\cdot\mathrm{S} -\bigl(1-\frac{g}{2}\Bigr)\, (\mathrm{A}\cdot\mathrm{S})\,\mathrm{U}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где 4-ускорение <math>\textstyle \mathrm{A}</math> определяется силой Лоренца ().
 +
 +
Компоненты 4-вектора, получающегося при свертке <math>\textstyle F^{\mu\nu}</math> и <math>\textstyle S_{\mu}</math> равны <math>\textstyle \mathrm{F}\cdot\mathrm{S}=\{\mathbf{E}\mathbf{S},\;S^0\mathbf{E}+\mathbf{S}\times\mathbf{B}\}</math>, где <math>\textstyle \mathbf{E}</math> и <math>\textstyle \mathbf{B}</math> &mdash; электрическое и магнитное поле. Поэтому в 3-мерных обозначениях BMT уравнение имеет вид:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{S}}{dt} =\frac{gQ}{2m \gamma}\, \Bigl((\mathbf{u}\mathbf{S})\,\mathbf{E} +\mathbf{S}\times\mathbf{B}\Bigr)+\bigl(1-\frac{g}{2}\Bigr)\,\gamma^2\,(\mathbf{a}\mathbf{S})\,\mathbf{u}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Если магнитный момент у частицы со спином отсутствует (<math>\textstyle g=0</math>), то прецессия спина имеет чисто кинематическую природу, и из () следует уравнение (), стр.\,\pageref{main_spin}. На самом деле частицы, с зарядом и спином, но без магнитного момента, нам неизвестны. Однако, например, для ядра урана <math>\textstyle \,^{235}_{92}U</math> g-фактор равен <math>\textstyle g=-0.26</math>, что в 11 раз меньше, чем у протона и в 8, чем у электрона, при том, что спин в 7 раз больше (<math>\textstyle 7\hbar/2</math>). Для такого объекта кинематический эффект преобладает над динамическим.
 +
 +
При движении в однородном магнитном поле (<math>\textstyle \mathbf{E}=0</math>, <math>\textstyle \mathbf{B}=const</math>) модуль скорости частицы постоянен и 3-вектор ускорения равен (стр.\,\pageref{dynamic_magnit_eq}):
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{a}=\frac{d\mathbf{u}}{dt} = \frac{Q}{m\gamma}\,[\mathbf{u}\times\mathbf{B}] = \omega \,[\mathbf{n}\times\mathbf{u}], \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{d\mathbf{a}}{dt} = \omega\,[\mathbf{n}\times \mathbf{a}] =-\omega^2\,\mathbf{u}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где <math>\textstyle \mathbf{n}</math> &mdash; единичный вектор в направлении магнитного поля, а циклотронная частота <math>\textstyle \omega=-QB/m\gamma</math>, в зависимости от знака заряда частицы может быть как положительной, так и отрицательной. Уравнение для спина () принимает вид:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{S}}{dt} = \frac{g}{2}\,\omega\,[\mathbf{n}\times\mathbf{S}] +\bigl(1-\frac{g}{2}\bigr)\,\gamma^2\,(\mathbf{a}\mathbf{S})\,\mathbf{u}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
откуда, используя () несложно получить:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d(\mathbf{u}\mathbf{S})}{dt} = \gamma^2 \,\bigl(1-\frac{g}{2}\bigr)\,(\mathbf{a}\mathbf{S}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{d(\mathbf{a}\mathbf{S})}{dt} = -\omega^2 \,\bigl(1-\frac{g}{2}\bigr)\,(\mathbf{u}\mathbf{S}). </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Эти уравнения приводят к уравнениям осцилляторного типа:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d^2(\mathbf{u}\mathbf{S})}{dt}+\bar{\omega}^2 \,(\mathbf{u}\mathbf{S})=0,\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{d^2(\mathbf{a}\mathbf{S})}{dt}+\bar{\omega}^2 \,(\mathbf{a}\mathbf{S})=0, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где <math>\textstyle \bar{\omega}=\gamma \omega \,(1-g/2)</math>. Потому проекции спина на скорость и ускорение совершают гармонические колебания с частотой, не зависящей от величины скорости:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \omega_a = \frac{2-g}{2}\,\gamma\,\omega =\frac{2-g}{2}\,\frac{QB}{m}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Для электрона <math>\textstyle g\approx 2</math> и динамическая ларморовская прецессия практически полностью компенсирует кинематическую прецессию. Небольшое изменение поляризации электрона <math>\textstyle \mathbf{u}\mathbf{S}</math> связано с отклонением <math>\textstyle g</math>-фактора от двойки, что позволяет измерять аномальные магнитные моменты \cite{Field1979}.
  
 
----
 
----

Версия 15:13, 7 октября 2012

Неоднозначность и ковариантность << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Электромагнитная масса

На протяжении этой книги понятие спина вводилось несколько раз. Напомним (стр.\,\pageref{spin_def}, \pageref{sec_group_puancare}), что при помощи 4-тензора полного момента импульса системы , можно определить следующий 4-вектор:

(EQN)

где — 4-скорость, — полный 4-импульс и . Подчеркнем, что величины и являются интегральными. В случае системы точечных частиц они получаются при суммировании импульса и момента импульса по частицам, а в теории поля — это интегралы от соответствующих тензорных плотностей. В системе, в которой , компоненты равны . Поэтому в этой системе 3-вектор спина совпадает с полным моментом импульса (пространственные компоненты ). В произвольной же системе он пропорционален (стр.\,\pageref{spin_def}) разности полного момента и момента импульса центра энергии. На этом основании величина имеет смысл собственного момента вращения системы (без учета перемещения её как целого). В силу антисимметричности , 4-вектор спина ортогонален 4-скорости системы (или полному 4-импульсу):

(EQN)

Тензор суммарного момента импульса поля равен (стр.):

(EQN)

где компонента зависит от 4-координат только через полевые функции, а — тензор энергии-импульса. Подынтегральная функция неинвариантна относительно трансляционных преобразований . Если перейти в другую, "сдвинутую" систему отсчета, то поля не поменяются (лагранжиан явно от координат не зависит), но наличие под интегралом приведет к тому, что полный момент изменится:

(EQN)

где — суммарный 4-импульс. Собственный момент импульса (спин) не должен меняться при таком преобразовании. Этому требованию удовлетворяет 4-вектор спина (). Кроме этого, если , сохраняются, то будет сохраняться и (в отличие от интеграла от ).

При помощи 4-вектора спина можно определить антисимметричный 4-тензор спина:

(EQN)

Очевидно, что он также как и не изменяется при трансляционных преобразованиях и, в силу антисимметрии , ортогонален 4-спину и 4-скорости:

Дуальный к тензор равен:

(EQN)

Сворачивая это соотношение с и учитывая, что , а , имеем:

(EQN)

Таким образом, 4-вектор спина выражается через 4-тензор спина так же как и через полный момент импульса ().

Подставляя () в () и проводя свёртку символов Леви-Чевиты, можно выразить тензор спина через тензор полного момента импульса:

(EQN)

Сворачивая () или () с символом Леви-Чевиты, получаем ещё одно соотношение между введенными величинами:

(EQN)

Заметим, что в () по индексам , , проводится циклическая перестановка. Компоненты антисимметричного 4-тензора выражается через два 3-вектора с проекциями:

(EQN)

В системе покоя первый вектор равен нулю, а второй совпадает с вектором спина (или полного момента ). Напомним, что в векторных обозначениях компоненты 4-вектора спина равны (стр.\,\pageref{spin_def2}):

где , и . В системе покоя отличны от нуля только пространственные компоненты .

Таким образом, описывать собственный момент импульса системы можно при помощи двух величин: 4-вектора спина и 4-тензора спина . Ненулевые компоненты обоих величин в системе покоя совпадают друг с другом и с полным моментом системы.

Представим тензор спина в ещё одном виде. Соотношение () можно переписать следующим образом:

(EQN)

где

(EQN)

а — некоторый скаляр. Второе слагаемое непосредственно входит в (), а первое слагаемое сокращается при произвольном .

Пусть система имеет компактные размеры и движется в пространстве вдоль некоторой траектории. Вектор можно интерпретировать как эффективный центр на этой траектории, относительно которого определяется собственный момент вращения (тензор спина):

где предполагается, что "спиновая" составляющая плотности полного момента "упрятана" при помощи процедуры Белифанте в симметричный тензор энергии импульса . Так как величины не зависят от координат , то их можно вынести за интеграл и получается ().

В качестве эффективной траектории системы, напрашивается выбрать её центр энергии:

Если система является замкнутой, то полный момент импульса и импульс сохраняются и являются ковариантными величинами. В этом случае центр энергии движется равномерно и прямолинейно. Действительно, так как , имеем:

откуда следует, что положение центра энергии линейно зависит от времени , где , а — скорость центра энергии, определяемая через её полный импульс и энергию.

Если же система не замкнута (рассматривается только её часть), момент импульса такой части не только не будет сохраняться, но и не будет 4-тензором относительно преобразований Лоренца (см.стр.\,\pageref{cov_int_val}).

Для описания равномерного движения центра энергии введём 4-вектор (\,H). Покажем, что если система вращается (её спин отличен от нуля), то эффективная траектория оказывается сдвинутой относительно центра энергии системы. Тензор полного момента импульса определяется двумя 3-векторами и . Для фиксирования значения в () потребуем, чтобы нулевая компонента 4-вектора была временем:

(EQN)

где учтено, что . Поэтому и 4-вектор эффективной траектории имеет вид:

(EQN)

Заметим, что в силу антисимметричности тензора полного момента и единичности 4-скорости имеет место равенство проекций 4-векторов и на 4-скорость: . Пространственные компоненты вектора образуют модифицированный центр инерции:

Учитывая, что пространственные компонент 4-вектора спина () равны , эффективную траекторию можно переписать следующим образом:

(EQN)

где проекции вектора являются пространственными компонентами тензора спина (). Таким образом, сдвинут относительно тем сильнее, чем быстрее движется и вращается система. Кинематически этот эффект связан со сгущением плотности энергии в нижней части системы относительно плоскости в которой лежат в векторы спина и скорости (см.стр.\,\pageref{rotating_and_moveing_disk}).

Если рассматривается вращающаяся система, которая движется во внешнем поле, то суммарный момент импульса и спин должны быть разбиты на две части (системы и поля). В этом случае спин системы не будет сохраняться, а движение центра энергии не будет прямолинейным и равномерным. Заметим также, что величина при этом не является 4-вектором, как, впрочем, не будут ковариантными остальные интегральные величины. Тем не менее, считая эффекты нековариантности малыми, можно описать динамику спина во внешнем поле исходя из достаточно общих соображений, что мы сейчас и проделаем.

Рассмотрим частицу (или компактную систему зарядов), обладающую спином и магнитным моментом. Найдем релятивистское уравнение которое описывает движение такой частицы во внешнем электромагнитном поле. В системе покоя частицы, находящейся в магнитном поле, спин испытывает ларморовскую прецессию (),(), стр.\,\pageref{em_larmor_prec}:

(EQN)

где , — заряд и масса частицы, а — гиромагнитный фактор (для электрона , ). Запишем ковариантную версию этого уравнения, справедливую в любой системе отсчета.

В ковариантном уравнении вектор спина должен замениться на 4-вектор спина, а производная по времени, на производную по инвариантному собственному времени частицы . Вместо магнитного поля должен появиться 4-тензор . Так как в 3-мерном уравнении Лармора производная линейна по спину и магнитному полю, будем считать, что и в ковариантном уравнении она будет линейна по тензору электромагнитного поля и спину . Кроме этих двух величин есть ещё 4-вектор скорости от которого также может зависеть прецессия спина (в () её нет, так это система покоя частицы). В таких предположениях, наиболее общее ковариантное уравнение имеет вид:

(EQN)

где — некоторые константы. Будем считать, что магнитное поле однородно (см.стр.\,\pageref{com_force_m_notodnor_B}) и на частицу действует только сила Лоренца:

(EQN)

Производная условия ортогональности () 4-спина и 4-скорости:

с учётом уравнений (), () даёт , . Уравнение Лармора () при позволяет найти оставшиеся коэффициенты: , . В результате получается уравнение Баргмана-Мишеля-Телегди (BMT) \cite{BargmannMichelTelegdi1959}:

(EQN)

где 4-ускорение определяется силой Лоренца ().

Компоненты 4-вектора, получающегося при свертке и равны , где и — электрическое и магнитное поле. Поэтому в 3-мерных обозначениях BMT уравнение имеет вид:

(EQN)

Если магнитный момент у частицы со спином отсутствует (), то прецессия спина имеет чисто кинематическую природу, и из () следует уравнение (), стр.\,\pageref{main_spin}. На самом деле частицы, с зарядом и спином, но без магнитного момента, нам неизвестны. Однако, например, для ядра урана g-фактор равен , что в 11 раз меньше, чем у протона и в 8, чем у электрона, при том, что спин в 7 раз больше (). Для такого объекта кинематический эффект преобладает над динамическим.

При движении в однородном магнитном поле (, ) модуль скорости частицы постоянен и 3-вектор ускорения равен (стр.\,\pageref{dynamic_magnit_eq}):

(EQN)

где — единичный вектор в направлении магнитного поля, а циклотронная частота , в зависимости от знака заряда частицы может быть как положительной, так и отрицательной. Уравнение для спина () принимает вид:

(EQN)

откуда, используя () несложно получить:

(EQN)

Эти уравнения приводят к уравнениям осцилляторного типа:

(EQN)

где . Потому проекции спина на скорость и ускорение совершают гармонические колебания с частотой, не зависящей от величины скорости:

(EQN)

Для электрона и динамическая ларморовская прецессия практически полностью компенсирует кинематическую прецессию. Небольшое изменение поляризации электрона связано с отклонением -фактора от двойки, что позволяет измерять аномальные магнитные моменты \cite{Field1979}.


Неоднозначность и ковариантность << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Электромагнитная масса

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии