Солитоны — различия между версиями
WikiSysop (обсуждение | вклад) (Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Нелинейная электродинамика << ! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавлени…») |
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
||
Строка 5: | Строка 5: | ||
|} | |} | ||
---- | ---- | ||
+ | |||
+ | Рассматривая электродинамику, мы различали поля и частицы. Частицы мыслились как некоторые компактные (возможно точечные) образования, которые взаимодействовали при помощи электромагнитного поля. Таким образом, основное различие между полем и частицами состоит в том, что энергия последних локализована в малой области пространства, тогда как энергия поля существенно более нелокальная. | ||
+ | |||
+ | Оказывается, что в рамках ''нелинейных'' полевых теорий можно получать решения, которые обладают локализованной энергией, движущейся в пространстве. Такие сгустки энергии могут взаимодействовать друг с другом, сохраняя после взаимодействия свою форму, образовывать связанные состояния и т.д. Подобные решения, называемые ''солитонами'', могут служить ''полевой моделью частиц''. | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим простейший пример теории действительного скалярного поля с лагранжианом: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>\mathcal{L} = \frac{1}{2}\,(\partial \phi)^2- V(\phi).</math></center> | ||
+ | |||
+ | Уравнения Лагранжа | ||
+ | |||
+ | :<center><math>\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)}\right) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}</math></center> | ||
+ | |||
+ | приводят к следующим уравнениям движения: | ||
+ | |||
+ | {| width="100%" | ||
+ | | width="90%" align="center"|<math> \partial^2\phi + V'(\phi) = 0. </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | Тензор энергии-импульса находится по общей формуле (), стр.\,\pageref{neter_energey_momentum}, которая в случае скалярного поля имеет вид: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>T^{\mu\nu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial_\mu \phi}\, \partial^\nu \phi - g^{\mu\nu} \mathcal{L}.</math></center> | ||
+ | |||
+ | Подставляя лагранжиан, получаем симметричный тензор: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>T^{\mu\nu} = \partial^\mu\phi\, \partial^\nu \phi - g^{\mu\nu} \mathcal{L}.</math></center> | ||
+ | |||
+ | Плотность энергии поля <math>\textstyle W=T^{00}</math> имеет вид: | ||
+ | |||
+ | {| width="100%" | ||
+ | | width="90%" align="center"|<math> W = \frac{1}{2}\,\dot{\phi}^2 + \frac{1}{2}\, (\nabla \phi)^2 + V(\phi), </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | а плотность импульса <math>\textstyle P^i=T^{0i}</math>: | ||
+ | |||
+ | {| width="100%" | ||
+ | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{P} = -\dot{\phi}\,\nabla\phi, </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | где точка над функцией поля — это производная по времени. | ||
+ | |||
+ | Солитонное решение для скалярного поля существует, например, в одномерном случае <math>\textstyle x^\nu=\{t,x\}</math> для: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>V(\phi)= \frac{\lambda}{4}\left(\phi^2-\frac{m^2}{\lambda}\right)^2 = -\frac{m^2}{2}\phi^2 + \frac{\lambda}{4}\phi^4 + \frac{m^4}{4\lambda},</math></center> | ||
+ | |||
+ | где <math>\textstyle m</math> и <math>\textstyle \lambda</math> — некоторые константы. Такой лагранжиан называют ''моделью Хиггса''. Для него уравнения движения () имеют вид: | ||
+ | |||
+ | {| width="100%" | ||
+ | | width="90%" align="center"|<math> \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = m^2\phi -\lambda \phi^3. </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | Обратим внимание, что знак перед квадратичным членом отличается от массивного линейного поля, которе рассматривалось на стр.\,\pageref{field_scalar2_lag}. Без потери общности можно положить <math>\textstyle m=\lambda=1</math>. Действительно, заменами <math>\textstyle x^\nu \mapsto x^\nu/m </math> и <math>\textstyle \phi \mapsto \sqrt{\lambda}/m</math> уравнение () можно привести к форме с <math>\textstyle m=\lambda=1</math>. Обратные замены — восстанавливают эти константы. | ||
+ | |||
+ | Мы планируем получить сгусток энергии скалярного поля, который движется с постоянной скоростью <math>\textstyle u</math> по траектории <math>\textstyle x=x_0 + ut</math>. Если вместе с ним с той же скорость будет двигаться наблюдатель, он увидит статическую конфигурацию поля, не зависящую от времени. Подставляя <math>\textstyle \phi(t,x) = f(x-ut)</math> в уравнения движения (), получаем: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>-\frac{1}{\gamma^2}\, f'' = f - f^3,</math></center> | ||
+ | |||
+ | где <math>\textstyle \gamma=1/\sqrt{1-u^2}</math>. Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Умножая обе части на <math>\textstyle f'</math> и интегрируя, имеем: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>-\frac{(f')^2}{2\gamma^2} = \frac{f^2}{2} - \frac{f^4}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}\left(1-f^2\right)^2,</math></center> | ||
+ | |||
+ | где константа интегрирования выбрана равной <math>\textstyle 1/4</math>. Извлекая корень, разделяя переменные и интегрируя это уравнение еще раз | ||
+ | |||
+ | :<center><math>\frac{\gamma}{\sqrt{2}}\, (x-vt-x_0) = \pm \int \frac{df}{1-f^2} = \pm \mathrm{ath}\,f,</math></center> | ||
+ | |||
+ | получаем решение: | ||
+ | |||
+ | {| width="100%" | ||
+ | | width="90%" align="center"|<math> \phi(t,x) = \pm \mathrm{th}\,\left\{ \frac{\gamma}{\sqrt{2}}\,(x-ut-x_0) \right\}, </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | где <math>\textstyle x_0</math> — еще одна константа интегрирования (начальное положение фазы солитона при <math>\textstyle t=0</math>). Для восстановления размерных констант аргумент гиперболического тангенса нужно умножить на <math>\textstyle m</math>, а сам тангенс на <math>\textstyle m/\sqrt{\lambda}</math>. | ||
+ | |||
+ | Плотность энергии поля () для решения () равна: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>W=\frac{\gamma^2}{2}\, \mathrm{ch}\,{-4} \left\{ \frac{\gamma}{\sqrt{2}}\,(x-ut-x_0) \right\}.</math></center> | ||
+ | |||
+ | Плотность импульса связана с плотностью энергии обычным образом: <math>\textstyle P= u W</math>. Интегрирование по всему пространству дает полную энергию: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>E = \int\limits ^\infty_{-\infty} W(x,t)\, dx = \frac{m_0}{\sqrt{1-u^2}},</math></center> | ||
+ | |||
+ | где константу (в которой восстановлены параметры <math>\textstyle m</math> и <math>\textstyle \lambda</math>) | ||
+ | |||
+ | :<center><math>m_0=\frac{2\sqrt{2}\, }{3}\, \frac{m^3}{\lambda}</math></center> | ||
+ | |||
+ | можно интерпретировать как массу солитона. | ||
+ | |||
+ | Типичный размер области с отличной от нуля энергией поля пропорционален <math>\textstyle m^{-1}</math>. Чем больше параметр <math>\textstyle m</math> тем компактнее получается солитон и тем больше будет его масса. Параметр <math>\textstyle \lambda</math> влияет на высоту солитона и чем он меньше, тем выше будет плотность энергии. | ||
+ | |||
+ | <center>[[File:higgs.png]]</center> | ||
+ | |||
+ | В 3-мерном пространстве получается аналогичное решение, но его энергия локализована только в направлении движения. В перпендикулярных направлениях убывания плотности энергии нет. Существенным в этой модели является также наличие нелинейности. Линейное уравнение Клейна-Гордона с <math>\textstyle V(\phi)=m^2 \phi^2/2</math> решений вида <math>\textstyle \phi=f(x-ut)</math> c локализованной в пространстве плотностью энергии не имеет. | ||
+ | |||
+ | В общем случае, энергия солитона (интеграл от ()) будет конечной, если на бесконечности поле стремится к значению <math>\textstyle \phi_0</math> для которого <math>\textstyle V(\phi_0)=0</math>. Такое значение поля называют ''классическим вакуумом''. Лагранжиан, рассмотренный выше, имеет два таких вакуума: <math>\textstyle \phi_0=\pm 1</math>. Они соответствуют двум минимумам <math>\textstyle V(\phi)</math> (см. выше первый рисунок). Справа от солитона поле стремиться к одному из этих вакуумов, а слева — ко второму. В результате, хотя само поле не убывает на бесконечности, плотность энергии оказывается локализованной в пространстве, а суммарная энергия — конечной. | ||
+ | |||
+ | <math>\textstyle \bullet</math> Еще одна модель, допускающее солитонное решение с нелинейностью | ||
+ | |||
+ | :<center><math>V(\phi) = 1-\cos\phi</math></center> | ||
+ | |||
+ | приводит к ''уравнению синус-Гордона'': | ||
+ | |||
+ | {| width="100%" | ||
+ | | width="90%" align="center"|<math> \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \sin\phi = 0. </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | Повторяя вычисления (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H), аналогичные предыдущей модели, получаем решение в виде движущегося солитона: | ||
+ | |||
+ | {| width="100%" | ||
+ | | width="90%" align="center"|<math> \phi(t,x) = 4\arctg e^{\pm \gamma (x-ut-x_0)} </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | с локализованной плотностью энергии: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>W= 4 \gamma^2\,\mathrm{ch}\,{-2}\{\gamma\, (x-ut-x_0)\}</math></center> | ||
+ | |||
+ | и импульсом <math>\textstyle P=uW</math>. Масса такого солитона равна <math>\textstyle m_0=8</math>. Форма нелинейной функции <math>\textstyle V(\phi)</math>, решение и плотность энергии в системе покоя солитона (<math>\textstyle u=0</math>) приведены на рисунках ниже: | ||
+ | |||
+ | <center>[[File:sin_Gordon.png]]</center> | ||
+ | |||
+ | В обоих моделях локализованной оказалась плотность энергии, но не поле. В модели Хиггса поле изменяется от <math>\textstyle -1</math> до <math>\textstyle 1</math>. В синус-Гордоне от 0 до <math>\textstyle 2\pi</math>. Оба значения являются классическими вакуумами модели. Такие солитоны называются ''кинками'' (kink — изгиб). В модели Хиггса классических вакуумов только 2 в модели синус-Гордона их бесконечно много, причем существует обычный вакуум нулевого поля <math>\textstyle \phi_0=0</math>. | ||
+ | |||
+ | Решения подобные кинкам часто называют ''топологическими''. Это название связано с перечислением способов отождествления двух предельных точек <math>\textstyle x=\pm\infty</math> и классических вакуумов системы. Такие отожествления можно представить в виде линий, соединяющих предельные точки и вакуумы. Переплетение таких линий обладает определенной топологией (имеет ряд свойств, не зависящих от расстояний и других геометрических свойств). Для одномерного скалярного поля топология достаточно тривиальна, однако в более сложных моделях она может оказаться уже не такой простой. | ||
+ | |||
+ | <math>\textstyle \bullet</math> Солитоны достаточно устойчивые образования и небольшие внешние возмущения их не разрушают. Рассмотрим соответствующее условие устойчивости \cite{Rubakov2010}. Пусть поле равно <math>\textstyle \phi(t,x)=\phi_0(t,x)+\psi(t,x)</math>, где <math>\textstyle \phi_0(t,x)</math> — солитонное решение, а <math>\textstyle \psi(t,x)</math> — небольшое возмущение. Подставим эту сумму в уравнение движения и разложим в ряд по <math>\textstyle \psi</math>: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>\partial^2 (\phi_0 + \psi) + V'(\phi_0+\psi) = \partial^2 (\phi_0 + \psi) + V'(\phi_0)+V''(\phi_0)\psi+...=0.</math></center> | ||
+ | |||
+ | Так как солитон <math>\textstyle \phi_0</math> удовлетворяет уравнению <math>\textstyle \partial^2\phi_0 + V'(\phi_0)=0</math>, возмущение в системе отсчета, где солитон неподвижен (<math>\textstyle u=0</math>) должно удовлетворять линейному уравнению: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>\partial^2 \psi + V''\bigl(\phi_0(x)\bigr)\, \psi = 0.</math></center> | ||
+ | |||
+ | Будем искать его решение в виде <math>\textstyle \psi(t,x)=e^{-\imath\omega t}\psi(x)</math>. Тогда <math>\textstyle \psi(x)</math> удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка: | ||
+ | |||
+ | {| width="100%" | ||
+ | | width="90%" align="center"|<math> -\psi''(x) + U(x)\, \psi(x) = \omega^2\psi(x), </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | где <math>\textstyle U(x)=V''(\phi_0(x))</math>. Потребуем, чтобы функция <math>\textstyle \psi(x)</math> на бесконечности убывала (возмущение только в окрестности максимума плотности энергии солитона). Подобная задача с ''граничными условиями'' <math>\textstyle \psi(\pm \infty)=0</math> называется ''задачей Штурма — Лиувилля''. В квантовой механике ей соответствует стационарное уравнение Шредингера с потенциалом <math>\textstyle U(x)</math> и энергией <math>\textstyle E=\omega^2</math>. Граничные условия приводят к тому, что значения частот <math>\textstyle \omega</math> ограничены снизу и могут принимать дискретные значения. Если <math>\textstyle \omega^2\geqslant0</math> (<math>\textstyle \omega</math> — действительно), то возмущения не растут со временем. Если же существует хотя бы одно отрицательное <math>\textstyle \omega^2=-E<0</math>, то <math>\textstyle \psi(t,x)=e^{\pm Et}\psi(x)</math> и с течением времени солитонное решение <math>\textstyle \phi_0</math> будет разрушаться экспоненциально растущим во времени возмущением. | ||
+ | |||
+ | Для модели Хиггса (H) и синус-Гордона (SG), получаются следующие "потенциалы": | ||
+ | |||
+ | :<center><math>U_H(x)= 3\mathrm{th}\,2\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)-1, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;U_{SG}(x)=1-2\mathrm{ch}\,{-2}(x).</math></center> | ||
+ | |||
+ | Их собственные значения неотрицательны, поэтому соответствующие солитоны устойчивы. Заметим, что минимальная частота в обоих случаях равна нулю. Действительно, в системе покоя <math>\textstyle \phi_0</math> удовлетворяет уравнению <math>\textstyle \phi''_0= V'(\phi_0)</math>. Дифференцируя его по <math>\textstyle x</math>, получаем () с <math>\textstyle \omega=0</math> и <math>\textstyle \psi=\phi'_0</math>. | ||
+ | |||
+ | Аналогичным образом анализируется устойчивость в более сложных моделях. Подобная устойчивость решения в математике называется ''устойчивостью по Ляпунову''. | ||
+ | |||
+ | <math>\textstyle \bullet</math> Полученный критерий устойчивости (<math>\textstyle \omega^2\geqslant 0</math>) работает только при малых возмущениях. Однако оказывается, что в ряде случаев солитоны сохраняют свою форму и после достаточно сильных потрясений. Эволюцию произвольного решения нелинейного уравнения удобно анализировать численно при помощи компьютера. Для этого необходимо задать начальные условия <math>\textstyle \phi(0,x)</math> и <math>\textstyle \partial\phi(0,x)/\partial t</math> и затем, аппроксимируя производные при помощи конечных разностей, находить решение в произвольный момент времени. Для этого непрерывное 2-мерное пространство <math>\textstyle (t,x)</math> заменяют дискретной сеткой с малым шагом <math>\textstyle \Delta t</math> по оси времени и <math>\textstyle \Delta x</math> — по оси координат. Соответственно поле <math>\textstyle \phi</math> является массивом <math>\textstyle \phi_{i,j}=\phi(t_i, x_j)</math>. Частные производные заменяются разностями: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>\frac{\partial^2 \phi_{0,0}}{\partial t^2} = \frac{\phi_{1,0}-2\phi_{0,0}+\phi_{-1,0}}{\Delta t^2}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{\partial^2 \phi_{0,0}}{\partial x^2} = \frac{\phi_{0,1}-2\phi_{0,0}+\phi_{0,-1}}{\Delta x^2}.</math></center> | ||
+ | |||
+ | Подставляя их в уравнение движения (), получаем: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>\phi_{1,0} = 2\phi_{0,0}-\phi_{-1,0}+ \frac{\Delta t^2}{\Delta x^2} (\phi_{0,1}-2\phi_{0,0}+\phi_{0,-1}) - V'(\phi_{0,0})\, \Delta t^2.</math></center> | ||
+ | |||
+ | Задав начальные условия <math>\textstyle \phi_{-1,j}=\phi(0,x_j)</math> и <math>\textstyle \phi_{0,j}=\phi_{-1,j}+\Delta t\,\partial\phi(0,x_j)/\partial t</math> при помощи этого соотношения для каждой координаты <math>\textstyle x_j</math> получаются <math>\textstyle \phi_{1,j}</math>. Аналогично, двигаясь по оси <math>\textstyle t</math> находим поле в произвольный момент времени. Естественно, это простейший метод и он может быть улучшен при помощи самых различных приемов \cite{Mahankov1983}. | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим в качестве примера столкновение кинка и антикинка в модели синус-Гордона. ''Кинк'' соответствует знаку плюс в решении (), а ''антикинк'' — минусу. Несмотря на нелинейность уравнения сложим эти два решения и воспользуемся полученной функцией в качестве начальных условий <math>\textstyle \phi(0,x)</math> и <math>\textstyle \partial\phi(0,x)/\partial t</math>. Численное моделирование приводит к следующим четырем кадрам столкновения двух солитонов, движущихся навстречу со скоростями <math>\textstyle 3/4</math> и <math>\textstyle 1/4</math> (изображена плотность энергии системы <math>\textstyle W</math>): | ||
+ | |||
+ | <center>[[File:sin_Gordon2.png]]</center> | ||
+ | |||
+ | Видно, что после столкновения солитоны восстанавливают свою форму и продолжают двигаться с теми же скоростями, что и до столкновения. | ||
+ | |||
+ | <math>\textstyle \bullet</math> Выше мы искали решения нелинейных полевых уравнений в виде <math>\textstyle \phi=f(x-ut)</math>. В системе покоя (<math>\textstyle u=0</math>) это решение является статическим (не зависит от <math>\textstyle t</math>). Оказывается, что существую динамические солитонные решения, которые в системе покоя испытывают периодические колебания. Такие решения называют ''бризерами'' (от английского breathe - дышать). Будем искать решение уравнения синус-Гордона () в виде | ||
+ | |||
+ | :<center><math>\phi(t,x) = 4\arctg \left\{\frac{f(t)}{g(x)}\right\}.</math></center> | ||
+ | |||
+ | Подставляя в <math>\textstyle \phi_{tt}-\phi_{xx}+\sin(\phi)=0</math>, где индексы — соответствующие производные по <math>\textstyle t</math> и <math>\textstyle x</math>, получаем: | ||
+ | |||
+ | {| width="100%" | ||
+ | | width="90%" align="center"|<math> \frac{g^2 f_{tt}}{f} + \frac{f^2 g_{xx}}{g} = (2f^2_t - f f_{tt}+ f^2) + (2g^2_x - g g_{xx} - g^2). </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | В правой части первый член в круглых скобках зависит только от <math>\textstyle t</math>, а второй — только от <math>\textstyle x</math>. Поэтому беря производную по <math>\textstyle t</math>, а затем по <math>\textstyle x</math> мы от них избавляемся. В результате получается уравнение: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>\frac{f_{ttt}}{f^2 f_t}-\frac{f_{tt}}{f^3} = - \left(\frac{g_{xxx}}{g^2 g_x} - \frac{g_{xx}}{g^3}\right) .</math></center> | ||
+ | |||
+ | Левая часть уравнения зависит только от времени, а правая только от координаты. Это возможно, если обе части уравнения равны некоторой константе. Обозначим её через <math>\textstyle 4\lambda</math>. В результате получаем два обыкновенных дифференциальных уравнений. Например, для <math>\textstyle f=f(t)</math>: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>\frac{f_{ttt}}{f^2 f_t}-\frac{f_{tt}}{f^3} = \frac{(f_{tt}/f)_t}{f f_t} = 4\lambda.</math></center> | ||
+ | |||
+ | Умножая обе части на <math>\textstyle f f_t</math> и интегрируя, имеем: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>f_{tt} = 2\lambda f^3 + \tau_1 f,</math></center> | ||
+ | |||
+ | где <math>\textstyle \tau_1</math> — константа интегрирования. Умножая обе части на <math>\textstyle f_t</math> и интегрируя еще раз, имеем (уравнение для <math>\textstyle g</math> выглядит также, но с заменой знака у <math>\textstyle \lambda</math> и другими константами интегрирования <math>\textstyle \sigma_1</math> и <math>\textstyle \sigma_2</math>): | ||
+ | |||
+ | :<center><math>f^2_t = \lambda f^4 + \tau_1 f^2 + \tau_2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;g^2_x = -\lambda g^4 + \sigma_1 g^2 + \sigma_2.</math></center> | ||
+ | |||
+ | Разделение переменных (константа <math>\textstyle \lambda</math>) мы провели для уравнения третьего порядка, тогда как исходное уравнение имеет второй порядок. Поэтому константы интегрирования не являются независимыми. Подставим найденные производные <math>\textstyle f_{tt}</math>, <math>\textstyle g_{xx}</math>, <math>\textstyle f_t</math>, <math>\textstyle g_t</math> в исходное уравнение (). Оно будет выполняться, если <math>\textstyle \sigma_1=1+\tau_1</math> и <math>\textstyle \sigma_2=-\tau_2</math>. Поэтому: | ||
+ | |||
+ | {| width="100%" | ||
+ | | width="90%" align="center"|<math> f^2_t = \lambda f^4 +\tau_1 f^2 + \tau_2, \;\;\;\;\;\;\;\;\; g^2_x = -\lambda g^4 + (1+\tau_1)g^2 - \tau_2. </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | Дальнейшее интегрирование приводит к эллиптическим интегралам. | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим частные случаи. Если <math>\textstyle \lambda=0</math>, <math>\textstyle \tau_2=0</math>, <math>\textstyle \tau_1=u^2/(1-u^2)</math> имеем <math>\textstyle f=e^{\pm \gamma u t}</math> и <math>\textstyle g=e^{\pm \gamma\, x}</math>, что приводит к решению в виде движущегося со скоростью <math>\textstyle u</math> кинка или антикинка (). | ||
+ | |||
+ | Если <math>\textstyle \lambda=0</math>, <math>\textstyle \tau_2=1</math>, <math>\textstyle \tau_1=-\omega^2</math>, после интегрирования, получаем \cite{PerringSkyrme1962}: | ||
+ | |||
+ | {| width="100%" | ||
+ | | width="90%" align="center"|<math> \phi(t,x) = 4 \arctg\left\{ \frac{ \sqrt{1-\omega^2} }{\omega}\, \frac{\sin \bigl(\omega t\bigr)}{\mathrm{ch}\,\bigl(\sqrt{1-\omega^2}\,x\bigr)}\right\}. </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | Это типичный бризер. Его амплитуда периодически изменяется со временем с частотой <math>\textstyle \omega<1</math>. В отличие от кинка, поле бризера убывает на бесконечности в обе стороны от максимума. При этом максимум неподвижен, т.е. мы получили решение в системе покоя бризера. Так как уравнения ковариантны, всегда можно заставить бризер двигаться, подставив в решение преобразования Лоренца <math>\textstyle t\mapsto t_0+\gamma (t-ux)</math> и <math>\textstyle x\mapsto x_0+\gamma(x-ut)</math>. | ||
+ | |||
+ | Плотность энергии бизера равна: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>W=\frac{8 f^2 g^2}{(f^2+g^2)^2}\left[ \frac{f^2_t}{f^2} + \frac{g^2_x}{g^2} + 1\right]</math></center> | ||
+ | |||
+ | и в случае решения () принимает вид: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>W = \frac{8 \omega^2 (1-\omega^2) } {(\omega^2 c^2+(1-\omega^2) s^2)^2}\, \left( \omega^2\,c^2 - (1-\omega^2)s^2 + 2(1-\omega^2) c^2 s^2\right),</math></center> | ||
+ | |||
+ | где <math>\textstyle c=\mathrm{ch}\,\sqrt{1-\omega^2}x)</math> и <math>\textstyle s=\sin(\omega t)</math>. Ниже на рисунке приведены графики поля (слева) и плотности энергии (справа) бризера в различные моменты времени при <math>\textstyle \omega=0.628</math>: | ||
+ | |||
+ | <center>[[File:breather.png]]</center> | ||
+ | |||
+ | Плотность энергии меняется со временем, однако полная энергия сохраняется, и масса бризера равна: | ||
+ | |||
+ | :<center><math>m_0 = \int\limits^\infty_{-\infty} W(t,x)dx = 16\sqrt{1-\omega^2}.</math></center> | ||
+ | |||
+ | Таким образом, чем меньше частота колебаний бризера, тем больше будет его масса и тем уже и выше он будет. | ||
---- | ---- |
Версия 15:28, 7 октября 2012
Нелинейная электродинамика << | Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) | >> Кватернионы |
---|
Рассматривая электродинамику, мы различали поля и частицы. Частицы мыслились как некоторые компактные (возможно точечные) образования, которые взаимодействовали при помощи электромагнитного поля. Таким образом, основное различие между полем и частицами состоит в том, что энергия последних локализована в малой области пространства, тогда как энергия поля существенно более нелокальная.
Оказывается, что в рамках нелинейных полевых теорий можно получать решения, которые обладают локализованной энергией, движущейся в пространстве. Такие сгустки энергии могут взаимодействовать друг с другом, сохраняя после взаимодействия свою форму, образовывать связанные состояния и т.д. Подобные решения, называемые солитонами, могут служить полевой моделью частиц.
Рассмотрим простейший пример теории действительного скалярного поля с лагранжианом:
Уравнения Лагранжа
приводят к следующим уравнениям движения:
(EQN)
|
Тензор энергии-импульса находится по общей формуле (), стр.\,\pageref{neter_energey_momentum}, которая в случае скалярного поля имеет вид:
Подставляя лагранжиан, получаем симметричный тензор:
Плотность энергии поля имеет вид:
(EQN)
|
а плотность импульса :
(EQN)
|
где точка над функцией поля — это производная по времени.
Солитонное решение для скалярного поля существует, например, в одномерном случае для:
где и — некоторые константы. Такой лагранжиан называют моделью Хиггса. Для него уравнения движения () имеют вид:
(EQN)
|
Обратим внимание, что знак перед квадратичным членом отличается от массивного линейного поля, которе рассматривалось на стр.\,\pageref{field_scalar2_lag}. Без потери общности можно положить . Действительно, заменами и уравнение () можно привести к форме с . Обратные замены — восстанавливают эти константы.
Мы планируем получить сгусток энергии скалярного поля, который движется с постоянной скоростью по траектории . Если вместе с ним с той же скорость будет двигаться наблюдатель, он увидит статическую конфигурацию поля, не зависящую от времени. Подставляя в уравнения движения (), получаем:
где . Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Умножая обе части на и интегрируя, имеем:
где константа интегрирования выбрана равной . Извлекая корень, разделяя переменные и интегрируя это уравнение еще раз
получаем решение:
(EQN)
|
где — еще одна константа интегрирования (начальное положение фазы солитона при ). Для восстановления размерных констант аргумент гиперболического тангенса нужно умножить на , а сам тангенс на .
Плотность энергии поля () для решения () равна:
Плотность импульса связана с плотностью энергии обычным образом: . Интегрирование по всему пространству дает полную энергию:
где константу (в которой восстановлены параметры и )
можно интерпретировать как массу солитона.
Типичный размер области с отличной от нуля энергией поля пропорционален . Чем больше параметр тем компактнее получается солитон и тем больше будет его масса. Параметр влияет на высоту солитона и чем он меньше, тем выше будет плотность энергии.
В 3-мерном пространстве получается аналогичное решение, но его энергия локализована только в направлении движения. В перпендикулярных направлениях убывания плотности энергии нет. Существенным в этой модели является также наличие нелинейности. Линейное уравнение Клейна-Гордона с решений вида c локализованной в пространстве плотностью энергии не имеет.
В общем случае, энергия солитона (интеграл от ()) будет конечной, если на бесконечности поле стремится к значению для которого . Такое значение поля называют классическим вакуумом. Лагранжиан, рассмотренный выше, имеет два таких вакуума: . Они соответствуют двум минимумам (см. выше первый рисунок). Справа от солитона поле стремиться к одному из этих вакуумов, а слева — ко второму. В результате, хотя само поле не убывает на бесконечности, плотность энергии оказывается локализованной в пространстве, а суммарная энергия — конечной.
Еще одна модель, допускающее солитонное решение с нелинейностью
приводит к уравнению синус-Гордона:
(EQN)
|
Повторяя вычисления (\,H), аналогичные предыдущей модели, получаем решение в виде движущегося солитона:
Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\arctg»): {\displaystyle \phi(t,x) = 4\arctg e^{\pm \gamma (x-ut-x_0)} } | (EQN)
|
с локализованной плотностью энергии:
и импульсом . Масса такого солитона равна . Форма нелинейной функции , решение и плотность энергии в системе покоя солитона () приведены на рисунках ниже:
В обоих моделях локализованной оказалась плотность энергии, но не поле. В модели Хиггса поле изменяется от до . В синус-Гордоне от 0 до . Оба значения являются классическими вакуумами модели. Такие солитоны называются кинками (kink — изгиб). В модели Хиггса классических вакуумов только 2 в модели синус-Гордона их бесконечно много, причем существует обычный вакуум нулевого поля .
Решения подобные кинкам часто называют топологическими. Это название связано с перечислением способов отождествления двух предельных точек и классических вакуумов системы. Такие отожествления можно представить в виде линий, соединяющих предельные точки и вакуумы. Переплетение таких линий обладает определенной топологией (имеет ряд свойств, не зависящих от расстояний и других геометрических свойств). Для одномерного скалярного поля топология достаточно тривиальна, однако в более сложных моделях она может оказаться уже не такой простой.
Солитоны достаточно устойчивые образования и небольшие внешние возмущения их не разрушают. Рассмотрим соответствующее условие устойчивости \cite{Rubakov2010}. Пусть поле равно , где — солитонное решение, а — небольшое возмущение. Подставим эту сумму в уравнение движения и разложим в ряд по :
Так как солитон удовлетворяет уравнению , возмущение в системе отсчета, где солитон неподвижен () должно удовлетворять линейному уравнению:
Будем искать его решение в виде . Тогда удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка:
(EQN)
|
где . Потребуем, чтобы функция на бесконечности убывала (возмущение только в окрестности максимума плотности энергии солитона). Подобная задача с граничными условиями называется задачей Штурма — Лиувилля. В квантовой механике ей соответствует стационарное уравнение Шредингера с потенциалом и энергией . Граничные условия приводят к тому, что значения частот ограничены снизу и могут принимать дискретные значения. Если ( — действительно), то возмущения не растут со временем. Если же существует хотя бы одно отрицательное , то и с течением времени солитонное решение будет разрушаться экспоненциально растущим во времени возмущением.
Для модели Хиггса (H) и синус-Гордона (SG), получаются следующие "потенциалы":
Их собственные значения неотрицательны, поэтому соответствующие солитоны устойчивы. Заметим, что минимальная частота в обоих случаях равна нулю. Действительно, в системе покоя удовлетворяет уравнению . Дифференцируя его по , получаем () с и .
Аналогичным образом анализируется устойчивость в более сложных моделях. Подобная устойчивость решения в математике называется устойчивостью по Ляпунову.
Полученный критерий устойчивости () работает только при малых возмущениях. Однако оказывается, что в ряде случаев солитоны сохраняют свою форму и после достаточно сильных потрясений. Эволюцию произвольного решения нелинейного уравнения удобно анализировать численно при помощи компьютера. Для этого необходимо задать начальные условия и и затем, аппроксимируя производные при помощи конечных разностей, находить решение в произвольный момент времени. Для этого непрерывное 2-мерное пространство заменяют дискретной сеткой с малым шагом по оси времени и — по оси координат. Соответственно поле является массивом . Частные производные заменяются разностями:
Подставляя их в уравнение движения (), получаем:
Задав начальные условия и при помощи этого соотношения для каждой координаты получаются . Аналогично, двигаясь по оси находим поле в произвольный момент времени. Естественно, это простейший метод и он может быть улучшен при помощи самых различных приемов \cite{Mahankov1983}.
Рассмотрим в качестве примера столкновение кинка и антикинка в модели синус-Гордона. Кинк соответствует знаку плюс в решении (), а антикинк — минусу. Несмотря на нелинейность уравнения сложим эти два решения и воспользуемся полученной функцией в качестве начальных условий и . Численное моделирование приводит к следующим четырем кадрам столкновения двух солитонов, движущихся навстречу со скоростями и (изображена плотность энергии системы ):
Видно, что после столкновения солитоны восстанавливают свою форму и продолжают двигаться с теми же скоростями, что и до столкновения.
Выше мы искали решения нелинейных полевых уравнений в виде . В системе покоя () это решение является статическим (не зависит от ). Оказывается, что существую динамические солитонные решения, которые в системе покоя испытывают периодические колебания. Такие решения называют бризерами (от английского breathe - дышать). Будем искать решение уравнения синус-Гордона () в виде
Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\arctg»): {\displaystyle \phi(t,x) = 4\arctg \left\{\frac{f(t)}{g(x)}\right\}.}
Подставляя в , где индексы — соответствующие производные по и , получаем:
(EQN)
|
В правой части первый член в круглых скобках зависит только от , а второй — только от . Поэтому беря производную по , а затем по мы от них избавляемся. В результате получается уравнение:
Левая часть уравнения зависит только от времени, а правая только от координаты. Это возможно, если обе части уравнения равны некоторой константе. Обозначим её через . В результате получаем два обыкновенных дифференциальных уравнений. Например, для :
Умножая обе части на и интегрируя, имеем:
где — константа интегрирования. Умножая обе части на и интегрируя еще раз, имеем (уравнение для выглядит также, но с заменой знака у и другими константами интегрирования и ):
Разделение переменных (константа ) мы провели для уравнения третьего порядка, тогда как исходное уравнение имеет второй порядок. Поэтому константы интегрирования не являются независимыми. Подставим найденные производные , , , в исходное уравнение (). Оно будет выполняться, если и . Поэтому:
(EQN)
|
Дальнейшее интегрирование приводит к эллиптическим интегралам.
Рассмотрим частные случаи. Если , , имеем и , что приводит к решению в виде движущегося со скоростью кинка или антикинка ().
Если , , , после интегрирования, получаем \cite{PerringSkyrme1962}:
Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\arctg»): {\displaystyle \phi(t,x) = 4 \arctg\left\{ \frac{ \sqrt{1-\omega^2} }{\omega}\, \frac{\sin \bigl(\omega t\bigr)}{\mathrm{ch}\,\bigl(\sqrt{1-\omega^2}\,x\bigr)}\right\}. } | (EQN)
|
Это типичный бризер. Его амплитуда периодически изменяется со временем с частотой . В отличие от кинка, поле бризера убывает на бесконечности в обе стороны от максимума. При этом максимум неподвижен, т.е. мы получили решение в системе покоя бризера. Так как уравнения ковариантны, всегда можно заставить бризер двигаться, подставив в решение преобразования Лоренца и .
Плотность энергии бизера равна:
и в случае решения () принимает вид:
где и . Ниже на рисунке приведены графики поля (слева) и плотности энергии (справа) бризера в различные моменты времени при :
Плотность энергии меняется со временем, однако полная энергия сохраняется, и масса бризера равна:
Таким образом, чем меньше частота колебаний бризера, тем больше будет его масса и тем уже и выше он будет.
Нелинейная электродинамика << | Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) | >> Кватернионы |
---|
Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии