Совместная и условная вероятность — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показана 1 промежуточная версия этого же участника)
Строка 11: Строка 11:
 
Совместная вероятность позволяет вычислять среднее от произвольной функции двух аргументов:
 
Совместная вероятность позволяет вычислять среднее от произвольной функции двух аргументов:
  
<math>(1.15)~~~~~~~~~~~~~~~~ \left\langle F(x,y)\right\rangle  =\int\limits^\infty_{-\infty} F(x,y) \cdot P(x,y)\, dx\,dy. </math>
+
{| width="100%" 
 +
| width="90%" align="center"|<math>\left\langle F(x,y)\right\rangle  =\int\limits^\infty_{-\infty} F(x,y) \cdot P(x,y)\, dx\,dy. </math>
 +
|  <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1.15)'''</div>
 +
|}
  
 
Если мы не интересуемся значением величины <math>\textstyle y</math>,  можно <math>\textstyle P(x,y)</math> проинтегрировать по всем её возможным реализациям и получить плотность вероятности только для величины <math>\textstyle x</math>:
 
Если мы не интересуемся значением величины <math>\textstyle y</math>,  можно <math>\textstyle P(x,y)</math> проинтегрировать по всем её возможным реализациям и получить плотность вероятности только для величины <math>\textstyle x</math>:
  
<math>(1.16)~~~~~~~~~~~~~~~~  \int\limits^\infty_{-\infty}  P(x,y) \,dy = P(x). </math>
+
{| width="100%" 
 +
| width="90%" align="center"|<math>\int\limits^\infty_{-\infty}  P(x,y) \,dy = P(x). </math>
 +
|  <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1.16)'''</div>
 +
|}
  
 
Интегрирование ещё раз левой  и правой части по <math>\textstyle x</math> даст единицу. Поэтому ''условие нормировки'' имеет форму двойного интеграла. Оно получается из (1.15), если положить <math>\textstyle F(x,y)=1</math>, так как <math>\textstyle \left\langle 1\right\rangle =1</math>.
 
Интегрирование ещё раз левой  и правой части по <math>\textstyle x</math> даст единицу. Поэтому ''условие нормировки'' имеет форму двойного интеграла. Оно получается из (1.15), если положить <math>\textstyle F(x,y)=1</math>, так как <math>\textstyle \left\langle 1\right\rangle =1</math>.
Строка 25: Строка 31:
 
<math>\textstyle \bullet</math> Кроме совместной вероятности двух величин <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math> удобно ввести ''условную плотность вероятности''. Она отвечает на вопрос,  "какова вероятность <math>\textstyle y</math>, если уже известно значение величины <math>\textstyle x</math>". Условная плотность равна совместной <math>\textstyle P(x,y)</math>, нормированной на вероятность уже доступной информации <math>\textstyle P(x)</math>:
 
<math>\textstyle \bullet</math> Кроме совместной вероятности двух величин <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle y</math> удобно ввести ''условную плотность вероятности''. Она отвечает на вопрос,  "какова вероятность <math>\textstyle y</math>, если уже известно значение величины <math>\textstyle x</math>". Условная плотность равна совместной <math>\textstyle P(x,y)</math>, нормированной на вероятность уже доступной информации <math>\textstyle P(x)</math>:
  
<math>(1.17)~~~~~~~~~~~~~~~~ { \;P(x\Rightarrow y)=\frac{P(x,y)}{P(x)}\; }. </math>
+
{| width="100%" 
 +
| width="90%" align="center"|<math>{ \;P(x\Rightarrow y)=\frac{P(x,y)}{P(x)}\; }. </math>
 +
|  <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1.17)'''</div>
 +
|}
  
 
В качестве примера для  <math>\textstyle P(x)</math> рассмотрим [[Нормальное_распределение|нормальное распределение]], а для совместной плотности вероятности <math>\textstyle P(x,y)</math> &mdash; "двумерную повёрнутую" гауссиану:
 
В качестве примера для  <math>\textstyle P(x)</math> рассмотрим [[Нормальное_распределение|нормальное распределение]], а для совместной плотности вероятности <math>\textstyle P(x,y)</math> &mdash; "двумерную повёрнутую" гауссиану:
Строка 37: Строка 46:
 
Объём под  <math>\textstyle P(x,y)</math> равен единице, тогда как под <math>\textstyle P(x \Rightarrow y)</math> &mdash; бесконечности. Нормировка условной вероятности имеет смысл получения любого значения <math>\textstyle y</math> при данном <math>\textstyle x</math>:
 
Объём под  <math>\textstyle P(x,y)</math> равен единице, тогда как под <math>\textstyle P(x \Rightarrow y)</math> &mdash; бесконечности. Нормировка условной вероятности имеет смысл получения любого значения <math>\textstyle y</math> при данном <math>\textstyle x</math>:
  
<math>(1.18)~~~~~~~~~~~~~~~~ \int\limits^\infty_{-\infty}  P(x \Rightarrow y) \,dy = 1. </math>
+
{| width="100%" 
 +
| width="90%" align="center"|<math>\int\limits^\infty_{-\infty}  P(x \Rightarrow y) \,dy = 1. </math>
 +
|  <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1.18)'''</div>
 +
|}
  
 
Стоит проверить, что формула (1.18) согласуется с (1.16).
 
Стоит проверить, что формула (1.18) согласуется с (1.16).

Текущая версия на 14:44, 17 февраля 2010

Нормальное распределение << Оглавление >> Вероятностные свойства языка

Пусть мы имеем дело с двумя случайными величинами и . В этом случае наблюдаются пары эмпирических значений и т.д., возникающие с той или иной частотой. Поэтому можно говорить о совместной плотности вероятности того, что величины принимают некоторые значения в окрестности и .

Совместная вероятность позволяет вычислять среднее от произвольной функции двух аргументов:

(1.15)

Если мы не интересуемся значением величины , можно проинтегрировать по всем её возможным реализациям и получить плотность вероятности только для величины :

(1.16)

Интегрирование ещё раз левой и правой части по даст единицу. Поэтому условие нормировки имеет форму двойного интеграла. Оно получается из (1.15), если положить , так как .

Одновременное изучение и необязательно означает их временное совпадение. Например, в финансах может быть изменением цены за день европейского фондового индекса, а — американского, торгуемого после европейского. Между ними существует причинная связь, разделённая временем. С другой стороны, изменение цен двух акций и за день происходит одновременно и зависит от внешних синхронизирующих факторов (новости, макроэкономика и т.д.).

Как мы увидим в следующем разделе, совместная плотность вероятности особенно важна, если между случайными величинами существует некоторая зависимость. Эта связь может иметь функциональную форму . Тогда, если для реализуется некоторое значение, то величина будет полностью предопределена. Однако чаще , где — третья, "ненаблюдаемая", случайная переменная. Она может быть непредсказуемым внешним воздействием, меняющим параметры функциональной зависимости , или динамической переменной, которую мы не учли в более простой модели.

Кроме совместной вероятности двух величин и удобно ввести условную плотность вероятности. Она отвечает на вопрос, "какова вероятность , если уже известно значение величины ". Условная плотность равна совместной , нормированной на вероятность уже доступной информации :

(1.17)

В качестве примера для рассмотрим нормальное распределение, а для совместной плотности вероятности — "двумерную повёрнутую" гауссиану:

Совместная и условная вероятности представлены на рисунке ниже:

Gauss prob.png

Объём под равен единице, тогда как под — бесконечности. Нормировка условной вероятности имеет смысл получения любого значения при данном :

(1.18)

Стоит проверить, что формула (1.18) согласуется с (1.16).

Для условной вероятности распространено обозначение . Однако ниже мы увидим, что оказывается более естественной записью при описании цепочек связанных между собой событий. В любом случае , как и , — это функция двух вещественных аргументов.

Условная вероятность важна, так как позволяет связать друг с другом разнообразные события, отражая их причинно-следственную связь.


Нормальное распределение << Оглавление >> Вероятностные свойства языка

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения