Случайные процессы

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Модель аддитивного блуждания << Оглавление >> Мартингалы

В общем случае мы называем случайным процессом упорядоченную последовательность случайных величин . Вместо индекса, перечисляющего величины, удобно использовать функциональную форму . Если параметр принимает дискретные значения, то мы имеем дело с дискретным случайным процессом. Если же — непрерывное время, то это непрерывный случайный процесс во времени. В этом случае называется случайной функцией. Заметим, что она может быть и разрывной, например, если в каждый момент времени равно независимой гауссовой величине (гауссовый шум).

Случайный процесс необходимо описывать совместной плотностью вероятности для каждого момента времени:

(1.43)

где явным образом указывают, к какому моменту времени относится значение случайной величины . Понятно, что в случае непрерывных процессов работать с такой плотностью вероятности достаточно сложно. Поэтому её размерность стараются уменьшить. Если проинтегрировать по всем случайным величинам , кроме одной, получится плотность вероятности в фиксированный момент времени . Аналогично можно определить плотность вероятности в два произвольных момента времени , и т.д. Заметим, что , в отличие от , — это не случайная величина, а параметр.

Часто процесс изучается после того, как стало известным его начальное значение в момент времени . В этом случае целесообразно применять условные плотности вероятности. Например, одноточечная:

или двухточечная:

Они будут основными объектами при описании случайных процессов.

Случайные величины, совокупность которых образует случайный процесс, могут быть как независимыми, так и связанными. Если величины независимы, график выборочного процесса будет выглядеть, как хаотические выбросы вверх и вниз от среднего значения. Такой процесс называют шумом. При наличии некоторой связи между последовательными значениями график может иметь хотя и очень изломанную, но всё же относительно связную динамику. Примером подобного процесса является дискретное аддитивное блуждание, рассмотренное выше.

Описание случайного процесса существенно упрощается, если его полная плотность вероятности (1.43) или соответствующая ей условная вероятность обладают некоторыми свойствами, позволяющими связывать прошлые и будущие значения. Нас будет интересовать класс случайных процессов, для которых условная вероятность зависит только от последнего известного значения, а не от всей предыстории:

где опущены моменты времени. Как мы уже говорили, подобные процессы являются марковскими. При выполнении условия марковости совместную плотность вероятности произвольной размерности можно выразить через произведение условных вероятностей , см. (1.42). В этом случае для полного описания свойств случайного процесса достаточно знания функции только четырех аргументов, а не бесконечного их числа, как в формуле (1.43).

Чтобы в результате эмпирических исследований выяснить форму даже простой условной плотности вероятности , необходимо достаточно большое количество реализаций случайных процессов. Поэтому, как и для обычных случайных величин, важную роль играют интегральные характеристики случайного процесса. Естественно, они становятся функциями времени. Если известно значение процесса в момент времени , то условное среднее значение равно:

(1.44)

Аналогично определяется условная дисперсия (квадрат волатильности):

(1.45)

Далее мы будем говорить о решениях стохастических дифференциальных уравнений. В случае, когда случайные воздействия Noise на изменение величины невелики, среднее значение будет приближённо соответствовать гладкому решению обыкновенного дифференциального уравнения без стохастического воздействия. Волатильность при этом характеризует типичный "коридор" колебаний различных реализаций случайного процесса вокруг этого среднего значения.

Среднее значение и волатильность стохастического процесса не полностью характеризуют основные особенности его динамики. Ниже на рисунке приведены несколько реализаций двух различных процессов:

Correl 2 process.png

Они имеют одинаковое среднее (центральная пунктирная линия) и волатильность — точечный "коридор", нарисованный вокруг среднего. Тем не менее хорошо видно, что характер этих процессов различный, и правый имеет менее "гладкую" динамику.

Поэтому важной характеристикой стохастического процесса является связь "прошлого" и "будущего". Определим автоковариацию между двумя моментами времени при условии, что при наблюдалось значение :

(1.46)

где — среднее значение в момент времени , а . Приставка "авто-" в названии подчёркивает, что ковариация вычисляется между величиной в момент времени и ей же в другой момент .

Среднее определяется при помощи условной плотности вероятности и предполагает однократное интегрирование по [см. (1.44).] Фактически зависит не только от , но и от начальных условий и . Для определения автоковариационной функции необходимо выполнить двойное интегрирование:

(1.47)

где — плотность совместной вероятности значений и в моменты времени и при условии, что в момент времени мы имеем .

Эту вероятность можно выразить через марковские условные вероятности. По определению (опуская для краткости времена):

(1.48)

Для трёхточечной совместной вероятности запишем цепочку марковских вероятностей:

Подставляя её в формулу (1.48) и "возвращая" моменты времени, окончательно получим:

(1.49)

Для независимых величин и совместная плотность вероятности равна произведению плотностей вероятности каждой из переменных. В марковских процессах для условных вероятностей это тоже происходит, но функции "цепляются" друг за друга, в нашем случае — аргументом . Поэтому в (1.47) нельзя разделить интегралы, и автоковариация в общем случае не равна нулю.

Индекс начального момента времени в записи автоковариационного коэффициента мы будем часто опускать, однако он всегда подразумевается. Как и для волатильности случайной величины, автоковариацию можно вычислять по эквивалентной формуле:

(1.50)

где мы перемножили в определении (1.46) скобки и разбили среднее суммы на сумму средних. Заметим, что автоковариация при равна дисперсии процесса: .

Автокорреляция является нормированной автоковариацией и определяется следующим образом:

(1.51)

Как и для обычных случайных величин, автокорреляция является мерой возможности прогнозирования будущего значения , если наблюдается . При этом и , и являются случайными величинами. Детерминированным обычно считается только начальное условие , хотя и это не обязательно.


Модель аддитивного блуждания << Оглавление >> Мартингалы

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения