Случайные величины

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск

Рассмотрим величину, различные наблюдения которой дают нам набор чисел Это могут быть значения ежедневных цен акции или координаты броуновской частицы. Числа можно рассматривать как возможные реализации случайной величины .\index{случайная!величина} На первом этапе исследования мы не интересуемся порядком их поступления и можем эту последовательность произвольным образом перемешивать.

Допустим, встречается раз, а общее количество чисел равно . Мы называем средним значением \index{среднее!значение} случайной величины выражение:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \left<x\right> }
Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \bar{x} = \left<x\right>= \frac{1}{n}\sum_i x_i n_i = \sum_i x_i p_i = \int\limits^\infty_{-\infty} x P(x)\,dx, }

где -- относительные частоты (или вероятности)\index{частота}\index{вероятность} \index{частота}\index{вероятность} появления того или иного . Если все различны, то среднее равно их сумме, делённой на . Чем вероятнее , тем больший вклад оно даёт в среднее.

Большинство финансовых или физических величин непрерывны. При бесконечном числе наблюдений вместо суммы возникает интеграл. Плотностью распределения вероятностей\index{плотность вероятности} называют такую функцию , умножение которой на интервал дает вероятность того, что значение окажется в отрезке от до .

Вероятность обнаружить случайную величину в любом месте диапазона равна площади под кривой . Понятно, что такое достоверное событие \index{достоверное событие} имеет единичную вероятность: \parbox{7cm}{ \begin{center} \includegraphics{pic/integral.eps}\ } \parbox{8cm}{

} \end{center} Это соотношение называют условием нормировки.\index{условие!нормировки}

Иногда случайная величина имеет запрещённые значения. Например, цена или количество кроликов всегда положительны. В этом случае вероятность обнаружить в области равна нулю. При вычислении средних мы часто будем интегрировать от минус до плюс бесконечности. При этом предполагается, что в запрещённых для случайной величины интервалах плотность вероятности равна нулю.

Если известна плотность вероятности, то можно найти среднее значение произвольной функции случайной величины :

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \left<F(x)\right> = \overline{F(x)}= \int\limits^\infty_{-\infty} F(x) P(x)\,dx.}

Мы обозначаем операцию усреднения при помощи двух эквивалентных символов -- фигурных скобок или черты сверху. В математической и финансовой литературе распространено также обозначение .

Так как среднее является суммой (интегралом), то среднее суммы двух выражений равно сумме их средних. Кроме этого, за знак среднего можно выносить константу:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \left<\alpha \cdot f(x)\right>=\alpha\cdot\left<f(x)\right>, \left<f(x)+g(x)\right>=\left<f(x)\right>+\left<g(x)\right>.}

Но это и всё! Нелинейные функции, в общем случае, не могут быть вынесены из-под знака среднего: Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle \left<x^2\right> \neq \left<x\right>^2} .

Второй важнейшей характеристикой случайной величины является её волатильность :\index{волатильность}

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sigma^2=\left<(x-\bar{x})^2\right> = \int\limits^\infty_{-\infty} (x-\bar{x})^2 P(x)\,dx.}

Волатильность в нефинансовых приложениях обычно называется среднеквадратичным отклонением. Её квадрат -- это дисперсия или вариация, .\index{дисперсия}\index{вариация} Среднее значение как константу можно вынести за знак усреднения, поэтому:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \sigma^2=\left<(x-\bar{x})^2\right> = \left<x^2-2x\bar{x}+\bar{x}^2\right> = \left<x^2\right>-2\bar{x}\left<x\right>+\bar{x}^2 = \left<x^2\right> - \left<x\right>^2.}

Среднее обычно характеризует наиболее типичное значение случайной величины . Волатильность -- это типичные отклонения от своего среднего. Чем меньше , тем уже плотность вероятности . Если она имеет единственный максимум в окрестности , то при случайная величина становится практически детерминированной со значением .

Аналогично дисперсии можно определить моменты\index{момент} более высоких порядков. Так, безразмерные отношения

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle asym=\left<(x-\bar{x})^3\right>/\sigma^3, excess=\left<(x-\bar{x})^4\right>/\sigma^4 - 3 }

называются асимметрией и эксцессом. Асимметрия характеризует скошенность плотности вероятности и для симметричной она равна нулю. При больших положительных эксцессах медленнее убывает при удалении от среднего, чем при малых.\index{асимметрия}\index{эксцесс}