Случайные величины

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Случайные величины << >>

Рассмотрим величину, различные наблюдения которой дают нам набор чисел Это могут быть значения ежедневных цен акции или координаты броуновской частицы. Числа можно рассматривать как возможные реализации случайной величины .\index{случайная!величина} На первом этапе исследования мы не интересуемся порядком их поступления и можем эту последовательность произвольным образом перемешивать.

Допустим, встречается раз, а общее количество чисел равно . Мы называем средним значением \index{среднее!значение} случайной величины выражение:

где -- относительные частоты (или вероятности)\index{частота}\index{вероятность} \index{частота}\index{вероятность} появления того или иного . Если все различны, то среднее равно их сумме, делённой на . Чем вероятнее , тем больший вклад оно даёт в среднее.

Большинство финансовых или физических величин непрерывны. При бесконечном числе наблюдений вместо суммы возникает интеграл. Плотностью распределения вероятностей\index{плотность вероятности} называют такую функцию , умножение которой на интервал дает вероятность того, что значение окажется в отрезке от до .

Вероятность обнаружить случайную величину в любом месте диапазона равна площади под кривой . Понятно, что такое достоверное событие \index{достоверное событие} имеет единичную вероятность: \parbox{7cm}{ \begin{center} \includegraphics{pic/integral.eps}\ } \parbox{8cm}{

} \end{center} Это соотношение называют условием нормировки.\index{условие!нормировки}

Иногда случайная величина имеет запрещённые значения. Например, цена или количество кроликов всегда положительны. В этом случае вероятность обнаружить в области равна нулю. При вычислении средних мы часто будем интегрировать от минус до плюс бесконечности. При этом предполагается, что в запрещённых для случайной величины интервалах плотность вероятности равна нулю.

Если известна плотность вероятности, то можно найти среднее значение произвольной функции случайной величины :

Мы обозначаем операцию усреднения при помощи двух эквивалентных символов -- фигурных скобок или черты сверху. В математической и финансовой литературе распространено также обозначение .

Так как среднее является суммой (интегралом), то среднее суммы двух выражений равно сумме их средних. Кроме этого, за знак среднего можно выносить константу:

Но это и всё! Нелинейные функции, в общем случае, не могут быть вынесены из-под знака среднего: .

Второй важнейшей характеристикой случайной величины является её волатильность :\index{волатильность}

Волатильность в нефинансовых приложениях обычно называется среднеквадратичным отклонением. Её квадрат -- это дисперсия или вариация, .\index{дисперсия}\index{вариация} Среднее значение как константу можно вынести за знак усреднения, поэтому:

Среднее обычно характеризует наиболее типичное значение случайной величины . Волатильность -- это типичные отклонения от своего среднего. Чем меньше , тем уже плотность вероятности . Если она имеет единственный максимум в окрестности , то при случайная величина становится практически детерминированной со значением .

Аналогично дисперсии можно определить моменты\index{момент} более высоких порядков. Так, безразмерные отношения

называются асимметрией и эксцессом. Асимметрия характеризует скошенность плотности вероятности и для симметричной она равна нулю. При больших положительных эксцессах медленнее убывает при удалении от среднего, чем при малых.\index{асимметрия}\index{эксцесс}