Случайные величины — различия между версиями
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
||
Строка 16: | Строка 16: | ||
Большинство финансовых или физических величин непрерывны. При бесконечном числе наблюдений вместо суммы возникает интеграл. ''Плотностью распределения вероятностей'' называют такую функцию <math>\textstyle P(x)</math>, умножение которой на интервал <math>\textstyle dx</math> дает вероятность <math>\textstyle p_i</math> того, что значение <math>\textstyle x</math> окажется в отрезке от <math>\textstyle x</math> до <math>\textstyle x+dx</math>. | Большинство финансовых или физических величин непрерывны. При бесконечном числе наблюдений вместо суммы возникает интеграл. ''Плотностью распределения вероятностей'' называют такую функцию <math>\textstyle P(x)</math>, умножение которой на интервал <math>\textstyle dx</math> дает вероятность <math>\textstyle p_i</math> того, что значение <math>\textstyle x</math> окажется в отрезке от <math>\textstyle x</math> до <math>\textstyle x+dx</math>. | ||
− | Вероятность обнаружить случайную величину <math>\textstyle x</math> в любом месте диапазона <math>\textstyle [-\infty..\infty]</math> равна площади под кривой <math>\textstyle P(x)</math>. Понятно, что такое ''достоверное событие'' имеет единичную вероятность: \parbox{7cm | + | Вероятность обнаружить случайную величину <math>\textstyle x</math> в любом месте диапазона <math>\textstyle [-\infty..\infty]</math> равна площади под кривой <math>\textstyle P(x)</math>. Понятно, что такое ''достоверное событие'' имеет единичную вероятность: \parbox{7cm}{ |
+ | <gallery> | ||
+ | Файл:stat_stoch.gif | ||
:<math> \displaystyle \sum_i p_i = \int\limits^{\infty}_{-\infty} P(x) dx = 1. </math> | :<math> \displaystyle \sum_i p_i = \int\limits^{\infty}_{-\infty} P(x) dx = 1. </math> | ||
− | + | </gallery> | |
− | + | ||
+ | Это соотношение называют ''условием нормировки''. | ||
Иногда случайная величина имеет ''запрещённые'' значения. Например, цена или количество кроликов всегда положительны. В этом случае вероятность обнаружить <math>\textstyle x</math> в области <math>\textstyle x<0</math> равна нулю. При вычислении средних мы часто будем интегрировать от минус до плюс бесконечности. При этом предполагается, что в ''запрещённых'' для случайной величины интервалах плотность вероятности равна нулю. | Иногда случайная величина имеет ''запрещённые'' значения. Например, цена или количество кроликов всегда положительны. В этом случае вероятность обнаружить <math>\textstyle x</math> в области <math>\textstyle x<0</math> равна нулю. При вычислении средних мы часто будем интегрировать от минус до плюс бесконечности. При этом предполагается, что в ''запрещённых'' для случайной величины интервалах плотность вероятности равна нулю. | ||
Строка 28: | Строка 31: | ||
:<math>\left \langle F(x)\right \rangle = \overline{F(x)}= \int\limits^\infty_{-\infty} F(x) P(x)\,dx.</math> | :<math>\left \langle F(x)\right \rangle = \overline{F(x)}= \int\limits^\infty_{-\infty} F(x) P(x)\,dx.</math> | ||
− | Мы обозначаем ''операцию'' усреднения при помощи двух ''эквивалентных'' символов -- фигурных скобок или черты сверху. В математической и финансовой литературе распространено также обозначение <math>\textstyle | + | Мы обозначаем ''операцию'' усреднения при помощи двух ''эквивалентных'' символов -- фигурных скобок или черты сверху. В математической и финансовой литературе распространено также обозначение <math>\textstyle \mathbf{E} F(x)</math>. |
Так как среднее является суммой (интегралом), то среднее суммы двух выражений равно сумме их средних. Кроме этого, за знак среднего можно выносить константу: | Так как среднее является суммой (интегралом), то среднее суммы двух выражений равно сумме их средних. Кроме этого, за знак среднего можно выносить константу: |
Версия 15:25, 15 января 2010
Стохастические уравнения << | >> Совместная вероятность |
Рассмотрим величину, различные наблюдения которой дают нам набор чисел Это могут быть значения ежедневных цен акции или координаты броуновской частицы. Числа можно рассматривать как возможные реализации случайной величины . На первом этапе исследования мы не интересуемся порядком их поступления и можем эту последовательность произвольным образом перемешивать.
Допустим, встречается раз, а общее количество чисел равно . Мы называем средним значением случайной величины выражение:
где -- относительные частоты (или вероятности) появления того или иного . Если все различны, то среднее равно их сумме, делённой на . Чем вероятнее , тем больший вклад оно даёт в среднее.
Большинство финансовых или физических величин непрерывны. При бесконечном числе наблюдений вместо суммы возникает интеграл. Плотностью распределения вероятностей называют такую функцию , умножение которой на интервал дает вероятность того, что значение окажется в отрезке от до .
Вероятность обнаружить случайную величину в любом месте диапазона равна площади под кривой . Понятно, что такое достоверное событие имеет единичную вероятность: \parbox{7cm}{
Это соотношение называют условием нормировки.
Иногда случайная величина имеет запрещённые значения. Например, цена или количество кроликов всегда положительны. В этом случае вероятность обнаружить в области равна нулю. При вычислении средних мы часто будем интегрировать от минус до плюс бесконечности. При этом предполагается, что в запрещённых для случайной величины интервалах плотность вероятности равна нулю.
Если известна плотность вероятности, то можно найти среднее значение произвольной функции случайной величины :
Мы обозначаем операцию усреднения при помощи двух эквивалентных символов -- фигурных скобок или черты сверху. В математической и финансовой литературе распространено также обозначение .
Так как среднее является суммой (интегралом), то среднее суммы двух выражений равно сумме их средних. Кроме этого, за знак среднего можно выносить константу:
Но это и всё! Нелинейные функции, в общем случае, не могут быть вынесены из-под знака среднего: .
Второй важнейшей характеристикой случайной величины является её волатильность :
Волатильность в нефинансовых приложениях обычно называется среднеквадратичным отклонением. Её квадрат -- это дисперсия или вариация, . Среднее значение как константу можно вынести за знак усреднения, поэтому:
Среднее обычно характеризует наиболее типичное значение случайной величины . Волатильность -- это типичные отклонения от своего среднего. Чем меньше , тем уже плотность вероятности . Если она имеет единственный максимум в окрестности , то при случайная величина становится практически детерминированной со значением .
Аналогично дисперсии можно определить моменты более высоких порядков. Так, безразмерные отношения
называются асимметрией и эксцессом. Асимметрия характеризует скошенность плотности вероятности и для симметричной она равна нулю. При больших положительных эксцессах медленнее убывает при удалении от среднего, чем при малых.
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения