Случайные величины — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 +
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
 
  |[[Случайные величины]] <<  
 
  |[[Случайные величины]] <<  
Строка 6: Строка 7:
 
----
 
----
  
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим величину, различные наблюдения  которой дают нам набор чисел <math>\textstyle x_1, x_2, ...</math> Это могут быть значения ежедневных цен акции или координаты броуновской частицы. Числа <math>\textstyle x_1,x_2,\,...</math> можно рассматривать как возможные реализации ''случайной величины'' <math>\textstyle x</math>.\index{случайная!величина} На первом этапе исследования мы не интересуемся порядком их поступления и можем эту последовательность произвольным образом перемешивать.
+
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим величину, различные наблюдения  которой дают нам набор чисел <math>\textstyle x_1, x_2, ...</math> Это могут быть значения ежедневных цен акции или координаты броуновской частицы. Числа <math>\textstyle x_1,x_2,\,...</math> можно рассматривать как возможные реализации ''случайной величины'' <math>\textstyle x</math>. На первом этапе исследования мы не интересуемся порядком их поступления и можем эту последовательность произвольным образом перемешивать.
  
Допустим, <math>\textstyle x_i</math>  встречается <math>\textstyle n_i</math> раз, а общее количество чисел равно <math>\textstyle n</math>. Мы называем  ''средним значением'' \index{среднее!значение} случайной величины <math>\textstyle x</math> выражение:
+
Допустим, <math>\textstyle x_i</math>  встречается <math>\textstyle n_i</math> раз, а общее количество чисел равно <math>\textstyle n</math>. Мы называем  ''средним значением'' случайной величины <math>\textstyle x</math> выражение:
  
 
:<math> \bar{x} = \left  \langle x\right \rangle= \frac{1}{n}\sum_i x_i n_i  = \sum_i x_i p_i  = \int\limits^\infty_{-\infty} x P(x)\,dx, </math>
 
:<math> \bar{x} = \left  \langle x\right \rangle= \frac{1}{n}\sum_i x_i n_i  = \sum_i x_i p_i  = \int\limits^\infty_{-\infty} x P(x)\,dx, </math>
  
где <math>\textstyle p_i = n_i/n</math> -- относительные ''частоты'' (или ''вероятности'')\index{частота}\index{вероятность} \index{частота}\index{вероятность} появления того или иного <math>\textstyle x_i</math>. Если все <math>\textstyle x_i</math> различны, то среднее равно их сумме, делённой на <math>\textstyle n</math>. Чем вероятнее <math>\textstyle x_i</math>, тем больший вклад оно даёт в среднее.
+
где <math>\textstyle p_i = n_i/n</math> -- относительные ''частоты'' (или ''вероятности'') появления того или иного <math>\textstyle x_i</math>. Если все <math>\textstyle x_i</math> различны, то среднее равно их сумме, делённой на <math>\textstyle n</math>. Чем вероятнее <math>\textstyle x_i</math>, тем больший вклад оно даёт в среднее.
  
Большинство финансовых или физических величин непрерывны. При бесконечном числе наблюдений вместо суммы возникает интеграл. ''Плотностью распределения вероятностей''\index{плотность вероятности} называют такую функцию <math>\textstyle P(x)</math>, умножение которой на интервал <math>\textstyle dx</math> дает вероятность <math>\textstyle p_i</math> того, что значение <math>\textstyle x</math>  окажется в отрезке от <math>\textstyle x</math> до <math>\textstyle x+dx</math>.
+
Большинство финансовых или физических величин непрерывны. При бесконечном числе наблюдений вместо суммы возникает интеграл. ''Плотностью распределения вероятностей'' называют такую функцию <math>\textstyle P(x)</math>, умножение которой на интервал <math>\textstyle dx</math> дает вероятность <math>\textstyle p_i</math> того, что значение <math>\textstyle x</math>  окажется в отрезке от <math>\textstyle x</math> до <math>\textstyle x+dx</math>.
  
Вероятность обнаружить случайную величину  <math>\textstyle x</math> в любом месте диапазона <math>\textstyle [-\infty..\infty]</math> равна площади под кривой <math>\textstyle P(x)</math>. Понятно, что такое ''достоверное событие'' \index{достоверное событие} имеет единичную вероятность:  \parbox{7cm}{ \begin{center} \includegraphics{pic/integral.eps}\  } \parbox{8cm}{
+
Вероятность обнаружить случайную величину  <math>\textstyle x</math> в любом месте диапазона <math>\textstyle [-\infty..\infty]</math> равна площади под кривой <math>\textstyle P(x)</math>. Понятно, что такое ''достоверное событие'' имеет единичную вероятность:  \parbox{7cm}{ \begin{center} \includegraphics{pic/integral.eps}\  } \parbox{8cm}{
  
 
:<math> \displaystyle    \sum_i p_i = \int\limits^{\infty}_{-\infty} P(x) dx = 1. </math>
 
:<math> \displaystyle    \sum_i p_i = \int\limits^{\infty}_{-\infty} P(x) dx = 1. </math>
  
} \end{center} Это соотношение называют ''условием нормировки''.\index{условие!нормировки}
+
} \end{center} Это соотношение называют ''условием нормировки''.
  
 
Иногда случайная величина имеет ''запрещённые'' значения. Например, цена или количество кроликов всегда положительны. В этом случае вероятность обнаружить <math>\textstyle x</math> в области <math>\textstyle x<0</math> равна нулю. При вычислении средних мы часто будем интегрировать от минус до плюс бесконечности. При этом предполагается, что в ''запрещённых'' для случайной величины интервалах плотность вероятности равна нулю.
 
Иногда случайная величина имеет ''запрещённые'' значения. Например, цена или количество кроликов всегда положительны. В этом случае вероятность обнаружить <math>\textstyle x</math> в области <math>\textstyle x<0</math> равна нулю. При вычислении средних мы часто будем интегрировать от минус до плюс бесконечности. При этом предполагается, что в ''запрещённых'' для случайной величины интервалах плотность вероятности равна нулю.
Строка 36: Строка 37:
 
Но это и всё! Нелинейные функции, в общем случае, не могут быть вынесены из-под знака среднего: <math>\textstyle \left  \langle x^2\right \rangle \neq \left  \langle x\right \rangle^2</math>.
 
Но это и всё! Нелинейные функции, в общем случае, не могут быть вынесены из-под знака среднего: <math>\textstyle \left  \langle x^2\right \rangle \neq \left  \langle x\right \rangle^2</math>.
  
<math>\textstyle \bullet</math> Второй важнейшей характеристикой случайной величины является её ''волатильность'' <math>\textstyle \sigma</math>:\index{волатильность}
+
<math>\textstyle \bullet</math> Второй важнейшей характеристикой случайной величины является её ''волатильность'' <math>\textstyle \sigma</math>:
  
 
:<math>\sigma^2=\left  \langle (x-\bar{x})^2\right \rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} (x-\bar{x})^2  P(x)\,dx.</math>
 
:<math>\sigma^2=\left  \langle (x-\bar{x})^2\right \rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} (x-\bar{x})^2  P(x)\,dx.</math>
  
Волатильность <math>\textstyle \sigma</math> в ''нефинансовых'' приложениях обычно называется среднеквадратичным отклонением. Её квадрат <math>\textstyle \sigma^2</math> -- это  ''дисперсия'' или ''вариация'', <math>\textstyle \sigma^2='''Var'''(x)</math>.\index{дисперсия}\index{вариация} Среднее значение <math>\textstyle \bar{x}</math> как константу можно вынести за знак усреднения, поэтому:
+
Волатильность <math>\textstyle \sigma</math> в ''нефинансовых'' приложениях обычно называется среднеквадратичным отклонением. Её квадрат <math>\textstyle \sigma^2</math> -- это  ''дисперсия'' или ''вариация'', <math>\textstyle \sigma^2='''Var'''(x)</math>. Среднее значение <math>\textstyle \bar{x}</math> как константу можно вынести за знак усреднения, поэтому:
  
 
:<math>\sigma^2=\left  \langle (x-\bar{x})^2\right \rangle  =  \left  \langle x^2-2x\bar{x}+\bar{x}^2\right \rangle =  \left  \langle x^2\right \rangle-2\bar{x}\left  \langle x\right \rangle+\bar{x}^2 = \left  \langle x^2\right \rangle - \left  \langle x\right \rangle^2.</math>
 
:<math>\sigma^2=\left  \langle (x-\bar{x})^2\right \rangle  =  \left  \langle x^2-2x\bar{x}+\bar{x}^2\right \rangle =  \left  \langle x^2\right \rangle-2\bar{x}\left  \langle x\right \rangle+\bar{x}^2 = \left  \langle x^2\right \rangle - \left  \langle x\right \rangle^2.</math>
Строка 46: Строка 47:
 
Среднее обычно характеризует ''наиболее типичное'' значение случайной величины <math>\textstyle x</math>. Волатильность -- это типичные отклонения <math>\textstyle x</math> от своего среднего. Чем меньше <math>\textstyle \sigma</math>, тем уже плотность вероятности  <math>\textstyle P(x)</math>. Если она имеет единственный максимум в окрестности <math>\textstyle \bar{x}</math>, то при <math>\textstyle \sigma\to 0</math> случайная величина становится практически детерминированной со значением <math>\textstyle x=\bar{x}</math>.
 
Среднее обычно характеризует ''наиболее типичное'' значение случайной величины <math>\textstyle x</math>. Волатильность -- это типичные отклонения <math>\textstyle x</math> от своего среднего. Чем меньше <math>\textstyle \sigma</math>, тем уже плотность вероятности  <math>\textstyle P(x)</math>. Если она имеет единственный максимум в окрестности <math>\textstyle \bar{x}</math>, то при <math>\textstyle \sigma\to 0</math> случайная величина становится практически детерминированной со значением <math>\textstyle x=\bar{x}</math>.
  
Аналогично дисперсии можно определить ''моменты''\index{момент} более высоких порядков. Так, безразмерные отношения
+
Аналогично дисперсии можно определить ''моменты'' более высоких порядков. Так, безразмерные отношения
  
 
:<math> asym=\left  \langle (x-\bar{x})^3\right \rangle/\sigma^3,      excess=\left  \langle (x-\bar{x})^4\right \rangle/\sigma^4 - 3 </math>
 
:<math> asym=\left  \langle (x-\bar{x})^3\right \rangle/\sigma^3,      excess=\left  \langle (x-\bar{x})^4\right \rangle/\sigma^4 - 3 </math>
  
называются ''асимметрией'' и ''эксцессом''. Асимметрия характеризует ''скошенность'' плотности вероятности и для симметричной <math>\textstyle P(x)</math> она равна нулю. При больших положительных эксцессах <math>\textstyle P(x)</math> медленнее убывает при удалении от среднего, чем при малых.\index{асимметрия}\index{эксцесс}
+
называются ''асимметрией'' и ''эксцессом''. Асимметрия характеризует ''скошенность'' плотности вероятности и для симметричной <math>\textstyle P(x)</math> она равна нулю. При больших положительных эксцессах <math>\textstyle P(x)</math> медленнее убывает при удалении от среднего, чем при малых.

Версия 15:14, 15 января 2010

Случайные величины << >>

Рассмотрим величину, различные наблюдения которой дают нам набор чисел Это могут быть значения ежедневных цен акции или координаты броуновской частицы. Числа можно рассматривать как возможные реализации случайной величины . На первом этапе исследования мы не интересуемся порядком их поступления и можем эту последовательность произвольным образом перемешивать.

Допустим, встречается раз, а общее количество чисел равно . Мы называем средним значением случайной величины выражение:

где -- относительные частоты (или вероятности) появления того или иного . Если все различны, то среднее равно их сумме, делённой на . Чем вероятнее , тем больший вклад оно даёт в среднее.

Большинство финансовых или физических величин непрерывны. При бесконечном числе наблюдений вместо суммы возникает интеграл. Плотностью распределения вероятностей называют такую функцию , умножение которой на интервал дает вероятность того, что значение окажется в отрезке от до .

Вероятность обнаружить случайную величину в любом месте диапазона равна площади под кривой . Понятно, что такое достоверное событие имеет единичную вероятность: \parbox{7cm}{ \begin{center} \includegraphics{pic/integral.eps}\ } \parbox{8cm}{

} \end{center} Это соотношение называют условием нормировки.

Иногда случайная величина имеет запрещённые значения. Например, цена или количество кроликов всегда положительны. В этом случае вероятность обнаружить в области равна нулю. При вычислении средних мы часто будем интегрировать от минус до плюс бесконечности. При этом предполагается, что в запрещённых для случайной величины интервалах плотность вероятности равна нулю.

Если известна плотность вероятности, то можно найти среднее значение произвольной функции случайной величины :

Мы обозначаем операцию усреднения при помощи двух эквивалентных символов -- фигурных скобок или черты сверху. В математической и финансовой литературе распространено также обозначение .

Так как среднее является суммой (интегралом), то среднее суммы двух выражений равно сумме их средних. Кроме этого, за знак среднего можно выносить константу:

Но это и всё! Нелинейные функции, в общем случае, не могут быть вынесены из-под знака среднего: .

Второй важнейшей характеристикой случайной величины является её волатильность :

Волатильность в нефинансовых приложениях обычно называется среднеквадратичным отклонением. Её квадрат -- это дисперсия или вариация, . Среднее значение как константу можно вынести за знак усреднения, поэтому:

Среднее обычно характеризует наиболее типичное значение случайной величины . Волатильность -- это типичные отклонения от своего среднего. Чем меньше , тем уже плотность вероятности . Если она имеет единственный максимум в окрестности , то при случайная величина становится практически детерминированной со значением .

Аналогично дисперсии можно определить моменты более высоких порядков. Так, безразмерные отношения

называются асимметрией и эксцессом. Асимметрия характеризует скошенность плотности вероятности и для симметричной она равна нулю. При больших положительных эксцессах медленнее убывает при удалении от среднего, чем при малых.