Случайные величины — различия между версиями
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | |||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
|[[Случайные величины]] << | |[[Случайные величины]] << | ||
Строка 6: | Строка 7: | ||
---- | ---- | ||
− | <math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим величину, различные наблюдения которой дают нам набор чисел <math>\textstyle x_1, x_2, ...</math> Это могут быть значения ежедневных цен акции или координаты броуновской частицы. Числа <math>\textstyle x_1,x_2,\,...</math> можно рассматривать как возможные реализации ''случайной величины'' <math>\textstyle x</math>. | + | <math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим величину, различные наблюдения которой дают нам набор чисел <math>\textstyle x_1, x_2, ...</math> Это могут быть значения ежедневных цен акции или координаты броуновской частицы. Числа <math>\textstyle x_1,x_2,\,...</math> можно рассматривать как возможные реализации ''случайной величины'' <math>\textstyle x</math>. На первом этапе исследования мы не интересуемся порядком их поступления и можем эту последовательность произвольным образом перемешивать. |
− | Допустим, <math>\textstyle x_i</math> встречается <math>\textstyle n_i</math> раз, а общее количество чисел равно <math>\textstyle n</math>. Мы называем ''средним значением'' | + | Допустим, <math>\textstyle x_i</math> встречается <math>\textstyle n_i</math> раз, а общее количество чисел равно <math>\textstyle n</math>. Мы называем ''средним значением'' случайной величины <math>\textstyle x</math> выражение: |
:<math> \bar{x} = \left \langle x\right \rangle= \frac{1}{n}\sum_i x_i n_i = \sum_i x_i p_i = \int\limits^\infty_{-\infty} x P(x)\,dx, </math> | :<math> \bar{x} = \left \langle x\right \rangle= \frac{1}{n}\sum_i x_i n_i = \sum_i x_i p_i = \int\limits^\infty_{-\infty} x P(x)\,dx, </math> | ||
− | где <math>\textstyle p_i = n_i/n</math> -- относительные ''частоты'' (или ''вероятности'') | + | где <math>\textstyle p_i = n_i/n</math> -- относительные ''частоты'' (или ''вероятности'') появления того или иного <math>\textstyle x_i</math>. Если все <math>\textstyle x_i</math> различны, то среднее равно их сумме, делённой на <math>\textstyle n</math>. Чем вероятнее <math>\textstyle x_i</math>, тем больший вклад оно даёт в среднее. |
− | Большинство финансовых или физических величин непрерывны. При бесконечном числе наблюдений вместо суммы возникает интеграл. ''Плотностью распределения вероятностей'' | + | Большинство финансовых или физических величин непрерывны. При бесконечном числе наблюдений вместо суммы возникает интеграл. ''Плотностью распределения вероятностей'' называют такую функцию <math>\textstyle P(x)</math>, умножение которой на интервал <math>\textstyle dx</math> дает вероятность <math>\textstyle p_i</math> того, что значение <math>\textstyle x</math> окажется в отрезке от <math>\textstyle x</math> до <math>\textstyle x+dx</math>. |
− | Вероятность обнаружить случайную величину <math>\textstyle x</math> в любом месте диапазона <math>\textstyle [-\infty..\infty]</math> равна площади под кривой <math>\textstyle P(x)</math>. Понятно, что такое ''достоверное событие'' | + | Вероятность обнаружить случайную величину <math>\textstyle x</math> в любом месте диапазона <math>\textstyle [-\infty..\infty]</math> равна площади под кривой <math>\textstyle P(x)</math>. Понятно, что такое ''достоверное событие'' имеет единичную вероятность: \parbox{7cm}{ \begin{center} \includegraphics{pic/integral.eps}\ } \parbox{8cm}{ |
:<math> \displaystyle \sum_i p_i = \int\limits^{\infty}_{-\infty} P(x) dx = 1. </math> | :<math> \displaystyle \sum_i p_i = \int\limits^{\infty}_{-\infty} P(x) dx = 1. </math> | ||
− | } \end{center} Это соотношение называют ''условием нормировки''. | + | } \end{center} Это соотношение называют ''условием нормировки''. |
Иногда случайная величина имеет ''запрещённые'' значения. Например, цена или количество кроликов всегда положительны. В этом случае вероятность обнаружить <math>\textstyle x</math> в области <math>\textstyle x<0</math> равна нулю. При вычислении средних мы часто будем интегрировать от минус до плюс бесконечности. При этом предполагается, что в ''запрещённых'' для случайной величины интервалах плотность вероятности равна нулю. | Иногда случайная величина имеет ''запрещённые'' значения. Например, цена или количество кроликов всегда положительны. В этом случае вероятность обнаружить <math>\textstyle x</math> в области <math>\textstyle x<0</math> равна нулю. При вычислении средних мы часто будем интегрировать от минус до плюс бесконечности. При этом предполагается, что в ''запрещённых'' для случайной величины интервалах плотность вероятности равна нулю. | ||
Строка 36: | Строка 37: | ||
Но это и всё! Нелинейные функции, в общем случае, не могут быть вынесены из-под знака среднего: <math>\textstyle \left \langle x^2\right \rangle \neq \left \langle x\right \rangle^2</math>. | Но это и всё! Нелинейные функции, в общем случае, не могут быть вынесены из-под знака среднего: <math>\textstyle \left \langle x^2\right \rangle \neq \left \langle x\right \rangle^2</math>. | ||
− | <math>\textstyle \bullet</math> Второй важнейшей характеристикой случайной величины является её ''волатильность'' <math>\textstyle \sigma</math>: | + | <math>\textstyle \bullet</math> Второй важнейшей характеристикой случайной величины является её ''волатильность'' <math>\textstyle \sigma</math>: |
:<math>\sigma^2=\left \langle (x-\bar{x})^2\right \rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} (x-\bar{x})^2 P(x)\,dx.</math> | :<math>\sigma^2=\left \langle (x-\bar{x})^2\right \rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} (x-\bar{x})^2 P(x)\,dx.</math> | ||
− | Волатильность <math>\textstyle \sigma</math> в ''нефинансовых'' приложениях обычно называется среднеквадратичным отклонением. Её квадрат <math>\textstyle \sigma^2</math> -- это ''дисперсия'' или ''вариация'', <math>\textstyle \sigma^2='''Var'''(x)</math>. | + | Волатильность <math>\textstyle \sigma</math> в ''нефинансовых'' приложениях обычно называется среднеквадратичным отклонением. Её квадрат <math>\textstyle \sigma^2</math> -- это ''дисперсия'' или ''вариация'', <math>\textstyle \sigma^2='''Var'''(x)</math>. Среднее значение <math>\textstyle \bar{x}</math> как константу можно вынести за знак усреднения, поэтому: |
:<math>\sigma^2=\left \langle (x-\bar{x})^2\right \rangle = \left \langle x^2-2x\bar{x}+\bar{x}^2\right \rangle = \left \langle x^2\right \rangle-2\bar{x}\left \langle x\right \rangle+\bar{x}^2 = \left \langle x^2\right \rangle - \left \langle x\right \rangle^2.</math> | :<math>\sigma^2=\left \langle (x-\bar{x})^2\right \rangle = \left \langle x^2-2x\bar{x}+\bar{x}^2\right \rangle = \left \langle x^2\right \rangle-2\bar{x}\left \langle x\right \rangle+\bar{x}^2 = \left \langle x^2\right \rangle - \left \langle x\right \rangle^2.</math> | ||
Строка 46: | Строка 47: | ||
Среднее обычно характеризует ''наиболее типичное'' значение случайной величины <math>\textstyle x</math>. Волатильность -- это типичные отклонения <math>\textstyle x</math> от своего среднего. Чем меньше <math>\textstyle \sigma</math>, тем уже плотность вероятности <math>\textstyle P(x)</math>. Если она имеет единственный максимум в окрестности <math>\textstyle \bar{x}</math>, то при <math>\textstyle \sigma\to 0</math> случайная величина становится практически детерминированной со значением <math>\textstyle x=\bar{x}</math>. | Среднее обычно характеризует ''наиболее типичное'' значение случайной величины <math>\textstyle x</math>. Волатильность -- это типичные отклонения <math>\textstyle x</math> от своего среднего. Чем меньше <math>\textstyle \sigma</math>, тем уже плотность вероятности <math>\textstyle P(x)</math>. Если она имеет единственный максимум в окрестности <math>\textstyle \bar{x}</math>, то при <math>\textstyle \sigma\to 0</math> случайная величина становится практически детерминированной со значением <math>\textstyle x=\bar{x}</math>. | ||
− | Аналогично дисперсии можно определить ''моменты'' | + | Аналогично дисперсии можно определить ''моменты'' более высоких порядков. Так, безразмерные отношения |
:<math> asym=\left \langle (x-\bar{x})^3\right \rangle/\sigma^3, excess=\left \langle (x-\bar{x})^4\right \rangle/\sigma^4 - 3 </math> | :<math> asym=\left \langle (x-\bar{x})^3\right \rangle/\sigma^3, excess=\left \langle (x-\bar{x})^4\right \rangle/\sigma^4 - 3 </math> | ||
− | называются ''асимметрией'' и ''эксцессом''. Асимметрия характеризует ''скошенность'' плотности вероятности и для симметричной <math>\textstyle P(x)</math> она равна нулю. При больших положительных эксцессах <math>\textstyle P(x)</math> медленнее убывает при удалении от среднего, чем при малых. | + | называются ''асимметрией'' и ''эксцессом''. Асимметрия характеризует ''скошенность'' плотности вероятности и для симметричной <math>\textstyle P(x)</math> она равна нулю. При больших положительных эксцессах <math>\textstyle P(x)</math> медленнее убывает при удалении от среднего, чем при малых. |
Версия 15:14, 15 января 2010
Случайные величины << | >> |
Рассмотрим величину, различные наблюдения которой дают нам набор чисел Это могут быть значения ежедневных цен акции или координаты броуновской частицы. Числа можно рассматривать как возможные реализации случайной величины . На первом этапе исследования мы не интересуемся порядком их поступления и можем эту последовательность произвольным образом перемешивать.
Допустим, встречается раз, а общее количество чисел равно . Мы называем средним значением случайной величины выражение:
где -- относительные частоты (или вероятности) появления того или иного . Если все различны, то среднее равно их сумме, делённой на . Чем вероятнее , тем больший вклад оно даёт в среднее.
Большинство финансовых или физических величин непрерывны. При бесконечном числе наблюдений вместо суммы возникает интеграл. Плотностью распределения вероятностей называют такую функцию , умножение которой на интервал дает вероятность того, что значение окажется в отрезке от до .
Вероятность обнаружить случайную величину в любом месте диапазона равна площади под кривой . Понятно, что такое достоверное событие имеет единичную вероятность: \parbox{7cm}{ \begin{center} \includegraphics{pic/integral.eps}\ } \parbox{8cm}{
} \end{center} Это соотношение называют условием нормировки.
Иногда случайная величина имеет запрещённые значения. Например, цена или количество кроликов всегда положительны. В этом случае вероятность обнаружить в области равна нулю. При вычислении средних мы часто будем интегрировать от минус до плюс бесконечности. При этом предполагается, что в запрещённых для случайной величины интервалах плотность вероятности равна нулю.
Если известна плотность вероятности, то можно найти среднее значение произвольной функции случайной величины :
Мы обозначаем операцию усреднения при помощи двух эквивалентных символов -- фигурных скобок или черты сверху. В математической и финансовой литературе распространено также обозначение .
Так как среднее является суммой (интегралом), то среднее суммы двух выражений равно сумме их средних. Кроме этого, за знак среднего можно выносить константу:
Но это и всё! Нелинейные функции, в общем случае, не могут быть вынесены из-под знака среднего: .
Второй важнейшей характеристикой случайной величины является её волатильность :
Волатильность в нефинансовых приложениях обычно называется среднеквадратичным отклонением. Её квадрат -- это дисперсия или вариация, . Среднее значение как константу можно вынести за знак усреднения, поэтому:
Среднее обычно характеризует наиболее типичное значение случайной величины . Волатильность -- это типичные отклонения от своего среднего. Чем меньше , тем уже плотность вероятности . Если она имеет единственный максимум в окрестности , то при случайная величина становится практически детерминированной со значением .
Аналогично дисперсии можно определить моменты более высоких порядков. Так, безразмерные отношения
называются асимметрией и эксцессом. Асимметрия характеризует скошенность плотности вероятности и для симметричной она равна нулю. При больших положительных эксцессах медленнее убывает при удалении от среднего, чем при малых.