Случайные величины — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 23 промежуточные версии этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим величину, различные наблюдения которой дают нам набор чисел <math>\textstyle x_1, x_2, ...</math> Это могут быть значения ежедневных цен акции или координаты броуновской частицы. Числа <math>\textstyle x_1,x_2,\,...</math> можно рассматривать как возможные реализации ''случайной величины'' <math>\textstyle x</math>.\index{случайная!величина} На первом этапе исследования мы не интересуемся порядком их поступления и можем эту последовательность произвольным образом перемешивать.
+
{| width="100%" 
 +
| width="30%"|[[Стохастические уравнения]] <<  
 +
! width="40%"|[[Стохастический мир|Оглавление]]
 +
  | width="30%" align="right"| >> [[Нормальное распределение]]
 +
|}
 +
----
  
Допустим, <math>\textstyle x_i</math>  встречается <math>\textstyle n_i</math> раз, а общее количество чисел равно <math>\textstyle n</math>. Мы называем  ''средним значением'' \index{среднее!значение} случайной величины <math>\textstyle x</math> выражение:
+
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим величину, различные наблюдения которой дают нам набор чисел <math>\textstyle x_1, x_2, ...</math> Это могут быть значения ежедневных цен акции или координаты броуновской частицы. Числа <math>\textstyle x_1,x_2,\,...</math> можно рассматривать как возможные реализации ''случайной величины'' <math>\textstyle x</math>. На первом этапе исследования мы не интересуемся порядком их поступления и можем эту последовательность произвольным образом перемешивать.
  
 +
Допустим, <math>\textstyle x_i</math>  встречается <math>\textstyle n_i</math> раз, а общее количество чисел равно <math>\textstyle n</math>. Мы называем  ''средним значением''  случайной величины <math>\textstyle x</math> выражение:
 +
 +
<center>
 
:<math> \bar{x} = \left  \langle x\right \rangle= \frac{1}{n}\sum_i x_i n_i  = \sum_i x_i p_i  = \int\limits^\infty_{-\infty} x P(x)\,dx, </math>
 
:<math> \bar{x} = \left  \langle x\right \rangle= \frac{1}{n}\sum_i x_i n_i  = \sum_i x_i p_i  = \int\limits^\infty_{-\infty} x P(x)\,dx, </math>
 +
</center>
  
где <math>\textstyle p_i = n_i/n</math> -- относительные ''частоты'' (или ''вероятности'')\index{частота}\index{вероятность} \index{частота}\index{вероятность} появления того или иного <math>\textstyle x_i</math>. Если все <math>\textstyle x_i</math> различны, то среднее равно их сумме, делённой на <math>\textstyle n</math>. Чем вероятнее <math>\textstyle x_i</math>, тем больший вклад оно даёт в среднее.
+
где <math>\textstyle p_i = n_i/n</math> -- относительные ''частоты'' (или ''вероятности'') появления того или иного <math>\textstyle x_i</math>. Если все <math>\textstyle x_i</math> различны, то среднее равно их сумме, делённой на <math>\textstyle n</math>. Чем вероятнее <math>\textstyle x_i</math>, тем больший вклад оно даёт в среднее.
  
Большинство финансовых или физических величин непрерывны. При бесконечном числе наблюдений вместо суммы возникает интеграл. ''Плотностью распределения вероятностей''\index{плотность вероятности} называют такую функцию <math>\textstyle P(x)</math>, умножение которой на интервал <math>\textstyle dx</math> дает вероятность <math>\textstyle p_i</math> того, что значение <math>\textstyle x</math>  окажется в отрезке от <math>\textstyle x</math> до <math>\textstyle x+dx</math>.
+
Большинство финансовых или физических величин непрерывны. При бесконечном числе наблюдений вместо суммы возникает интеграл. ''Плотностью распределения вероятностей'' называют такую функцию <math>\textstyle P(x)</math>, умножение которой на интервал <math>\textstyle dx</math> дает вероятность <math>\textstyle p_i</math> того, что значение <math>\textstyle x</math>  окажется в отрезке от <math>\textstyle x</math> до <math>\textstyle x+dx</math>.
  
Вероятность обнаружить случайную величину  <math>\textstyle x</math> в любом месте диапазона <math>\textstyle [-\infty..\infty]</math> равна площади под кривой <math>\textstyle P(x)</math>. Понятно, что такое ''достоверное событие'' \index{достоверное событие} имеет единичную вероятность:  \parbox{7cm}{ \begin{center} \includegraphics{pic/integral.eps}\  } \parbox{8cm}{
+
Вероятность обнаружить случайную величину  <math>\textstyle x</math> в любом месте диапазона <math>\textstyle [-\infty..\infty]</math> равна площади под кривой <math>\textstyle P(x)</math>. Понятно, что такое ''достоверное событие'' имеет единичную вероятность:   
  
:<math> \displaystyle    \sum_i p_i = \int\limits^{\infty}_{-\infty} P(x) dx = 1. </math>
+
<center>
 +
{| width="100%" align="center" 
 +
|align="center"|[[Файл:Int_prob.gif]]
 +
|align="center"| <math> \displaystyle    \sum_i p_i = \int\limits^{\infty}_{-\infty} P(x) dx = 1. </math>
 +
|}
 +
</center>
  
} \end{center} Это соотношение называют ''условием нормировки''.\index{условие!нормировки}
+
Это соотношение называют ''условием нормировки''.
  
 
Иногда случайная величина имеет ''запрещённые'' значения. Например, цена или количество кроликов всегда положительны. В этом случае вероятность обнаружить <math>\textstyle x</math> в области <math>\textstyle x<0</math> равна нулю. При вычислении средних мы часто будем интегрировать от минус до плюс бесконечности. При этом предполагается, что в ''запрещённых'' для случайной величины интервалах плотность вероятности равна нулю.
 
Иногда случайная величина имеет ''запрещённые'' значения. Например, цена или количество кроликов всегда положительны. В этом случае вероятность обнаружить <math>\textstyle x</math> в области <math>\textstyle x<0</math> равна нулю. При вычислении средних мы часто будем интегрировать от минус до плюс бесконечности. При этом предполагается, что в ''запрещённых'' для случайной величины интервалах плотность вероятности равна нулю.
Строка 19: Строка 33:
 
<math>\textstyle \bullet</math> Если известна плотность вероятности, то можно найти среднее значение произвольной функции <math>\textstyle F(x)</math> случайной величины <math>\textstyle x</math>:
 
<math>\textstyle \bullet</math> Если известна плотность вероятности, то можно найти среднее значение произвольной функции <math>\textstyle F(x)</math> случайной величины <math>\textstyle x</math>:
  
 +
<center>
 
:<math>\left  \langle F(x)\right \rangle = \overline{F(x)}= \int\limits^\infty_{-\infty} F(x)  P(x)\,dx.</math>
 
:<math>\left  \langle F(x)\right \rangle = \overline{F(x)}= \int\limits^\infty_{-\infty} F(x)  P(x)\,dx.</math>
 +
</center>
  
Мы обозначаем ''операцию'' усреднения при помощи двух ''эквивалентных'' символов -- фигурных скобок или черты сверху. В математической и финансовой литературе распространено также обозначение <math>\textstyle '''E''' F(x)</math>.
+
Мы обозначаем ''операцию'' усреднения при помощи двух ''эквивалентных'' символов -- фигурных скобок или черты сверху. В математической и финансовой литературе распространено также обозначение <math>\textstyle \mathbf{E} F(x)</math>.
  
 
Так как среднее является суммой (интегралом), то среднее суммы двух выражений равно сумме их средних. Кроме этого, за знак среднего можно выносить константу:
 
Так как среднее является суммой (интегралом), то среднее суммы двух выражений равно сумме их средних. Кроме этого, за знак среднего можно выносить константу:
  
:<math>\left  \langle \alpha \cdot f(x)\right \rangle=\alpha\cdot\left  \langle f(x)\right \rangle,            \left  \langle f(x)+g(x)\right \rangle=\left  \langle f(x)\right \rangle+\left  \langle g(x)\right \rangle.</math>
+
<center>
 +
:<math>\left  \langle \alpha \cdot f(x)\right \rangle=\alpha\cdot\left  \langle f(x)\right \rangle,~~~~~~~~~~~           \left  \langle f(x)+g(x)\right \rangle=\left  \langle f(x)\right \rangle+\left  \langle g(x)\right \rangle.</math>
 +
</center>
  
 
Но это и всё! Нелинейные функции, в общем случае, не могут быть вынесены из-под знака среднего: <math>\textstyle \left  \langle x^2\right \rangle \neq \left  \langle x\right \rangle^2</math>.
 
Но это и всё! Нелинейные функции, в общем случае, не могут быть вынесены из-под знака среднего: <math>\textstyle \left  \langle x^2\right \rangle \neq \left  \langle x\right \rangle^2</math>.
  
<math>\textstyle \bullet</math> Второй важнейшей характеристикой случайной величины является её ''волатильность'' <math>\textstyle \sigma</math>:\index{волатильность}
+
<math>\textstyle \bullet</math> Второй важнейшей характеристикой случайной величины является её ''волатильность'' <math>\textstyle \sigma</math>:
  
 +
<center>
 
:<math>\sigma^2=\left  \langle (x-\bar{x})^2\right \rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} (x-\bar{x})^2  P(x)\,dx.</math>
 
:<math>\sigma^2=\left  \langle (x-\bar{x})^2\right \rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} (x-\bar{x})^2  P(x)\,dx.</math>
 +
</center>
  
Волатильность <math>\textstyle \sigma</math> в ''нефинансовых'' приложениях обычно называется среднеквадратичным отклонением. Её квадрат <math>\textstyle \sigma^2</math> -- это  ''дисперсия'' или ''вариация'', <math>\textstyle \sigma^2='''Var'''(x)</math>.\index{дисперсия}\index{вариация} Среднее значение <math>\textstyle \bar{x}</math> как константу можно вынести за знак усреднения, поэтому:
+
Волатильность <math>\textstyle \sigma</math> в ''нефинансовых'' приложениях обычно называется среднеквадратичным отклонением. Её квадрат <math>\textstyle \sigma^2</math> -- это  ''дисперсия'' или ''вариация'', <math>\textstyle \sigma^2=\mathbf{Var}(x)</math>. Среднее значение <math>\textstyle \bar{x}</math> как константу можно вынести за знак усреднения, поэтому:
  
 +
<center>
 
:<math>\sigma^2=\left  \langle (x-\bar{x})^2\right \rangle  =  \left  \langle x^2-2x\bar{x}+\bar{x}^2\right \rangle =  \left  \langle x^2\right \rangle-2\bar{x}\left  \langle x\right \rangle+\bar{x}^2 = \left  \langle x^2\right \rangle - \left  \langle x\right \rangle^2.</math>
 
:<math>\sigma^2=\left  \langle (x-\bar{x})^2\right \rangle  =  \left  \langle x^2-2x\bar{x}+\bar{x}^2\right \rangle =  \left  \langle x^2\right \rangle-2\bar{x}\left  \langle x\right \rangle+\bar{x}^2 = \left  \langle x^2\right \rangle - \left  \langle x\right \rangle^2.</math>
 +
</center>
 +
 +
''Если'' плотность вероятности непрерывной случайной величины имеет единственный симметричный максимум, то среднее характеризует ''наиболее типичное'' значение <math>\textstyle x</math>. Волатильность -- это типичные отклонения <math>\textstyle x</math> от своего среднего. Чем меньше <math>\textstyle \sigma</math>, тем уже плотность вероятности  <math>\textstyle P(x)</math> и  при <math>\textstyle \sigma\to 0</math> случайная величина становится практически детерминированной со значением <math>\textstyle x=\bar{x}</math>.
 +
 +
Аналогично дисперсии можно определить ''моменты'' более высоких порядков. Так, безразмерные отношения
  
Среднее обычно характеризует ''наиболее типичное'' значение случайной величины <math>\textstyle x</math>. Волатильность -- это типичные отклонения <math>\textstyle x</math> от своего среднего. Чем меньше <math>\textstyle \sigma</math>, тем уже плотность вероятности <math>\textstyle P(x)</math>. Если она имеет единственный максимум в окрестности <math>\textstyle \bar{x}</math>, то при <math>\textstyle \sigma\to 0</math> случайная величина становится практически детерминированной со значением <math>\textstyle x=\bar{x}</math>.
+
<center>
 +
:<math> asym=\left  \langle (x-\bar{x})^3\right \rangle/\sigma^3,~~~~~~      excess=\left \langle (x-\bar{x})^4\right \rangle/\sigma^4 - 3 </math>
 +
</center>
  
Аналогично дисперсии можно определить ''моменты''\index{момент} более высоких порядков. Так, безразмерные отношения
+
называются ''асимметрией'' и ''эксцессом''. Асимметрия характеризует ''скошенность'' плотности вероятности и для симметричной <math>\textstyle P(x)</math> она равна нулю. При больших положительных эксцессах <math>\textstyle P(x)</math> медленнее убывает при удалении от среднего, чем при малых.
  
:<math> asym=\left  \langle (x-\bar{x})^3\right \rangle/\sigma^3,      excess=\left  \langle (x-\bar{x})^4\right \rangle/\sigma^4 - 3 </math>
 
  
называются ''асимметрией'' и ''эксцессом''. Асимметрия характеризует ''скошенность'' плотности вероятности и для симметричной <math>\textstyle P(x)</math> она равна нулю. При больших положительных эксцессах <math>\textstyle P(x)</math> медленнее убывает при удалении от среднего, чем при малых.\index{асимметрия}\index{эксцесс}
+
----
 +
{| width="100%" 
 +
| width="30%"|[[Стохастические уравнения]] <<  
 +
! width="40%"|[[Стохастический мир|Оглавление]]
 +
| width="30%" align="right"| >> [[Нормальное распределение]]
 +
|}
 +
----
 +
[[Стохастический мир]] - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

Текущая версия на 14:38, 17 февраля 2010

Стохастические уравнения << Оглавление >> Нормальное распределение

Рассмотрим величину, различные наблюдения которой дают нам набор чисел Это могут быть значения ежедневных цен акции или координаты броуновской частицы. Числа можно рассматривать как возможные реализации случайной величины . На первом этапе исследования мы не интересуемся порядком их поступления и можем эту последовательность произвольным образом перемешивать.

Допустим, встречается раз, а общее количество чисел равно . Мы называем средним значением случайной величины выражение:

где -- относительные частоты (или вероятности) появления того или иного . Если все различны, то среднее равно их сумме, делённой на . Чем вероятнее , тем больший вклад оно даёт в среднее.

Большинство финансовых или физических величин непрерывны. При бесконечном числе наблюдений вместо суммы возникает интеграл. Плотностью распределения вероятностей называют такую функцию , умножение которой на интервал дает вероятность того, что значение окажется в отрезке от до .

Вероятность обнаружить случайную величину в любом месте диапазона равна площади под кривой . Понятно, что такое достоверное событие имеет единичную вероятность:

Int prob.gif

Это соотношение называют условием нормировки.

Иногда случайная величина имеет запрещённые значения. Например, цена или количество кроликов всегда положительны. В этом случае вероятность обнаружить в области равна нулю. При вычислении средних мы часто будем интегрировать от минус до плюс бесконечности. При этом предполагается, что в запрещённых для случайной величины интервалах плотность вероятности равна нулю.

Если известна плотность вероятности, то можно найти среднее значение произвольной функции случайной величины :

Мы обозначаем операцию усреднения при помощи двух эквивалентных символов -- фигурных скобок или черты сверху. В математической и финансовой литературе распространено также обозначение .

Так как среднее является суммой (интегралом), то среднее суммы двух выражений равно сумме их средних. Кроме этого, за знак среднего можно выносить константу:

Но это и всё! Нелинейные функции, в общем случае, не могут быть вынесены из-под знака среднего: .

Второй важнейшей характеристикой случайной величины является её волатильность :

Волатильность в нефинансовых приложениях обычно называется среднеквадратичным отклонением. Её квадрат -- это дисперсия или вариация, . Среднее значение как константу можно вынести за знак усреднения, поэтому:

Если плотность вероятности непрерывной случайной величины имеет единственный симметричный максимум, то среднее характеризует наиболее типичное значение . Волатильность -- это типичные отклонения от своего среднего. Чем меньше , тем уже плотность вероятности и при случайная величина становится практически детерминированной со значением .

Аналогично дисперсии можно определить моменты более высоких порядков. Так, безразмерные отношения

называются асимметрией и эксцессом. Асимметрия характеризует скошенность плотности вероятности и для симметричной она равна нулю. При больших положительных эксцессах медленнее убывает при удалении от среднего, чем при малых.



Стохастические уравнения << Оглавление >> Нормальное распределение

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения