Случайные величины — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 3 промежуточные версии этого же участника)
Строка 59: Строка 59:
 
</center>
 
</center>
  
Среднее обычно характеризует ''наиболее типичное'' значение случайной величины <math>\textstyle x</math>. Волатильность -- это типичные отклонения <math>\textstyle x</math> от своего среднего. Чем меньше <math>\textstyle \sigma</math>, тем уже плотность вероятности  <math>\textstyle P(x)</math>. Если она имеет единственный максимум в окрестности <math>\textstyle \bar{x}</math>, то при <math>\textstyle \sigma\to 0</math> случайная величина становится практически детерминированной со значением <math>\textstyle x=\bar{x}</math>.
+
''Если'' плотность вероятности непрерывной случайной величины имеет единственный симметричный максимум, то среднее характеризует ''наиболее типичное'' значение <math>\textstyle x</math>. Волатильность -- это типичные отклонения <math>\textstyle x</math> от своего среднего. Чем меньше <math>\textstyle \sigma</math>, тем уже плотность вероятности  <math>\textstyle P(x)</math> и  при <math>\textstyle \sigma\to 0</math> случайная величина становится практически детерминированной со значением <math>\textstyle x=\bar{x}</math>.
  
Аналогично дисперсии можно определить ''моменты'' более высоких порядков. Так, безразмерные отношения
+
Аналогично дисперсии можно определить ''моменты'' более высоких порядков. Так, безразмерные отношения  
{{anchor|excess}}
 
  
 
<center>
 
<center>

Текущая версия на 14:38, 17 февраля 2010

Стохастические уравнения << Оглавление >> Нормальное распределение

Рассмотрим величину, различные наблюдения которой дают нам набор чисел Это могут быть значения ежедневных цен акции или координаты броуновской частицы. Числа можно рассматривать как возможные реализации случайной величины . На первом этапе исследования мы не интересуемся порядком их поступления и можем эту последовательность произвольным образом перемешивать.

Допустим, встречается раз, а общее количество чисел равно . Мы называем средним значением случайной величины выражение:

где -- относительные частоты (или вероятности) появления того или иного . Если все различны, то среднее равно их сумме, делённой на . Чем вероятнее , тем больший вклад оно даёт в среднее.

Большинство финансовых или физических величин непрерывны. При бесконечном числе наблюдений вместо суммы возникает интеграл. Плотностью распределения вероятностей называют такую функцию , умножение которой на интервал дает вероятность того, что значение окажется в отрезке от до .

Вероятность обнаружить случайную величину в любом месте диапазона равна площади под кривой . Понятно, что такое достоверное событие имеет единичную вероятность:

Int prob.gif

Это соотношение называют условием нормировки.

Иногда случайная величина имеет запрещённые значения. Например, цена или количество кроликов всегда положительны. В этом случае вероятность обнаружить в области равна нулю. При вычислении средних мы часто будем интегрировать от минус до плюс бесконечности. При этом предполагается, что в запрещённых для случайной величины интервалах плотность вероятности равна нулю.

Если известна плотность вероятности, то можно найти среднее значение произвольной функции случайной величины :

Мы обозначаем операцию усреднения при помощи двух эквивалентных символов -- фигурных скобок или черты сверху. В математической и финансовой литературе распространено также обозначение .

Так как среднее является суммой (интегралом), то среднее суммы двух выражений равно сумме их средних. Кроме этого, за знак среднего можно выносить константу:

Но это и всё! Нелинейные функции, в общем случае, не могут быть вынесены из-под знака среднего: .

Второй важнейшей характеристикой случайной величины является её волатильность :

Волатильность в нефинансовых приложениях обычно называется среднеквадратичным отклонением. Её квадрат -- это дисперсия или вариация, . Среднее значение как константу можно вынести за знак усреднения, поэтому:

Если плотность вероятности непрерывной случайной величины имеет единственный симметричный максимум, то среднее характеризует наиболее типичное значение . Волатильность -- это типичные отклонения от своего среднего. Чем меньше , тем уже плотность вероятности и при случайная величина становится практически детерминированной со значением .

Аналогично дисперсии можно определить моменты более высоких порядков. Так, безразмерные отношения

называются асимметрией и эксцессом. Асимметрия характеризует скошенность плотности вероятности и для симметричной она равна нулю. При больших положительных эксцессах медленнее убывает при удалении от среднего, чем при малых.



Стохастические уравнения << Оглавление >> Нормальное распределение

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения