Случайные величины — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Строка 3: Строка 3:
 
Допустим, <math>\textstyle x_i</math>  встречается <math>\textstyle n_i</math> раз, а общее количество чисел равно <math>\textstyle n</math>. Мы называем  ''средним значением'' \index{среднее!значение} случайной величины <math>\textstyle x</math> выражение:
 
Допустим, <math>\textstyle x_i</math>  встречается <math>\textstyle n_i</math> раз, а общее количество чисел равно <math>\textstyle n</math>. Мы называем  ''средним значением'' \index{среднее!значение} случайной величины <math>\textstyle x</math> выражение:
  
:<math> \bar{x} </math>
+
:<math> \left<x\right> </math>
  
 
:<math> \bar{x} = \left<x\right>= \frac{1}{n}\sum_i x_i n_i  = \sum_i x_i p_i  = \int\limits^\infty_{-\infty} x P(x)\,dx, </math>
 
:<math> \bar{x} = \left<x\right>= \frac{1}{n}\sum_i x_i n_i  = \sum_i x_i p_i  = \int\limits^\infty_{-\infty} x P(x)\,dx, </math>

Версия 15:56, 14 января 2010

Рассмотрим величину, различные наблюдения которой дают нам набор чисел Это могут быть значения ежедневных цен акции или координаты броуновской частицы. Числа можно рассматривать как возможные реализации случайной величины .\index{случайная!величина} На первом этапе исследования мы не интересуемся порядком их поступления и можем эту последовательность произвольным образом перемешивать.

Допустим, встречается раз, а общее количество чисел равно . Мы называем средним значением \index{среднее!значение} случайной величины выражение:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \left<x\right> }
Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \bar{x} = \left<x\right>= \frac{1}{n}\sum_i x_i n_i = \sum_i x_i p_i = \int\limits^\infty_{-\infty} x P(x)\,dx, }

где -- относительные частоты (или вероятности)\index{частота}\index{вероятность} \index{частота}\index{вероятность} появления того или иного . Если все различны, то среднее равно их сумме, делённой на . Чем вероятнее , тем больший вклад оно даёт в среднее.

Большинство финансовых или физических величин непрерывны. При бесконечном числе наблюдений вместо суммы возникает интеграл. Плотностью распределения вероятностей\index{плотность вероятности} называют такую функцию , умножение которой на интервал дает вероятность того, что значение окажется в отрезке от до .

Вероятность обнаружить случайную величину в любом месте диапазона равна площади под кривой . Понятно, что такое достоверное событие \index{достоверное событие} имеет единичную вероятность: \parbox{7cm}{ \begin{center} \includegraphics{pic/integral.eps}\ } \parbox{8cm}{

} \end{center} Это соотношение называют условием нормировки.\index{условие!нормировки}

Иногда случайная величина имеет запрещённые значения. Например, цена или количество кроликов всегда положительны. В этом случае вероятность обнаружить в области равна нулю. При вычислении средних мы часто будем интегрировать от минус до плюс бесконечности. При этом предполагается, что в запрещённых для случайной величины интервалах плотность вероятности равна нулю.

Если известна плотность вероятности, то можно найти среднее значение произвольной функции случайной величины :

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \left<F(x)\right> = \overline{F(x)}= \int\limits^\infty_{-\infty} F(x) P(x)\,dx.}

Мы обозначаем операцию усреднения при помощи двух эквивалентных символов -- фигурных скобок или черты сверху. В математической и финансовой литературе распространено также обозначение .

Так как среднее является суммой (интегралом), то среднее суммы двух выражений равно сумме их средних. Кроме этого, за знак среднего можно выносить константу:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \left<\alpha \cdot f(x)\right>=\alpha\cdot\left<f(x)\right>, \left<f(x)+g(x)\right>=\left<f(x)\right>+\left<g(x)\right>.}

Но это и всё! Нелинейные функции, в общем случае, не могут быть вынесены из-под знака среднего: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \left<x^2\right> \neq \left<x\right>^2} .

Второй важнейшей характеристикой случайной величины является её волатильность :\index{волатильность}

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \sigma^2=\left<(x-\bar{x})^2\right> = \int\limits^\infty_{-\infty} (x-\bar{x})^2 P(x)\,dx.}

Волатильность в нефинансовых приложениях обычно называется среднеквадратичным отклонением. Её квадрат -- это дисперсия или вариация, .\index{дисперсия}\index{вариация} Среднее значение как константу можно вынести за знак усреднения, поэтому:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \sigma^2=\left<(x-\bar{x})^2\right> = \left<x^2-2x\bar{x}+\bar{x}^2\right> = \left<x^2\right>-2\bar{x}\left<x\right>+\bar{x}^2 = \left<x^2\right> - \left<x\right>^2.}

Среднее обычно характеризует наиболее типичное значение случайной величины . Волатильность -- это типичные отклонения от своего среднего. Чем меньше , тем уже плотность вероятности . Если она имеет единственный максимум в окрестности , то при случайная величина становится практически детерминированной со значением .

Аналогично дисперсии можно определить моменты\index{момент} более высоких порядков. Так, безразмерные отношения

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle asym=\left<(x-\bar{x})^3\right>/\sigma^3, excess=\left<(x-\bar{x})^4\right>/\sigma^4 - 3 }

называются асимметрией и эксцессом. Асимметрия характеризует скошенность плотности вероятности и для симметричной она равна нулю. При больших положительных эксцессах медленнее убывает при удалении от среднего, чем при малых.\index{асимметрия}\index{эксцесс}