http://synset.com/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8B&feed=atom&hidebots=1&hideredirs=1&limit=50&offset=&namespace=0&username=&tagfilter=synset - Новые страницы [ru]2024-03-29T02:01:11ZМатериал из synsetMediaWiki 1.31.15http://synset.com/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D0%B5Многообразие2013-09-01T09:31:11Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Формы в физике и геометрии << ! width="40%"|Оглавление…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Формы в физике и геометрии]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Ковариантные уравнения]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Формы в физике и геометрии]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Ковариантные уравнения]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%8B_%D0%B2_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B5_%D0%B8_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8Формы в физике и геометрии2013-09-01T09:30:30Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Дуальные формы и интегралы << ! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Дуальные формы и интегралы]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Многообразие]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Дуальные формы и интегралы]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Многообразие]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%94%D1%83%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%8B_%D0%B8_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8BДуальные формы и интегралы2013-09-01T09:29:41Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Внешнее дифференцирование << ! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Внешнее дифференцирование]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Формы в физике и геометрии]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Внешнее дифференцирование]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Формы в физике и геометрии]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%92%D0%BD%D0%B5%D1%88%D0%BD%D0%B5%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5Внешнее дифференцирование2013-09-01T09:28:55Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Немного алгебры << ! width="40%"|Оглавление (Последня…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Немного алгебры]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Дуальные формы и интегралы]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Немного алгебры]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Дуальные формы и интегралы]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8BНемного алгебры2013-09-01T09:28:14Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Геометрия неинерциальных систем << ! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглав…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Геометрия неинерциальных систем]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Внешнее дифференцирование]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Геометрия неинерциальных систем]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Внешнее дифференцирование]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BCГеометрия неинерциальных систем2013-09-01T09:27:32Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Тензор кривизны << ! width="40%"|Оглавление (Последня…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Тензор кривизны]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Немного алгебры]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Тензор кривизны]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Немного алгебры]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BD%D0%B7%D0%BE%D1%80_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D1%8BТензор кривизны2013-09-01T09:26:49Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Кривизна пространства << ! width="40%"|Оглавление (По…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Кривизна пространства]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Геометрия неинерциальных систем]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Кривизна пространства]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Геометрия неинерциальных систем]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0Кривизна пространства2013-09-01T09:26:01Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Электродинамика в неинерциальных системах отсчёта << ! width="40%"|[[Реляти…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Электродинамика в неинерциальных системах отсчёта]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Тензор кривизны]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Электродинамика в неинерциальных системах отсчёта]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Тензор кривизны]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%B2_%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%85_%D0%BE%D1%82%D1%81%D1%87%D1%91%D1%82%D0%B0Электродинамика в неинерциальных системах отсчёта2013-09-01T09:25:16Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Динамика в неинерциальных системах << ! width="40%"|[[Релятивистский мир|Ог…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Динамика в неинерциальных системах]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Кривизна пространства]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Динамика в неинерциальных системах]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Кривизна пространства]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%B2_%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%85Динамика в неинерциальных системах2013-09-01T09:24:28Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Геодезическая << ! width="40%"|Оглавление (Последняя …»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Геодезическая]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Электродинамика в неинерциальных системах отсчёта]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Геодезическая]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Электродинамика в неинерциальных системах отсчёта]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8FГеодезическая2013-09-01T09:23:19Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Ковариантные уравнения << ! width="40%"|Оглавление (П…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Ковариантные уравнения]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Динамика в неинерциальных системах]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[Ковариантные уравнения]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Динамика в неинерциальных системах]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8FКовариантные уравнения2013-09-01T09:22:23Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|PTC - симметрии << ! width="40%"|Оглавление (Последняя в…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[PTC - симметрии]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11]) <br />
| width="30%" align="right"| >> [[Геодезическая]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="30%"|[[PTC - симметрии]] << <br />
! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_11.pdf Глава 11])<br />
| width="30%" align="right"| >> [[Геодезическая]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/PTC_-_%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8PTC - симметрии2013-07-04T11:58:45Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Грассмановы переменные]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Криволинейные координаты]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Грассмановы переменные]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Криволинейные координаты]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D1%8B_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5Грассмановы переменные2013-07-04T11:57:57Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Кванты поля << ! width="20%"|Оглавление (Последняя вер…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Кванты поля]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[PTC - симметрии]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Кванты поля]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[PTC - симметрии]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D1%8B_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8FКванты поля2013-07-04T11:57:21Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Основы квантовой теории << ! width="20%"|Оглавление (П…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Основы квантовой теории]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Грассмановы переменные]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Основы квантовой теории]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Грассмановы переменные]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D1%8B_%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8Основы квантовой теории2013-07-04T11:56:28Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Калибровочные теории << ! width="20%"|Оглавление (Пос…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Калибровочные теории]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Кванты поля]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Калибровочные теории]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Кванты поля]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B1%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8Калибровочные теории2013-07-04T11:55:54Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Нейтрино << ! width="20%"|Оглавление (Последняя верси…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Нейтрино]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Основы квантовой теории]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Нейтрино]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Основы квантовой теории]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%B2_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%BCЛагранжев формализм2013-07-04T11:54:07Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Преобразование биспинора << ! width="20%"|Оглавление …»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Преобразование биспинора]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Тензор спиральности]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Преобразование биспинора]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Тензор спиральности]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B9%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%BEНейтрино2013-07-04T11:52:28Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Импульсное пространство]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Калибровочные теории]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Импульсное пространство]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Калибровочные теории]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%98%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BEИмпульсное пространство2013-07-04T11:47:24Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Тензор спиральности << ! width="20%"|Оглавление (Посл…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Тензор спиральности]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Нейтрино]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Тензор спиральности]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Нейтрино]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BD%D0%B7%D0%BE%D1%80_%D1%81%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8Тензор спиральности2013-07-04T11:46:47Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Лагранжев формализм]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Импульсное пространство]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Лагранжев формализм]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Импульсное пространство]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BD%D0%B7%D0%BE%D1%80_%D1%81%D0%BF%D0%B8%D0%BD%D0%B0Тензор спина2013-07-04T11:46:06Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Преобразование биспинора << ! width="20%"|Оглавление …»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Преобразование биспинора]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Тензор спиральности]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Преобразование биспинора]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Тензор спиральности]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B1%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D1%80%D0%B0Преобразование биспинора2013-07-04T11:45:29Z<p>WikiSysop: </p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Алгебра матриц Дирака]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Лагранжев формализм]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Алгебра матриц Дирака]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Лагранжев формализм]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86_%D0%94%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BA%D0%B0Алгебра матриц Дирака2013-07-04T11:44:52Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Уравнение Дирака << ! width="20%"|Оглавление (Последн…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Уравнение Дирака]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Преобразование биспинора]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Уравнение Дирака]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Преобразование биспинора]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%94%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BA%D0%B0Уравнение Дирака2013-07-04T11:44:16Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Лагранжев подход для спиноров << ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавле…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Лагранжев подход для спиноров]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Алгебра матриц Дирака]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Лагранжев подход для спиноров]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_09.pdf Глава 9])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Алгебра матриц Дирака]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%B2_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%85%D0%BE%D0%B4_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D1%81%D0%BF%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2Лагранжев подход для спиноров2013-07-04T11:43:18Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Спиноры и уравнения Максвелла << ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавле…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Спиноры и уравнения Максвелла]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Уравнение Дирака]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Спиноры и уравнения Максвелла]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Уравнение Дирака]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D1%80%D1%8B_%D0%B8_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B0Спиноры и уравнения Максвелла2013-07-04T11:42:41Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Спиноры и 4-тензоры << ! width="20%"|Оглавление (Послед…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Спиноры и 4-тензоры]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Лагранжев подход для спиноров]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Спиноры и 4-тензоры]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Лагранжев подход для спиноров]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D1%80%D1%8B_%D0%B8_4-%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%B7%D0%BE%D1%80%D1%8BСпиноры и 4-тензоры2013-07-04T11:42:03Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Спиноры << ! width="20%"|Оглавление (Последняя версия …»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Спиноры]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Спиноры и уравнения Максвелла]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Спиноры]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Спиноры и уравнения Максвелла]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D1%80%D1%8BСпиноры2013-07-04T11:41:28Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Ковариантный формализм << ! width="20%"|Оглавление (П…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Ковариантный формализм]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Спиноры и 4-тензоры]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Ковариантный формализм]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Спиноры и 4-тензоры]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%BCКовариантный формализм2013-07-04T11:40:54Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Движение в электромагнитном поле << ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Огла…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Движение в электромагнитном поле]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Спиноры]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Движение в электромагнитном поле]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Спиноры]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%94%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%BC_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B5Движение в электромагнитном поле2013-07-04T11:40:18Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Кватернионная электродинамика << ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавл…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Кватернионная электродинамика]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Ковариантный формализм]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Кватернионная электродинамика]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Ковариантный формализм]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B0Кватернионная электродинамика2013-07-04T11:39:39Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Кватернионы и 4-векторы << ! width="20%"|Оглавление (По…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Кватернионы и 4-векторы]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Движение в электромагнитном поле]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Кватернионы и 4-векторы]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Движение в электромагнитном поле]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D1%8B_%D0%B8_4-%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%8BКватернионы и 4-векторы2013-07-04T11:39:00Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Прецессия Томаса и вигнеровское вращение << ! width="20%"|[[Релятивистский …»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Прецессия Томаса и вигнеровское вращение]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Кватернионная электродинамика]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Прецессия Томаса и вигнеровское вращение]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Кватернионная электродинамика]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%8F_%D0%A2%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%81%D0%B0_%D0%B8_%D0%B2%D0%B8%D0%B3%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%B2%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5Прецессия Томаса и вигнеровское вращение2013-07-04T11:38:24Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Преобразования Лоренца с кватернионами << ! width="20%"|[[Релятивистский ми…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Преобразования Лоренца с кватернионами]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Кватернионы и 4-векторы]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Преобразования Лоренца с кватернионами]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Кватернионы и 4-векторы]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9B%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B0_%D1%81_%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8Преобразования Лоренца с кватернионами2013-07-04T11:37:41Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Вращение << ! width="20%"|Оглавление (Последняя верси…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Вращение]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Прецессия Томаса и вигнеровское вращение]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Вращение]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Прецессия Томаса и вигнеровское вращение]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%92%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5Вращение2013-07-04T11:37:03Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Кватернионы << ! width="20%"|Оглавление (Последняя ве…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Кватернионы]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Преобразования Лоренца с кватернионами]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Кватернионы]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Преобразования Лоренца с кватернионами]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D1%8BКватернионы2013-07-04T10:13:00Z<p>WikiSysop: Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Солитоны << ! width="20%"|Оглавление (Последняя верси…»</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Солитоны]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Вращение]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Солитоны]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_08.pdf Глава 8])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Вращение]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8BПроизвольные неинерциальные системы2013-07-02T19:54:07Z<p>WikiSysop: Защищена страница «Произвольные неинерциальные системы» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Нежёсткая равноускоренная система отсчёта]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Физические длина и время]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
Подведём некоторые итоги. Систему отсчёта <math>\textstyle S:\,\{t,\,x,\,y,\,z\}</math> можно определять, задавая законы движения каждой её точки относительно лабораторной системы <math>\textstyle S_0:\,\{T,\,X,\,Y,\,Z\}</math>. Пусть <math>\textstyle x^i=\{x,\,y,\,z\}</math> &mdash; координаты, однозначно фиксирующие данную точку системы <math>\textstyle S</math>. Эта точка движется относительно лабораторной системы <math>\textstyle S_0</math> по траектории:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> X^i(T)=F^i(T,\,x,\,y,\,z). </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
В общем случае различные точки могут двигаться по различным траекториям. Естественно, предполагается, что функции <math>\textstyle F^i(T,\,x,\,y,\,z)</math> являются гладкими (дифференцируемыми по каждому аргументу).<br />
<br />
Время <math>\textstyle t</math> неинерциальной системы, можно определить любым удобным способом, при помощи произвольной функции <math>\textstyle T = T(t,\,x,\,y,\,z)</math>. Предполагается только, что более ранние события в <math>\textstyle S</math> соответствуют меньшим значениям <math>\textstyle t</math>, чем более поздние. Такое время является координатным и, вообще говоря, не совпадает с физическим временем часов, связанных с точкой <math>\textstyle x^i</math>. На первый взгляд, подобный произвол в определении времени выглядит довольно странным. Однако, в следующем разделе мы увидим, что для любого данного выбора функции <math>\textstyle T(t,\,x,\,y,\,z)</math> можно указать правило вычисления физического времени и физической длины в неинерциальной системе отсчёта.<br />
<br />
Заменяя в траектории () время <math>\textstyle T</math> на <math>\textstyle T(t,\,x,\,y,\,z)</math>, мы получаем преобразования от системы <math>\textstyle S</math> к лабораторной системе <math>\textstyle S_0</math>:<br />
<br />
:<center><math>T = T(t,\,x,\,y,\,z),\;\;\;\;\;\;\;\;X^i=X^i(t,\,x,\,y,\,z).</math></center><br />
<br />
Подстановка этих преобразований в () даёт интервал между событиями в неинерциальной системе отсчёта:<br />
<br />
:<center><math>ds^2 =g_{\alpha\beta}\, dx^\alpha dx^\beta.</math></center><br />
<br />
Метрические коэффициенты <math>\textstyle g_{\alpha\beta}</math> являются функциями 4-координат события <math>\textstyle x^i=\{t,\,x^1,\,x^2,\,x^3\}</math> и полностью определяют свойства системы отсчёта.<br />
<br />
В рамках данной системы отсчёта (''не меняя её'') всегда можно перейти к другому способу нумерации событий:<br />
<br />
:<center><math>t' = t'(t,\,x,\,y,\,z),\;\;\;\;\;\;\;\;x'^i=x'^i(x,\,y,\,z).</math></center><br />
<br />
Первое преобразование определяет новое координатное время, а оставшиеся &mdash; другой способ нумерации пространственных точек системы. Важно, что последние не зависят от времени <math>\textstyle t</math>, т.к., в противном случае мы бы получили другую систему отсчёта. Рассмотрим несколько примеров.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Пусть точка неинерциальной системы движется по траектории:<br />
<br />
:<center><math>X=\frac{1}{a}\,\left[\sqrt{(1+ax)^2+(aT)^2} - 1\right],\;\;\;\;\;\;\;Y=y,\;\;\;\;\;Z=z</math></center><br />
<br />
В этих функциях <math>\textstyle x</math>, <math>\textstyle y</math> и <math>\textstyle z</math> &mdash; это фиксированные числа, характеризующие данную точку. Они соответствуют её положению в лабораторной системе при <math>\textstyle T=0</math>. Преобразование для времени выберем в следующем виде: <math>\textstyle aT=(1+ax)\,\mathrm{sh}(at)</math>. Такой выбор диктуется только соображениями простоты. Если <math>\textstyle aT</math> подставить в траекторию точки, то получится простое выражение для преобразования координат:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> aT=(1+ax)\,\mathrm{sh}(at),\;\;\;aX = (1+ax)\,\mathrm{ch}(at) - 1,\;\;\;Y=y,\;\;\;Z=z. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Дифференциалы этих преобразований равны:<br />
<br />
:<center><math>dT=(1+ax)\,\mathrm{ch}(at)\,dt+\mathrm{sh}(at)\,dx,\;\;\;\;\;dX=(1+ax)\,\mathrm{sh}(at)\,dt+\mathrm{ch}(at)\,dx</math></center><br />
<br />
и <math>\textstyle dY=dy</math>, <math>\textstyle dZ=dz</math>. Подставляя их в интервал между событиями лабораторной системы отсчёта <math>\textstyle ds^2=dT^2-dX^2-dY^2-dZ^2</math>, получаем этот же интервал в жесткой равноускоренной неинерциальной системе:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> ds^2 = (1+ax)^2\,dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
в которой ненулевые метрические коэффициенты равны <math>\textstyle g_{00}=(1+ax)^2</math> и <math>\textstyle g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1.</math> Для фиксированной точки (<math>\textstyle dx=dy=dz=0</math>) интервал равен её собственному времени: <math>\textstyle ds=d\tau_0 = (1+ax)\, dt.</math> Чтобы выяснить, как такие часы идут по отношению к часам в лабораторной системе, надо записать связь <math>\textstyle dT</math> и <math>\textstyle dt</math> из преобразований между системами (при фиксированных координатах):<br />
<br />
:<center><math>dT = (1+ax)\,\mathrm{ch}(at)\,dt = \mathrm{ch}(at)\,d\tau_0 = \frac{d\tau_0}{\sqrt{1-U^2}},</math></center><br />
<br />
где в последнем равенстве <math>\textstyle U</math> &mdash; это скорость точки в лабораторной системе, равная <math>\textstyle U = dX/dT = \mathrm{th}(at),</math> что снова получается из выражений для дифференциалов. Таким образом, собственное время часов неинерциальной системы связано со временем лабораторной при помощи стандартной релятивистской формулы (), стр.\,\pageref{time_delay}.<br />
<br />
Можно изменить способ нумерации точек неинерциальной системы при помощи преобразований координат:<br />
<br />
:<center><math>t=t',\;\;\;\;\;\;\;1+ax = e^{ax'},\;\;\;\;\;\;\;y=y',\;\;\;\;\;\;\;\;z=z',</math></center><br />
<br />
что приводит к интервалу<br />
<br />
:<center><math>ds^2=e^{2ax'} (dt'^2 - dx'^2) - dy'^2 - dz'^2.</math></center><br />
<br />
Естественно, система отсчёта при этом не меняется.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> В случае вращения, интервал лабораторной системы () запишем в цилиндрических координатах <math>\textstyle X=R\cos\Phi</math>, <math>\textstyle Y=R\sin\Phi</math>:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> ds^2 = dT^2 - dR^2 - R^2 \, d\Phi^2 - dZ^2, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle \Phi</math> &mdash; полярный угол, а <math>\textstyle R</math> &mdash; расстояние от оси вращения.<br />
<br />
Будем нумеровать точки вращающейся системы при помощи трёх чисел <math>\textstyle (r,\phi,z)</math>. Представим себе диск, вращающихся с постоянной угловой скоростью <math>\textstyle \omega</math> в плоскости <math>\textstyle Z=0</math>. Траектория любой его точки может быть задана следующими уравнениями:<br />
<br />
:<center><math>R=r,\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi = \phi + \omega T.</math></center><br />
<br />
При данном значении <math>\textstyle \phi</math> и <math>\textstyle r</math> угловая координата точки <math>\textstyle \Phi</math> меняется со временем <math>\textstyle T</math> с постоянной скоростью <math>\textstyle \omega</math>. Преобразование времени выберем максимально простым способом: <math>\textstyle T=t</math>. В результате, преобразования между вращающейся и лабораторной системами отсчёта имеют вид:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> T=t,\;\;\;\;\;\;R=r,\;\;\;\;\Phi = \phi + \omega t,\;\;\;\;\;\;Z=z, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где координаты <math>\textstyle (t,r,\phi,z)</math> называются ''координатами Борна''. Подставляя дифференциалы этих преобразований<br />
<br />
:<center><math>dT=dt,\;\;\;\;\;\;\;dR=dr,\;\;\;\;\;d\Phi = d\phi + \omega dt,\;\;\;\;\;\;dZ=dz</math></center><br />
<br />
в интервал (), получаем:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> ds^2 = (1-\omega^2 r^2)\,dt^2 - 2\omega\, r^2 \, dt\,d\phi - dr^2 - r^2\, d\phi^2 - dz^2. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Собственное время <math>\textstyle d\tau_0=ds</math> фиксированной точки (<math>\textstyle dr=d\phi=dz=0</math>) равно:<br />
<br />
:<center><math>d\tau_0 =dt \sqrt{1-\omega^2 r^2} = dT\,\sqrt{1-\omega^2 r^2}.</math></center><br />
<br />
Так как <math>\textstyle \omega r</math> &mdash; это скорость точки в лабораторной системе отсчёта, мы снова имеем стандартную формулу замедления времени.<br />
<br />
Равенство нулю интервала (<math>\textstyle ds^2=0</math>) приводит к уравнению для траектории светового импульса. Например, если при помощи зеркал или световода организовано его движение по окружности <math>\textstyle r=const</math>, то это уравнение имеет вид:<br />
<br />
:<center><math>\frac{d\phi}{dt} = \pm \frac{1}{r} -\omega.</math></center><br />
<br />
Из него следует, что угловая координата светового импульса линейно зависит от координатного времени <math>\textstyle t</math>.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> В общем случае преобразование от неинерциальной системы отсчета <math>\textstyle x^\mu=(t,\,x,\,y,\,z)</math> к инерциальной системе <math>\textstyle X^\mu=(T,\,X,\,Y,\,Z)</math> имеет вид:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> X^\mu=X^\mu(x^0,x^1,x^2,x^3), </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle \mu=0,...,3</math>. Распишем дифференциал <math>\textstyle dX^\mu=\partial_\nu X^\mu\,dx^\nu</math>:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> dT = \partial_0X^0\, dt + \partial_i X^0\, dx^i,\;\;\;\;\; dX^k =\partial_0 X^k\, dt + \partial_i X^k\, dx^i, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle \partial_i=\partial/\partial x^i</math> и по повторяющимся индексам проводится суммирование. Подставляя <math>\textstyle dT</math>, <math>\textstyle dX^k</math> в интервал <math>\textstyle ds^2=dT^2-dX^k\,dX^k</math>, получаем:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> ds^2 = g_{\mu\nu}\, dx^\mu dx^\nu, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где коэффициенты метрического тензора равны (по <math>\textstyle k</math> сумма от 1 до 3):<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \begin{array}{lclcl} g_{00} &=& \partial_0 X^0 \,\partial_0 X^0 &-& \partial_0 X^k\, \partial_0 X^k, \\ [2mm] g_{0i} &=& \partial_0 X^0 \,\partial_i X^0 &-& \partial_0 X^k\, \partial_i X^k, \\ [2mm] g_{ij} &=& \partial_i X^0 \,\partial_j X^0 &-& \partial_i X^k\, \partial_j X^k. \end{array} </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Из () следует, что компоненты скорости фиксированной точки неинерциальной системы отсчёта (<math>\textstyle dx^k=0</math>) равны:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> U^k = \frac{dX^k}{dT} = \frac{\partial_0 X^k}{\partial_0X^0}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Поэтому коэффициент <math>\textstyle g_{00}</math> можно переписать в следующем виде:<br />
<br />
:<center><math>g_{00} = (\partial_0 X^0)^2\, (1-\mathbf{U}^2),</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle \mathbf{U}^2 = (U^1)^2+(U^2)^2+(U^3)^2</math>. Определяя собственное время часов при помощи интервала <math>\textstyle ds</math> в котором <math>\textstyle dx^i=0</math>, имеем:<br />
<br />
:<center><math>d\tau_0 = \sqrt{g_{00}}\, dt = \sqrt{1-\mathbf{U}^2}\,\partial_0 X^0\, dt = \sqrt{1-\mathbf{U}^2}\, dT,</math></center><br />
<br />
где в последнем равенстве подставлено <math>\textstyle dT</math> () при <math>\textstyle dx^i=0</math>. Таким образом, и в общем случае мы имеем релятивистское замедление времени.<br />
<br />
Иногда удобнее использовать частный случай преобразований:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> T=t,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{X} = \mathbf{R}(t,\,x^1,x^2,x^3), </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где функция <math>\textstyle \mathbf{R}(t,\,x^i)</math> задает траекторию <math>\textstyle \mathbf{X}(T)=\mathbf{R}(T,\,x^i)</math> движения данной точки (<math>\textstyle x^i=const</math>) неинерциальной системы относительно лабораторной. Соответствующий им интервал равен:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> ds^2= (1- \mathbf{U}^2)\, dt^2 - 2(\mathbf{U}\,\partial_i\mathbf{R})\, dt\, dx^i - (\partial_i\mathbf{R}\,\partial_j\mathbf{R})\, dx^i\,dx^j, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle \mathbf{U}=\partial_0\mathbf{R}</math> &mdash; скорость точки в лабораторной системе.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим ещё один специальный, но важный класс неинерциальных систем отсчёта (НИСО), в которых интервал между двумя событиями имеет очень простой вид. Пусть начало НИСО движется вдоль оси <math>\textstyle X</math> лабораторной системы c переменной скоростью. Запишем линейные по координате <math>\textstyle x</math> преобразования \cite{Myelller1987}:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> T=\gamma\, v\,x + \int\limits^t_0 \gamma\, dt,\;\;\;\;\;\;X=\gamma\, x+\int\limits^t_0 \gamma\, v\,dt,\;\;\;\;\;Y=y,\;\;\;\;\;Z=z, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle v=v(t)</math> произвольная функция времени и <math>\textstyle \gamma=\gamma(t)=1/\sqrt{1-v^2}</math>. Если скорость <math>\textstyle v</math> постоянна, то () приводят к преобразованиям Лоренца. В общем же случае имеем:<br />
<br />
:<center><math>dT = \gamma\, (dt+v\,dx) + \gamma^3\,\dot{v}\,x\, dt,\;\;\;\;\;dX = \gamma\, (dx+v\,dt)+\gamma^3\,\,v\dot{v}\, x\,dt,</math></center><br />
<br />
где учтено, что<br />
<br />
:<center><math>\frac{d\gamma}{dt} = \gamma^3 v\dot{v},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{d(\gamma v)}{dt}=\gamma^3\,\dot{v}</math></center><br />
<br />
и точка &mdash; производная по <math>\textstyle t</math>. Подставляя эти дифференциалы в интервал лабораторной системы <math>\textstyle ds^2=dT^2-dX^2-dY^2-dZ^2</math>, получаем:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> ds^2=(1+\gamma^2\dot{v}\, x)^2\, dt^2-dx^2-dy^2-dz^2. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Таким образом, в этой системе нетривиальное значение имеет только <math>\textstyle g_{00}</math>. При <math>\textstyle \gamma^2\,\dot{v}=a=const</math>, мы возвращаемся к жесткой равноускоренной системе отсчета в координатах Меллера, для которой:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> v(t) = \mathrm{th}(at),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\gamma(t)=\mathrm{ch}(at). </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Подстановка этой скорости в (), дает ().<br />
<br />
В общем случае произвольная фиксированная (<math>\textstyle dx=0</math>) точка системы с координатой <math>\textstyle x</math> движется относительно лабораторной системы отсчета со скоростью:<br />
<br />
:<center><math>U(T) = \frac{dX}{dT} = v(t),</math></center><br />
<br />
где в функции <math>\textstyle v(t)</math> необходимо перейти от координатного времени <math>\textstyle t</math> к лоренцевому времени <math>\textstyle T</math> лабораторной системы, которое находится из первого преобразования () и, вообще говоря, зависит от <math>\textstyle x</math>.<br />
<br />
Жесткая равноускоренная система () из всего класса поступательно движущихся НИСО () выделяется тем, что она имеет не только евклидовый вид у пространственной части интервала <math>\textstyle dx^2+dy^2+dz^2</math>, но и постоянное собственное время (<math>\textstyle g_{00}</math> зависит от координаты <math>\textstyle x</math>, но не зависит от времени <math>\textstyle t</math>).<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> К преобразованиям () можно прийти рассматривая сопутствующую к НИСО инерциальную систему отсчета (ИСО). Такая система в данный момент времени имеет такую же скорость относительно лабораторной системы как и скорость наблюдателя расположенного в начале НИСО. Два относительно неподвижных наблюдателя в НИСО и ИСО находящиеся рядом имеют одинаковые эталоны времени и длины.<br />
<br />
Пусть начало НИСО в лабораторной системе отсчета <math>\textstyle S_0:\,(T,\,X)</math> имеет скорость <math>\textstyle U(T)</math>. К моменту времени <math>\textstyle T_0</math> его координата равна<br />
<br />
:<center><math>X_0 = \int\limits^{T_0}_0\, U(T)\, dT = \int\limits^\tau_0 \gamma(\tau) U(\tau)\, d\tau,</math></center><br />
<br />
где во втором равенстве совершен переход к собственному времени начала <math>\textstyle d\tau=\sqrt{1-U^2(T)}\,dT</math> или <math>\textstyle dT=\gamma(\tau)\,d\tau</math> и, как обычно, <math>\textstyle \gamma=1/\sqrt{1-U^2}</math>. Момент времени <math>\textstyle T_0</math> также выражается через интеграл по собственному времени:<br />
<br />
:<center><math>T_0 = \int\limits^{T_0}_0\, dT = \int\limits^\tau_0 \gamma(\tau) \, d\tau.</math></center><br />
<br />
Если в момент времени <math>\textstyle T_0</math> часы сопутствующей системы отсчёта <math>\textstyle S'_0:\,(T',\,X')</math> в точке <math>\textstyle X'=0</math> показывают время <math>\textstyle T'=0</math>, то преобразования между <math>\textstyle S'_0</math> и <math>\textstyle S_0</math> можно записать следующим образом:<br />
<br />
:<center><math>T = \int\limits^\tau_0 \gamma \, d\tau + \gamma\, (T'+U X'),\;\;\;\;\;\;\;\; X = \int\limits^\tau_0 \gamma \, U\, d\tau + \gamma\, (X'+U T').</math></center><br />
<br />
Преобразования () получаются, если при <math>\textstyle T'=0</math> координаты точек НИСО совпадают с координатами сопутствующей ИСО, а координатное время НИСО равно собственному времени: <math>\textstyle T'=0</math>, <math>\textstyle X'=x</math>, <math>\textstyle t=\tau</math>.<br />
<br />
В случае произвольного движения <math>\textstyle \mathbf{v}(t)</math> начала неинерциальной системы в пространстве можно написать более общее преобразование Лоренца-Мёллера-Нэльсона:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> T=\gamma\,\mathbf{v}\mathbf{r}+\int\limits^t_0\gamma\, dt,\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{X}=\mathbf{r}+\frac{\gamma-1}{v^2}\, (\mathbf{v}\mathbf{r})\,\mathbf{v}+\int\limits^t_0\gamma\,\mathbf{v}\, dt, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
интервал которого в координатах <math>\textstyle (t,\,\mathbf{r})</math> предлагается найти в качестве упражнения (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H). Анализ физики в такой системе можно найти в работе \cite{Voitik2012}.<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Нежёсткая равноускоренная система отсчёта]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Физические длина и время]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81%D1%8B_%D0%91%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B0_%D0%B8_%D0%AD%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%84%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0Парадоксы Белла и Эренфеста2013-07-02T19:36:21Z<p>WikiSysop: Защищена страница «Парадоксы Белла и Эренфеста» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Парадоксы остановки и близнецов]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Закон Кулона]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> ''Парадокс Белла'' связан с нежесткой равноускоренной системой отсчёта (стр.\,\pageref{nonin_t12_intx}). Пусть между двумя кораблями натянута струна. Эти корабли начинают равноускоренно двигаться с ''одинаковой'' скоростью относительно неподвижной (лабораторной) системы <math>\textstyle S_0</math>. Длина <math>\textstyle L</math> струны в этой системе неизменна. В неинерциальной системе, связанной с кораблями, интервал между двумя событиями имеет вид (стр.\,\pageref{nonint_dsNonGostk}):<br />
<br />
:<center><math>ds^2 = dt^2 - 2\,\mathrm{sh}(at)\, dtdx - dx^2 - dy^2.</math></center><br />
<br />
Соответствующий ему элемент физической длины зависит от времени:<br />
<br />
:<center><math>\delta l^2 = \mathrm{ch}^2(at)\, dx^2 - dy^2.</math></center><br />
<br />
Если у наблюдателя в неинерциальной системе есть "жесткая" линейка, расположенная перпендикулярно ускорению, то её длина не изменяется <math>\textstyle \delta l=dy</math>. Аналогичная линейка, ориентированная вдоль ускорения, будет растягиваться со временем <math>\textstyle \delta l=\mathrm{ch}\,at)\,dx</math>. Повернув первую линейку вдоль ускорения неинерциальный наблюдатель зарегистрирует расхождение их длин. Аналогично, изменяется со временем конечное радиолокационное расстояние (), стр.\,\pageref{nonin_t12_intx}.<br />
<br />
Таким образом, в одной системе отчёта струна имеет неизменную длину, а в другой эта длина увеличивается. Возникает закономерный вопрос &mdash; порвётся ли со временем струна? Чтобы усилить необычность ситуации, представим, что траектория каждой точки струны контролируется из лабораторной системы, так, что она "бережно" ускоряется без каких либо рывков и натяжений (с точки зрения лабораторных наблюдателей). При этом, правда, в любой другой инерциальной системе отсчёта такое ''одновременное'' ускорение точек струны уже не будет выглядеть таким же "бережным" и одновременным.<br />
<br />
Вообще говоря, вопрос о разрыве струны выходит за рамки кинематики и при последовательном подходе требует построения её модели. Если струна прикреплена только к кораблям, изменения скоростей её концов (кораблей) определенным образом должны передаваться по струне, вызывая в ней некоторые напряжения.<br />
<br />
В рамках кинематики обычно предполагается что, если радиолокационное расстояние между двумя точками неизменно, то и дополнительного натяжения струны, натянутой между ними, возникать не должно (при этом, игнорируется эффект действия сил инерции, которые при небольших ускорениях невелики).<br />
<br />
Если же радиолокационное расстояние между точками растёт, то между ними должно возникать механическое напряжение. С этой точки зрения, в мысленном эксперименте Белла струна, находящаяся в нежесткой системе отсчета, должна порваться.<br />
<br />
При этом не стоит забывать, что лоренцево сжатие в инерциальных системах отсчёта &mdash; это чисто кинематический эффект. Когда измеряется длина стержня при его равномерном движении, наблюдатель, связанный со стержнем, "не согласен" с измерительной процедурой неподвижного наблюдателя (см.,\,стр.\,\pageref{sec_relativ_shape}). Поэтому говорить о том, что стержень испытывает механическое сжатие неверно. Например, пусть относительно неподвижных наблюдателей с постоянной скоростью движется стержень ориентированный перпендикулярно к направлению скорости. Если теперь этот стержень медленно повернётся, расположившись вдоль вектора скорости, то неподвижные наблюдатели "увидят" как он сожмётся. Однако, естественно, стержень, оставаясь в инерциальной системе (пространство в которой изотропно), не испытывает ни каких сил натяжения при таком сжатии. Это эффект относительности измерительных процедур в двух системах отсчёта.<br />
<br />
Несколько иная ситуация в неинерциальных системах отсчёта. При измерении радиолокационного расстояния используется свет. Это же электромагнитное поле лежит в основе внутреннего устройства материальных тел (стержней, струн). Поэтому, если радиолокационное расстояние увеличивается, то это должно сказываться и на силах действующих внутри вещества.<br />
<br />
В связи с этим "парадоксом" имеет смысл напомнить, что абсолютно твёрдое ("жесткое") тело противоречит принципам теории относительности. Жесткость понятие относительное и тел с неизменными размерами для наблюдателей в различных системах отсчёта существовать не может. Одна из причин этого в том, что любое физическое перемещение в пространстве имеет скорость всегда меньшую, чем фундаментальная скорость (равная скорости света). Предположим, что существует, например, абсолютно твёрдый стержень. Тогда, толкнув его за один конец, мы должны были бы получить мгновенную реакцию и второго конца, расположенного на некотором расстоянии от первого. Подобное возмущение от толчка должно было передаться по стержню с бесконечной скоростью. Сверхсветовые скорости "плохи", т.к. приводят к мнимому фактору <math>\textstyle \gamma=1/\sqrt{1-v^2}</math> в преобразованиях Лоренца или в выражении для. Кроме этого возникают серьезные проблемы с причинностью (см. стр.\,\pageref{prec_line_sec}).<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> ''Парадокс Эренфеста'' связан с геометрическими эффектами во вращающейся системе отсчёта. Как и многие другие "парадоксы", парадокс Эренфеста обусловлен непривычностью для нас физики больших скоростей, а не с противоречивостью теории относительности.<br />
<br />
Пусть в лабораторной системе отсчёта находится неподвижный круговой желоб, внутри которого с угловой скоростью <math>\textstyle \omega</math> быстро вращается кольцо радиуса <math>\textstyle r</math>. Наблюдатель лабораторной системы, неподвижный относительно желоба, может измерить длину <math>\textstyle \Delta L</math> сегмента вращающегося кольца, путём одновременной (по его часам) фиксации положений начала и конца сегмента. В соответствии с эффектом сокращения длины (стр.\,\pageref{sec_relativ_shape}), <math>\textstyle \Delta L</math> будет меньше, чем собственная длина сегмента <math>\textstyle \Delta l</math>: <br />
<br />
<center>[[File:erenfest1.png]]</center><br />
<br />
:<center><math>\Delta L = \Delta l\,\sqrt{1-(\omega r)^2},</math></center><br />
<br />
} где <math>\textstyle \omega r = v</math> &mdash; это линейная скорость точки кольца. Сумма длин <math>\textstyle \Delta L</math> всех сегментов кольца совпадает с длиной неподвижного желоба и равняется <math>\textstyle 2\pi r</math>. Таким образом, "собственная длина" кольца <math>\textstyle l</math> (равная сумме всех измерений <math>\textstyle \Delta l</math>) оказывается больше, чем <math>\textstyle 2\pi r</math>:<br />
<br />
:<center><math>l = \frac{2\pi r}{\sqrt{1-(\omega r)^2}}.</math></center><br />
<br />
Этот же результат получается, если проинтегрировать физическую длину (), стр.\,\pageref{nonin_phys_l_rot} по углу <math>\textstyle \phi</math> от 0 до <math>\textstyle 2\pi</math>. Эта длина равна сумме радиолокационных измерений, проведенных ''различными'' неинерциальными наблюдателями. Длину окружности может измерить и один неинерциальный наблюдатель, вычислив время движения светового сигнала по окружности. В этом случае он получит различные расстояния в зависимости от направления его движения (по часовой стрелке и против):<br />
<br />
:<center><math>l_- = 2\pi r\, \sqrt{\frac{1-\omega r}{1+\omega r}},\;\;\;\;\;\;\;\;l_+ = 2\pi r\, \sqrt{\frac{1+\omega r}{1-\omega r}},</math></center><br />
<br />
а их среднее значение будет равно <math>\textstyle l=(l_++l_-)/2</math> (см. эффект Саньяка на стр.\,\pageref{nonint_rot1}). Всё это выглядит необычным с точки зрения классической физики. Однако ничего парадоксального (=противоречивого) в этом нет. Это противоречит лишь нашей интуиции, воспитанной на классической механике.<br />
<br />
Иногда утверждают, что вращающееся кольцо (или диск) должно как-то выгибаться, чтобы согласовать такое необычное свойство своей длины с евклидовой геометрией в инерциальной системе отсчета. Конечно это не так. Траектории движения каждой точки вращающегося кольца задаются в лабораторной системе. Естественно в этой системе его длина равна <math>\textstyle 2\pi r</math> и не о каких изгибах речи идти не может. А вот то, что собственная длина кольца отличается от <math>\textstyle 2\pi r</math>, да ещё зависит от способа её измерения, связано с необычными свойствами измерительных процедур в неинерциальных системах отсчёта. Как мы увидим в главе , трёхмерное пространство в неинерциальной системе, понимаемое как совокупность бесконечно малых радиолокационных расстояний, может иметь неевклидовую геометрию. Такое пространство во вращающейся системе отсчёта имеет отрицательную кривизну.<br />
<br />
Сложнее разобраться с физикой подобного диска или кольца на этапе их раскрутки, в результате которой они достигают угловой скорости <math>\textstyle \omega</math>. Для последовательного описания таких физических систем, как и для струны в парадоксе Белла, мы должны построить соответствующую механическую модель вещества из которого сделана система. В любом случае, постепенно раскручивающийся диск, не является жестким. Связанную с ним неинерциальную систему можно получить, например, записав следующее координатное преобразование:<br />
<br />
:<center><math>T=t,\;\;\;\;\;\;\;\;\;R=r,\;\;\;\;\;\;\;\;\Phi=\phi+\omega(t)\,t,</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle \omega(t)</math> некоторая функция, определяющая изменение угловой скорости. Эти преобразования приводят к метрике:<br />
<br />
:<center><math>ds^2 = [1-\Omega^2(t)\, r^2] \, dt^2 - 2 r^2\,\Omega(t)\,dt\,d\phi - dr^2-r^2\, d\phi^2,</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle \Omega(t)=\omega+\dot{\omega}t</math> и, как обычно, <math>\textstyle \dot{\omega}=d\omega/dt</math>. Элемент физической длины в такой неинерциальной системе отсчёта равен:<br />
<br />
:<center><math>\delta l^2=dr^2 + \frac{r^2\,d\phi^2}{1-\Omega^2(t)\,r^2}.</math></center><br />
<br />
Если <math>\textstyle \dot{\omega}\neq 0</math>, то радиолокационное расстояние вдоль любой окружности увеличивается со временем. Таким образом, во вращающемся c ускорением диске должны возникать не только натяжения за счёт сил инерции вдоль радиуса, но в поперечном направлении. Поэтому, если верны рассуждения, приведенные при обсуждении парадокса Белла, на диске должны действовать разрывные силы, действующие вдоль окружностей.<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Парадоксы остановки и близнецов]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Закон Кулона]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81%D1%8B_%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8_%D0%B8_%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B5%D1%86%D0%BE%D0%B2Парадоксы остановки и близнецов2013-07-02T19:35:40Z<p>WikiSysop: Защищена страница «Парадоксы остановки и близнецов» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Динамика в неинерциальной системе]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Парадоксы Белла и Эренфеста]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> "''Парадокс остановки''." Во второй главе (стр.\,\pageref{bear_first}) рассматривалась эскадра космических кораблей <math>\textstyle S'_0</math>, движущихся со скоростью <math>\textstyle U_0</math> относительно инерциальной системы <math>\textstyle S_0:\,(T,\,X)</math>. В силу относительности одновременности, наблюдатели данной системы отсчёта регистрируют различное время на движущихся относительно них часах: <br />
<br />
<center>[[File:nonin_time4.png]]</center><br />
<br />
Если эскадра принимает решение остановиться, то для наблюдателей в <math>\textstyle S_0</math> одновременное торможение кораблей (происходящее в <math>\textstyle S'_0</math>) не будет выглядеть одновременным. Пусть при торможении корабли выдерживают неизменным расстояние между ними. Когда относительно <math>\textstyle S_0</math> скорость, например, центрального корабля будет нулевой, такая же скорость должна быть для ''неподвижных относительно него'' других кораблей. В результате, неодновременное (в <math>\textstyle S_0</math>) торможение странным образом оканчивается одновременной остановкой для всех, теперь неподвижных наблюдателей как в системе <math>\textstyle S</math>, так и в системе <math>\textstyle S_0</math>.<br />
<br />
Проведём расчёт торможения для двух кораблей. Пусть в момент времени <math>\textstyle T'=0</math> по часам системы <math>\textstyle S'_0:\,(T',\,X')</math> они начинают одновременно тормозить. Первый (задний) корабль имеет в <math>\textstyle S'_0</math> координату <math>\textstyle X'=0</math>, а второй (передний) &mdash; <math>\textstyle X'=X'_0</math>. Запишем преобразования Лоренца:<br />
<br />
:<center><math>T=\gamma_0\,(T'+U_0X'),\;\;\;\;\;\;\;\;\;X=\gamma_0\,(X'+U_0T').</math></center><br />
<br />
Положив <math>\textstyle T'=0</math>, <math>\textstyle X'=X'_0</math>, получаем, что второй корабль в системе <math>\textstyle S_0</math> начнёт торможение в момент <math>\textstyle T=U_0\,\gamma_0\,X'_0</math>, имея координату <math>\textstyle X=\gamma_0 X'_0</math> (ниже второй рисунок). При <math>\textstyle T=0</math> (когда в <math>\textstyle S_0</math> начал тормозить первый корабль) второй корабль имеет координату <math>\textstyle X=X'_0/\gamma_0</math>:<br />
<br />
<br />
<br />
<center>[[File:bear_paradox.png]]</center><br />
<br />
Предположим, что корабли эскадры образуют жесткую равноускоренную (сейчас равнозамедленную) систему отсчёта <math>\textstyle S:\,(t,\,x)</math> с началом на первом корабле. До торможения радиолокационное расстояние между кораблями равнялось <math>\textstyle X'_0</math>. Как только появилось ускорение оно стало <math>\textstyle x_0=-\ln(1-aX'_0)/a</math>, см.\,стр.\pageref{u_acsel_l} (ускорение направлено против оси <math>\textstyle x</math>).<br />
<br />
Запишем преобразования между инерциальным и неинерциальным наблюдателями (), стр.\,\pageref{acsel_gen_xt}. При торможении, заменяем <math>\textstyle a\mapsto -a</math>:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{llll} \displaystyle a\,X &\displaystyle =& -\mathrm{ch}(\alpha_0-at)\,e^{-ax}+\gamma_0,\\ \displaystyle a\,T &\displaystyle =& -\mathrm{sh}(\alpha_0-at)\,e^{-ax}+\gamma_0 U_0, \end{array} \right. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle \alpha_0=\mathrm{ath}\,U_0)</math>. До момента времени <math>\textstyle T=U_0\gamma_0 X'_0</math> точка (корабль) движется равномерно: <math>\textstyle X=U_0T+ X'_0/\gamma_0</math>. После этого начинается торможение. Исключая из () время <math>\textstyle t</math>, получаем выражение для траектории фиксированной точки с координатой <math>\textstyle x=x_0=-\ln(1-aX'_0)/a</math>:<br />
<br />
:<center><math>aX=\gamma_0-\sqrt{(1-aX'_0)^2+\bigl(U_0\gamma_0\,- a\,T\bigr)^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T>U_0\gamma_0 X'_0.</math></center><br />
<br />
Скорость этой точки меняется со временем следующим образом:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> U=\frac{dX}{dT} = (U_0\gamma_0 - aT)\,\bigl[(1-aX'_0)^2+\bigl(U_0\gamma_0\,- a\,T\bigr)^2\bigr]^{-1/2}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Мы видим, что ''независимо'' от положения точки <math>\textstyle X'_0</math>, её скорость окажется нулевой в момент времени <math>\textstyle T=U_0\gamma_0/a</math>. Начав неодновременное торможение с точки зрения системы <math>\textstyle S_0</math>, корабли эскадры будут двигаться с различной скоростью и в результате их остановка произойдёт одновременно. Относительность понятия жесткости системы отсчета и лежит в основе "парадокса остановки".<br />
<br />
При <math>\textstyle T=U_0\gamma_0/a</math> координаты первого (<math>\textstyle X'_0=0</math>) и второго (<math>\textstyle X'_0>0)</math> кораблей (которые остановились) в системе <math>\textstyle S_0</math> будут равны:<br />
<br />
:<center><math>X^{(I)}= \frac{\gamma_0-1}{a},\;\;\;\;\;\;\;\;\; X^{(II)}=X'_0+\frac{\gamma_0-1}{a}.</math></center><br />
<br />
Поэтому расстояние <math>\textstyle X^{(II)}-X^{(I)}</math> между кораблями в момент остановки будет в точности равно их расстоянию <math>\textstyle X'_0</math> в системе <math>\textstyle S'_0</math> перед началом торможения. Линейка, начало и конец которой образуют корабли, перед началом торможения для наблюдателей в <math>\textstyle S_0</math> выглядела сжатой в направлении движения (лоренцево сокращение). При торможении она постепенно удлиняется и в момент остановки для наблюдателей в <math>\textstyle S_0</math> лоренцево сокращение длины линейки окончательно исчезает. Аналогично, естественно, выглядит ситуация при ускорении кораблей, при котором "жёсткая" (в смысле собственной длины) линейка относительно лабораторной системы постепенно сжимается (достаточно сложным образом, см.,\,стр.\,\pageref{nonin_length}), а после отключения двигателей оказывается сжатой в <math>\textstyle \gamma</math> раз, в точном соответствии с формулой Лоренца. После остановки линейки в результате жесткого торможения, это сжатие снова исчезает.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> ''Парадокс близнецов'' был рассмотрен во второй главе (стр.\,\pageref{sec_paradox_twins}), и как мы видели, ничего парадоксального в нём нет. Более того, для понимания причины кажущегося парадокса достаточно использовать только инерциальные системы. Ключом к пониманию проблемы служит эффект относительности одновременности, который нужно учитывать вместе с эффектом замедления времени. Движущийся путешественник регистрирует замедление хода всех часов в системе отсчёта своего брата - домоседа. Однако, относительность одновременности приводит к тому, что время на этих часах, находящихся вдоль его траектории, "сдвинуто" в будущее. Поэтому, хотя часы системы домоседа идут медленнее, они всё сильнее опережают часы путешественника.<br />
<br />
Неинерциальные системы позволяют провести расчёты с точки зрения каждого брата на этапах ускоренного движения. В общем случае, в лабораторной системе отсчета часы, движущиеся со скоростью <math>\textstyle \mathbf{U}(T)</math> имеют следующее накопленное время, которое показывают часы путешественника когда с точки зрения домоседа проходит время <math>\textstyle T_0</math>:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \tau= \int\limits^{T_0}_0 ds=\int\limits^{T_0}_0\sqrt{1-\mathbf{U}^2(T)}\, dT. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Чтобы получить время на часах домоседа в неинерциальной системе отсчёта, необходимо найти как изменяется координата <math>\textstyle x^\alpha(t)</math> домоседа в этой системе. Зная функции <math>\textstyle x^\alpha(t)</math>, можно вычислить собственное время часов домоседа:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \tau_0 = \int\limits^{t_0}_0 ds = \int\limits^{t_0}_0 \left(g_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{dt}\frac{dx^\alpha}{dt}\right)^{1/2}\, dt. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Подчеркнем, что формулы () и () дают собственное время различных часов (путешественника и домоседа, соответственно). Понятно, что после вычисления <math>\textstyle \tau</math> и <math>\textstyle \tau_0</math>, необходимо также записать связь координатных времен <math>\textstyle T_0</math> и <math>\textstyle t_0</math>.<br />
<br />
В качестве примера приведём вычисления для жёсткой равноускоренной системы отсчета. Для простоты будем считать, что путешественник, пролетая мимо домоседа со скоростью <math>\textstyle U_0</math>, синхронизирует с ним начальный отсчёт времени <math>\textstyle T=t=0</math>. Затем он начинает торможение до полной остановки в системе домоседа <math>\textstyle S_0</math>. Находясь в дальнейшем в одной инерциальной системе отсчёта, братья могут однозначным образом сравнить показания своих часов и выяснить у кого они отстали.<br />
<br />
Подставляя скорость () в соотношение () для путешественника с координатой <math>\textstyle x=x_0=X'_0=0</math>, имеем:<br />
<br />
:<center><math>\tau = \int\limits^{T_0}_0 \, \frac{dT}{\sqrt{1+ (U_0\gamma_0-aT)^2}}=\frac{1}{a}\, \left[\mathrm{ash}(U_0\gamma_0)-\mathrm{ash}(U_0\gamma_0-aT_0)\right].</math></center><br />
<br />
Остановка путешественника <math>\textstyle U(T_0)=0</math> происходит по часам домоседа при <math>\textstyle T_0=U_0\gamma_0/a</math> (см. "парадокс остановки"). К этому моменту часы путешественника показывают время <math>\textstyle \tau</math>:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> a\tau = \mathrm{ash}(U_0\gamma_0)\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{a}\, \mathrm{sh}(a\tau) = \frac{U_0\gamma_0}{a} = T_0. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Естественно, этот результат совпадает с вычислением времени часов, ускоряющихся из состояния покоя до скорости <math>\textstyle U_0</math> (см.\,стр.\,\pageref{time_del_acsel}).<br />
<br />
Найдём теперь собственное время домоседа в неинерциальной системе. Его траектория получается из () при <math>\textstyle X=0</math>:<br />
<br />
:<center><math>\gamma_0\, e^{ax}=\mathrm{ch}(\alpha_0-at),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{dx}{dt}=-\mathrm{th}(\alpha_0-at).</math></center><br />
<br />
Поэтому интервал собственного времени домоседа равен:<br />
<br />
:<center><math>d\tau_0 = \sqrt{ e^{-2ax}\,(dt^2-dx^2) } = \frac{\gamma_0\,dt}{\mathrm{ch}^2(\alpha_0-at)}.</math></center><br />
<br />
Интегрируя его от нуля до <math>\textstyle t_0</math>, получаем:<br />
<br />
:<center><math>\tau_0=\frac{\gamma_0}{a}\,\left[\mathrm{th}(\alpha_0)-\mathrm{th}(\alpha_0-at_0)\right].</math></center><br />
<br />
Домосед останавливается относительно путешественника, когда его скорость <math>\textstyle dx/dt</math> становится равной нулю. Это происходит при <math>\textstyle t_0=\alpha_0/a</math>. В этот момент:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \tau_0 = \frac{\gamma_0\mathrm{th}(\alpha_0)}{a} = \frac{U_0\gamma_0}{a} = T_0. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Мы, естественно, снова получаем значение <math>\textstyle T_0</math>, равное времени до момента относительной неподвижности домоседа и путешественника в системе отсчёта <math>\textstyle S_0</math>.<br />
<br />
Таким образом, соотношение () справедливо с точки зрения любого наблюдателя и даёт абсолютный эффект замедления времени на движущихся с переменной скоростью часах по сравнению с неподвижными часами. Естественно, можно рассмотреть и классический вариант полёта (ускорение из состояния покоя, равномерное движение и торможение, а затем возвращение в той-же последовательности). Однако понятно, что ничего нового соответствующие вычисления в эффект не добавляют.<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Динамика в неинерциальной системе]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Парадоксы Белла и Эренфеста]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%B2_%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B5Динамика в неинерциальной системе2013-07-02T19:34:57Z<p>WikiSysop: Защищена страница «Динамика в неинерциальной системе» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Движение частиц и света]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Парадоксы остановки и близнецов]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
Вернёмся к общему решению для траектории свободной частицы в жёсткой равноускоренной системе отсчёта (), (), стр.\,\pageref{nonint_traj_gestk_part_y}. Дифференцируя эти выражения по времени, несложно найти компоненты координатной скорости частицы:<br />
<br />
:<center><math>v_x = \frac{(1+ax)^2}{(1+ax_0)^2}\,\bigl[v_{0x}\mathrm{ch}\,at)-(1+ax_0)\,\mathrm{sh}\,at)\bigr],\;\;\;\;\;\;v_y=v_{0y}\,\frac{(1+ax)^2}{(1+ax_0)^2}.</math></center><br />
<br />
С их помощью запишем квадрат физической скорости:<br />
<br />
:<center><math>\frac{v^2_x+v^2_y}{(1+ax)^2} = 1 - \frac{(1+ax)^2}{(1+ax_0)^4}\,\left[(1+ax_0)^2 - v^2_{0x}-v^2_{0y}\right].</math></center><br />
<br />
Это соотношение можно переписать в виде:<br />
<br />
:<center><math>\frac{1+ax}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2/(1+ax)^2}} = \frac{1+ax_0}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2_{0}/(1+ax_0)^2}},</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle \mathbf{v}^2=v^2_x+v^2_y</math> и аналогично для начального значения с индексом 0. В правой части равенства стоит константа, поэтому при движении частицы сохраняется (является интегралом движения) следующая величина:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> E = m\,\frac{1+ax}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2/(1+ax)^2}}=const, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
которую мы назовём ''энергией частицы''. Параметр <math>\textstyle m</math> на который умножен интеграл движения, будем считать массой частицы.<br />
<br />
В нерелятивистском пределе малых скоростей разложим корень в ряд Тейлора:<br />
<br />
:<center><math>E \approx m\,(1+ax) + \frac{m\mathbf{v^2}/2}{1+ax} \approx m + \frac{m\mathbf{v}^2}{2} + m a\,x ,</math></center><br />
<br />
где во втором приближенном равенстве мы пренебрегли в знаменателе ускорением, считая <math>\textstyle \mathbf{v}^2ax\ll 1</math>. Равноускоренная неинерциальная система отсчёта в классической механике эквивалента однородному полю тяжести с <math>\textstyle g=a</math> (направленному против оси <math>\textstyle x</math>). Поэтому член <math>\textstyle m a\,x</math> соответствует потенциальной энергии, а выражение для <math>\textstyle E</math> является полной энергией частицы (кинетическая плюс потенциальная), включая энергию покоя <math>\textstyle E_0=m</math>.<br />
<br />
Таким образом, сохраняющаяся величина () является полной энергией релятивистской частицы в неинерциальной системе отсчёта. Эта энергия эффективно учитывает силу инерции которая действует на частицу, поэтому зависит не только от её скорости, но и от положения.<br />
<br />
Умножим числитель и знаменатель в выражении для энергии на <math>\textstyle 1+ax</math>:<br />
<br />
:<center><math>E = \frac{m\,(1+ax)^2}{\sqrt{(1+ax)^2-\mathbf{v}^2}}.</math></center><br />
<br />
Так как в жесткой равноускоренной системе отсчёта в координатах Мёллера интервал вдоль траектории движения частицы равен:<br />
<br />
:<center><math>ds^2 = (1+ax)^2\, dt - dx^2 - dy^2 = \left[(1+ax)^2 - \mathbf{v}^2 \right]\, dt^2</math></center><br />
<br />
и <math>\textstyle g_{00}=(1+ax)^2</math>, энергию можно переписать виде:<br />
<br />
:<center><math>E = m g_{00} \frac{dt}{ds}.</math></center><br />
<br />
Вводя 4-вектор <math>\textstyle dx^\alpha=\{dt,\;d\mathbf{x}\}</math>, аналогично инерциальной системе отсчёта, определим 4-скорость и 4-импульс частицы:<br />
<br />
:<center><math>u^\alpha = \frac{dx^\alpha}{ds},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;p^\alpha = m\, u^\alpha.</math></center><br />
<br />
При помощи метрического тензора опустим индекс вниз, определив:<br />
<br />
:<center><math>p_\alpha = g_{\alpha\beta}p^\beta.</math></center><br />
<br />
Так как <math>\textstyle ds^2=g_{\alpha\beta}\,dx^\alpha dx^\beta</math>, то квадрат 4-вектора скорости равен единице, а квадрат 4-импульса, как обычно, равен квадрату инвариантной массы частицы:<br />
<br />
:<center><math>m^2 = p_\alpha p^\alpha = g_{\alpha\beta}\, p^\alpha p^\beta.</math></center><br />
<br />
Для жесткой равноускоренной системы <math>\textstyle g_{0i}=0</math> и <math>\textstyle g_{ij}=-\delta_{ij}</math>, поэтому сохраняющаяся полная энергия <math>\textstyle E</math> совпадает с нулевой компонентой <math>\textstyle p_0</math> контравариантного 4-вектора <math>\textstyle p_\alpha</math>:<br />
<br />
:<center><math>p_0 = g_{0\alpha}\,p^\alpha = g_{00}\, m\,\frac{dt}{ds} + g_{0i}\, m\,\frac{dx^i}{ds} = g_{00}\, m\,\frac{dt}{ds}.</math></center><br />
<br />
Обратим внимание, что в неинерциальных системах отсчёта, в отличие от инерциальных в лоренцевых координатах, коэффициенты метрического тензора зависят от координат. Поэтому, <math>\textstyle p_\alpha</math> является отличной от <math>\textstyle p^\alpha</math> функцией координат и в жесткой неинерциальной системе отсчёта сохраняется именно <math>\textstyle p_0=E</math>, а не <math>\textstyle p^0</math>.<br />
<br />
Так как скорость частицы под воздействием сил инерции, в общем случае, меняет своё направление, трёхмерный импульс не сохраняется. Это относится как к <math>\textstyle p_i</math>, так и к <math>\textstyle p^i</math>. Сохраняется только полная энергия.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Проведём некоторые обобщения. Определим ''квадрат физической скорости'' частицы:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \tilde{\mathbf{v}}^2 = \frac{\delta l^2}{\delta \tau^2} = \frac{\gamma_{ij}\,dx^i dx^j}{\left(\sqrt{g_{00}}\,dt + g_{0i}\,dx^i/\sqrt{g_{00}}\right)^2}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle \delta l</math> &mdash; физическая длина и <math>\textstyle \delta \tau</math> &mdash; физическое время. Деля числитель и знаменатель на <math>\textstyle dt</math>, получаем связь квадрата физической скорости (помечена тильдой) с компонентами <math>\textstyle v^i=dx^i/dt</math> координатной скорости:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \tilde{\mathbf{v}}^2 = \frac{\gamma_{ij}\,v^i v^j}{g_{00}\,(1 - \gamma_{i}\,v^i)^2}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где введено сокращение<br />
<br />
:<center><math>\gamma_i=-\frac{g_{0i}}{g_{00}}.</math></center><br />
<br />
Соответственно ''компонентами физической скорости'' (снова тильда) назовём:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \tilde{v}^i = \frac{v^i/\sqrt{g_{00}}}{1 - \gamma_{i}\,v^i}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
так, что<br />
<br />
:<center><math>\tilde{\mathbf{v}}^2=\gamma_{ij}\,\tilde{v}^i\tilde{v}^j=\tilde{v}_i\tilde{v}^i,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\tilde{v}_i = \gamma_{ij}\,\tilde{v}^j.</math></center><br />
<br />
Отметим также соотношение:<br />
<br />
:<center><math>\frac{1}{1-\gamma_i v^i} = 1 + \gamma_i \tilde{v}^i\,\sqrt{g_{00}},</math></center><br />
<br />
которое получается после свёртки определения () с <math>\textstyle \gamma_i</math>.<br />
<br />
Собственное время частицы (интервал вдоль её траектории) можно записать в виде:<br />
<br />
:<center><math>ds = \left[\delta \tau^2 - \delta l^2\right]^{1/2} = \sqrt{1-\tilde{\mathbf{v}}^2}\,\delta\tau</math></center><br />
<br />
или, подставляя интервал физического времени, как:<br />
<br />
:<center><math>ds = \sqrt{1-\tilde{\mathbf{v}}^2}\,(\sqrt{g_{00}}\,dt + g_{0i}\,dx^i/\sqrt{g_{00}}) = \sqrt{1-\tilde{\mathbf{v}}^2}\; (1-\gamma_i v^i)\, \,\sqrt{g_{00}}\, dt.</math></center><br />
<br />
Поэтому компоненты вектора координатной 4-скорости <math>\textstyle u^\alpha = dx^\alpha/ds</math> равны:<br />
<br />
:<center><math>u^0 = \frac{\gamma_i \tilde{v}^i + 1/\sqrt{g_{00}}}{\sqrt{1-\tilde{\mathbf{v}}^2}}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; u^\alpha = \frac{\tilde{v}^i}{\sqrt{1-\tilde{\mathbf{v}}^2}}.</math></center><br />
<br />
Подчеркнём еще раз, что <math>\textstyle \tilde{\mathbf{v}}</math> &mdash; это физическая, а не координатная скорость.<br />
<br />
Теперь мы можем определить полную энергию частицы:<br />
<br />
:<center><math>E = m\, g_{0\alpha} u^\alpha = m\, g_{00}\, (u^0-\gamma_i u^i).</math></center><br />
<br />
Подставляя компоненты 4-скорости, окончательно имеем<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> E = \frac{m\,\sqrt{g_{00}}}{\sqrt{1-\tilde{\mathbf{v}}^2}}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
В главе мы докажем, что если метрические коэффициенты <math>\textstyle g_{\alpha\beta}</math> в неинерциальной системе отсчёта не зависят от времени, то выражение () является интегралом движения. Другими словами в стационарном случае полная энергия частицы всегда сохраняется.<br />
<br />
Так, равномерно вращающаяся система отсчёта является стационарной. Продемонстрируем, что энергия частицы () в этой системе постоянна. Для интервала (стр.\,\pageref{nonin_rot_ds_Born})<br />
<br />
:<center><math>ds^2 = (1-\omega^2 r^2)\,dt^2 - 2\omega\, r^2 \, dt\,d\phi - dr^2 - r^2\, d\phi^2 - dz^2</math></center><br />
<br />
физическое время и квадрат физической длины равны:<br />
<br />
:<center><math>\delta \tau = \sqrt{1-(\omega r)^2}\, dt - \frac{\omega r^2\,d\phi}{\sqrt{1-(\omega r)^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\delta l^2 = dr^2 + \frac{r^2\,d\phi^2}{1-(\omega r)^2}.</math></center><br />
<br />
Поэтому квадрат физической длины () равен:<br />
<br />
:<center><math>\tilde{\mathbf{v}}^2 = \frac{(1-\omega^2 r^2)\,\dot{r}^2+ r^2\dot{\phi}^2}{(1-\omega^2 r^2 - \omega r^2 \dot{\phi})^2},</math></center><br />
<br />
где точка &mdash; производная по времени <math>\textstyle t</math>. Соответственно, энергия частицы равна:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> E = m\,\frac{1-\omega r^2\, (\omega +\dot{\phi})}{\sqrt{1-\dot{r}^2 - r^2\,(\omega +\dot{\phi})^2}}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Благодаря соотношениям (), стр.\,\pageref{nonin_rot_light_r1} числитель и знаменатель в выражении для энергии постоянен.<br />
<br />
Отметим простое частное решение приводящее к постоянству энергии:<br />
<br />
:<center><math>\dot{\phi}=-\omega,\;\;\;\;\;\;\;\;\dot{r}=const.</math></center><br />
<br />
В лабораторной системе отсчёта такая траектория частицы соответствует движению по прямой, проходящей через центр вращения. В координатных величинах неинерциальной системы отсчёта это движение выглядит как раскручивающая спираль.<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Движение частиц и света]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Парадоксы остановки и близнецов]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%94%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%86_%D0%B8_%D1%81%D0%B2%D0%B5%D1%82%D0%B0Движение частиц и света2013-07-02T19:34:16Z<p>WikiSysop: Защищена страница «Движение частиц и света» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Жёсткость, время и геометрия]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Динамика в неинерциальной системе]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
Пространство в неинерциальной системе отсчёта не является одновременно изотропным и однородным, как это было в инерциальных системах. Это приводит к тому, что свободные частицы уже не движутся равномерно и прямолинейно. В классической механике мы говорим, что на частицы действуют силы инерции которые искривляют их траектории. Зная метрические коэффициенты <math>\textstyle g_{\alpha\beta}</math>, можно записать дифференциальное уравнение, решением которого является траектория движения свободной частицы в неинерциальной системе отсчёта. Это уравнение мы получим в главе , а сейчас приведём несколько примеров расчёта таких траекторий элементарными методами.<br />
<br />
Рассмотрим сначала жёсткую равноускоренную систему отсчёта в координатах Мёллера. Запишем траекторию свободной частицы в лоренцевых координатах в лабораторной системе отсчёта в плоскости <math>\textstyle (X,Y)</math>:<br />
<br />
:<center><math>X=X_0 + V_{0x} T,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Y=Y_0+V_{0y} T,</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle (V_{0x},\,V_{0y})</math> &mdash; постоянные компоненты скорости, а <math>\textstyle (X_0,\,Y_0)</math> &mdash; начальное положение частицы. Чтобы найти эту же траекторию в неинерциальной системе необходимо воспользоваться преобразованиями (), стр.\,\pageref{nonin_TXtx_gost}:<br />
<br />
:<center><math>aT=(1+ax)\,\mathrm{sh}(at),\;\;\;\;\;\;\;1+aX = (1+ax)\,\mathrm{ch}(at),\;\;\;\;\;Y=y.</math></center><br />
<br />
Подставляя их в траекторию, имеем:<br />
<br />
:<center><math>1+ax = \frac{1+aX_0}{\mathrm{ch}(at)-V_{0x}\,\mathrm{sh}(at)},\;\;\;\;\;\;\;a\,(y-Y_0)=V_{0y}\,\frac{(1+aX_0)\,\mathrm{sh}(at)}{\mathrm{ch}(at)-V_{0x}\,\mathrm{sh}(at)}.</math></center><br />
<br />
Осталось выразить константы <math>\textstyle X_0</math>, <math>\textstyle Y_0</math> и <math>\textstyle V_{0x}</math>, <math>\textstyle V_{0y}</math> через начальные условия. Полагая <math>\textstyle t=0</math>, имеем <math>\textstyle x_0=X_0</math> и <math>\textstyle y_0=Y_0</math>. Беря производную левой и правой части по времени при <math>\textstyle t=0</math>, получаем:<br />
<br />
:<center><math>V_{0x} = \frac{v_{0x}}{1+ax_0},\;\;\;\;\;\;\;\;\;V_{0y}=\frac{v_{0y}}{1+ax_0},</math></center><br />
<br />
где (<math>\textstyle v_{0x},\,v_{0y})</math> &mdash; начальная скорость частицы в неинерциальной системе. Подставляя эти константы в траекторию, окончательно имеем:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> 1+ax = \frac{(1+ax_0)^2}{(1+ax_0)\,\mathrm{ch}(at)-v_{0x}\mathrm{sh}(at)}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> a\,(y-y_0) = \frac{v_{0y}\,(1+ax_0)\,\mathrm{sh}(at)}{(1+ax_0)\,\mathrm{ch}(at)-v_{0x}\mathrm{sh}(at)}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
что является решением поставленной задачи.<br />
<br />
Пусть в момент времени <math>\textstyle t=0</math> частица находилась в начале системы отсчета <math>\textstyle x_0=y_0=0</math> и имела составляющую скорости <math>\textstyle v_{0y}</math> вдоль оси <math>\textstyle y</math>, а <math>\textstyle v_{0x}=0</math>. В этом случае выражения для траектории упрощаются:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> x(t) = \frac{1}{a}\left[\frac{1}{\mathrm{ch}(a\,t)}-1\right],\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y(t)=\frac{v_{0y}}{a}\,\mathrm{th}(at), </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
а координатные скорости будут равны:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> v_x(t)=-\frac{\mathrm{sh}(at)}{\mathrm{ch}^2(at)},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;v_y(t) = \frac{v_{0y}}{\mathrm{ch}^2(at)}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Физическое время связано с координатным как <math>\textstyle d\tau_0 = (1+ax)\, dt</math>, а физическая длина равна <math>\textstyle dl^2=dx^2+dy^2</math>. Поэтому компоненты ''физической скорости'' &mdash; это <math>\textstyle v_i/(1+ax)</math>. Вдоль оси <math>\textstyle y</math> физическая скорость нелинейно зависит от времени: <math>\textstyle v_y/(1+ax)=v_{0y}/\mathrm{ch}(at)</math>, что связано с различным ходом часов, отличающихся координатой <math>\textstyle x</math>. Физическая скорость вдоль оси <math>\textstyle x</math> со временем стремиться по модулю к единице: <math>\textstyle v_x/(1+ax)=-\mathrm{th}(at)</math>. При <math>\textstyle v_{0y}=1</math> квадрат физической скорости <math>\textstyle (v^2_{x}+v^2_{y})/(1+ax)^2</math> всё время равен единице (фундаментальной скорости "<math>\textstyle c</math>").<br />
<br />
Собственное время частицы равно:<br />
<br />
:<center><math>\tau = \int\limits^t_0 ds = \int\limits^t_0 \sqrt{(\,1+ax(t)\,)^2-v^2_x(t)-v^2_y(t)}\, dt = \frac{\sqrt{1-v^2_{0y}}}{a}\,\mathrm{th}(a\,t).</math></center><br />
<br />
За бесконечное координатное время <math>\textstyle t=\infty</math> частица уходит за горизонт событий <math>\textstyle x_0=-1/a</math> наблюдателя в начале координат. При этом собственное время самой частицы к этому "моменту" остается конечным.<br />
<br />
Наконец, траектория частицы получается после исключения времени:<br />
<br />
:<center><math>y = \frac{v_{0y}}{a}\, \sqrt{1-(1+ax)^2}</math></center><br />
<br />
и при малых <math>\textstyle ax</math> переходит в параболу (так в равноускоренной системе выглядит движение свободной частицы в классической механике). <br />
<br />
<center>[[File:nonin_acselr.png]]</center><br />
<br />
Выше на рисунке приведено несколько примеров траекторий начинающихся из точки <math>\textstyle x_0=y_0=0</math>. Рядом с линиями в скобках приведены значения компонент начальной скорости <math>\textstyle (v_{0x},\,v_{0y})</math>.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> В качестве еще одного примера, найдём траекторию свободной частицы во вращающейся системе отсчета (см.\,стр.\,\pageref{nonin_rot_transf_Born}). В лабораторной системе её траектория, проходящая в момент времени <math>\textstyle T=0</math> через точку с декартовыми координатами (<math>\textstyle X_0,\,Y_0</math>), имеет вид:<br />
<br />
:<center><math>X=X_0+V_0\cos(\alpha)\, T, \;\;\;\;\;\;\;\;\;Y=Y_0+V_0\sin(\alpha)\, T,</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle \alpha</math> &mdash; угол между направлением движения и осью <math>\textstyle X</math>. Модуль вектора скорости <math>\textstyle V_0</math>, когда вместо частицы движется импульс света равен единице (<math>\textstyle V_0=c=1</math>). Запишем траекторию в полярных координатах <math>\textstyle X=R\cos\Phi</math>, <math>\textstyle Y=R\sin\Phi</math> и перейдем к криволинейным координатам вращающейся системы отсчета в плоскости <math>\textstyle Z=z=0</math>:<br />
<br />
:<center><math>T=t,\;\;\;\;\;\;R=r,\;\;\;\;\Phi = \phi + \omega t.</math></center><br />
<br />
После несложных выкладок (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H) получаем:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{llll} x &= r_0\, \cos(\phi_0-\omega t) &+& V_0t \cos(\alpha-\omega t) \\ [2mm] y &= r_0\, \sin(\phi_0-\omega t) &+& V_0t \sin(\alpha-\omega t), \end{array} \right. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle r_0</math>, <math>\textstyle \phi_0</math> &mdash; начальное положение частицы в координатах неинерциальной системы и <math>\textstyle x=r\cos\phi</math>, <math>\textstyle y=r\sin\phi</math>. Отметим также выражение для изменения расстояния от центра вращения со временем:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> r^2=r^2_0 + 2r_0\, V_0\,t\,\cos(\phi_0-\alpha) + V^2_0 t^2 </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
и постоянные функции скоростей (точка &mdash; производная по <math>\textstyle t</math>):<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \dot{r}^2 + r^2 (\dot{\phi}+\omega)^2 = V^2_0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;r^2\,(\dot{\phi}+\omega)=V_0 r_0\sin(\alpha-\phi_0). </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Ниже на рисунках изображены некоторые траектории света (<math>\textstyle V_0=1</math>) во вращающейся системе отсчета: <br />
<br />
<center>[[File:nonin_rot1.png]]</center><br />
<br />
На первом рисунке лучи света выходят из точки <math>\textstyle r_0=1/(2\omega)</math> в различные стороны. На втором, наоборот, лучи сходятся в этой точке. Наконец, на третьем рисунке изображены траектории обмена световыми сигналами между наблюдателями, расположенными в жирных точках с наблюдателем, находящимся на оси вращения.<br />
<br />
Качественно поведение изгиба световых траекторий можно понять, если вспомнить свойство силы инерции Кориолиса во вращающейся системе отсчета. Эта сила зависит от скорости тела и на вращающемся против часовой стрелке диске направлена перпендикулярно скорости, вправо от неё (в векторных обозначениях соответствующее ускорение имеет вид <math>\textstyle -2[\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}]</math>). Аналогично, при движении импульса света его траектория всё время изгибается вправо.<br />
<br />
Эта ключевая особенность вращающейся системы отсчета приводит к тому, что при радиолокационном измерении расстояния сигнал между наблюдателями проходит по различным путям, в зависимости от того к какому из наблюдателей он движется. Выше на третьем рисунке цветок световых лучей как раз отражает подобное несовпадение траекторий. Стрелками помечено направления движения импульсов.<br />
<br />
В отличие от вращающейся системы, в жесткой равноускоренной системе отсчета траектория света в радиолокационном эксперименте одна и та же при движении света "туда и обратно". Аналогично мяч в поле силы тяжести при игре в волейбол движется по одной параболе, не зависимо от того, игроки какой команды его отправили в этот полет. Траектория движения такого светового импульса находится из уравнений (), () в которых необходимо положить <math>\textstyle v_{0x}=(1+ax_0)\,\cos\alpha</math> и <math>\textstyle v_{0y}=(1+ax_0)\,\sin\alpha</math>.<br />
<br />
Искривление лучей света приводит к тому, что окружающий мир в неинерциальной системе отсчёта выглядит совсем не так как в инерциальной. Наблюдатель видит объект в направлении под которым к нему пришел "луч" света, излученный этим объектом. Если "луч" движется по искривленной траектории, то и предмет будет виден не там, где он находится "на самом деле". Выше на втором рисунке каждая линия показывает последовательность точек, которые наблюдатель видит находящимися на одной прямой.<br />
<br />
В равноускоренной системе отсчёта также происходит визуальное искажение окружающего мира. Например, наблюдатель в начале координат видит своих коллег по системе, находящихся на оси <math>\textstyle y</math> не вверху и внизу, а впереди себя. Чем дальше такой наблюдатель от него находится, тем под большим углом к оси <math>\textstyle y</math> он будет визуально наблюдаться. Качественно это легко представить нарисовав параболу между двумя точками на оси <math>\textstyle y</math>. Эта ось играет для равноускоренной вдоль оси <math>\textstyle x</math> системы роль поверхности Земли. Брошенный из одной точки в другую камень полетит по параболе, начиная и оканчивая движение под углом к поверхности. Аналогично ведут себя и лучи света.<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Жёсткость, время и геометрия]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Динамика в неинерциальной системе]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%96%D1%91%D1%81%D1%82%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C,_%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8F_%D0%B8_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8FЖёсткость, время и геометрия2013-07-02T19:33:27Z<p>WikiSysop: Защищена страница «Жёсткость, время и геометрия» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Жёсткие системы отсчёта]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Движение частиц и света]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Получим при помощи критерия ''сопутствующей жесткости'' закон движения точек жесткой равноускоренной системы отсчёта. Пусть произвольная точка <math>\textstyle x</math> системы движется по траектории:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> X = x + \frac{1}{a_x}\, \left[\sqrt{1+(a_xT)^2}-1\right], </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle a_x</math> &mdash; константы, зависящие от начального положения точки <math>\textstyle x=X(0)</math>. Избавимся в траектории от корня, переписав её в следующем виде:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> (1-a_x x)^2 + 2a_x\,(1-a_x x)\,X = 1+a^2_x\,(T^2-X^2). </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Подставим в это уравнение преобразования Лоренца между лабораторной системой <math>\textstyle S_0</math> и инерциальной системой <math>\textstyle S'_0:\,\{T',\,X'\}</math>, движущейся относительно <math>\textstyle S_0</math> с постоянной скоростью <math>\textstyle U_0</math>:<br />
<br />
:<center><math>T=\gamma_0\,(T'+U_0X'),\;\;\;\;\;\;\;X=\gamma_0\,(X'+U_0T'),</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle \gamma_0=1/\sqrt{1-U^2_0}</math>. В правой части () стоит инвариант, поэтому:<br />
<br />
:<center><math>(1-a_x x)^2 + 2a_x\,(1-a_x x)\,\gamma_0\,(X'+U_0 T') = 1+a^2_x\,(T'^2-X'^2).</math></center><br />
<br />
Для данной точки (<math>\textstyle x=const</math>) возьмём производную левой и правой части по <math>\textstyle T'</math>, положив <math>\textstyle U'=dX'/dT'=0</math>. В результате, получаем момент времени <math>\textstyle T'</math> при котором скорость точек неинерциальной системы <math>\textstyle S</math> в инерциальной системе <math>\textstyle S'_0</math> оказывается равной нулю:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> T' = \frac{1-a_x x}{a_x}\,\gamma_0 U_0. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Такое время должно быть одинаковым для любых координат <math>\textstyle x</math> (все точки <math>\textstyle S</math> в <math>\textstyle S'_0</math> неподвижны). Это возможно, если в () множитель при <math>\textstyle \gamma_0 U_0</math> не зависит от <math>\textstyle x</math>:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> a_x = \frac{a}{1+ax}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle a=const</math> &mdash; собственное ускорение точки <math>\textstyle x=0</math>. Подставляя <math>\textstyle a_x</math> в (), имеем следующие траектории точек:<br />
<br />
:<center><math>X = \frac{1}{a}\, \left[\sqrt{(1+ax)^2+(aT)^2}-1\right].</math></center><br />
<br />
Такая система точек обладает сопутствующей жесткостью и образует жесткую равноускоренную систему, рассмотренную в первых двух разделах главы.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> В качестве второго примера рассмотрим систему, движущуюся с произвольной скоростью вдоль оси <math>\textstyle X</math> (стр.\,\pageref{nonin_gesk2}). Её интервал имеет вид <math>\textstyle ds^2=\left[1+w(t)\, x\right]^2\, dt^2-dx^2-dy^2</math> и приводит к евклидовой физической длине, следовательно, такая система отсчёта является ''локально жёсткой''. Разберёмся, однако, выполняется ли для неё критерий ''глобальной жесткости''. Равенство нулю интервала <math>\textstyle ds^2=0</math> приводит к следующему дифференциальному уравнению:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \frac{dx}{dt} = \pm(1+w\,x). </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Пусть световой сигнал отправляется в момент времени <math>\textstyle t_1</math> из начала системы отсчёта <math>\textstyle x=0</math>. В момент времени <math>\textstyle t_2</math> он туда возвращается, отразившись от точки с координатой <math>\textstyle x>0</math>. Рассмотрим движение в сторону возрастания координаты (знак плюс). Так как <math>\textstyle x(t_1)=0</math>, из () следует, что в момент времени <math>\textstyle t=t_1</math>:<br />
<br />
:<center><math>\frac{dx}{dt}\Bigr|_{t=t_1} = 1,\;\;\;\;\;\;\;\frac{d^2x}{dt^2}\Bigr|_{t=t_1} = \bigl(\frac{dw}{dt}\, x + \frac{dx}{dt}\,w\bigr)_{t=t_1}=w(t_1),</math></center><br />
<br />
где вторая производная получена дифференцированием (). Поэтому траектория удаляющегося сигнала имеет вид:<br />
<br />
:<center><math>x_+(t)\approx (t-t_1) + w(t_1)\,\frac{(t-t_1)^2}{2}+...</math></center><br />
<br />
Аналогично находится траектория приближающегося к началу отсчёта сигнала <math>\textstyle x(t_2)=0</math>, соответствующая в () знаку минус:<br />
<br />
:<center><math>x_-(t)\approx (t_2-t) + w(t_2)\,\frac{(t_2-t)^2}{2}+...</math></center><br />
<br />
При отражении эти две траектории совпадают: <math>\textstyle x_+(t)=x_{-}(t)=x</math>. Решая квадратные уравнения относительно <math>\textstyle t-t_1>0</math> и <math>\textstyle t_2-t>0</math> и складывая решения, получаем:<br />
<br />
:<center><math>t_2-t_1 \approx \frac{\sqrt{1+2w_1\, x}-1}{w_1}+\frac{\sqrt{1+2w_2 \,x}-1}{w_2},</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle w_1=w(t_1)</math> и <math>\textstyle w_2=w(t_2)</math>. При малом интервале времени <math>\textstyle t_2-t_1</math> координата точки отражения является величиной того же порядка малости. Поэтому разложим корень до малых <math>\textstyle x^2</math> включительно:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> l=\frac{t_2-t_1}{2} \approx x - \frac{w_1}{2}\,x^2, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где член <math>\textstyle (w_1+w_2)x^2</math> с точностью до второго порядка малости заменен на <math>\textstyle 2 w_1 x^2</math>. Так как для наблюдателя в начале системы отсчёта <math>\textstyle x=0</math> собственное время совпадает с координатным, полученное выражение является радиолокационным расстоянием к точке с координатой <math>\textstyle x</math>.<br />
<br />
В первом порядке малости это расстояние постоянно, что отражено в постоянстве физической длины <math>\textstyle \delta l^2=dx^2+dy^2</math>. Однако уже следующее приближение по <math>\textstyle x</math> оказывается зависящим от времени посылки сигнала, если только величина <math>\textstyle w(t)</math> не является константой. Поэтому постоянство бесконечно малого радиолокационного расстояния <math>\textstyle \delta l^2 = \gamma_{ij}\,dx^idx^j</math>, вообще говоря, не гарантирует, что конечное радиолокационное расстояние между двумя точками будет постоянным (локальная жёсткость не влечёт за собой глобальной жёсткости). Это свойство неинерциальных систем отсчёта тесно связано с другой особенностью. В жесткой равноускоренной системе в координатах Мёллера радиолокационное расстояние равно <math>\textstyle l=\ln(1+ax)/a</math>. В то же время <math>\textstyle \delta l^2=dx^2+dy^2</math> и при движении вдоль оси <math>\textstyle x</math> мы, на первый взгляд, должны были бы иметь <math>\textstyle l=x</math>.<br />
<br />
Причина этих расхождений кроется в измерительном смысле физической длины <math>\textstyle \delta l^2 = \gamma_{ij}\,dx^idx^j</math>. Её получает наблюдатель, измеряя ''время'' распространения светового сигнала в обе стороны к бесконечно близкой к нему точке. Суммирование малых элементов <math>\textstyle \delta l</math> вдоль некоторой кривой, подразумевает, что вдоль этой кривой расположено множество таких наблюдателей, каждый из которых получает своё значение <math>\textstyle \delta l</math>. Однако, время для разных наблюдателей в неинерциальной системе отсчёта, в общем случае, течёт различным образом. Поэтому, сумма измерений радиолокационных расстояний в которых используются часы, расположенные в различных точках, отличается от единственного измерения такого же расстояния, проведенного одним наблюдателем по одним часам.<br />
<br />
Хорошей иллюстрацией этого утверждения является вращающаяся система отсчёта. Длину можно измерять вдоль любой линии по которой распространяется свет. Экспериментально такая линия может быть организована при помощи световода или системы зеркал. Для наблюдателей, находящихся на одинаковом расстоянии от центра, темп хода часов одинаков. Пусть сигнал движется по окружности (<math>\textstyle r=const</math>) от точки <math>\textstyle \phi=0</math>, до точки <math>\textstyle \phi>0</math> и обратно. Равенство нулю интервала () приводит к уравнению:<br />
<br />
:<center><math>\frac{d\phi}{dt} = \pm \frac{1}{r} - \omega.</math></center><br />
<br />
Повторяя рассуждения на предыдущей странице, имеем:<br />
<br />
:<center><math>l = \sqrt{g_{00}}\;\frac{t_2-t_1}{2} = \frac{r\phi}{\sqrt{1-(\omega r)^2}},</math></center><br />
<br />
где множитель <math>\textstyle \sqrt{g_{00}}</math> введен, чтобы получилось физическое время. Такое же расстояние мы получим, интегрируя выражение для физической длины (), стр.\,\pageref{nonin_phys_l_rot} во вращающейся системе при <math>\textstyle r=const</math>.<br />
<br />
Иная ситуация будет при движении светового сигнала вдоль радиуса (<math>\textstyle \phi=const</math>). В этом случае уравнение его движения<br />
<br />
:<center><math>\frac{dr}{dt} = \pm \sqrt{1-(\omega r)^2}</math></center><br />
<br />
приводит к следующему радиолокационному расстоянию для наблюдателя, расположенного в центре вращения:<br />
<br />
:<center><math>l = \frac{1}{\omega}\, \arcsin(\omega r).</math></center><br />
<br />
Это выражение уже отличается от <math>\textstyle l=r</math>, которое следует при интегрировании () вдоль линии <math>\textstyle \phi=const</math>. Напомним, что точки вращающейся системы отсчёта, находящиеся на разном расстоянии <math>\textstyle r</math> от оси вращения, имеют различную скорость <math>\textstyle \omega r</math> и различное замедление собственного времени.<br />
<br />
Таким образом, одинаковый темп течения времени вдоль траектории светового сигнала приводит к совпадению результата единичного радиолокационного измерения расстояния и суммы измерений бесконечно малых расстояний. Если же темп течения времени вдоль траектории различен, то результаты измерений будут отличаться.<br />
<br />
В связи с этим отметим ещё один момент. Отклонение физической длины <math>\textstyle \delta l^2 = \gamma_{ij}\,dx^idx^j</math> от евклидового выражения, обычно интерпретируется как неевклидовость 3-пространства в неинерциальной системе отсчёта. Этому вопросу будет посвящена глава . Сейчас отметим только, что подобная неевклидовость существенно отличается от неевклидовости обычных искривлённых пространств. В геометрии нет времени. Длина линии должна равняться сумме длин её бесконечно малых элементов. Однако оба эти утверждения не выполняются в неинерциальных системах отсчёта. Поэтому, рассмотрение геометрических свойств пространства, например, с метрикой () несколько формально. К примеру, физическая длина в жесткой равноускоренной системе евклидова: <math>\textstyle \delta l^2=dx^2+dy^2</math>. Эта длина получена в результате анализа распространения света на бесконечно малое расстояние. Однако, в таком евклидовом пространстве тот же свет, распространясь на конечные расстояния, движется не по прямым, а по искривлённым линиям.<br />
<br />
За геометрическими свойствами метрики <math>\textstyle \gamma_{ij}</math> необходимо видеть множество наблюдателей, использующих различные часы для измерения радиолокационных расстояний в своих непосредственных окрестностях. Геометрия 3-пространства неинерциальной системы, основанная на <math>\textstyle \gamma_{ij}</math>, является геометрией, объединяющей такие бесконечно малые локальные измерения.<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Жёсткие системы отсчёта]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Движение частиц и света]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%96%D1%91%D1%81%D1%82%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BE%D1%82%D1%81%D1%87%D1%91%D1%82%D0%B0Жёсткие системы отсчёта2013-07-02T19:32:44Z<p>WikiSysop: Защищена страница «Жёсткие системы отсчёта» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Физические длина и время]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Жёсткость, время и геометрия]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
Жесткость (как бы мы её не определяли), как и многие другие эффекты релятивистской теории &mdash; это понятие относительное. Нежёсткая равноускоренная система является хорошей иллюстрацией к этому утверждению. Относительно лабораторной системы её точки движутся по траекториям:<br />
<br />
:<center><math>X = x + \frac{1}{a}\, \left[\sqrt{1+(aT)^2}-1\right].</math></center><br />
<br />
При этом точки с различной координатой <math>\textstyle x</math> имеют одинаковое собственное ускорение. Расстояние между ними в лабораторной системе отсчёта остаётся неизменным (<math>\textstyle \Delta X = \Delta x</math> не зависит от времени <math>\textstyle T</math>). Однако, как мы видели (стр.\,\pageref{nonin_phys_t1t2t}), радиолокационное расстояние между двумя точками зависит от времени. Поэтому наблюдатели, связанные с такой системой отсчёта, не считают её жесткой.<br />
<br />
Аналогично, в жесткой равноускоренной системе отсчёта из первого раздела, расстояние между наблюдателями не меняется со временем. Однако в лабораторной системе эти наблюдатели движутся с различными скоростями по траекториям<br />
<br />
:<center><math>X = \frac{1}{a}\, \left[\sqrt{(1+ax)^2+(aT)^2}-1\right].</math></center><br />
<br />
Для неподвижных наблюдателей такая "жесткая" равноускоренная система отсчёта не выглядит жесткой (<math>\textstyle \Delta X</math> является убывающей функцией времени и расстояние между точками уменьшается).<br />
<br />
Обсуждая далее жесткость системы отсчёта, мы будем подразумевать, что она выполняется для наблюдателей, связанных с этой системой. Аналогично собственному времени, будем называть её ''собственной жесткостью'' системы отсчёта.<br />
<br />
Отметим также, что обсуждая жесткость, мы имеем ввиду ''кинематическую жесткость'' системы отсчёта и связанных с ней тел. Это означает, что эффекты деформации и соответствующих сил, действующих внутри "твёрдого тела" выходят за рамки нашего рассмотрения. Жёсткая система отсчёта, представляется как совокупность точек, расстояние между которыми при движении системы в том или ином смысле остаётся неизменным. С каждой точкой мысленно связан наблюдатель, имеющий часы и линейку. Такие же эталоны времени и длины находятся у сопутствующего к нему наблюдателя в инерциальной системе отсчёта.<br />
<br />
Возможны по крайней мере три определения собственной жесткости: <blockquote> I. ''Сопутствующая жесткость'': все точки системы отсчёта имеют нулевую скорость в сопутствующей к ней инерциальной системе отсчёта. </blockquote> <blockquote> II. ''Локальная жесткость'': тензор <math>\textstyle \gamma_{ij}=-g_{ij}+g_{0i}g_{0j}/g_{00}</math>, определяющий элемент бесконечно малой физической длины, не зависит от времени. </blockquote> <blockquote> III. ''Глобальная жесткость'': радиолокационное расстояние между любыми двумя точками системы отсчёта не меняется со временем. </blockquote> Эти три определения не эквивалентны друг другу. Особенно неожиданным это может показаться по отношению к последним двум определениям. В основе процедуры, дающей <math>\textstyle \gamma_{ij}</math> лежит радиолокационное измерение расстояния между двумя бесконечно близкими точками. Однако, оказывается, что из его постоянства, вообще говоря, не следует глобальной жесткости системы отсчёта. То есть, бесконечно малые радиолокационные расстояния могут быть постоянными, и при этом расстояние между удалёнными точками системы отсчёта изменяться со временем. Мы продемонстрируем это в следующем разделе на примере неинерциальной системы, движущейся поступательно с произвольной скоростью.<br />
<br />
В жесткой равноускоренной системе отсчёта все три критерия выполняются. Постоянство радиолокационного расстояния в первом разделе было использовано для определения траекторий движения такой системы. Её метрика в координатах Мёллера <math>\textstyle ds^2 = (1+ax)^2\,dt^2 - dx^2- dy^2</math> приводит физической длине <math>\textstyle \delta l^2=dx^2+dy^2</math>, которая не зависит от времени. Поэтому критерий локальной жесткости также выполняется. Наконец, в следующем разделе мы увидим, что эта система является жесткой и в сопутствующем смысле. В этом отношении жесткая равноускоренная система выделяется из всего разнообразия неинерциальных систем отсчёта.<br />
<br />
Вращающаяся система жестка и в локальном (см. (), стр.\,\pageref{nonin_phys_l_rot}) и в глобальном смыслах (см. стр.\,\pageref{nonin_dl_rot}). Однако, для неё не выполняется критерий сопутствующей жесткости. В движущейся с подходящей скоростью инерциальной системе, нулевую скорость будет иметь только одна точка вращающегося диска. Это справедливо и в теории относительности, и в классической механике.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Исторически первым понятие жёсткости в теории относительности ввёл в 1909г. Макс Борн \cite{Born1909}. Он рассматривал некоторое тело, каждая точка которого однозначно характеризуется (нумеруется) тремя координатами <math>\textstyle x^i=\{x,y,z\}</math> и в лабораторной системе отсчёта движется по траектории <math>\textstyle X^\alpha=X^\alpha(\tau,x^i)</math>, где <math>\textstyle \tau</math> &mdash; собственное время часов, связанных с точкой. В классической механике тело считается жестким, если расстояние между двумя его точками, измеренное в данный момент времени, в дальнейшем не меняется (ниже первый рисунок). Такое определение не является релятивистски инвариантным и в любой другой системе отсчёта будет нарушено (одновременность относительна). Поэтому Борн потребовал для жесткого тела неизменности бесконечно малого расстояния в 4-пространстве в гиперплоскости, ортогональной траекториям двух соседних точек (ниже второй рисунок): <br />
<br />
<center>[[File:born.png]]</center><br />
<br />
Вместо жёсткой неинерциальной системы, следуя Борну, будем говорить о жёстком теле. Запишем траекторию произвольной точки такого тела относительно лабораторной системы <math>\textstyle S_0:\,\{T,\,X,\,Y,\,Z\}</math>:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> X^\alpha=X^\alpha(\tau,\, x^1,x^2,\,x^3). </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
При этом, <math>\textstyle x^i</math> &mdash; это координаты, однозначно определяющие фиксированную точку тела, а <math>\textstyle \tau</math> &mdash; её собственное время и, как обычно, <math>\textstyle X^\alpha=\{T,\,\mathbf{X}\}</math>. Ниже мы используем безындексную запись в которой прямым шрифтом будут обозначаться 4-векторы (скалярное произведение <math>\textstyle A^\alpha B_\alpha</math> в такой записи имеет вид <math>\textstyle \mathrm{A}\cdot\mathrm{B}</math> и т.д.).<br />
<br />
Интервал вдоль траектории движения точки совпадает с изменением её собственного времени:<br />
<br />
:<center><math>d\tau^2 = dX^\alpha dX_\alpha = (\partial_0 X^\alpha)(\partial_0 X_\alpha)\, d\tau^2\equiv (\partial_0 \mathrm{X})^2\, d\tau^2,</math></center><br />
<br />
где подставлены дифференциалы <math>\textstyle dX^\alpha=\partial_0 X^\alpha\,d\tau</math>, записанные при постоянстве координат <math>\textstyle x^i</math> и <math>\textstyle \partial_0=\partial/\partial\tau</math> &mdash; производная по собственному времени. Таким образом:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> (\partial_0 \mathrm{X})^2=1. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Обратим внимание, что такое лаконичное уравнение на самом деле является краткой записью уравнения <math>\textstyle (\partial_0 T)^2-(\partial_0\mathbf{X})^2=1.</math><br />
<br />
Рассмотрим две соседние точки с координатами <math>\textstyle x^i</math> и <math>\textstyle x^i+dx^i</math>. Положение первой точки соответствует моменту собственного времени <math>\textstyle \tau</math>, а второй: <math>\textstyle \tau+d\tau</math>. Расстояние между этими точками в пространстве Минковского определяется 4-вектором:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> d\mathrm{X} = \partial_0\mathrm{X}\,d\tau + \partial_i\mathrm{X}\, dx^i, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle \partial_i=\partial/\partial x^i</math>. Это обычный дифференциал функции 4-х переменных <math>\textstyle \tau</math>, <math>\textstyle x^1</math>, <math>\textstyle x^2</math>, <math>\textstyle x^3</math>. Для определения значения <math>\textstyle d\tau</math>, потребуем, чтобы вектор <math>\textstyle d\mathrm{X}</math> был ортогонален к 4-вектору <math>\textstyle \partial_0\mathrm{X}</math>, касательному к траектории при изменении собственного времени: <br />
<br />
<center>[[File:born_ortho.png]]</center><br />
<br />
<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> d\mathrm{X}\cdot\partial_0\mathrm{X}= 0. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
При таком выборе тело, по определению Борна, считается ''жёстким'', если длина вектора <math>\textstyle d \mathrm{X}</math> не меняется со временем:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> (d \mathrm{X})^2 = const. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Из соотношения ортогональности и (), () получаем<br />
<br />
:<center><math>d\tau = -(\partial_0\mathrm{X}\cdot\partial_i\mathrm{X})\, dx^i.</math></center><br />
<br />
Подставляя это значение в квадрат расстояния () между точками<br />
<br />
:<center><math>(d \mathrm{X})^2 = d\tau^2 + 2(\partial_0\mathrm{X}\cdot\partial_i\mathrm{X})\, d\tau dx^i +(\partial_i\mathrm{X}\cdot\partial_j\mathrm{X})\, dx^idx^j,</math></center><br />
<br />
имеем:<br />
<br />
:<center><math>(d\mathrm{X})^2 = \bigl\{ \partial_i\mathrm{X}\cdot\partial_j\mathrm{X} - (\partial_0\mathrm{X}\cdot\partial_i\mathrm{X}) (\partial_0\mathrm{X}\cdot\partial_j\mathrm{X})\bigr\}\, dx^idx^j.</math></center><br />
<br />
Первое слагаемое в фигурных скобках &mdash; это <math>\textstyle g_{ij}</math>, а второе &mdash; произведение <math>\textstyle g_{0i}g_{0j}</math>. Действительно, интервал равен:<br />
<br />
:<center><math>ds^2 = (d\mathrm{X})^2 = (\partial_\alpha\mathrm{X}\cdot \partial_\beta \mathrm{X})\, dx^\alpha dx^\beta = g_{\alpha\beta}\, dx^\alpha dx^\beta,</math></center><br />
<br />
поэтому, метрические коэффициенты <math>\textstyle g_{\alpha\beta}</math> неинерциальной системы, связанной с телом равны <math>\textstyle \partial_\alpha\mathrm{X}\cdot \partial_\beta \mathrm{X}</math>. При этом, так как в преобразованиях () <math>\textstyle \tau</math> &mdash; собственное время, то <math>\textstyle g_{00}=(\partial_0\mathrm{X})^2=1</math>.<br />
<br />
Таким образом, критерий жёсткости Борна эквивалентен постоянству тензора <math>\textstyle \gamma_{ij}</math>, определяющего физическую длину. Заметим, что Борн сформулировал свой критерий жесткости для частного случая преобразований в которых координатное время <math>\textstyle t</math> является собственным временем <math>\textstyle \tau</math> точки неинерциальной системы отсчёта. Если мы откажемся от условия (), то получится общее выражение (), стр.\,\pageref{noni_gamma_l_def}.<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Физические длина и время]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Жёсткость, время и геометрия]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%B4%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B8_%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8FФизические длина и время2013-07-02T19:32:00Z<p>WikiSysop: Защищена страница «Физические длина и время» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Произвольные неинерциальные системы]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Жёсткие системы отсчёта]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
Запишем при помощи метрического тензора <math>\textstyle g_{\alpha\beta}</math> общее выражение для бесконечно малого расстояния в пространстве-времени:<br />
<br />
:<center><math>ds^2 = g_{\alpha\beta} \,dx^\alpha dx^\beta = g_{00} \,dt^2 + 2g_{0i} \,dt dx^i + g_{ij}\,dx^i dx^j,</math></center><br />
<br />
где греческие индексы <math>\textstyle \alpha, \beta</math> изменяются от 0 до 3, а латинские <math>\textstyle i,j</math> от 1 до 3, <math>\textstyle dx^\alpha=\{dt, dx^i\}</math> и учтено, что <math>\textstyle g_{0i}=g_{i0}</math>. Выделим в этом выражении полный квадрат для членов, зависящих от дифференциала по координатному времени:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> ds^2 = \left(\sqrt{g_{00}} \,dt + \frac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}}\, dx^i\right)^2 - \left(\frac{g_{0i}g_{0j}}{g_{00}}-g_{ij}\right)\, dx^i dx^j. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Этот интервал формально имеет вид расстояния в псевдоевклидовом пространстве:<br />
<br />
:<center><math>ds^2 = \delta \tau^2 - \delta l^2,</math></center><br />
<br />
где бесконечно малые величины<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \delta \tau = \sqrt{g_{00}} \,dt + \frac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}}\, dx^i,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\delta l^2 = \left(\frac{g_{0i}g_{0j}}{g_{00}}-g_{ij}\right)\, dx^i dx^j </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
будем называть ''физическим временем'' и квадратом ''физического расстояния''. Для записи квадрата физического расстояния <math>\textstyle \delta l</math> удобно ввести трёхмерный тензор<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \gamma_{ij} =\frac{g_{0i}g_{0j}}{g_{00}}-g_{ij},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\delta l^2 = \gamma_{ij}\, dx^idx^j. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Обратим внимание, что для обозначения бесконечно малых используется значок "<math>\textstyle \delta</math>", а не "<math>\textstyle d</math>". Дело в том, что, как мы увидим ниже, величины <math>\textstyle \delta\tau</math> и <math>\textstyle \delta l</math> в общем случае не являются дифференциалами.<br />
<br />
Кроме <math>\textstyle \delta\tau</math> и <math>\textstyle \delta l</math> введем понятие ''собственного времени'' <math>\textstyle \delta \tau_0</math> часов, находящихся в ''фиксированной'' точке пространства системы отсчёта. Это время равно интервалу <math>\textstyle ds</math> между событиями для которых <math>\textstyle dx^1=dx^2=dx^3=0</math> или <math>\textstyle \delta l=0</math>:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \delta \tau_0 = \sqrt{g_{00}} \,dt. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Понятно, что <math>\textstyle \delta \tau=\delta \tau_0</math> при <math>\textstyle dx^k=0</math>. Как и раньше, будем считать собственное время физическим временем данных часов неинерциальной системы отсчета. Эти часы движутся относительно инерциальной системы с переменной скоростью и время на них замедлятся в соответствии со стандартной релятивистской формулой.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Для выяснения физического смысла <math>\textstyle \delta l</math>, рассмотрим радиолокационное измерение расстояния, которое проводит наблюдатель, расположенный в точке <math>\textstyle A:\,(x^1,\,x^2,\,x^3)</math>. Расстояние он измеряет до близкой к нему точки <math>\textstyle B:\,(x^1+dx^1,\,x^2+dx^2,\,x^3+dx^3)</math>. Интервал между двумя событиями при движении светового импульса равен нулю <math>\textstyle ds=0</math>. Поэтому из () имеем:<br />
<br />
:<center><math>\sqrt{g_{00}}\,dt_{\pm} = -\frac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}}\, dx^i \pm \sqrt{\delta l^2}.</math></center><br />
<br />
Значение <math>\textstyle dt_{+}>0</math> соответствует движению импульса в сторону увеличения координат, а <math>\textstyle dt_{-}<0</math> &mdash; в противоположную. Стоит проверить это на примерах вращающейся и нежесткой равноускоренной систем отсчета. Пусть сигнал отражается от точки <math>\textstyle B</math> в момент времени <math>\textstyle t</math>. Тогда он оправляется из <math>\textstyle A</math> в <math>\textstyle t_1=t-dt_{+}<t</math> и возвращается обратно в момент <math>\textstyle t_2=t-dt_{-}>t</math>. Половина интервала собственного времени <math>\textstyle \sqrt{g_{00}\,(t_2-t_1)/2}</math> между этими двумя событиями равна: <br />
<br />
<center>[[File:nonin_dl_def.png]]</center><br />
<br />
<br />
:<center><math>\frac{\sqrt{g_{00}}\,(dt_{+}-dt_-)}{2} = \sqrt{\delta l^2}.</math></center><br />
<br />
Таким образом, физическое расстояние <math>\textstyle \delta l</math> имеет смысл ''радиолокационного расстояния'' которое измеряется наблюдателем в точке <math>\textstyle (x^1,x^2,x^3)</math> в его непосредственной окрестности.<br />
<br />
Смысл величины <math>\textstyle \delta l</math> можно прояснить и при помощи следующих рассуждений. Пусть в данный момент времени в окрестности фиксированной точки НИСО находится сопутствующая к ней ИСО. Относительно неё ''эта'' точка НИСО имеет нулевую скорость <math>\textstyle U^k=0</math>, и из (), стр.\,\pageref{nonin_Uk_dX_dT} следует, что <math>\textstyle \partial_0 X^k=0.</math> Эта производная равна нулю при заданных значениях <math>\textstyle (t,\,x^i)</math>, для которых имеем следующие коэффициенты метрического тензора ():<br />
<br />
:<center><math>g_{00} = (\partial_0 X^0)^2,\;\;\;\;\; g_{0i} = \partial_0 X^0 \,\partial_i X^0,\;\;\;\;\; g_{ij} = \partial_i X^0 \,\partial_j X^0 - \partial_i X^k\, \partial_j X^k,</math></center><br />
<br />
откуда: <math>\textstyle \partial_i X^k\, \partial_j X^k = \gamma_{ij}. </math> С другой стороны, евклидово расстояние в сопутствующей ИСО равно<br />
<br />
:<center><math>\delta l^2=dX^2+dY^2+dZ^2=dX^k\,dX^k=\partial_i X^k\,\partial_j X^k\, dx^idx^j = \gamma_{ij}\,dx^idx^j.</math></center><br />
<br />
Использование ''одинаковых линеек'' наблюдателем в НИСО и в сопутствующей ему ИСО приводит к одинаковому расстоянию. В отличие от ИСО величины <math>\textstyle \gamma_{ij}</math> являются функциями <math>\textstyle (t,\,x^k)</math> и меняются от точки к точке (в которых надо использовать ''другие'' сопутствующие ИСО).<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Физическое время <math>\textstyle \delta\tau</math> при <math>\textstyle dx^i\neq 0</math> соответствует разнице собственных времен между двумя бесконечно близкими, но ''различными'' синхронизированными часами. Действительно, рассмотрим стандартную процедуру синхронизации. Пусть сигнал отправляется в момент времени <math>\textstyle t_1=t-dt_{+}</math> из точки <math>\textstyle A=(x^1,\,x^2,\,x^3)</math>, в точку <math>\textstyle B=(x^1+dx^1,\,x^2+dx^2,\,x^3+dx^3)</math>. Её он достигает в момент времени <math>\textstyle t</math> и возвращается обратно к <math>\textstyle A</math> в момент <math>\textstyle t_2=t-dt_{-}</math>. Все эти времена являются координатными. Они связаны с собственным временем часов <math>\textstyle \tau_A</math> и <math>\textstyle \tau_B</math>, находящихся в точках <math>\textstyle A</math> и <math>\textstyle B</math>. По определению, часы идут синхронно, если выполняется соотношение:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \tau_B(t) = \frac{\tau_A(t_1)+\tau_A(t_2)}{2}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
При бесконечно малом изменении координатного времени, для физического собственного времени часов, находящихся в точке <math>\textstyle A</math>, в соответствии с (), имеем:<br />
<br />
:<center><math>\tau_A( t+dt) = \tau_A( t) + \delta\tau_A = \tau_A( t) + \sqrt{g_{00}}\,dt.</math></center><br />
<br />
Учитывая значения <math>\textstyle dt_\pm</math>, найденные при проведении радиолокационного измерения, из () получаем:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \tau_B(t) = \tau_A(t) + \frac{g_{0i}\, dx^i}{\sqrt{g_{00}}}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Это соотношение устанавливает правило синхронизации отсчета времени между двумя бесконечно близкими часами.<br />
<br />
Когда часы синхронизированы можно говорить о разности времени между событиями, произошедшими в различных точках. Так, пусть из точки <math>\textstyle A</math> в момент координатного времени <math>\textstyle t</math> посылается световой сигнал в точку <math>\textstyle B</math>, который туда приходит в момент <math>\textstyle t+dt</math>. Разница собственных времен часов в точках <math>\textstyle B</math> и <math>\textstyle A</math> будет равна физическому времени из (): <br />
<br />
<center>[[File:nonin_clocks.png]]</center><br />
<br />
:<center><math>\delta \tau = \tau_B-\tau_A = \sqrt{g_{00}} \,dt + \frac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}}\, dx^i.</math></center><br />
<br />
С помощью двух синхронизированных часов можно определить скорость света при его распространении от <math>\textstyle A</math> к <math>\textstyle B</math>. Она равна <math>\textstyle \delta l/\delta \tau = 1,</math> где учтено, что для света <math>\textstyle ds^2=\delta\tau^2-\delta l^2=0</math>. Таким образом определенная ''физическая скорость света'' всегда равна единице (или "<math>\textstyle c</math>" при восстановлении фундаментальной константы скорости). При этом ''координатная скорость'' <math>\textstyle dx^i/dt</math> светового импульса, вообще говоря, отличается от единицы и может быть сколь угодно большой.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Если часы синхронизированы во всей системе отсчета, это означает, что существует функция <math>\textstyle \tau(t,\,x^k)</math>, позволяющая по данным координатам события определить текущее значение собственного времени наблюдателя. Так, выше в () <math>\textstyle \tau_A(t)=\tau(t,x^i)</math> и <math>\textstyle \tau_B(t)=\tau(t,x^i+dx^i)</math>. Когда введение такой функции возможно?<br />
<br />
Дифференциал функции <math>\textstyle \tau=\tau(t,\,x^i)</math> нескольких переменных равен:<br />
<br />
:<center><math>d\tau = \frac{\partial\tau}{\partial t}\,dt + \frac{\partial\tau}{\partial x^i}\,dx^i.</math></center><br />
<br />
Поэтому <math>\textstyle \delta\tau</math> () будет дифференциалом, если:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \frac{\partial \tau}{\partial t} = \sqrt{g_{00}}, \;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\partial \tau}{\partial x^i}= \frac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Частные производные должны быть перестановочны. Возьмем в () производную от <math>\textstyle \partial \tau/\partial t</math> по <math>\textstyle x^i</math>, а от <math>\textstyle \partial \tau/\partial x^i</math> по <math>\textstyle t</math> и приравняем их. Аналогично с производными по <math>\textstyle x^i</math> и <math>\textstyle x^j</math>:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \frac{\partial \sqrt{g_{00}}}{\partial x^i} = \frac{\partial }{\partial t}\frac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}},\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{\partial }{\partial x^i}\frac{g_{0j}}{\sqrt{g_{00}}} = \frac{\partial }{\partial x^j}\frac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Если () не выполняются, то физическое время <math>\textstyle \delta\tau</math> не является полным дифференциалом. В этом случае интеграл между двумя событиями <math>\textstyle P_1</math> и <math>\textstyle P_2</math> в 4-пространстве<br />
<br />
:<center><math>\tau = \int\limits^{P_2}_{P_1} \delta \tau =\int\limits^{P_2}_{P_1} \bigl[\sqrt{g_{00}} \,dt + \frac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}}\, dx^i\bigr]</math></center><br />
<br />
зависит от пути интегрирования. Это означает, что в данной системе отсчета нельзя ввести единое синхронизированное время. Так, в жесткой равноускоренной системе отсчета (), стр.\,\pageref{nonin_ds_gost} имеем следующий криволинейный интеграл: <br />
<br />
<center>[[File:nonin_dtau_int.png]]</center><br />
<br />
:<center><math>\tau=\int\limits^{P_2}_{P_1} \bigl[ e^{ax}\, dt + 0\cdot dx\bigr].</math></center><br />
<br />
Если его вычислить между <math>\textstyle P_1=(0,\,0)</math> и <math>\textstyle P_2=(t,\,x)</math> сначала по линии <math>\textstyle P_1\, A\, P_2</math>, то получится <math>\textstyle \tau=t</math>. Интеграл же по пути <math>\textstyle P_1\, B\, P_2</math> даёт другое значение <math>\textstyle \tau=e^{ax}\,t</math>. Поэтому часы с различными координатами <math>\textstyle x</math> синхронизированы быть не могут. Физически это связано с различным ходом времени в равноускоренной системе. Начальная синхронизация часов стоящих в космопортах кораблей со временем "разрушается".<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Условия периодичности для координат <math>\textstyle x^i</math> могут накладывать дополнительные ограничения на возможность синхронизации часов. Запишем физическое время для вращающейся системы отсчета ():<br />
<br />
:<center><math>\delta \tau = \sqrt{1-(\omega r)^2}\,dt - \frac{\omega r^2 d\phi}{\sqrt{1-(\omega r)^2}}.</math></center><br />
<br />
Для часов (наблюдателей), находящихся на одинаковом расстоянии от центра (<math>\textstyle r=const</math>), это выражение является дифференциалом:<br />
<br />
:<center><math>\tau = \sqrt{1-(\omega r)^2}\,t - \frac{\omega r^2 \phi}{\sqrt{1-(\omega r)^2}}.</math></center><br />
<br />
Такое выражение для физического времени мы получили при выборе условия синхронизации часов в форме (), стр.\,\pageref{nonint_rot_tau} (на стр.\,\pageref{nonint_rot_tau} физическое время обозначалось как <math>\textstyle t</math>, а <math>\textstyle T</math> &mdash; было временем инерциальной системы отсчета, которое в координатах Борна совпадает с координатным временем <math>\textstyle t</math> этого раздела).<br />
<br />
Не смотря на то, что мы имеем полный дифференциал, функция <math>\textstyle \tau=\tau(t,\,\phi)</math> не является однозначной в силу эквивалентности точек <math>\textstyle \phi=0</math> и <math>\textstyle \phi=2\pi</math>. Поэтому провести синхронизацию всех часов, вращающихся по окружности, не представляется возможным. Если <math>\textstyle r</math> не считать константой, то <math>\textstyle \delta \tau</math> не будет полным дифференциалом. Причина аналогична ситуации в жесткой равноускоренной системе: течение собственного времени точек, находящихся на разном расстоянии от центра, различно.<br />
<br />
Физическая длина для вращающейся системы имеет вид:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \delta l^2 = \frac{\omega^2 r^4\,d\phi^2}{1-\omega^2 r^2} + dr^2 + r^2 \,d\phi^2 + dz^2 =dr^2 + \frac{r^2\,d\phi^2}{1-\omega^2 r^2} + dz^2. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Этот результат мы получили на стр.\,\pageref{nonin_dl_rot}, рассматривая радиолокационный эксперимент, проводимый наблюдателями на вращающихся вокруг общего центра кораблях.<br />
<br />
Обратим внимание, что физическая длина не зависит от времени. Это означает, что наблюдатель в точке <math>\textstyle (r,\,\phi,\,z)</math>, измеряя радиолокационное расстояние в соседнюю с ним точку, будет получать неизменное значение. Такая система отсчёта является ''локально жесткой''. В общем случае, система отсчета, получающаяся из инерциальной преобразованиями <math>\textstyle T=t</math>, <math>\textstyle \mathbf{X}=\mathbf{R}(t,\,x^1,\,x^2,\,x^3)</math>, <math>\textstyle \mathbf{V}=\partial_0\mathbf{R}</math>, будет локально жесткой, если тензор<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \gamma_{ij}= \frac{(\mathbf{V}\partial_i\mathbf{R})\,(\mathbf{V}\partial_j\mathbf{R})}{1-\mathbf{V}^2}+ \partial_i\mathbf{R}\partial_j\mathbf{R}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
не зависит от времени. Поступательно ускоренные системы () при любой функции <math>\textstyle v(t)</math> являются локально жесткими.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Невозможность синхронизации часов типична для неинерциальных систем отсчёта. Эта проблема, как мы знаем, отсутствует в инерциальных системах. Рассмотрим в качестве примера вывод преобразований Лоренца при помощи координатных преобразований Галилея \cite{Logunov1987}:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> T=t,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X=x+vt. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Величины <math>\textstyle T</math> и <math>\textstyle X</math> будем считать физическим временем и координатой события в системе <math>\textstyle S_0:\,(T,\,X)</math>. Точки системы <math>\textstyle S:\,(t,\,x)</math> движутся относительно <math>\textstyle S_0</math> со скоростью <math>\textstyle v</math>. Это учтено в преобразовании <math>\textstyle X=x+vt</math>, из которого (в силу <math>\textstyle t=T</math>) следует, что в инерциальной системе <math>\textstyle S_0</math> траектория точки с координатой <math>\textstyle x</math> имеет вид <math>\textstyle X=x+vT</math>. Подобное преобразование является примером общего случая (), стр.\,\pageref{nonoin_XR_Tt}.<br />
<br />
Преобразования () являются достаточно произвольными, поэтому числа <math>\textstyle (t,\,x)</math> &mdash; это координатные величины. Чтобы установить их связь с физическими величинами, запишем интервал <math>\textstyle ds^2=dT^2-dX^2</math> в новых координатах:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> ds^2 = (1-v^2)\, dt^2-2v\, dt\, dx - dx^2, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
откуда, используя общие формулы или сразу выделяя полный квадрат по <math>\textstyle dt</math>, имеем:<br />
<br />
:<center><math>\delta\tau = \sqrt{1-v^2}\, dt - \frac{v\,dx}{\sqrt{1-v^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\delta l = \frac{dx}{\sqrt{1-v^2}}.</math></center><br />
<br />
Коэффициенты у дифференциалов <math>\textstyle dt</math> и <math>\textstyle dx</math> в <math>\textstyle \delta\tau</math> являются константами, поэтому условия возможности синхронизации часов () выполняются и <math>\textstyle \delta\tau</math>, <math>\textstyle \delta l</math> можно проинтегрировать:<br />
<br />
:<center><math>\tau = t\,\sqrt{1-v^2} - \frac{vx}{\sqrt{1-v^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;l = \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}.</math></center><br />
<br />
Выражая <math>\textstyle (t,\,x)</math> через <math>\textstyle (\tau,\,l)</math> и подставляя их в (), получаем преобразования Лоренца:<br />
<br />
:<center><math>T=\frac{\tau+v l}{\sqrt{1-v^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X=\frac{x+v\tau}{\sqrt{1-v^2}},</math></center><br />
<br />
связывающие уже не координатные величины, а физические. Координатная скорость света получается из условия <math>\textstyle ds=0</math>:<br />
<br />
:<center><math>\frac{dx}{dt}= \pm 1 - v.</math></center><br />
<br />
Такая скорость при движении против оси <math>\textstyle x</math> (знак минус) по модулю больше единицы. При этом, конечно, физическая скорость света <math>\textstyle \delta l/\delta \tau</math> по-прежнему равна единице.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Переход к новому координатному времени <math>\textstyle x'^0=x'^0(x^0,\,x^1,x^2,x^3)</math> и другому способу нумерации точек 3-пространства <math>\textstyle x'^i=x'^i(x^1,\,x^2,\,x^3)</math> не меняет системы отсчета. Поэтому физические время и длина не должны измениться. Продемонстрируем это. Запишем закон преобразования метрического тензора, исходя из инвариантности интервала:<br />
<br />
:<center><math>ds^2=g_{\mu \nu}\,dx^\mu dx^\nu=g'_{\alpha \beta}\,dx'^\alpha dx'^\beta = g'_{\alpha \beta}\,\partial_\mu x'^\alpha \partial_\nu x'^\beta\, dx^\mu dx^\nu,</math></center><br />
<br />
где подставлены дифференциалы <math>\textstyle dx'^\alpha = \partial_\mu x'^\alpha\,dx^\mu\equiv (\partial x'^\alpha/\partial x^\mu)\,dx^\mu</math>. Отсюда следует, что:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> g_{\mu \nu} = \partial_\mu x'^\alpha \partial_\nu x'^\beta\,g'_{\alpha \beta}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Распишем это соотношение, выделив временной и пространственный индексы, отбрасывая члены с <math>\textstyle \partial_0x'^i=0</math>:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> g_{00} = (\partial_0 t')^2\, g'_{00},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; g_{0i}=(\partial_0 t')\, (\partial_i t'\,g'_{00}+\partial_i x'^p\,g'_{0p}) </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
и аналогично для дифференциалов старых координат по новым:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> dt'=(\partial_0 t')\, dt+(\partial_i t')\,dx^i,\;\;\;\;\;\;\;\;\;dx'^i = (\partial_j x'^i)\,dx^j. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Подставим () в выражение для физического времени ():<br />
<br />
:<center><math>\delta \tau = \sqrt{g'_{00}}\,(\partial_0 t')\,dt + \frac{1}{\sqrt{g'_{00}}}\, (\partial_i t'\,g'_{00}+\partial_i x'^p\,g'_{0p})\,dx^i.</math></center><br />
<br />
Исключая дифференциалы <math>\textstyle dt</math> и <math>\textstyle dx'^i</math> при помощи (), получаем выражение для физического времени (), но выраженное в новых координатах и коэффициентах метрического тензора:<br />
<br />
:<center><math>\delta \tau = \sqrt{g'_{00}}\,dt' + \frac{g'_{0i}}{\sqrt{g'_{00}}}\,dx'^i.</math></center><br />
<br />
Этот результат не является тривиальным. Из <math>\textstyle ds^2=\delta\tau^2-\delta l^2=\delta\tau'^2-\delta l'^2</math> в общем случае не следует, что <math>\textstyle \delta\tau=\delta\tau'</math> (вспомним инерциальные системы отсчета). Однако это справедливо при координатных преобразованиях в которых <math>\textstyle x'^i=x'^i(x^1,\,x^2,\,x^3)</math> не зависит от времени. Для таких преобразований физическое время не изменяется.<br />
<br />
Записывая из () преобразования для пространственных индексов метрического тензора <math>\textstyle g_{ij}</math>, можно (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H) получить:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \gamma_{ij} = \partial_i x'^p \partial_j x'^q\,\gamma'_{pq}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle \gamma'_{ij}</math> выражается через <math>\textstyle g'_{\mu\nu}</math> так же, как и <math>\textstyle \gamma_{ij}</math> через <math>\textstyle g_{\mu\nu}</math>. Это означает, что <math>\textstyle \gamma_{ij}</math> преобразуется подобно метрическому тензору () относительно координатных преобразований и физическая длина является инвариантом <math>\textstyle \delta l^2=\gamma_{ij}\,dx^idx^j = \gamma'_{ij}\,dx'^idx'^j</math> таких преобразований.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим некоторые свойства величин <math>\textstyle \gamma_{ij}</math> (), определяющих физическую длину <math>\textstyle \delta l</math> в неинерциальной системе отсчета.<br />
<br />
Прежде всего матрица <math>\textstyle \gamma_{ij}</math> является обратной к пространственным компонентам метрического тензора с верхними индексами <math>\textstyle g^{ij}</math>:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \gamma_{jk}\, g^{ki} = -\delta^i_j. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Чтобы это доказать, распишем условие ортогональности метрических тензоров с верхними и нижними индексами: <math>\textstyle g^{\alpha\gamma}\,g_{\gamma\beta}=\delta^\alpha_\beta</math>. Для <math>\textstyle \alpha=i</math>, <math>\textstyle \beta=0</math> имеем:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> g^{i0}\,g_{00} + g^{ik}\,g_{k 0} = 0 \;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;g^{i0} = -\frac{g^{ik}\,g_{k 0}}{g_{00}}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Если же <math>\textstyle \alpha=i</math>, <math>\textstyle \beta=j</math>, подставляя выражение для <math>\textstyle g^{i0}</math>, получаем:<br />
<br />
:<center><math>\delta^i_j = g^{i0}\,g_{0 j} + g^{ik}\,g_{k j} = - g^{ik}\left(\frac{g_{k 0} g_{0 j}}{g_{00}}-g_{k j}\right)=- g^{ik}\gamma_{kj}.</math></center><br />
<br />
Прямым вычислением определителей можно также проверить следующее соотношение:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> g = -g_{00}\, \gamma, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle g=\det (g_{\alpha\beta})</math> и <math>\textstyle \gamma=\det(\gamma_{ij})</math>, т.е. слева стоит определитель матрицы 4x4, составленной из коэффициентов <math>\textstyle g_{\alpha\beta}</math> а справа определитель матрицы 3x3 из коэффициентов <math>\textstyle \gamma_{ij}</math>. Их отношение равно <math>\textstyle -g_{00}.</math><br />
<br />
Отметим естественное требование ''допустимости'' координат<br />
<br />
:<center><math>g_{00}>0,</math></center><br />
<br />
связанное с положительностью подкоренного выражения <math>\textstyle \sqrt{g_{00}}</math> в собственном времени (). Расстояние также должно быть положительным, поэтому положительно определена квадратичная форма:<br />
<br />
:<center><math>\gamma_{ij}\, dx^idx^j > 0.</math></center><br />
<br />
Это приводит к положительности определителя <math>\textstyle \gamma=\det(\gamma_{ij})</math> и, в силу (), к отрицательному значению определителя метрических коэффициентов <math>\textstyle g=\det(g_{\alpha\beta})</math>. Несложно видеть, что в лоренцевых координатах <math>\textstyle (T,\,X,\,Y,\,Z)</math> мы имеем <math>\textstyle g=-1</math>. В жесткой равноускоренной системе отсчета (), стр.\,\pageref{nonin_ds_gost}:<br />
<br />
:<center><math>g=-e^{4ax},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\gamma=e^{2ax},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;g_{00} = e^{2ax},</math></center><br />
<br />
а во вращающейся системе ():<br />
<br />
:<center><math>g=-r^2,\;\;\;\;\;\;\gamma=\frac{r^2}{1-\omega^2 r^2},\;\;\;\;\;\;g_{00} =1-\omega^2 r^2.</math></center><br />
<br />
Для всех этих величин выполняется соотношение ().<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Произвольные неинерциальные системы]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в:[http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Жёсткие системы отсчёта]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B6%D1%91%D1%81%D1%82%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%83%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BE%D1%82%D1%81%D1%87%D1%91%D1%82%D0%B0Нежёсткая равноускоренная система отсчёта2013-07-02T19:31:15Z<p>WikiSysop: Защищена страница «Нежёсткая равноускоренная система отсчёта» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Вращающаяся система отсчёта]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Произвольные неинерциальные системы]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
Хорошо известно, что в обычном 3-мерном евклидовом пространстве мы должны различать геометрические и координатные величины. Точки пространства &mdash; это геометрические сущности, которые мы можем "нумеровать" при помощи различных координат (декартовой: <math>\textstyle (x,y,z)</math>, полярной <math>\textstyle (r,\phi,z)</math>, и т.д.). К геометрическим объектам относятся также расстояние между двумя точками и угол между прямыми. От выбора системы координат геометрические объекты не зависят.<br />
<br />
При описании физики в псевдоевклидовом пространстве-времени Минковского ситуация полностью аналогична. Точки этого пространства (события) можно нумеровать при помощи произвольно выбранной четверки чисел <math>\textstyle (x^0,x^1,x^2,x^3)</math>, в которой число <math>\textstyle x^0</math> необязательно имеет смысл физического времени события в данной системе отсчета.<br />
<br />
В этой главе нас интересуют неинерциальные системы отсчета и их связь с инерциальными. Для нумерации событий в инерциальной системе мы по-прежнему будем использовать физическое время <math>\textstyle T</math> и декартовы координаты <math>\textstyle X,Y,Z</math>. Четвёрку чисел <math>\textstyle (T,\,X,\,Y,\,Z)</math> будем называть ''лоренцевыми координатами''. Интервал между двумя бесконечно близкими событиями в этих координатах имеет вид:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> ds^2 = dT^2-dX^2-dY^2-dZ^2. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
В неинерциальной системе отсчёта (НИСО) эти же события нумеруются при помощи четырех чисел <math>\textstyle (x^0,\,x^1,\,x^2,\,x^3)</math>. Будем считать, что <math>\textstyle (x^1,x^2,x^3)</math> &mdash; это номер ''фиксированной'' точки в 3-пространстве неинерциальной системы отсчета. Фиксированность не означает жесткости системы отсчета. Так, туча пчёл, разлетающихся по своим делам от улья образует систему отсчёта. С любой пчелой связан номер, состоящий из трех чисел <math>\textstyle (x^1,x^2,x^3)</math>. Сами по себе эти числа могут и не иметь простого геометрического смысла. Но главное, что они задают ''неизменный'' номер в системе пчел и однозначно характеризует данную пчелу (точку 3-пространства неинерциальной системы отсчета). В пространстве может быть множество наблюдателей, движущихся с различными скоростями относительно друг друга. Любое их подмножество можно назвать системой отсчёта. При такой общей точки зрения на системы отсчёта, выбор наблюдателей, которые связаны с данной системой достаточно произволен. По определению: <blockquote> ''система отсчета'' &mdash; это множество наблюдателей непрерывно заполняющих пространство, умеющих измерять время и расстояние в своей непосредственной окрестности. </blockquote><br />
<br />
Удобно определять неинерциальную систему отсчета, ''задавая траектории движения'' всех её точек относительно инерциальной (лабораторной) системы. Рассмотрим, например, ''нежесткую'' равноускоренную систему отсчета, которая имеет одинаковые траектории движения каждой своей точки относительно лабораторной системы. Соответствующее координатное преобразование можно записать следующим образом:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> X = x + \frac{1}{a}\left[\sqrt{1+(aT)^2}-1\right], </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle x</math> &mdash; координата (номер) фиксированной точки НИСО, а <math>\textstyle (T,X)</math> &mdash; время и координата этой же точки в лабораторной системе. Обратим внимание, что в () параметр <math>\textstyle x</math> является константой, которая находится из начального условия <math>\textstyle X(0)=x.</math> Значение константы определяет фиксированную точку НИСО. Рассматривая все точки НИСО, мы уже считаем <math>\textstyle x</math> переменной величиной, а () становится координатным преобразованием между двумя системами отсчета. Величины <math>\textstyle (T,X)</math> имеют ясный физический смысл, тогда как смысл координаты <math>\textstyle x</math> ещё необходимо установить. Последнее означает, что число <math>\textstyle x</math> требуется связать с конкретными измерительными процедурами, проводимыми некоторым наблюдателем. Этот наблюдатель, например, может находиться в начале НИСО, имея координату <math>\textstyle x=0</math>. Важно помнить, что такой наблюдатель не "размазан" по всему пространству, а находится в конкретной его точке. Он измеряет время, расстояние и скорость в своей непосредственной окрестности. Информацию об удаленном событии, произошедшем в точке с координатой <math>\textstyle x\neq 0</math> он может получать только при помощи некоторых сигналов (например, световых).<br />
<br />
Для дальнейших построений нам необходимо иметь явный вид интервала в координатах неинерциального наблюдателя. Для этого, кроме координатного преобразования (), потребуется связь времен событий. Аналогично пространственным координатам, для нумерации времени события можно использовать достаточно произвольные числа <math>\textstyle t</math>. Будем предполагать, что они упорядочены так, что меньшим значениям <math>\textstyle t</math> соответствуют более ранние события. В качестве такого времени можно выбрать, например, собственное время <math>\textstyle t</math> часов, движущихся по траектории () и оказавшихся в момент времени <math>\textstyle t</math> в окрестности события:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> aT = \mathrm{sh}(at). </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Это соотношение связывает время <math>\textstyle t</math>, прошедшее у наблюдателя после начала его ускорения (см.\,стр.\,\pageref{time_del_acsel0}). Оно сравнивается с временем <math>\textstyle T</math>, которое показывают синхронизированные часы, расставленные вдоль траектории движения в инерциальной системе отсчета.<br />
<br />
Таким образом, преобразования от лоренцевых координат инерциальной системы отсчета <math>\textstyle (T,X,Y,Z)</math> к координатам нежёсткой равноускоренной системы отсчета <math>\textstyle (t,x,y,z)</math> имеют вид:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> T=\frac{1}{a}\mathrm{sh}(at),\;\;\;\;\;X=x+\frac{1}{a}\left[\mathrm{ch}(at)-1\right],\;\;\;\;\;Y=y,\;\;\;\;\;Z=z. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Подставляя их в интервал (), получаем \cite{Logunov1987}:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> ds^2 =dt^2 - 2\mathrm{sh}(at)\, dtdx - dx^2 - dy^2 - dz^2. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
В инерциальной системе отсчета интервал физического времени <math>\textstyle dT</math>, измеряемый ''одними'' часами равен интервалу <math>\textstyle ds</math> между событиями, происходящими в одной точке пространства системы <math>\textstyle dX=dY=dZ=0</math>. Аналогично, в произвольной системе отсчета ''собственным физическим временем'' <math>\textstyle d\tau_0</math> данной точки системы назовем интервал <math>\textstyle ds</math> между событиями, происходящими в этой точке <math>\textstyle dx=dy=dz=0</math>. Для метрики () физическое время <math>\textstyle d\tau_0</math> совпадает с координатным <math>\textstyle dt</math>, так как в () в качестве <math>\textstyle t</math> выбрано собственное время наблюдателя <math>\textstyle t</math> ().<br />
<br />
Подчеркнем, что <math>\textstyle d\tau_0</math> это "тик" на часах, расположенных в фиксированной точке <math>\textstyle (x,y,z)</math>. Эти часы находятся у наблюдателя ''в этой'' точке и именно он непосредственно измеряет этот тик. Как может узнать время на этих часах (а, следовательно, время события в их окрестности) наблюдатель находящийся, например, в начале координат? Только при помощи получения светового (или иного) сигнала от удаленных часов с последующей корректировкой на время распространения сигнала. Как в инерциальных, так и в неинерциальных системах отсчета, события, связанные с распространением света, имеют нулевой интервал <math>\textstyle ds=0</math>. Это условие для метрики () приводит к дифференциальному уравнению, определяющему траекторию светового импульса распространяющегося параллельно оси <math>\textstyle x</math> (мимо наблюдателей НИСО с <math>\textstyle y,\,z=const</math>):<br />
<br />
:<center><math>\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + 2\mathrm{sh}(at)\, \frac{dx}{dt} - 1 = 0.</math></center><br />
<br />
Выделяя полный квадрат, несложно получить:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \frac{dx}{dt} = \pm \mathrm{ch}(at)-\mathrm{sh}(at) = \pm e^{\mp at}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> x(t) = const - \frac{e^{\mp at}}{a}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle const</math> &mdash; константа интегрирования, а знаки соответствуют направлению движения импульса (минус &mdash; координата <math>\textstyle x</math> увеличивается при движении (<math>\textstyle dx/dt>0</math>), а плюс &mdash; уменьшается).<br />
<br />
Рассмотрим в координатах <math>\textstyle (t,x)</math> радиолокационный эксперимент, проводимый наблюдателем, находящимся в точке с координатой <math>\textstyle x=0</math>. В момент времени <math>\textstyle t_1</math> он отправляет световой импульс, который достигает в момент времени <math>\textstyle t</math> точку с координатой <math>\textstyle x>0</math>, где отражается и возвращается обратно в момент времени <math>\textstyle t_2</math>. Для определения константы в траектории () при движении импульса от наблюдателя мы выберем начальное условие <math>\textstyle x(t_1)=0</math>, а при движении в обратную сторону <math>\textstyle x(t_2)=0</math>: <br />
<br />
<center>[[File:nonin_light_x.png]]</center><br />
<br />
:<center><math>\begin{array}{l} \displaystyle x_+(t) = \frac{1}{a}\left(e^{-at_1}-e^{-at}\right),\\[3mm] \displaystyle x_-(t) = \frac{1}{a}\left(e^{+at_2}-e^{+at}\right) . \end{array}</math></center><br />
<br />
В точке отражения <math>\textstyle x_+(t)=x_-(t)=x</math>, поэтому:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> e^{-at_1}-e^{-at}=a x,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;e^{at_2} - e^{at} = a x, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Исключая <math>\textstyle t</math>, находим радиолокационное расстояние:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> l=\frac{t_2-t_1}{2} = \frac{1}{2a}\, \ln\left[1+a x\,\frac{2\mathrm{ch}(at_1)-a x}{1-ax\,e^{at_1}}\right] \approx x\,\mathrm{ch}(at_1), </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где приближенное равенство записано для малых <math>\textstyle a x\ll 1</math>. Зная <math>\textstyle t_1</math> и <math>\textstyle t_2</math> наблюдатель в начале системы может определить координату точки отражения сигнала <math>\textstyle x</math>. Из () следует, что радиолокационное расстояние к фиксированной точке такой равноускоренной системы меняется со временем (зависит от <math>\textstyle t_1</math>). Поэтому систему () мы и называем ''нежесткой равноускоренной системой''. Физика в этой системе отличается от физики в жесткой равноускоренной системе, рассмотренной в первом разделе.<br />
<br />
Аналогично находится частота сигнала, получаемого от удаленного источника. Дифференцируя второе уравнение () и исключая <math>\textstyle e^{at}</math>, имеем:<br />
<br />
:<center><math>d t_2 = dt\, (1-a x\,e^{-at_2}).</math></center><br />
<br />
Интервалы времени <math>\textstyle dt</math> и <math>\textstyle dt_2</math> &mdash; это периоды излучения и приема сигналов по ''различным'' часам наблюдателей, находящихся в точках <math>\textstyle x>0</math> и <math>\textstyle x=0</math>. Отношение этих периодов зависит от координаты <math>\textstyle x</math> и меняется со временем приёма сигнала <math>\textstyle t_2</math>.<br />
<br />
Обратим внимание, что функция <math>\textstyle x(t)</math> в () подразумевает, что вдоль траектории движения светового импульса находятся наблюдатели НИСО. У каждого из них есть часы, измеряющие собственное время <math>\textstyle t</math> c нулевым отсчетом в момент начала ускорения. Однако координата <math>\textstyle x</math>, вообще говоря, не является физическим расстоянием, поэтому ''координатная скорость света'' () отлична от единицы.<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Вращающаяся система отсчёта]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Произвольные неинерциальные системы]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%92%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B0%D1%8F%D1%81%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BE%D1%82%D1%81%D1%87%D1%91%D1%82%D0%B0Вращающаяся система отсчёта2013-07-02T19:29:19Z<p>WikiSysop: Защищена страница «Вращающаяся система отсчёта» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Преобразования координат]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Нежёсткая равноускоренная система отсчёта]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим космический корабль, вращающийся по окружности радиуса <math>\textstyle r</math> с угловой скоростью <math>\textstyle \omega</math> относительно лабораторной системы отсчета <math>\textstyle S_0:\,(T,\,X)</math>. Скорость корабля равна <math>\textstyle \omega r<1</math>. Поэтому интервал времени <math>\textstyle \Delta t</math>, измеренный по часам на корабле, связан с интервалом времени <math>\textstyle \Delta T</math> по часам лабораторной системы в соответствии со стандартной релятивистской формулой:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \Delta t = \Delta T \sqrt{1-(\omega r)^2}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Пусть наблюдатель на корабле посылает два световых сигнала, распространяющихся вдоль окружности в противоположных направлениях. Движение света по окружности можно реализовать при помощи набора зеркал, равномерно расставленных вдоль окружности и вращающихся с той же угловой скоростью <math>\textstyle \omega</math>. Эквивалентно для этого можно использовать кольцевой световод. Найдем времена распространения каждого сигнала в лабораторной системе отсчета <math>\textstyle S_0</math>. Сигнал, движущийся в направлении вращения корабля возвращается к кораблю через время <math>\textstyle T_2</math>. Он проходит расстояние <math>\textstyle 2\pi r</math>, увеличенное на дугу <math>\textstyle r \omega T_2</math>, вдоль которой сместился корабль в течении времени <math>\textstyle T_2</math>. Второй световой сигнал, движущийся на встречу кораблю проходит за время <math>\textstyle T_1</math> меньшее расстояние:<br />
<br />
<center>[[File:nonint_rot3.png]]</center><br />
<br />
:<center><math>\begin{array}{l} r\,(2\pi + \omega T_2 ) = T_2,\\ r\,(2\pi - \omega T_1 ) = T_1.\\ \end{array}</math></center><br />
<br />
Разность этих времен будет равна:<br />
<br />
:<center><math>\Delta T = T_2-T_1 = \frac{2\pi r}{1-\omega r}-\frac{2\pi r}{1+\omega r} = \frac{4\pi r^2\omega}{1-(\omega r)^2}.</math></center><br />
<br />
Соответственно, по часам корабля () разница времен имеет вид:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \Delta t = \frac{4\pi r^2 \omega}{\sqrt{1-(\omega r)^2}}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Этот эффект обнаружил в 1913 Жорж Саньяк при помощи вращающегося кольцевого интерферометра. При этом измерялась не разница времен, а интерференция сигналов, связанная с относительным сдвигом фаз световых волн. Точность этого эксперимента позволила измерить только ведущее приближение <math>\textstyle \Delta t\approx \Delta T \approx 4 S \omega</math> к формуле (), где <math>\textstyle S=\pi r^2</math> &mdash; площадь, ограниченная траекторией движения сигналов.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим теперь два космических корабля, вращающихся с одинаковой угловой скоростью <math>\textstyle \omega</math> по орбите радиуса <math>\textstyle r</math>. Будем считать, что угловое расстояние между ними в лабораторной системе равно <math>\textstyle \phi<\pi</math>. Относительно этой системы время на кораблях одинаковым образом замедляется и показания их часов равны:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> t = T\sqrt{1-(\omega r)^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;t' =\tau+T\sqrt{1-(\omega r)^2}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle t</math> &mdash; это время первого корабля, а <math>\textstyle t'</math> &mdash; второго корабля, находящегося по ходу вращения относительно первого. Время <math>\textstyle T</math> лабораторной системы <math>\textstyle S_0</math> в обоих формулах относится к ''различным'' синхронизированным часам, расположенным вдоль траектории движения кораблей. Синхронизация часов на кораблях требует проведения определённых измерений, задающих параметр <math>\textstyle \tau</math>. Понятно, что <math>\textstyle \tau=\tau(\phi)</math> является функцией угла. Если он отсчитывается от первого корабля, то <math>\textstyle \tau(0)=0</math>.<br />
<br />
Пусть наблюдатель на первом корабле для измерения расстояния ко второму кораблю использует радиолокацию. По-прежнему пока будем считать, что световой сигнал движется по окружности. В лабораторной системе <math>\textstyle S_0</math> он испускается в момент времени <math>\textstyle T_1</math> и достигает второго корабля в момент времени <math>\textstyle T</math>. За время <math>\textstyle T-T_1</math> этот корабль смещается вдоль окружности на угол <math>\textstyle \omega\,(T-T_1)</math>. Поэтому свет проходит угловое расстояние <math>\textstyle \phi+\omega\,(T-T_1).</math> Затем сигнал отражается и возвращается к первому кораблю в момент времени <math>\textstyle T_2</math>. Этот обратный сигнал проходит меньшее угловое расстояние <math>\textstyle \phi-\omega\,(T_2-T)</math>: <br />
<br />
<center>[[File:nonint_rot4.png]]</center><br />
<br />
:<center><math>\left\{ \begin{array}{l} r\, (\phi+\omega\,(T-T_1)) = T-T_1,\\ r\, (\phi-\omega\,(T_2-T)) = T_2-T,\\ \end{array}\right.</math></center><br />
<br />
:<center><math>T-T_1 = \frac{r\phi}{1-\omega r},\;\;\;\;T_2-T = \frac{r\phi}{1+\omega r}.</math></center><br />
<br />
Складывая и вычитая последние две формулы, имеем:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \frac{T_2-T_1}{2} = \frac{r\phi}{1-(\omega r)^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;T = \frac{T_1+T_2}{2} + \frac{\omega r^2\,\phi}{1-(\omega r)^2}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Аналогичные соотношение получатся, если такой же радиолокационный эксперимент проведёт наблюдатель на втором корабле. Однако при этом во всех формулах необходимо произвести замену <math>\textstyle \omega\to -\omega</math>. Такая же замена возникает, если первый корабль проводит измерение расстояния по более длинному пути <math>\textstyle 2\pi-\phi</math> (против вращения).<br />
<br />
Чтобы перейти к временам на кораблях необходимо воспользоваться соотношениями ():<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> l=\frac{t_2-t_1}{2} = \frac{r\phi}{\sqrt{1-(\omega r)^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\; t' = \frac{t_1+t_2}{2} + \omega r l + \tau, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle l</math> &mdash; радиолокационное расстояние между кораблями. Обратим внимание, что оно больше на лоренцевский фактор <math>\textstyle 1/\sqrt{1-(\omega r)^2}</math> (<math>\textstyle \omega r</math> &mdash; линейная скорость кораблей), чем длина дуги <math>\textstyle r\phi</math> между кораблями в лабораторной системе. Этот результат не зависит от того, наблюдатель какого корабля проводит измерение расстояния (оно не меняется при замене <math>\textstyle \omega\mapsto -\omega</math>).<br />
<br />
Найдем функцию <math>\textstyle \tau=\tau(\phi)</math>. Возможны различные способы синхронизации часов на кораблях. Рассмотрим сначала следующий вариант. Пусть в центре орбиты происходит вспышка света. В лабораторной системе она достигнет каждого корабля одновременно. Кажется естественным в этот момент выбрать начало отсчета времени на кораблях. Однако, это не так. В силу относительности одновременности, информация о вспышке достигнет кораблей ''неодновременно''. Действительно, устремим <math>\textstyle r</math> к бесконечности, а <math>\textstyle \omega</math> к нулю так, чтобы скорость <math>\textstyle \omega r</math> оставалась меньше единицы. В этом случае корабли будут двигаться практически по прямой. Если угловое расстояние <math>\textstyle \phi</math> между ними мало, связанная с кораблями система не отличается от сопутствующей к ним инерциальной системы отсчета (ИСО), движущейся относительно лабораторной со скоростью <math>\textstyle \omega r</math>. В этой системе информация о вспышке попадет на второй корабль позже, чем на первый (см.\,стр.\,\pageref{delta_lorenz1}).<br />
<br />
Другой, более физичный способ (с точки зрения сопутствующей ИСО), состоит в таком выборе <math>\textstyle \tau</math>, чтобы<br />
<br />
:<center><math>t'=\frac{t_1+t_2}{2}</math></center><br />
<br />
или:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \tau=\tau(\phi)=-\omega r l. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Тогда времена распространения сигнала туда и обратно, измеренные при помощи ''двух'' часов, будут равны друг другу:<br />
<br />
:<center><math>t' - t_1 = t_2 - t' = l.</math></center><br />
<br />
Такая ''эффективная скорость света'' равна единице и не зависит от направления распространения. Прилагательное "эффективная" применено, чтобы подчеркнуть, что для измерения скорости в одну сторону используются двое часов, находящихся у различных наблюдателей.<br />
<br />
Независимо от выбора функции <math>\textstyle \tau(\phi)</math>, темп течения времени на обоих кораблях совпадает. Действительно, пусть первый корабль посылает на второй корабль сигналы с периодом <math>\textstyle \Delta t_1</math>. Из () следует, что <math>\textstyle t'-t_1=l\,(1+\omega r)+\tau=const</math>. Поэтому интервал времени между сигналами, принимаемыми на втором корабле, будет иметь такое же значение <math>\textstyle \Delta t'=\Delta t_1</math>. Аналогична ситуация при посылке периодических сигналов со второго корабля. Для источника света и датчика расположенных на вращающемся кольце не будет регистрироваться изменения частоты сигнала, так как они неподвижны друг относительно друга (напомним, впрочем, что в жесткой равноускоренной системе эффект изменения частоты возникает даже для относительно неподвижных приборов).<br />
<br />
Таким образом, в результате выбора (), мы получаем достаточно ожидаемые физические результаты. Однако, не всё так просто и не смотря на одинаковый темп хода часов <blockquote> глобальная синхронизация времени на всех часах, вращающихся по окружности невозможна. </blockquote> Функция <math>\textstyle \tau(\phi)</math> в () линейно зависит от угла <math>\textstyle \phi</math>. Точки <math>\textstyle \phi=0</math> и <math>\textstyle \phi=2\pi</math> соответствуют одному и тому же кораблю (первому). Попытка синхронизировать часы сами с собой при помощи посылки сигнала вдоль всей окружности приведет к <math>\textstyle \tau\neq 0</math>, хотя на первом корабле, по определению, выбрано <math>\textstyle \tau(0)=0</math>. В частности, если первый корабль проводит синхронизацию со вторым кораблём по более длинному пути <math>\textstyle \phi\mapsto 2\pi-\phi</math>, то<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> t' = \frac{t_1+t_2}{2} - \omega r l + \tau </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
и необходимо выбирать другое значение начального отсчета времени <math>\textstyle \tau</math>. При этом процедура синхронизации симметрична и если её проводит наблюдатель на втором корабле, посылая сигнал по кратчайшему пути к первому кораблю, он снова получит (). В результате, наблюдатель на первом корабле, может однозначным образом синхронизовать свои часы со всеми кораблями, находящимися от него не далее чем на <math>\textstyle |\phi|<\pi</math>. Такую процедуру все эти корабли могут выполнить последовательно друг с другом. Однако, когда такая "цепочка синхронизаций" доберется до корабля, удаленного более чем на <math>\textstyle \pi</math>, прямая синхронизация с ним первого корабля по кратчайшему пути выявит рассинхронизацию часов.<br />
<br />
Такая особенность вращающейся системы отсчета выглядит очень необычно. Однако, эта "необычность" не намного более странная, чем остальные "привычные" релятивистские эффекты, такие как относительность одновременности или замедление темпа течения времени.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> До сих пор мы рассматривали подмножество точек вращающейся системы равноудаленных от центра. Пусть теперь два космических корабля в лабораторной системе вращаются с одинаковой угловой скоростью <math>\textstyle \omega</math>, но при этом находятся на различных расстояниях <math>\textstyle r_1</math> и <math>\textstyle r_2</math> от центра. Их скорости равны <math>\textstyle \omega r_1</math> и <math>\textstyle \omega r_2</math>, поэтому связь корабельных часов с часами лабораторной системы имеет вид:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> t =T\sqrt{1-(\omega r_1)^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t' =\tau+ T\sqrt{1-(\omega r_2)^2}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Проанализируем радиолокационный эксперимент, который проводит наблюдатель на первом корабле с радиусом орбиты <math>\textstyle r_1</math>. Теперь будем рассматривать прямолинейное (в лабораторной системе) распространение светового сигнала. <br />
<br />
<center>[[File:nonint_rot1.png]]</center><br />
<br />
За время <math>\textstyle T-T_1</math> движения сигнала в одну сторону, второй корабль смещается на угловое расстояние <math>\textstyle \omega (T-T_1)</math>. Поэтому длина пути сигнала находится по теореме косинусов с углом <math>\textstyle \phi+\omega\,(T-T_1)</math>, где <math>\textstyle \phi</math> &mdash; угол между прямыми, проведенными из центра по направлению к кораблям. После отражения сигнала, он движется на встречу первому кораблю и для вычисления длины траектории возвращения сигнала за время <math>\textstyle T_2-T</math> в теореме косинусов необходимо взять угол <math>\textstyle \phi-\omega\,(T_2-T)</math>. В результате квадраты расстояний, пройденных светом, связаны с квадратами времён его движения туда и обратно следующим образом:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{l} r^2_1+r^2_2-2r_1r_2\cos \left[\phi+\omega\,(T-T_1)\right] = (T-T_1)^2, \\ [4mm] r^2_1+r^2_2-2r_1r_2\cos \left[\phi-\omega\,(T_2-T)\right] = (T_2-T)^2. \end{array} \right. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Запишем решения этих трансцендентных уравнений относительно времён в следующем виде:<br />
<br />
:<center><math>T-T_1 = g(\omega),\;\;\;\;\;\;T_2-T=g(-\omega),</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle g(\omega)</math> &mdash; функция угловой скорости <math>\textstyle \omega</math>, а также радиусов <math>\textstyle r_1</math>, <math>\textstyle r_2</math> и угла <math>\textstyle \phi</math>, зависимость от которых будем опускать.<br />
<br />
Исключая <math>\textstyle T</math> и переходя ко времени первого корабля (), имеем:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> l= \frac{t_2-t_1}{2} = \frac{1}{2}\,\sqrt{1-(\omega r_1)^2}\; [ g(\omega)+g(-\omega)]. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Правая часть не зависит от времени. Поэтому радиолокационный эксперимент приведет наблюдателя к выводу, что расстояние между кораблями неизменно. Таким образом, совокупность наблюдателей, вращающихся вокруг центра с постоянной угловой скоростью <math>\textstyle \omega</math> относительно <math>\textstyle S_0</math> образуют жесткую неинерциальную систему отсчета <math>\textstyle S</math>.<br />
<br />
Формула радиолокационного расстояния () упрощается для находящихся рядом кораблей. Заменим угол <math>\textstyle \phi</math> на бесконечно малый <math>\textstyle d\phi</math> и положим <math>\textstyle r_1=r</math>, <math>\textstyle r_2=r+dr</math>. Раскладывая в () косинус <math>\textstyle \cos(\alpha)\approx 1-\alpha^2/2</math> и решая квадратное уравнение, несложно получить:<br />
<br />
:<center><math>T-T_1 = \frac{r^2\omega \,d\phi+\sqrt{[1-(\omega r)^2]\,dr^2 + r^2d\phi^2}}{1-(\omega r)^2}.</math></center><br />
<br />
Выражение для <math>\textstyle T_2-T</math> аналогично за исключением замены <math>\textstyle \omega</math> на <math>\textstyle -\omega</math>. Поэтому квадрат радиолокационного расстояния между двумя бесконечно близкими точками вращающейся системы отсчета равен:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> dl^2 = \left(\frac{t_2-t_1}{2}\right)^2 = dr^2 + \frac{r^2 d\phi^2}{1-(\omega r)^2}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Это выражение отличается знаменателем во втором слагаемом от евклидового расстояния в полярных координатах <math>\textstyle dr^2+r^2\,d\phi^2</math>. Поэтому геометрия трёхмерного пространства, основанная на радиолокационном ''определении'' длины, отличается от евклидовой. Так, длина окружности радиуса <math>\textstyle r</math> с центром на оси вращения (<math>\textstyle dr=0</math>, <math>\textstyle 0\leqslant\phi<2\pi</math>) равняется <math>\textstyle 2\pi r/\sqrt{1-\omega^2 r^2}</math>, что больше, чем евклидово значение <math>\textstyle 2\pi r</math>. Более подробный анализ такой неевклидовости мы проведем в главе .<br />
<br />
Если расстояния кораблей от центра различны, то они испытывают различное замедление своих часов. Если второй корабль шлет сигнал в момент времени <math>\textstyle t'_1</math>, то на первом он будет получен в момент <math>\textstyle t_2</math>:<br />
<br />
:<center><math>\frac{t_2}{\sqrt{1-(\omega r_1)^2}} = \frac{t'_1-\tau}{\sqrt{1-(\omega r_2)^2}} + g(-\omega).</math></center><br />
<br />
Если эти сигналы посылаются с периодом <math>\textstyle \Delta t'_1</math>, то принимаются они на первом корабле с периодом:<br />
<br />
:<center><math>\Delta t_2 = \Delta t'_1\, \sqrt{\frac{1-(\omega r_1)^2}{1-(\omega r_2)^2}}.</math></center><br />
<br />
Наблюдатели могут провести синхронизацию часов, однако в дальнейшем соотношение <math>\textstyle t'=(t_1+t_2)/2</math> нарушится.<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Преобразования координат]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Нежёсткая равноускоренная система отсчёта]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82Преобразования координат2013-07-02T19:28:10Z<p>WikiSysop: Защищена страница «Преобразования координат» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Равноускоренная система отсчёта]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Вращающаяся система отсчёта]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Найдём преобразования координат и времени некоторого события, наблюдаемого в инерциальной <math>\textstyle S_0:\,(T,\,X)</math> и неинерциальной <math>\textstyle S:\,(t,\,x)</math> системах отсчёта. При этом <math>\textstyle (t,\,x)</math> &mdash; это результаты измерений наблюдателя, находящегося в <math>\textstyle x=0</math> (первый корабль). Пусть событие происходит в удалённой от него точке, например, возле второго корабля, расстояние <math>\textstyle l_0=\ln(1+ax_0)/a</math> до которого известно из радиолокационных измерений и будет принято им за ''координату события'' <math>\textstyle x=l_0</math> в <math>\textstyle S</math>. Будем считать, что, как только произошло событие в момент времени <math>\textstyle t'</math> (по часам второго корабля), на первый корабль посылается световой сигнал: <br />
<br />
<center>[[File:niso_event.png]]</center><br />
<br />
С учётом корректировки на время распространения сигнала (), его время по часам первого корабля равно <math>\textstyle t=t' e^{-ax}</math>. С другой стороны, время <math>\textstyle t'</math> второго корабля связано со временем события <math>\textstyle T</math> в инерциальной системе отсчета следующим образом:<br />
<br />
:<center><math><br />
T=\frac{1+ax_0}{a}\,\mathrm{sh}\left(\frac{at'}{1+ax_0}\right) = \frac{e^{ax}}{a}\,\mathrm{sh}(at),</math></center><br />
<br />
где во втором равенстве подставлено <math>\textstyle t'=t\,e^{ax}</math> и <math>\textstyle 1+ax_0=e^{ax}</math>. Координата события в <math>\textstyle S_0</math> совпадает с координатой второго корабля ():<br />
<br />
:<center><math>aX=F(T)=(1+ax_0)\mathrm{ch}\left(\frac{at'}{1+ax_0}\right)-1 = \mathrm{ch}(at)e^{ax} - 1.</math></center><br />
<br />
В результате, преобразования между инерциальной и неинерциальной системами отсчёта можно записать в следующем виде:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> T=\frac{1}{a}\,\mathrm{sh}(at)\,e^{ax},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X = \frac{1}{a}\,\bigl[\mathrm{ch}(at)\,e^{ax}-1\bigr]. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Эти преобразования получил Кристиан Мёллер \cite{Myelller1987}, рассматривая последовательность инерциальных систем отсчета сопутствующих неинерциальной. При этом использовалась другая параметризация координаты:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> x \mapsto \tilde{x}=(e^{ax}-1)/a,\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;\;e^{ax} = 1+a\tilde{x}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
в которой <math>\textstyle \tilde{x}=x_0</math>. Фактически это лишь иной способ нумерации точек пространства в неинерциальной системе <math>\textstyle S</math>.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Преобразования () имеют немного иной смысл по сравнению с преобразованиями между двумя инерциальными системами. У наблюдателей в данной инерциальной системе отсчёта существует ''единое'' синхронизированное время и преобразования Лоренца одинаковы для всех таких наблюдателей. В силу этого, обычно, в каждой инерциальной системе отсчёта представляют по одному наблюдателю, которые "размазаны" по всему пространству. В неинерциальной системе каждый наблюдатель обладает своим собственным временем. Об удалённых событиях он может судить только получая некоторую информацию от наблюдателя, который реально регистрирует событие, находясь в точке где оно произошло. Поэтому <blockquote> преобразования () относятся к ''конкретному'' неинерциальному наблюдателю и ''произвольному'' инерциальному. </blockquote><br />
<br />
Преобразования () несложно обратить:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> t=\frac{1}{2a}\,\ln \left[\frac{1+aX+aT}{1+aX-aT}\right],\;\;\;\;\;\;x=\frac{1}{2a}\,\ln\bigl[(1+aX)^2-(aT)^2\bigr]. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
То, что прямые и обратные преобразования имеют различную функциональную форму, является отражением неравноправности инерциального и неинерциального наблюдателей. В качестве упражнения (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H) предлагается найти скорость точки <math>\textstyle X=0</math> (начало системы <math>\textstyle S_0</math>) в системе <math>\textstyle S</math> и убедиться, что она совпадает со скоростью точки <math>\textstyle x=0</math> относительно системы <math>\textstyle S_0</math>.<br />
<br />
Запишем интервал между событиями в координатах неинерциального наблюдателя. Подставляя () в <math>\textstyle ds^2 = dT^2-dX^2</math>, имеем:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> ds^2 =e^{2ax}\bigl[dt^2-dx^2\bigr]. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Распространение света соответствует нулевому интервалу: <math>\textstyle ds=0</math> (стр.\,\pageref{bk_h_ds_inv}). Если свет движется вдоль оси <math>\textstyle x</math>, то его траектория в координатах <math>\textstyle (t,\,x)</math> является линейной функцией. Именно это и закладывалось в определение радиолокационного расстояния <math>\textstyle x=l_0</math>. Если использовать координату <math>\textstyle \tilde{x}</math> () то получится ''интервал Мёллера'':<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> ds^2 = (1+a\tilde{x})^2 dt^2 - d\tilde{x}^2. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Отличие интервалов () и () состоит в различном способе "нумерации" точек пространства неинерциальной системы отсчета. В первом в качестве координат кораблей используется радиолокационные расстояния, измеренные наблюдателем в начале системы координат. Во втором &mdash; координаты точек совпадают с начальными координатами в инерциальной системе в момент старта кораблей.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Выясним смысл сингулярности, возникающей в (), когда аргумент логарифма обращается в ноль. Для наблюдателя в <math>\textstyle x=0</math> события, расположенные по ходу движения <math>\textstyle x>0</math>, соответствуют в системе <math>\textstyle S_0</math> области <math>\textstyle aX>\sqrt{1+(aT)^2}-1</math>. События в обратном направлении видны только, если <math>\textstyle X>T-1/a</math>. Действительно, событие будет видимым, если вспышка света, произошедшая в <math>\textstyle (T_0,\,X_0)</math>, "догонит" наблюдателя на первом корабле в момент времени <math>\textstyle T_1</math>. Это происходит, когда уравнение:<br />
<br />
:<center><math>\frac{1}{a}\,\left(\sqrt{1+(aT_1)^2}-1\right) - X_0 = T_1-T_0</math></center><br />
<br />
имеет решение относительно времени прихода <math>\textstyle T_1</math>. Несложно проверить, что при <math>\textstyle X_0=T_0-1/a</math> время <math>\textstyle T_1</math> обращается в бесконечность. При равноускоренном движении наблюдатели могут "убегать" от происходящих событий, так как постоянно увеличивают свою скорость (хотя она всё время остаётся меньше единицы). Поэтому события, находящиеся сзади далее, чем точка <math>\textstyle T-1/a</math>, в системе <math>\textstyle S</math> видны не будут: <br />
<br />
<center>[[File:acsel_is.png]]</center><br />
<br />
Определим ''горизонт событий'', как линию (поверхность), ограничивающую в пространстве событий <math>\textstyle S_0:\,(T,\,X)</math> область видимых событий ''данным'' наблюдателем системы отсчета <math>\textstyle S:\,(t,\,x)</math>. Для описания горизонта событий требуется две системы отсчёта &mdash; <math>\textstyle S_0</math>, имеющая более широкое множество событий, чем события, видимые во второй системе <math>\textstyle S</math>. Из () следует, что предельная видимая точка <math>\textstyle X=T-1/a</math> сзади от корабля имеет в системе <math>\textstyle S</math> координату <math>\textstyle x=-\infty.</math> На плоскости <math>\textstyle (T,\,X)</math> можно нарисовать сетку линий (выше второй рисунок), соответствующих постоянным значениям <math>\textstyle t</math> (одновременные в <math>\textstyle S</math> события) и постоянным значениям <math>\textstyle x</math>. Их уравнения имеют вид:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> aT=\mathrm{th}(at)\,(1+aX),\;\;\;\;\;\;\;\;(1+aX)^2-(aT)^2=e^{2ax}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
После старта корабля, его наблюдатель видит, что сзади него распространяется "волна" постепенного покраснения частоты излучения источников света (стр.\,\pageref{acsel_ref_sys_times}). Это покраснение тем сильнее, чем дальше от него находятся источники. Заметим, что о горизонте наблюдатель никогда не узнает, т.к. волна покраснения достигнет горизонта только при <math>\textstyle t=\infty</math>.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Найдём преобразования в ситуации, когда равноускоренная система начала ускоряться, уже имея некоторую скорость <math>\textstyle U_0</math>. Введём три системы отсчёта: "неподвижную" <math>\textstyle S_0:\,(T,\,X)</math>, инерциальную <math>\textstyle S'_0:\,(T',\,X')</math>, движущаяся равномерно со скоростью <math>\textstyle U_0</math> относительно <math>\textstyle S_0</math> и <math>\textstyle S:\,(t,\,x)</math>, которая начинает двигаться равноускоренно относительно <math>\textstyle S'_0</math> с нулевой начальной скоростью так, как это было описано выше. Имеем два последовательных преобразования координат и времени:<br />
<br />
:<center><math>\left\{ \begin{array}{lll} aT' &=& \mathrm{sh}(at)\,e^{ax},\\ aX' &=& \mathrm{ch}(at)\,e^{ax}-1, \end{array} \right. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \left\{ \begin{array}{lll} T &=& \gamma_0\,(T'+U_0\,X'),\\ X &=& \gamma_0\,(X'+U_0\,T'), \end{array} \right.</math></center><br />
<br />
где <math>\textstyle \gamma_0=1/\sqrt{1-U^2_0}</math>, и в момент времени <math>\textstyle T=T'=t=0</math> начала систем <math>\textstyle X=X'=x=0</math> совпадали. Исключая <math>\textstyle (T',\,X')</math>, получаем:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{llll} \displaystyle a\,T &\displaystyle =& \mathrm{sh}(at+\alpha_0)\,e^{ax}-\mathrm{sh}\alpha_0, \\ \displaystyle a\,X &\displaystyle =& \mathrm{ch}(at+\alpha_0)\,e^{ax}-\mathrm{ch}\alpha_0, \end{array} \right. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle \alpha_0=\mathrm{ath}\,U_0)</math>, <math>\textstyle \gamma_0=\mathrm{ch}(\alpha_0)</math>, <math>\textstyle U_0\gamma_0=\mathrm{sh}(\alpha_0)</math>. В качестве упражнения (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H ) стоит найти нерелятивистское приближение к ().<br />
<br />
Несложно проверить, что преобразования () снова приводят к интервалу (). Таким образом, все равноускоренные системы отсчета, независимо от их начальной скорости <math>\textstyle U_0</math>, имеют один и тот же интервал. В общем случае, по определению: <blockquote> системы отсчета являются ''равноправными'', если они имеют одинаковую функциональную форму интервала. </blockquote> Естественно в это определение "равноправности" попадает и вся совокупность инерциальных систем отсчета, так как преобразования Лоренца оставляют ''форминвариантным'' интервал <math>\textstyle ds^2 = dT^2-dX^2</math> (т.е. не изменяют его функциональной формы). Равноускоренная и инерциальные системы не равноправны, так как интервалы между двумя событиями в этих системах отсчета различны (в дальнейшем мы уточним это определение).<br />
<br />
Запишем также трансляционные преобразования в равноускоренной системе отсчета. В координатах Мёллера между вторым (<math>\textstyle \tilde{x}'</math>) и первым кораблем (<math>\textstyle \tilde{x}</math>) они имеют вид:<br />
<br />
:<center><math>\tilde{x} = \tilde{x}'+x_0,\;\;\;\;\;\;\;t=t'/(1+ax_0).</math></center><br />
<br />
Подставляя их в интервал (), получаем: <math>\textstyle ds^2=(1+a_2\tilde{x}')^2\,dt'-d\tilde{x}'^2, </math> где <math>\textstyle a_2=a/(1+ax_0)</math>. Этот результат вполне ожидаем. Собственное ускорение второго корабля равно <math>\textstyle a_2</math>, поэтому и интервал в координатах <math>\textstyle (t',\,x')</math> наблюдателя на втором корабле должен зависеть именно от <math>\textstyle a_2</math>, вместо <math>\textstyle a</math> для интервала () в координатах <math>\textstyle (t,\,x)</math> первого корабля.<br />
<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Равноускоренная система отсчёта]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Вращающаяся система отсчёта]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysophttp://synset.com/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%83%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BE%D1%82%D1%81%D1%87%D1%91%D1%82%D0%B0Равноускоренная система отсчёта2013-07-02T19:27:19Z<p>WikiSysop: Защищена страница «Равноускоренная система отсчёта» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))</p>
<hr />
<div>{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Нелокальность законов сохранения]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4]) <br />
| width="40%" align="right"| >> [[Преобразования координат]]<br />
|}<br />
----<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим систему <math>\textstyle S:\,(t,\,x)</math>, точка <math>\textstyle x=0</math> которой движется с постоянным ''собственным ускорением'' <math>\textstyle a=const</math> относительно инерциальной (лабораторной) системы <math>\textstyle S_0:\,(T,\,X)</math>. Будем считать, что оси <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle X</math> параллельны и направлены в одну сторону. Во второй главе (стр.\,\pageref{df_eq_for_u_with_a}) был найден закон движения релятивистски равноускоренной частицы, координата которой изменяется со временем следующим образом:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> X(T)=\frac{1}{a}\,\bigl[\sqrt{1+(aT)^2}-1\bigr], </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где в начальный момент времени <math>\textstyle T=0</math> частица покоится, а далее движется с увеличивающейся скоростью и уменьшающимся ускорением:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> U(T)= \frac{dX}{dT} = \frac{aT}{\sqrt{1+(aT)^2}},\;\;\;\;\;\;\;W(T)=\frac{dU}{dT}=\frac{a}{(1+(aT)^2)^{3/2}}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Будем считать, что начало системы <math>\textstyle S</math> (и наблюдатель находящийся в этой точке) движется в соответствии с уравнением () относительно системы <math>\textstyle S_0</math>: <br />
<br />
<center>[[File:nonin_SSp.png]]</center><br />
<br />
Внутри неинерциальной системы <math>\textstyle S</math> пространство неизотропно. Точнее, оно изотропно в плоскости <math>\textstyle (y,\,z)</math>, перпендикулярной к ускорению, но неизотропно вдоль оси <math>\textstyle x</math>. Подобное нарушение симметрии пространства приводит к тому, что свободные частицы уже не движутся равномерно и прямолинейно.<br />
<br />
Пусть собственное ускорение <math>\textstyle a</math> ''невелико'', хотя, возможно, велика скорость <math>\textstyle U</math> системы <math>\textstyle S</math> относительно <math>\textstyle S_0</math>. Тогда наблюдатель, находящийся в начале системы <math>\textstyle S</math>, по крайней мере локально может пренебречь неизотропностью пространства в отношении эталонов длины. Это означает, что игнорируется их деформация или вводятся соответствующие поправки на упругость материала из которого сделаны линейки. В результате, их можно поворачивать, считая что они не изменяются при повороте из изотропной плоскости <math>\textstyle (y,\,z)</math> в направлении ускорения. Аналогично мы, находясь на поверхности Земли и испытывая ускорение <math>\textstyle g=9.8\;м/c^2</math>, пользуемся "жёсткими" линейками в своей непосредственной окрестности.<br />
<br />
Кроме линеек наблюдателю необходимы часы. Чтобы не обсуждать влияние сил инерции на механизм часов, будем считать, что для измерения времени служат некоторые процессы, происходящие в изотропной плоскости <math>\textstyle (y,\,z)</math>. Например, это может быть шарик, катящийся без трения по круговому желобу, расположенному перпендикулярно движению. Понятно, что существуют разновидности часов которые откажутся работать в неинерциальной системе, как, впрочем, и наоборот. Например, маятниковые часы с подвесом на оси <math>\textstyle x</math> под воздействием ''постоянных'' сил инерции будут ''равномерно'' "тикать", а при переходе в инерциальную систему &mdash; сломаются, так как возникнет "невесомость". Тем не менее, предположим, что в равноускоренной системе отсчёта существует широкий класс синхронно идущих часов в окрестности данной точки пространства. При этом, для измерения времени выбираются процессы, относительно которых все остальные движения выглядят наиболее просто (стр.\,\pageref{princip_simplisity}). Будем считать, что темп хода подобных часов совпадает с темпом хода часов в ''сопутствующей'' к наблюдателю инерциальной системе отсчета <math>\textstyle S'_0</math>, движущейся в данный момент времени относительно <math>\textstyle S_0</math> с той же скоростью, что и <math>\textstyle S</math>. Говоря о системах <math>\textstyle S</math> и <math>\textstyle S'_0</math> мы пока представляем только двух наблюдателей (неинерциального и инерциального), относительно неподвижных и совпадающих в пространстве в точке <math>\textstyle x=0.</math> Они имеют одинаковые часы и линейки. Таким образом, предполагаем, что: <blockquote> темп времени движущихся часов относительно неподвижных часов зависит только от их скорости и ''не зависит от ускорения''. </blockquote> Если в момент времени <math>\textstyle T=t=0</math> начала систем <math>\textstyle S_0</math> и <math>\textstyle S</math> совпадали и скорость <math>\textstyle S</math> относительно <math>\textstyle S_0</math> была нулевой, то спустя некоторое время, связь показаний движущихся часов <math>\textstyle t</math> (находящихся в начале координат <math>\textstyle S</math>) и синхронизированных неподвижных часов <math>\textstyle T</math>, расставленных ''вдоль траектории'' движения в <math>\textstyle S_0</math> будет иметь вид (стр.\,\pageref{time_del_acsel}):<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> t = \int\limits^T_0 \sqrt{1-U^2(T)}\, dT = \frac{1}{a}\,\mathrm{ash}\,aT)\;\;\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;aT=\mathrm{sh}(at). </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Соотношение () имеет надежное экспериментальное подтверждение. Например, время жизни мюонов в кольцевом ускорителе \cite{Bailey1977} в пределах относительной ошибки <math>\textstyle 2\cdot 10^{-3}</math> увеличивается в соответствии со стандартной релятивистской формулой. При этом скорость мюонов составляет <math>\textstyle U=0.9994</math> и время замедляется в <math>\textstyle 1/\sqrt{1-U^2}\approx 29</math> раз. При радиусе кольца <math>\textstyle R=7</math> метров, ускорение очень велико (<math>\textstyle W=U^2/R\sim 10^{15}\cdot g</math>, где <math>\textstyle g=9.8\,м/с^2</math>), но время жизни мюонов зависит только от скорости, но не зависит от их ускорения.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим теперь в системе <math>\textstyle S</math> двух наблюдателей, которых для наглядности будем представлять в виде космических кораблей. Пусть расстояние между кораблями до начала ускорения равнялось <math>\textstyle x_0</math>. Пока корабли стояли в космопортах, их экипажи синхронизовали свои часы друг с другом и остальными наблюдателями в системе <math>\textstyle S_0</math>. Время на часах первого корабля, стартовавшего из <math>\textstyle X=0</math>, обозначим через <math>\textstyle t</math>, а второго, стартовавшего из <math>\textstyle X=x_0</math>, через <math>\textstyle t'</math>. В инерциальной системе отсчёта для всех наблюдателей существует единое время, равное <math>\textstyle T</math>. При <math>\textstyle T=t=t'=0</math> корабли начинают равноускоренное движение, постоянно увеличивая свою скорость: <br />
<br />
<center>[[File:nonin_2space.png]]</center><br />
<br />
Координата первого (левого) корабля, находящегося в начале системы <math>\textstyle S</math> изменяется со временем в соответствии с ():<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> X(T)=\frac{1}{a}\,\bigl[\sqrt{1+(aT)^2}-1\bigr]=\frac{1}{a}\,\bigl[\mathrm{ch}(at)-1\bigr], </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где во втором равенстве подставлено собственное время корабля ().<br />
<br />
''Жёсткая система отсчёта'' &mdash; это множество неподвижных относительно друг друга наблюдателей. Мы задали траекторию <math>\textstyle X(T)</math> начала системы отсчёта <math>\textstyle S</math>. Как должен двигаться второй космический корабль, чтобы расстояние между кораблями эскадры оставалось неизменным с ''их точки зрения''? Ответ "так же" не является верным. События, одновременные в одной системе отсчёта, будут неодновременными в другой. Если корабли синхронно ускоряются с точки зрения системы <math>\textstyle S_0</math>, то это ускорение не будет синхронным в <math>\textstyle S</math>, и наоборот. Это приводит к тому, что неизменность расстояния между точками системы отсчёта, вообще говоря, ''относительное понятие''. Если наблюдатели в <math>\textstyle S</math> "выдерживают" свою систему жёсткой, то наблюдатели в инерциальной системе <math>\textstyle S_0</math> будут регистрировать, её сжатие в направлении движения.<br />
<br />
Как эскадра кораблей должна выдерживать неизменным расстояние? Будем считать, что для этого используется ''радиолокационный метод''. Один корабль посылает световой сигнал в сторону второго корабля. Этот сигнал отражаясь, возвращается обратно. Время движения туда-обратно по ''локальным часам'' корабля не должно изменяться. Выясним, по какой траектории <math>\textstyle F(T)</math> должен двигаться второй корабль ''относительно системы'' <math>\textstyle S_0</math>, чтобы система отсчёта <math>\textstyle S</math> ''для её наблюдателей'' была жесткой. Расчёты проведём в неподвижной системе <math>\textstyle S_0</math>.<br />
<br />
Пусть первый корабль в момент времени <math>\textstyle T_1</math> отправляет вперёд световой сигнал, который в момент времени <math>\textstyle T</math> отражается от второго корабля и возвращается обратно на первый корабль в момент времени <math>\textstyle T_2</math>. Расстояние, проходимое сигналом равно длительности его движения (<math>\textstyle c=1</math>): <br />
<br />
<center>[[File:noninerframe1.png]]</center><br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{l} F(T)-X(T_1)=T-T_1,\\ F(T)-X(T_2)=T_2-T. \end{array} \right. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Все времена измеряются по часам инерциальной системы отсчёта <math>\textstyle S_0</math>. Координата первого корабля равна <math>\textstyle X(T)</math>, см. (), второго &mdash; <math>\textstyle F(T)</math>. Если от времени лабораторной системы <math>\textstyle T=\mathrm{sh}(at)/a</math> перейти к собственному времени первого корабля <math>\textstyle t</math>, то несложно получить (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H):<br />
<br />
:<center><math>1+aX(T) \pm aT = 1+ [\mathrm{ch}(at)-1] \pm \mathrm{sh}(at) = e^{\mp at}.</math></center><br />
<br />
Поэтому, из системы уравнений () имеем следующие соотношения:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> 1+aF(T)-aT = e^{-at_1},\;\;\;\;\;\;\;\;1+aF(T)+aT = e^{at_2}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где времена ухода <math>\textstyle t_1</math> и возвращения <math>\textstyle t_2</math> сигнала уже измеряются часами ''первого корабля''. Если расстояние между кораблями неизменно, то время движения сигнала "туда и обратно" <math>\textstyle \tau_0=t_2-t_1</math> постоянно и не зависит от момента его получения <math>\textstyle t_2</math>. Вычитая уравнения (), находим:<br />
<br />
:<center><math>2aT=e^{at_2}-e^{-a\,(t_2-\tau_0)}\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;e^{at_2}=aT+\sqrt{e^{a\tau_0}+(aT)^2}.</math></center><br />
<br />
В качестве решения квадратного уравнения относительно <math>\textstyle e^{at_2}</math> выбран положительный корень, подставляя который во второе уравнение (), получаем искомую траекторию <math>\textstyle F(T)</math>:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> 1+a\,F(T)=\sqrt{e^{a\tau_0}+(aT)^2}=\sqrt{(1+ax_0)^2+(aT)^2}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где в последнем равенстве учтено начальное условие <math>\textstyle F(0)=x_0</math> или <math>\textstyle e^{a\tau_0/2}=1+ax_0</math>. Назовём ''радиолокационным расстоянием'' <math>\textstyle l_0</math> половину времени <math>\textstyle \tau_0</math> движения сигнала в обе стороны:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> l_0 = \frac{t_2-t_1}{2} =\frac{\tau_0}{2} = \frac{1}{a}\ln(1+ax_0). </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Скорость второго корабля относительно неподвижной системы отсчёта <math>\textstyle S_0</math> равна <math>\textstyle U_2(T)=dF(T)/dT</math>, поэтому:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> U_2(T) = \frac{a_2T}{\sqrt{1+(a_2T)^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a_2 = \frac{a}{1+a x_0}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Таким образом, второй корабль также движется равноускоренно, но с меньшим собственное ускорением, равным <math>\textstyle a_2</math>.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Скорости обоих кораблей известны, поэтому можно записать показания часов каждого из них в момент времени <math>\textstyle T</math>:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> T=\frac{1}{a}\mathrm{sh}(at),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T= \frac{1+ax_0}{a}\,\mathrm{sh}\left(\frac{at'}{1+ax_0}\right). </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Время <math>\textstyle t</math>, прошедшее на первом корабле с момента старта и <math>\textstyle t'</math> на втором корабле сравниваются с ''различными'' часами <math>\textstyle T</math>, синхронизированными в системе <math>\textstyle S_0</math>. Запишем координату второго корабля через его время:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> F(T) = \frac{1}{a}\,\bigl[\sqrt{(1+ax_0)^2+(aT)^2}-1\bigr]= \frac{1+ax_0}{a} \mathrm{ch}\left(\frac{at'}{1+ax_0}\right) - \frac{1}{a}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
При помощи (), () и радиолокационного расстояния <math>\textstyle l_0</math> () можно (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H) выразить времена посылки и получения обратно сигнала на первом корабле:<br />
<br />
:<center><math>t_1 = t'\,e^{-al_0} - l_0,\;\;\;\;\;\;t_2=t'\, e^{-al_0}+l_0,\;\;\;\;\;\;\;\frac{t_1+t_2}{2}=t'\, e^{-al_0}.</math></center><br />
<br />
Обратим внимание, что <math>\textstyle t'\neq(t_1+t_2)/2</math> и начальная синхронизация часов на кораблях разрушилась. Разберемся, почему это произошло.<br />
<br />
Пусть второй корабль посылает "сигнал точного времени" в направлении первого корабля. Он уходит в момент времени <math>\textstyle t'_1</math> и приходит к первому кораблю в момент <math>\textstyle t_2</math>, проходя с единичной скоростью (<math>\textstyle c=1</math>) в системе <math>\textstyle S_0</math> расстояние <math>\textstyle F(T_1)-X(T_2)=T_2-T_1</math>, или <math>\textstyle F(T_1)+T_1=X(T_2)+T_2</math>. Запишем это уравнение во временах каждого корабля:<br />
<br />
:<center><math>(1+ax_0)\,\left[\mathrm{ch}\left(\frac{a\,t'_1}{1+ax_0}\right)+\mathrm{sh}\left(\frac{a\,t'_1}{1+ax_0}\right)\right] = \mathrm{ch}(a\,t_2)+\mathrm{sh}(a\,t_2).</math></center><br />
<br />
Подставляя определения гиперболических функций, имеем: <br />
<br />
<center>[[File:niso_send_sig.png]]</center><br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> t_2 = l_0+t'_1\,e^{-al_0}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Сигналы, отправленные через равные промежутки времени, по часам второго корабля будут также приходить через равные промежутки, однако с другим интервалом:<br />
<br />
:<center><math>\Delta t = \Delta t'\,e^{-al_0},\;\;\;\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;\;\nu=\nu'\,e^{al_0}\approx \nu'\,(1+al_0),</math></center><br />
<br />
где приближенное равенство записано для <math>\textstyle al_0\ll 1.</math> Частота принятого сигнала <math>\textstyle \nu=1/\Delta t</math> от удалённого наблюдателя тем больше, чем дальше по ходу движения находится источник сигнала. Таким образом, если расстояние между наблюдателями в неинерциальной системе отсчета остаётся неизменным, то время у них течёт ''различным образом''. Чем дальше по направлению ускорения находятся часы, тем быстрее на них идёт время с точки зрения наблюдателя в <math>\textstyle x=0</math>. В результате, первоначально синхронизированные часы, со временем рассинхронизируются.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Наблюдатели в ускоренной системе отсчёта чувствуют себя подобно нам, находящимся на Земле в однородном поле силы тяжести. В частности все объекты, "выпущенные из рук", ''независимо от их массы'' приобретают ускорение <math>\textstyle a</math>. <br />
<br />
<center>[[File:equvalentnost.png]]</center><br />
<br />
Если, следуя Эйнштейну, считать, что физика в равноускоренной системе аналогична физике в однородном гравитационном поле, то полученная формула для частот должна выполняться и в земных условиях. В частности, приёмник, расположенный ниже источника эталонного излучения <math>\textstyle \nu'</math>, должен получать сигнал с большей частотой <math>\textstyle \nu\approx\nu'\, (1+gl_0/c^2)</math>, где <math>\textstyle a=g=9.8\;м/c^2</math>, а <math>\textstyle l_0</math> &mdash; высота источника над приёмником, и восстановлена (<math>\textstyle g\mapsto g/c^2</math>) константа "<math>\textstyle c</math>". Это соотношение с хорошей точностью подтвердилось в эксперименте Паунда и Ребки (1960 г.). Их установка имела высоту <math>\textstyle l_0=22.5\,м</math>, что соответствовало относительному изменению частоты <math>\textstyle gl_0/c^2=2.5\cdot 10^{-15}</math>, которое удалось измерить при помощи эффекта Мёссбауэра.<br />
<br />
Эталоны длины и времени неинерциального наблюдателя совпадают с аналогичными эталонами в сопутствующей к нему инерциальной системе отсчёта. В частности, скорость света для него изотропна и одинакова при движении вдоль и против оси <math>\textstyle x</math>. Поэтому половину времени <math>\textstyle \tau_0/2</math> радиолокационного эксперимента он может считать расстоянием ко второму кораблю <math>\textstyle l_0=\ln(1+ax_0)/a</math>. С учётом времени на прохождение этого расстояния в (), наблюдатели могут сравнить показания своих часов:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> t=t' \, e^{-al_0}. </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
Событие, произошедшее на втором корабле в момент <math>\textstyle t'</math>, наблюдатель на первом корабле ''может считать одновременным'' моменту его часов <math>\textstyle t</math>, так как информация о нём достигнет первого корабля через время, равное расстоянию <math>\textstyle l_0</math>.<br />
<br />
Напомним, что расстояние между кораблями до старта равнялось <math>\textstyle x_0</math>. Как только появилось ускорение, пространство стало неизотропным и расстояние до второго корабля ''уменьшилось'' (<math>\textstyle x_0\mapsto l_0</math>), и в дальнейшем уже не менялось. На самом деле, скачок расстояния наблюдатели обнаружат после старта спустя некоторое время, необходимое для проведения его радиолокационного измерения. В момент отключения двигателей неинерциальная система отсчёта превращается в инерциальную, и пространство снова становится изотропным.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> Использовать радиолокационный метод для измерения расстояний может любой наблюдатель в неинерциальной системе. Рассмотрим такой эксперимент, проводимый наблюдателем на втором корабле в направлении третьего, движущегося впереди него. Если в начальный момент времени в системе <math>\textstyle S_0</math> координаты этих кораблей были <math>\textstyle x_0</math> и <math>\textstyle x_1</math>, то в дальнейшем их траектории <math>\textstyle F(T)</math> и <math>\textstyle G(T)</math> имеют вид:<br />
<br />
:<center><math>1+a\, F(T)=\sqrt{(1+ax_0)^2+(aT)^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;1+a\, G(T)=\sqrt{(1+ax_1)^2+(aT)^2}.</math></center><br />
<br />
Сигнал в лабораторной системе <math>\textstyle S_0</math> излучается в момент <math>\textstyle T_1</math>, отражается от третьего корабля в момент <math>\textstyle T</math> и возвращается на второй в момент <math>\textstyle T_2</math>: <br />
<br />
<center>[[File:nonin_radlocback.png]]</center><br />
<br />
:<center><math>\left\{ \begin{array}{l} G(T)-F(T_1)=T-T_1\\ G(T)-F(T_2)=T_2-T. \end{array} \right.</math></center><br />
<br />
Из этих двух уравнений следует:<br />
<br />
:<center><math>\bigl(1+aF(T_1)-aT_1\bigr)\bigl(1+aF(T_2)+aT_2\bigr)=\bigl(1+aG(T)-aT\bigr)\bigl(1+aG(T)+aT\bigr).</math></center><br />
<br />
Подставим явный вид траекторий и в левой части перейдём ко времени второго корабля <math>\textstyle aT=(1+ax_0)\mathrm{sh}(at'/(1+ax_0))</math>. В результате:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> l'_{1}=\frac{t'_2-t'_1}{2}=\frac{1+a x_0}{a}\, \ln\left(\frac{1+ax_1}{1+ax_0}\right)=e^{al_0}\, (l_1-l_0), </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где в последнем равенстве записаны радиолокационные расстояния ко второму <math>\textstyle l_0</math> и третьему <math>\textstyle l_1</math> кораблям ''с точки зрения'' наблюдателя на первом корабле, находящемся в начале неинерциальной системы отсчета.<br />
<br />
Если повторить расчёт по посылке периодических сигналов (стр.\,\pageref{acsel_ref_sys_times}), но теперь от третьего корабля ко второму, то получится соотношение:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> t'_2 = l'_1 + \frac{1+ax_0}{1+ax_1}\,t''_1 = l'_1 + t''_1\,e^{-a\,(l_1-l_0)}=l'_1 + t''_1\,e^{-a_2l'_1}, </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где <math>\textstyle l'_1</math> &mdash; расстояние () между кораблями и <math>\textstyle a_2=a/(1+ax_0)</math>.<br />
<br />
В неинерциальной системе мы не только не можем говорить о едином времени, но и расстояния между точками системы измеряются ''конкретными наблюдателями''. Результаты этих измерений различны, так как в радиолокационном методе используются часы. Если время для различных наблюдателей течёт по-разному, то и результаты радиолокации будут различными. Так, расстояние () между вторым и третьим кораблем, измеренное со второго корабля, в <math>\textstyle e^{al_0}</math> раз больше, чем аналогичное расстояние <math>\textstyle l_1-l_0</math>, измеренное с первого корабля.<br />
<br />
<math>\textstyle \bullet</math> При движении расстояние между кораблями в равноускоренной системе отчёта выдерживается неизменным. Для неподвижных наблюдателей в системе <math>\textstyle S_0</math>, расстояние между кораблями уменьшается. С точки зрения стандартного сокращения Лоренца в этом нет ни чего удивительного, так как скорость кораблей всё время растёт. Представим "линейку", соединяющую первый и второй корабли. Её длина в системе <math>\textstyle S_0</math> равна разности координат кораблей:<br />
<br />
:<center><math>L_0 = F(T) - X(T) = \frac{1}{a}\sqrt{e^{2al_0}+(aT)^2}-\frac{1}{a}\sqrt{(1+(aT)^2}.</math></center><br />
<br />
Наблюдатель системы <math>\textstyle S</math>, находящийся на первом корабле, считает, что длина линейки (расстояние между кораблями) равна <math>\textstyle l_0=\ln(1+ax_0)/a</math>. Если ввести скорость первого корабля относительно неподвижной инерциальной системы <math>\textstyle S_0</math> и соответствующий этой скорости фактор Лоренца:<br />
<br />
:<center><math>U(T) = \frac{dX}{dT} = \frac{aT}{\sqrt{1+(aT)^2}},\;\;\;\;\;\;\;\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-U^2(T)}}=\sqrt{1+(aT)^2},</math></center><br />
<br />
то выражение для длины можно переписать следующим образом:<br />
<br />
{| width="100%" <br />
| width="90%" align="center"|<math> L_0= \frac{\sqrt{e^{2al_0}+ \gamma^2 - 1}-\gamma}{a}\approx \frac{l_0}{\gamma}\,\left(1+(1+U^2)\,\frac{al_0}{2}+...\right), </math><br />
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div><br />
|}<br />
<br />
где приближенное равенство записано как ряд по <math>\textstyle al_0</math> (что проверяется возведением в квадрат после перенесения <math>\textstyle \gamma/a</math> вправо). Это приближение справедливо при <math>\textstyle al_0 \ll 1</math> или, восстанавливая фундаментальную скорость <math>\textstyle a\ll a_0=c^2/l_0</math>. Для метрового стержня имеем <math>\textstyle a_0\sim 10^{16}\,g</math>, где <math>\textstyle g=9.8\,м/с^2</math>, что является очень большим значением. Если же расстояние между кораблями равно одному световому году (стр.\,\pageref{light_year}), то <math>\textstyle a_0\sim g</math> и отклонение от лоренцевской формулы <math>\textstyle L_0=l_0/\gamma</math> становится заметным.<br />
<br />
Таким образом, если произведение собственного ускорения <math>\textstyle a</math> на длину линейки <math>\textstyle l_0</math> мало, то отношение длин линейки, в системах <math>\textstyle S</math> и <math>\textstyle S_0</math> соответствует лоренцевскому сокращению: <math>\textstyle L_0=l_0\sqrt{1-U^2}</math>. В общем же случае, сокращение "линейки" отличается от лоренцевского. Однако, когда корабли перестанут ускоряться, то сокращение окажется в точности лоренцевским (см. "парадокс остановки", стр.\,\pageref{stop_paradox}).<br />
<br />
Подчеркнём, что ''большие'' значения <math>\textstyle l_0</math> неинерциальные наблюдатели получают в результате радиолокационного измерения, а не реальным прикладыванием линейки, при помощи которой они измеряют скорости в своей непосредственной окрестности. В соответствии с () оно отличается от начального расстояния между кораблями <math>\textstyle x_0</math> и различно для наблюдателя на первом и втором кораблях. Выше, в качестве собственной длины линейки, было выбрано радиолокационное расстояние, измеренное наблюдателем на первом корабле.<br />
<br />
----<br />
{| width="100%" <br />
| width="40%"|[[Нелокальность законов сохранения]] << <br />
! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])<br />
| width="40%" align="right"| >> [[Преобразования координат]]<br />
|}<br />
----<br />
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии</div>WikiSysop