Скоррелированные блуждания

Материал из synset
Версия от 20:03, 15 марта 2010; WikiSysop (обсуждение | вклад)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Метод последовательных приближений << Оглавление >> Системы стохастических уравнений

Прекрасным примером скоррелированных блужданий является финансовый рынок. На нём одновременно изменяются во времени цены тысяч финансовых активов. Их динамика образует -мерный случайный процесс . Иногда эти активы можно рассматривать независимым образом, однако в большинстве своём они тесно связаны. Подобная связь обычно возникает за счёт внешних синхронизирующих факторов новостийного или макроэкономического характера. Например, цены акций компаний из одного сектора экономики ежедневно изменяются достаточно синхронно. Ещё более жесткая связь возникает на рынке деривативов. В этом случае, хотя цена фьючерса или опциона испытывает случайные колебания, она, тем не менее, тесно связана с другой стохастической величиной — финансовым активом, лежащим в основе дериватива. В конечном счёте, финансовый рынок должен описываться единой, и достаточно большой системой стохастических дифференциальных уравнений.

Рассмотрим сначала два случайных дискретных процесса, накопленные изменения которых равны:

(6.1)

Несколько тяжеловесная функциональная запись номера изменения позволит нам не путаться при описании множества процессов. Мы по-прежнему считаем, что каждое изменение не зависит от предыдущего и является гауссовым. Аналогично для . Поэтому суммы равны , умноженному на гауссову случайную величину, которую для первого процесса мы обозначили через , а для второго — через . Однако теперь дополнительно предположим, что на каждом этапе изменения процессы скоррелированы друг с другом:

(6.2)

где — символ Кронекера, равный единице при и нулю в противном случае. Это очень похоже на фондовый рынок, на котором ежедневные изменения цен двух акций скоррелированы , но изменения последовательных дней, как для одной бумаги , так и попарно , практически равны нулю.

Процессы (6.1) со свойствами изменений (6.2) будем называть скоррелированными дискретными винеровскими блужданиями.

Аналогично одномерному процессу можно вычислить различные соотношения между средними. Так, пусть в момент времени мы знаем значение . Даёт ли эта информация возможность предсказать в некоторый последующий момент ? Найдём корреляционный коэффициент между и . Для этого разобьём "время" на два интервала и :

Величины и пропорциональны накопленным первым изменениям каждого из процессов. Среднее их произведения тоже равно :

так как при перемножении скобок после усреднения выживут только пар с одинаковыми индексами. Накопленные изменения второго процесса не зависят от предыстории и не скоррелированы ни с , ни с . Поэтому ковариация равна:

Это означает, что в линейной регрессионной модели возникает следующая связь между случайными величинами:

где, как и раньше, — ошибка предсказания модели (случайный шум нашего "незнания" развития процесса после момента времени ).

По отдельности каждый из процессов — это обычное винеровское дискретное блуждание с начальным значением, равным нулю. Если мы знаем в момент времени , то прогноз его в момент равен (см. стр. \pageref{sys_W_s_t}). Если нам известно только начальное значение , то лучшим прогнозом будет ноль. В случае, когда процесс не зависим от , знание нам не поможет для прогноза . Однако для скоррелированных процессов это не так. Если и находится в положительной области, то и вероятнее будет находиться там же. Хотя этот прогноз не зависит от того, совпадают ли моменты времени или , и величина его ошибки увеличивается со временем .

Чтобы при помощи компьютера смоделировать скоррелированные блуждания, нам необходимо уметь генерить случайные гауссовы числа c корреляционным коэффициентом между ними. Для этого проще всего взять две нескоррелированные величины и и вычислить следующую их линейную комбинацию (см. стр. \pageref{n_dim_gauss_n2}):

Свойства случайных величин и легко проверить прямым вычислением, используя соотношения , и .

Ниже на каждом из рисунков приведены реализации блуждания двух скоррелированных случайных процессов:

Corr walk.png

В первом случае коэффициент корреляции достаточно высок . Во втором он такой же по модулю, но отрицательный .

Запишем -тый стохастический процесс в функциональном виде для индекса времени :

(6.3)

Фактически можно считать не функцией, а просто способом различения гауссовых чисел. Величины , относятся к одному моменту времени и равны изменению -го и -го процесса.

От скоррелированных величин при помощи матрицы можно перейти к нескоррелированным : (см. стр. \pageref{n_dim_gauss_distribution_sec}). В этом случае:

где использованы смешанные обозначения для суммы по в явном виде и суммы по в результате его повторения.

Случайные величины -того процесса в момент времени не зависят друг от друга. Поэтому мы, как обычно, заменяем их на итоговое суммарное случайное изменение , умноженное на фактор .

В непрерывном пределе мы будем рассматривать независимых винеровских блужданий , каждое из которых определяется суммой бесконечно большого числа гауссовых изменений, каждое из которых происходит за бесконечно малое время :

Изменения этих процессов являются шумом для динамических переменных той или иной системы. Например, вектор может представлять собой цены различных инструментов на финансовом рынке или координаты, задающие положение броуновской частицы в трёхмерном пространстве.

Обратим внимание на то, что в общем случае количество порождающих (см. , стр. \pageref{conected_simple_eq}) процессов Винера может быть отлично от числа интересующих нас случайных функций . Обычно предполагается, что . Например, возможна ситуация, когда один и тот же одномерный шум оказывает воздействие на переменных состояния системы. Однако чаще у каждой переменной состояния свой шум, и, следовательно, .

Многомерное винеровское блуждание с произвольными сносами и волатильностями можно записать в следующем виде:

По повторяющемуся индексу происходит суммирование, которое перемешивает при помощи матрицы независимые винеровские процессы . В общем случае , а . Если и матрица является диагональной, то являются нескоррелированными. Иначе задают не только волатильности процессов, но и коэффициенты их корреляции.

Аналогично одномерному случаю стохастическое уравнение, которому удовлетворяет этот процесс, имеет вид:

или в матричных обозначениях:

где — вектор сноса, определяющий детерминированную составляющую изменения случайных функций .



Метод последовательных приближений << Оглавление >> Системы стохастических уравнений

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения