Скорость — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Строка 29: Строка 29:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> u'_x =\frac{u_x-v}{1-u_xv/c^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u'_y=\frac{u_y\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-u_xv/c^2}. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> u'_x =\frac{u_x-v}{1-u_xv/c^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u'_y=\frac{u_y\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-u_xv/c^2}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(2.1)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 36: Строка 36:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> u_x =\frac{u'_x+v}{1+u'_xv/c^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_y=\frac{u'_y\sqrt{1-v^2/c^2}}{1+u'_xv/c^2}. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> u_x =\frac{u'_x+v}{1+u'_xv/c^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_y=\frac{u'_y\sqrt{1-v^2/c^2}}{1+u'_xv/c^2}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(2.2)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 51: Строка 51:
 
Таким образом объект, двигающийся со скоростью, равной "<math>\textstyle c</math>", в одной системе отсчета, будет иметь ту же скорость и в любой другой системе. Поэтому мы также называем <math>\textstyle c</math> ''инвариантной скоростью''.
 
Таким образом объект, двигающийся со скоростью, равной "<math>\textstyle c</math>", в одной системе отсчета, будет иметь ту же скорость и в любой другой системе. Поэтому мы также называем <math>\textstyle c</math> ''инвариантной скоростью''.
  
При помощи преобразований () несложно (<math>\textstyle \lessdot</math> H) проверить, что квадрат длины скорости <math>\textstyle \mathbf{u}^2=u_x^2+u_y^2</math> преобразуется следующим образом:
+
При помощи преобразований (2.1) несложно (<math>\textstyle \lessdot</math> H) проверить, что квадрат длины скорости <math>\textstyle \mathbf{u}^2=u_x^2+u_y^2</math> преобразуется следующим образом:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> 1-\frac{\mathbf{u}'^2}{c^2} = \left( 1-\frac{\mathbf{u}^2}{c^2} \right)\cdot\frac{1-\mathbf{v}^2/c^2}{(1-\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}/c)^2}, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> 1-\frac{\mathbf{u}'^2}{c^2} = \left( 1-\frac{\mathbf{u}^2}{c^2} \right)\cdot\frac{1-\mathbf{v}^2/c^2}{(1-\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}/c)^2}, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(2.3)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 66: Строка 66:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \Delta t' = \frac{\Delta t- v\Delta x}{\sqrt{1-v^2}},\;\;\;\;\;\;\;\Delta x' = \frac{\Delta x - v\Delta t}{\sqrt{1-v^2}},\;\;\;\;\;\Delta y'=\Delta y. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \Delta t' = \frac{\Delta t- v\Delta x}{\sqrt{1-v^2}},\;\;\;\;\;\;\;\Delta x' = \frac{\Delta x - v\Delta t}{\sqrt{1-v^2}},\;\;\;\;\;\Delta y'=\Delta y. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(2.4)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 76: Строка 76:
  
 
<math>\textstyle \bullet</math> Фундаментальная и инвариантная скорость "<math>\textstyle c</math>" является также предельно возможной скоростью движения "материального" объекта. В самом деле, пусть наблюдатель в системе <math>\textstyle S</math> создает своего клона и отправляет его в полет со скоростью <math>\textstyle v</math> (система <math>\textstyle S_1</math>). Первый клон создает второго и "отправляет" его с той же скоростью ''относительно себя'' (система <math>\textstyle S_2</math>), и т.д. до бесконечности. В классической физике <math>\textstyle n</math>-тый клон относительно системы <math>\textstyle S</math> имел бы скорость <math>\textstyle u_n=n\,v</math>, которая при <math>\textstyle n\to\infty</math> также стремилась бы к бесконечности. В релятивистском мире скорость <math>\textstyle n</math>-того и <math>\textstyle n-1</math>-го клонов относительно системы отсчета <math>\textstyle S</math> связаны следующим образом (<math>\textstyle c=1</math>):
 
<math>\textstyle \bullet</math> Фундаментальная и инвариантная скорость "<math>\textstyle c</math>" является также предельно возможной скоростью движения "материального" объекта. В самом деле, пусть наблюдатель в системе <math>\textstyle S</math> создает своего клона и отправляет его в полет со скоростью <math>\textstyle v</math> (система <math>\textstyle S_1</math>). Первый клон создает второго и "отправляет" его с той же скоростью ''относительно себя'' (система <math>\textstyle S_2</math>), и т.д. до бесконечности. В классической физике <math>\textstyle n</math>-тый клон относительно системы <math>\textstyle S</math> имел бы скорость <math>\textstyle u_n=n\,v</math>, которая при <math>\textstyle n\to\infty</math> также стремилась бы к бесконечности. В релятивистском мире скорость <math>\textstyle n</math>-того и <math>\textstyle n-1</math>-го клонов относительно системы отсчета <math>\textstyle S</math> связаны следующим образом (<math>\textstyle c=1</math>):
 
\parbox{5cm}{
 
  
 
<center>[[File:vel1.png]]</center>
 
<center>[[File:vel1.png]]</center>
  
} \parbox{5cm}{
+
Если протабулировать это рекурсивное соотношение, начиная, например, с <math>\textstyle u_1=v=1/2</math>, то получится график, приведенный справа. Скорость <math>\textstyle u_n</math> при <math>\textstyle n\to\infty</math> стремится к <math>\textstyle c=1</math>. Хотя <math>\textstyle u_n</math> постоянно увеличивается, относительно наблюдателя в <math>\textstyle S</math> каждая добавка становится всё меньше. При <math>\textstyle n\to\infty</math> можно положить <math>\textstyle u_{n}=u_{n-1}=u_\infty</math> и получить асимптотическое значение не зависящее от <math>\textstyle v</math>:
 
 
:<center><math>u_{n}=\frac{u_{n-1}+v}{1+u_{n-1}\,v}</math></center>
 
 
 
} \parbox{5cm}{
 
 
 
<center>[[File:vel2.png]]</center>
 
 
 
} \\ Если протабулировать это рекурсивное соотношение, начиная, например, с <math>\textstyle u_1=v=1/2</math>, то получится график, приведенный справа. Скорость <math>\textstyle u_n</math> при <math>\textstyle n\to\infty</math> стремится к <math>\textstyle c=1</math>. Хотя <math>\textstyle u_n</math> постоянно увеличивается, относительно наблюдателя в <math>\textstyle S</math> каждая добавка становится всё меньше. При <math>\textstyle n\to\infty</math> можно положить <math>\textstyle u_{n}=u_{n-1}=u_\infty</math> и получить асимптотическое значение не зависящее от <math>\textstyle v</math>:
 
  
 
:<center><math>u_\infty = \frac{u_\infty + v}{1+u_\infty \,v}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_\infty = 1.</math></center>
 
:<center><math>u_\infty = \frac{u_\infty + v}{1+u_\infty \,v}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_\infty = 1.</math></center>
  
Найдём явную зависимость <math>\textstyle u_n</math> от <math>\textstyle n</math>. Для этого заметим, что при помощи ''гиперболического арктангенса'' (<math>\textstyle \lessdot</math> C) закон сложения скоростей () вдоль оси <math>\textstyle x</math> можно записать в линейном виде:
+
Найдём явную зависимость <math>\textstyle u_n</math> от <math>\textstyle n</math>. Для этого заметим, что при помощи ''гиперболического арктангенса'' (<math>\textstyle \lessdot</math> C) закон сложения скоростей (2.2) вдоль оси <math>\textstyle x</math> можно записать в линейном виде:
  
 
:<center><math>\mathrm{ath}\,u_x)=\mathrm{ath}\,u'_x)+\mathrm{ath}\,v),\;\;\;\;\;\;\;где\;\;\;\mathrm{ath}\,v)=\frac{1}{2}\,\ln \frac{1+v}{1-v}.</math></center>
 
:<center><math>\mathrm{ath}\,u_x)=\mathrm{ath}\,u'_x)+\mathrm{ath}\,v),\;\;\;\;\;\;\;где\;\;\;\mathrm{ath}\,v)=\frac{1}{2}\,\ln \frac{1+v}{1-v}.</math></center>
Строка 105: Строка 95:
 
Кроме мысленного эксперимента, приведенного выше, существуют также веские энергетические причины предельности скорости "<math>\textstyle c</math>", которые будут изучены в следующей главе.
 
Кроме мысленного эксперимента, приведенного выше, существуют также веские энергетические причины предельности скорости "<math>\textstyle c</math>", которые будут изучены в следующей главе.
  
<math>\textstyle \bullet</math> При помощи преобразований () несложно (<math>\textstyle \lessdot</math> H) проверить, что для любых двух событий следующая комбинация приращений имеет одинаковое значение для наблюдателей из различных инерциальных систем отсчета:
+
<math>\textstyle \bullet</math> При помощи преобразований (2.4) несложно (<math>\textstyle \lessdot</math> H) проверить, что для любых двух событий следующая комбинация приращений имеет одинаковое значение для наблюдателей из различных инерциальных систем отсчета:
  
 
:<center><math>(\Delta s)^2 = (\Delta t')^2-(\Delta x')^2-(\Delta y')^2 = (\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2.</math></center>
 
:<center><math>(\Delta s)^2 = (\Delta t')^2-(\Delta x')^2-(\Delta y')^2 = (\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2.</math></center>
Строка 112: Строка 102:
  
 
Если в некоторой точке <math>\textstyle (x_1,y_1)</math> произошла вспышка света, распространяющаяся в виде сферической волны (в плоскости &mdash; окружность) со скоростью <math>\textstyle c=1</math>, то за время <math>\textstyle \Delta t</math> её радиус <math>\textstyle R</math> станет равным <math>\textstyle \Delta t</math>:
 
Если в некоторой точке <math>\textstyle (x_1,y_1)</math> произошла вспышка света, распространяющаяся в виде сферической волны (в плоскости &mdash; окружность) со скоростью <math>\textstyle c=1</math>, то за время <math>\textstyle \Delta t</math> её радиус <math>\textstyle R</math> станет равным <math>\textstyle \Delta t</math>:
 
\parbox{8cm}{
 
  
 
<center>[[File:light_sphere.png]]</center>
 
<center>[[File:light_sphere.png]]</center>
  
} \parbox{6cm}{
+
Следовательно, <math>\textstyle (\Delta s)^2=0</math>, и такие интервалы называются ''светоподобными''. Светоподобные интервалы возникают между событиями, которые можно связать распространяющимся с фундаментальной скоростью сигналом. Светоподобный интервал, как и любой другой, равен нулю для всех наблюдателей. Поэтому сферическая световая волна будет выглядеть точно так же из любой инерциальной системы отсчета.
 
 
:<center><math>R^2=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2 = (\Delta t)^2.</math></center>
 
 
 
} \\ Следовательно, <math>\textstyle (\Delta s)^2=0</math>, и такие интервалы называются ''светоподобными''. Светоподобные интервалы возникают между событиями, которые можно связать распространяющимся с фундаментальной скоростью сигналом. Светоподобный интервал, как и любой другой, равен нулю для всех наблюдателей. Поэтому сферическая световая волна будет выглядеть точно так же из любой инерциальной системы отсчета.
 
  
 
Если <math>\textstyle (\Delta s)^2>0</math>, то интервал называется ''времениподобным''. В частности, если <math>\textstyle \Delta x=\Delta y=0</math>, то <math>\textstyle \Delta s</math> равен времени <math>\textstyle \Delta t</math>, прошедшему на неподвижных в данной системе часах. События, связанные времениподобными интервалами, могут быть соединены сигналом, распространяющимся со скоростью <math>\textstyle \mathbf{u}</math>, меньшей единицы (<math>\textstyle c=1</math>):
 
Если <math>\textstyle (\Delta s)^2>0</math>, то интервал называется ''времениподобным''. В частности, если <math>\textstyle \Delta x=\Delta y=0</math>, то <math>\textstyle \Delta s</math> равен времени <math>\textstyle \Delta t</math>, прошедшему на неподвижных в данной системе часах. События, связанные времениподобными интервалами, могут быть соединены сигналом, распространяющимся со скоростью <math>\textstyle \mathbf{u}</math>, меньшей единицы (<math>\textstyle c=1</math>):

Версия 14:34, 18 февраля 2010

Пространство и Время Ньютона << Оглавление >> Время

Рассмотрим две инерциальные системы отсчёта и , двигающиеся с относительной скоростью . Пусть их оси и направлены параллельно друг другу. Скорость системы относительно равна , а скорость относительно , соответственно, "":

Kinematic u.png

Процедура согласования единиц измерений наблюдателей, находящихся в этих системах, такова, что свои линейки они сравнивают, расположив их перпендикулярно движению ("линии на заборе", стр. \pageref{line_on_wall}). Преобразования Лоренца, в которые добавлена неизменность координаты , имеют вид:

Обычно мы будем записывать все соотношения для двумерного пространства , помня, что в силу симметрии связь проекций векторов на ось будет такой же, как и на ось .

Ключевым понятием кинематики является событие. Предполагается, что оно имеет сколь угодно малые длительность и локализацию в пространстве. Событие характеризуется положением и моментом времени . Наблюдатели в каждой системе отсчета регистрируют подобное событие по своим приборам, получая значения для и для . Напомним, что наблюдатели способны проводить измерения только в своей непосредственной окрестности. Поэтому каждую систему отсчета мы представляем "заполненной" такими наблюдателями. Данное событие регистрируют два наблюдателя в и , которые находятся в том месте, где произошло событие. Благодаря процедурам синхронизации и согласования единиц времени полученные ими наблюдения будут непротиворечиво восприняты и другими собратьями из их систем отсчета. Стоит помнить, что эффекты теории относительности проявляются при больших скоростях, и для получения заметных отличий от классической кинематики часто потребуется изучать большие расстояния. Поэтому введение множества наблюдателей оказывается достаточно полезным.

Обычно представляет интерес сравнение наблюдений не единичного события, а некоторого процесса. Будем считать, что процесс состоит из двух последовательных событий: его начала в момент времени (в системе ) и конца в момент . Соответственно, его локализация в пространстве также характеризуется двумя точками и . Интервал времени между событиями и разность координат равны:

Для каждого из этих двух событий можно записать преобразования Лоренца и вычесть их друг из друга. В силу линейности преобразований и постоянства скорости для приращений справедливы преобразования лоренцевского вида:

Рассмотрим двигающийся в пространстве объект. Можно измерить его положение в момент времени , а затем положение в момент времени . По определению, проекции его скорости в системе равны , , и, аналогично, со штрихами в . Из преобразований для приращений несложно найти связь между скоростями объекта для наблюдателей в системе и :

(2.1)

Часто удобнее использовать обращенные преобразования скорости. Их можно получить прямыми вычислениями, или, в силу эквивалентности инерциальных систем отсчета, просто изменив знак у скорости :

(2.2)

Если, например, мы стоим на перроне, и — это скорость мухи относительно поезда, который движется со скоростью , то скорость мухи относительно нас будет складываться из движения поезда и движения мухи. В классической механике это сложение имеет вид:

В теории относительности подобные соотношения — лишь некоторое приближение, справедливое до тех пор, пока скорости поезда и мухи много меньше фундаментальной скорости .

Рассмотрим объект, двигающийся вдоль оси с фундаментальной скоростью . Тогда в другой системе его скорость будет равна:

Таким образом объект, двигающийся со скоростью, равной "", в одной системе отсчета, будет иметь ту же скорость и в любой другой системе. Поэтому мы также называем инвариантной скоростью.

При помощи преобразований (2.1) несложно ( H) проверить, что квадрат длины скорости преобразуется следующим образом:

(2.3)

где — проекция скорости объекта на скорость системы . Если в одной системе отсчета объект движется в произвольном направлении с фундаментальной скоростью , то и в другой инерциальной системе , поэтому является инвариантной скоростью независимо от её направления.

Подобная инвариантность обычно в качестве постулата используется при выводе преобразований Лоренца. Однако это, на самом деле, следствие теории относительности, причем одно из наиболее необычных и непривычных для нашего обыденного опыта.

Фундаментальная скорость м/с имеет единое значение для всех наблюдателей. Поэтому удобно так определить единицы времени, чтобы . Например, можно в качестве "новой секунды" выбрать часть "старой секунды". Все формулы теории относительности в этой системе единиц будут выглядеть проще. Так, связь изменений координат и времени между двумя событиями, наблюдаемыми из систем и , имеет вид:

(2.4)

Если в некоторой формуле мы хотим "восстановить" константу "", то величины, имеющие в своей размерности время в некоторой степени, должны умножаться на "" в той же степени. Например, для времени , скорости и ускорения совершаются следующие замены:

Далее мы будем придерживаться системы единиц, в которой .

Фундаментальная и инвариантная скорость "" является также предельно возможной скоростью движения "материального" объекта. В самом деле, пусть наблюдатель в системе создает своего клона и отправляет его в полет со скоростью (система ). Первый клон создает второго и "отправляет" его с той же скоростью относительно себя (система ), и т.д. до бесконечности. В классической физике -тый клон относительно системы имел бы скорость , которая при также стремилась бы к бесконечности. В релятивистском мире скорость -того и -го клонов относительно системы отсчета связаны следующим образом ():

Vel1.png

Если протабулировать это рекурсивное соотношение, начиная, например, с , то получится график, приведенный справа. Скорость при стремится к . Хотя постоянно увеличивается, относительно наблюдателя в каждая добавка становится всё меньше. При можно положить и получить асимптотическое значение не зависящее от :

Найдём явную зависимость от . Для этого заметим, что при помощи гиперболического арктангенса ( C) закон сложения скоростей (2.2) вдоль оси можно записать в линейном виде:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \mathrm{ath}\,u_x)=\mathrm{ath}\,u'_x)+\mathrm{ath}\,v),\;\;\;\;\;\;\;где\;\;\;\mathrm{ath}\,v)=\frac{1}{2}\,\ln \frac{1+v}{1-v}.}

Поэтому , откуда:

где . Понятно, что при , . Формула сложения скоростей, записанная при помощи гиперболического арктангенса, имеет важный геометрический смысл, который мы обсудим в шестой главе при рассмотрении пространства Лобачевского.

Кроме мысленного эксперимента, приведенного выше, существуют также веские энергетические причины предельности скорости "", которые будут изучены в следующей главе.

При помощи преобразований (2.4) несложно ( H) проверить, что для любых двух событий следующая комбинация приращений имеет одинаковое значение для наблюдателей из различных инерциальных систем отсчета:

Величина называется интервалом между событиями и является инвариантом преобразований Лоренца.

Если в некоторой точке произошла вспышка света, распространяющаяся в виде сферической волны (в плоскости — окружность) со скоростью , то за время её радиус станет равным :

Light sphere.png

Следовательно, , и такие интервалы называются светоподобными. Светоподобные интервалы возникают между событиями, которые можно связать распространяющимся с фундаментальной скоростью сигналом. Светоподобный интервал, как и любой другой, равен нулю для всех наблюдателей. Поэтому сферическая световая волна будет выглядеть точно так же из любой инерциальной системы отсчета.

Если , то интервал называется времениподобным. В частности, если , то равен времени , прошедшему на неподвижных в данной системе часах. События, связанные времениподобными интервалами, могут быть соединены сигналом, распространяющимся со скоростью , меньшей единицы ():

Естественно, свойство времениподобности интервала является инвариантным свойством для всех наблюдателей.

Наконец, если , то интервал называется пространственноподобным. Два события, для которых , нельзя связать световыми сигналами или "обычными" частицами, имеющими скорость меньше фундаментальной.

Инвариантность интервала имеет глубокий геометрический смысл. Величина является расстоянием в псевдоевклидовом четырехмерном пространстве - времени. Подробнее геометрические аспекты теории относительности мы рассмотрим в пятой главе, а сейчас сделаем ещё несколько замечаний общего характера.

Объект, летящий со скоростью, сколь угодно близкой к фундаментальной скорости "", качественно отличается от объектов, имеющих в точности скорость "". Например, преобразования Лоренца при обращаются в бесконечность. Это приводит к тому, что с объектами, имеющими скорость "", нельзя связать инерциальную систему отсчета, наполненную наблюдателями, часами и линейками.

Наш мир вполне мог быть устроен таким образом, что в нем вообще бы отсутствовали объекты, способные двигаться со скоростью "". На самом деле, это было бы более естественным. В таком мире "" являлась бы предельной, но недостижимой никаким объектом скоростью.

Однако, по-видимому, наш мир устроен иначе, и в нем существуют принципиально отличные от остальных объектов сущности, двигающиеся с фундаментальной скоростью. Их самым важным представителем является свет. Он дает нам возможность изучать удалённые предметы, а благодаря свету, испускаемому Солнцем, существует жизнь на нашей планете. При высокой энергии мы воспринимаем свет, как частицы (фотоны), а при малой — как волны (электромагнитное излучение).

Кроме света, могут существовать и другие сущности, двигающиеся с фундаментальной скоростью. Например, до сих пор надежно не установлено, есть ли у нейтрино масса, и вполне вероятно, что это тоже "светоподобный" объект. Со скоростью света, по всей видимости, распространяется гравитационное взаимодействие, и т.д.

Принципиальное отличие светоподобных объектов от "обычных" в том, что, один раз родившись такими, они так и проживают всю свою "жизнь". Их нельзя, не уничтожив, затормозить и остановить. Они не меняют свою скорость. Речь, конечно, идет о движении в вакууме. В веществе скорость света становится меньше. Однако фактически эта скорость является усреднением скорости различных фотонов, переизлучаемых ("с задержкой") атомами вещества. Между атомами фотон движется со скоростью . "Неквантовая" картина того же процесса строится на основе суммирования множества вторичных волн, возникающих при колебании заряженных частиц вещества электромагнитной волной.

Раз возможны светоподобные объекты, качественно отличающиеся от обычных, то можно допустить и существование тахионов. Тахион — это объект, способный двигаться быстрее фундаментальной скорости "". В принципе, как и свет, один раз таким родившись, тахион остаётся тахионом все время. Его скорость может приближаться к скорости "" сверху, никогда её не достигая. Допущение существования тахионов приводит к очень необычным следствиям, и мы их пока обсуждать не будем.


Пространство и Время Ньютона << Оглавление >> Время

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии