Скорость — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
м (Защищена страница «Скорость» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно)))
 
(не показано 15 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
  | width="40%"|[[Немного истории]] <<  
+
  | width="40%"|[[Преобразования Лоренца]] <<  
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]]  
+
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_01.pdf Глава 1])
  | width="40%" align="right"| >> [[Время]]
+
  | width="40%" align="right"| >> [[Аксиоматика Эйнштейна]]
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим две инерциальные системы отсчёта <math>\textstyle S</math> и <math>\textstyle S'</math>. Пусть их оси <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle x'</math> направлены параллельно друг к другу относительной скорости. Скорость системы <math>\textstyle S'</math> относительно <math>\textstyle S</math> равна <math>\textstyle v</math>, а скорость <math>\textstyle S</math> относительно <math>\textstyle S'</math>, соответственно, "<math>\textstyle -v</math>":
 +
 +
<center>[[File:kinematic_u.png]]</center>
 +
 +
Ключевым понятием кинематики является ''событие''. Предполагается, что оно имеет сколь угодно малые длительность и локализацию в пространстве. Событие характеризуется положением <math>\textstyle \{x,y\}</math> и моментом времени <math>\textstyle t</math>. Наблюдатели в каждой системе отсчета регистрируют подобное событие по своим приборам, получая значения <math>\textstyle \{t,x,y\}</math> для <math>\textstyle S</math> и <math>\textstyle \{t',x',y'\}</math> для <math>\textstyle S'</math>. Напомним, что наблюдатели способны проводить измерения только в своей непосредственной окрестности. Поэтому каждую систему отсчета мы представляем "заполненной" такими наблюдателями. Данное событие регистрируют два наблюдателя в <math>\textstyle S</math> и <math>\textstyle S'</math>, которые находятся в том месте, где произошло событие. Благодаря процедурам синхронизации и согласования единиц времени полученные ими наблюдения будут непротиворечиво восприняты и другими собратьями из ''их'' систем отсчета. Стоит помнить, что эффекты теории относительности проявляются при больших скоростях, и для получения заметных отличий от классической кинематики часто потребуется изучать большие расстояния. Поэтому введение множества наблюдателей оказывается достаточно полезным.
 +
 +
Обычно представляет интерес сравнение наблюдений не единичного события, а некоторого процесса. Будем считать, что процесс состоит из двух последовательных событий: его начала в момент времени <math>\textstyle t_1</math> (в системе <math>\textstyle S</math>) и конца в момент <math>\textstyle t_2</math>. Соответственно, его локализация в пространстве также характеризуется двумя точками <math>\textstyle \{x_1,y_1\}</math> и <math>\textstyle \{x_2,y_2\}</math>. Интервал времени между событиями и разности координат равны:
 +
 +
:<center><math>\Delta t=t_2-t_1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta x= x_2-x_1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta y= y_2-y_1.</math></center>
 +
 +
Для каждого из этих двух событий можно записать преобразования Лоренца и вычесть их друг из друга.
 +
 +
В силу линейности преобразований и постоянства скорости <math>\textstyle v</math> для приращений справедливы преобразования лоренцевского вида:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \Delta t' = \frac{\Delta t- v\Delta x}{\sqrt{1-v^2}},\;\;\;\;\;\Delta x' = \frac{\Delta x - v\Delta t}{\sqrt{1-v^2}},\;\;\;\;\;\Delta y'=\Delta y. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1.13)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Часто мы будем записывать все соотношения для 2-мерного пространства <math>\textstyle \{x,y\}</math>, помня, что в силу симметрии связь проекций векторов на ось <math>\textstyle z</math> будет такой же, как и на ось <math>\textstyle y</math>.
 +
 +
Рассмотрим движущийся объект. Можно измерить его положение, т.е. координаты <math>\textstyle \{x_1,y_1\}</math> в момент времени <math>\textstyle t_1</math>, а затем положение <math>\textstyle \{x_2,y_2\}</math> в момент времени <math>\textstyle t_2</math>. По определению проекции его скорости <math>\textstyle \mathbf{u}=\{u_x, u_y\}</math> в системе <math>\textstyle S</math> равны
 +
 +
:<center><math>u_x=\frac{\Delta x}{\Delta t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_y=\frac{\Delta y}{\Delta t},</math></center>
 +
 +
и, аналогично, со штрихами в <math>\textstyle S'</math>. Если скорость объекта постоянна, то величина интервала времени роли не играет. Для движения с переменной скоростью предполагается, что <math>\textstyle \Delta t</math> сколь угодно мал (производная координаты по времени).
 +
 +
Из преобразований для приращений (1.13) несложно найти связь между скоростями объекта для наблюдателей в системе <math>\textstyle S</math> и <math>\textstyle S'</math>:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> u'_x =\frac{u_x-v}{1-u_xv},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u'_y=\frac{u_y\sqrt{1-v^2}}{1-u_xv}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1.14)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Обратные преобразования скорости получаются прямыми вычислениями. Впрочем, в силу эквивалентности инерциальных систем отсчета можно сразу изменить знак у скорости <math>\textstyle v</math> и переставить местами штрихованные и нештрихованные величины:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> u_x =\frac{u'_x+v}{1+u'_xv},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_y=\frac{u'_y\sqrt{1-v^2}}{1+u'_xv}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1.15)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Если, например, мы стоим на перроне и <math>\textstyle \mathbf{u}'=\{u'_x,u'_y\}</math> &mdash; это скорость мухи относительно поезда, который движется со скоростью <math>\textstyle v</math>, то скорость мухи относительно нас будет складываться из движения поезда и движения мухи. В классической механике это сложение имеет вид:
 +
 +
:<center><math>u_x\approx u'_x+v,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_y\approx u'_y.</math></center>
 +
 +
В теории относительности подобные соотношения &mdash; лишь некоторое приближение, справедливое до тех пор, пока скорости поезда и мухи много меньше фундаментальной скорости <math>\textstyle c=1</math>. Чем быстрее движется муха или поезд, тем сильнее "сложение" их скоростей (1.15) отличается от классического.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Попрактикуемся в восстановлении фундаментальной константы <math>\textstyle c</math>. Для всех скоростей необходимо сделать замену <math>\textstyle v\mapsto v/c</math>, поэтому преобразование скоростей, например, вдоль оси <math>\textstyle x</math> принимает вид:
 +
 +
:<center><math>u'_x =\frac{u_x-v}{1-u_xv/c^2}.</math></center>
 +
 +
Рассмотрим объект, движущийся вдоль оси <math>\textstyle x</math> с фундаментальной скоростью <math>\textstyle u_x=c</math>. Тогда в другой системе <math>\textstyle S'</math> его скорость будет равна:
 +
 +
:<center><math>c' = \frac{c-v}{1-cv/c^2} = c.</math></center>
 +
 +
Таким образом, объект, движущийся со скоростью, равной "<math>\textstyle c</math>", в одной системе отсчета, будет иметь ту же скорость и в любой другой системе. Поэтому "<math>\textstyle c</math>" можно также назвать ''инвариантной скоростью''.
 +
 +
При помощи преобразований (1.14) несложно (<math>\textstyle \lessdot</math> H) проверить, что квадрат длины скорости <math>\textstyle \mathbf{u}^2=u_x^2+u_y^2</math> преобразуется следующим образом:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> 1-\mathbf{u}'^2 = \frac{\left( 1-\mathbf{u}^2 \right)\,(1-\mathbf{v}^2)}{(1-\mathbf{u}\mathbf{v})^2}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1.16)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где <math>\textstyle \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_x\,v</math> &mdash; проекция скорости объекта <math>\textstyle \mathbf{u}</math> на скорость системы <math>\textstyle \mathbf{v}</math>. Если в одной системе отсчета объект движется в произвольном направлении с фундаментальной скоростью <math>\textstyle \mathbf{u}^2=c^2=1</math>, то и в другой инерциальной системе <math>\textstyle \mathbf{u}'^2=1</math>, поэтому "<math>\textstyle c</math>" является инвариантной скоростью независимо от её направления.
 +
 +
Подобная инвариантность обычно в качестве постулата используется при выводе преобразований Лоренца (см. следующий раздел). Однако это, на самом деле, ''следствие'' теории относительности, причем одно из наиболее необычных и непривычных для нашего обыденного опыта.
 +
 +
Запишем при помощи векторных преобразований Лоренца (1.12), стр. \pageref{lorenz_vec0}, преобразование для скорости также в векторном виде. Разделив <math>\textstyle \Delta\mathbf{r}'</math> на <math>\textstyle \Delta t'</math>, получаем:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{u}' = \frac{\mathbf{u}-\gamma\mathbf{v} + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf u})} {\gamma\,(1-\mathbf{u}\mathbf{v})}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1.17)'''</div>
 +
|}
 +
 +
При помощи двойного векторного произведения (тождество "бац минус цаб", стр.\pageref{abc_bac_cab}) это преобразование можно переписать в таком виде:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{u}' = \frac{\mathbf{u}-\mathbf{v} + [\mathbf{v}\times [\mathbf{v}\times\mathbf{u}]]\,\Gamma/\gamma }{1-\mathbf{u}\mathbf{v}}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(1.18)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Если скорость системы отсчёта <math>\textstyle S'</math> параллельна скорости тела, то произведение <math>\textstyle \mathbf{v}\times\mathbf{u}=0</math> и (1.18) совпадает с одномерным преобразованием скорости вдоль оси <math>\textstyle x</math> (1.14).
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Фундаментальная инвариантная скорость "<math>\textstyle c</math>" является также предельно возможной скоростью движения "материального" объекта. В самом деле, пусть наблюдатель в системе <math>\textstyle S</math> создаёт своего клона и отправляет его в полет со скоростью <math>\textstyle v</math> (система <math>\textstyle S_1</math>). Первый клон создает второго и "отправляет" его с той же скоростью ''относительно себя'' (система <math>\textstyle S_2</math>), и т.д. до бесконечности. В классической физике <math>\textstyle n</math>-тый клон относительно системы <math>\textstyle S</math> имел бы скорость <math>\textstyle u_n=n\,v</math>, которая при <math>\textstyle n\to\infty</math> также стремилась бы к бесконечности. В релятивистском мире скорость <math>\textstyle n</math>-того и <math>\textstyle (n-1)</math>-го клонов относительно системы отсчета <math>\textstyle S</math> связаны следующим образом:
 +
 +
<center>[[File:vel1.png]]</center>
 +
 +
Если протабулировать это соотношение, начиная с <math>\textstyle u_0=0</math>, <math>\textstyle v=1/2</math>, то получится график, приведенный на рисунке справа. Скорость <math>\textstyle u_n</math> при <math>\textstyle n\to\infty</math> стремится к <math>\textstyle c=1</math>. Хотя <math>\textstyle u_n</math> постоянно увеличивается, относительно наблюдателя в <math>\textstyle S</math> каждая добавка становится всё меньше. При <math>\textstyle n\to\infty</math> можно положить <math>\textstyle u_{n}=u_{n-1}=u_\infty</math> и получить асимптотическое значение, не зависящее от <math>\textstyle v</math>: <math>\textstyle u_\infty = (u_\infty + v)/(1+u_\infty \,v),</math> откуда <math>\textstyle u_\infty = 1.</math>
 +
 +
Найдём явную зависимость <math>\textstyle u_n</math> от <math>\textstyle n</math>. Закон сложения скоростей (1.15) можно записать следующим образом:
 +
 +
:<center><math>\frac{1+u_x}{1-u_x} = \frac{1+u'_x}{1-u'_x}\cdot\frac{1+v}{1-v}.</math></center>
 +
 +
Вводя ''гиперболический арктангенс'' (стр. \pageref{m_hyperbol}), имеем:
 +
 +
:<center><math>\mathrm{ath}(u_x)=\mathrm{ath}(u'_x)+\mathrm{ath}(v),\;\;\;\;\;\;\;где\;\;\;\mathrm{ath}(v)=\frac{1}{2}\,\ln \frac{1+v}{1-v}.</math></center>
 +
 +
Поэтому <math>\textstyle \mathrm{ath}(u_{n})=n \,\mathrm{ath}\,(v)</math>, или:
 +
 +
:<center><math>u_n = \frac{1-w^n}{1+w^n},\;\;\;\;\;\;\;\;\;w=\frac{1-v}{1+v} < 1.</math></center>
 +
 +
Понятно, что при <math>\textstyle n\to \infty</math>, <math>\textstyle u_n\to 1</math>. Формула сложения скоростей, записанная при помощи гиперболического арктангенса, имеет важный геометрический смысл, который мы обсудим при рассмотрении пространства Лобачевского (стр. \pageref{sec_spher_geometr}).
 +
 +
Кроме рассмотренного мысленного эксперимента с клонами, существуют также веские энергетические причины предельности скорости "<math>\textstyle c</math>", которые будут рассмотрены чуть позже.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> При помощи преобразований (1.13) несложно (<math>\textstyle \lessdot</math> H) проверить, что для любых двух событий следующая комбинация приращений имеет одинаковое значение для наблюдателей из различных инерциальных систем отсчета:
 +
 +
:<center><math>(\Delta s)^2 = (\Delta t')^2-(\Delta x')^2-(\Delta y')^2 = (\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2.</math></center>
 +
 +
Величина <math>\textstyle \Delta s</math> называется ''интервалом'' между событиями и является ''инвариантом'' преобразований Лоренца.
 +
 +
Если в некоторой точке <math>\textstyle (x_1,y_1)</math> произошла вспышка света, распространяющаяся в виде сферической волны (в плоскости &mdash; окружность) со скоростью <math>\textstyle c=1</math>, то за время <math>\textstyle \Delta t</math> её радиус <math>\textstyle R</math> станет равным <math>\textstyle \Delta t</math>:
 +
 +
<center>[[File:light_sphere.png]]</center>
 +
 +
Следовательно, <math>\textstyle (\Delta s)^2=0</math>, и такие интервалы называются ''светоподобными''. Светоподобные интервалы возникают между событиями, которые можно связать распространяющимся с фундаментальной скоростью сигналом. Светоподобный интервал равен нулю для всех наблюдателей. Поэтому сферическая световая волна будет выглядеть сферической из любой инерциальной системы отсчета.
 +
 +
Если <math>\textstyle (\Delta s)^2>0</math>, то интервал называется ''времениподобным''. В частности, если <math>\textstyle \Delta x=\Delta y=0</math>, то <math>\textstyle \Delta s</math> равен времени <math>\textstyle \Delta t</math>, прошедшему на неподвижных в данной системе часах. События, связанные времениподобными интервалами, могут быть соединены сигналом, распространяющимся со скоростью <math>\textstyle \mathbf{u}</math>, меньшей единицы (<math>\textstyle c=1</math>):
 +
 +
:<center><math>(\Delta s)^2 = (\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2 = (\Delta t)^2\cdot (1-{\mathbf u}^2)>0,</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle {\mathbf u}^2</math> &mdash; квадрат скорости перемещения на <math>\textstyle \Delta x</math>, <math>\textstyle \Delta y</math> за время <math>\textstyle \Delta t</math>. Естественно, свойство времениподобности интервала является инвариантным свойством для всех наблюдателей.
 +
 +
Наконец, если <math>\textstyle (\Delta s)^2<0</math>, то интервал называется ''пространственноподобным''. Два события, для которых <math>\textstyle (\Delta s)^2<0</math>, нельзя связать световыми сигналами или "обычными" частицами, имеющими скорость меньше фундаментальной.
 +
 +
Инвариантность интервала имеет глубокий геометрический смысл. Величина <math>\textstyle \Delta s</math> является расстоянием в псевдоевклидовом 4-мерном пространстве - времени. Подробнее геометрические аспекты теории относительности мы рассмотрим в следующей главе, а сейчас сделаем ещё несколько замечаний общего характера.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Объект, летящий со скоростью, сколь угодно близкой к фундаментальной скорости "<math>\textstyle c</math>", качественно отличается от объектов, имеющих в точности скорость "<math>\textstyle c</math>". Например, преобразования Лоренца при <math>\textstyle v=c</math> обращаются в бесконечность. Это приводит к тому, что с объектами, имеющими скорость "<math>\textstyle c</math>", нельзя связать инерциальную систему отсчета, наполненную наблюдателями, часами и линейками.
 +
 +
Наш мир вполне мог быть устроен так, что в нем вообще бы отсутствовали объекты, способные двигаться со скоростью "<math>\textstyle c</math>". На самом деле, это было бы более естественным. В таком мире "<math>\textstyle c</math>" являлась бы предельной, но недостижимой никаким объектом скоростью.
 +
 +
Однако, по-видимому, наш мир устроен иначе, и в нем существуют принципиально отличные от остальных объектов сущности, движущиеся с фундаментальной скоростью. Их самым важным представителем является свет. Он дает нам возможность изучать удалённые предметы, а благодаря свету, испускаемому Солнцем, существует жизнь на нашей планете. При высокой энергии мы воспринимаем свет, как частицы (фотоны), а при малой &mdash; как волны (электромагнитное излучение).
 +
 +
Кроме света, могут существовать и другие сущности, движущиеся с фундаментальной скоростью. Например, до сих пор надежно не установлено, есть ли у нейтрино масса, и вполне вероятно, что это тоже "светоподобный" объект. Со скоростью света, по всей видимости, распространяется гравитационное взаимодействие, и т.д.
 +
 +
Принципиальное отличие светоподобных объектов от "обычных" в том, что, один раз родившись такими, они так и проживают всю свою "жизнь". Их нельзя, не уничтожив, затормозить и остановить. Они не меняют свою скорость. Речь, конечно, идет о движении в вакууме. В веществе скорость света становится меньше. Однако фактически эта скорость является усреднением скорости ''различных'' фотонов, переизлучаемых ("с задержкой") атомами вещества. Между атомами фотон движется со скоростью <math>\textstyle c</math>. "Неквантовая" картина того же процесса строится на основе суммирования множества вторичных волн, возникающих при колебании заряженных частиц вещества электромагнитной волной.
 +
 +
Раз возможны светоподобные объекты, качественно отличающиеся от обычных, то можно допустить и существование тахионов. ''Тахион'' &mdash; это объект, способный двигаться быстрее фундаментальной скорости "<math>\textstyle c</math>". В принципе, как и свет, один раз таким родившись, тахион остаётся тахионом все время. Его скорость может приближаться к скорости "<math>\textstyle c</math>" ''сверху'', никогда её не достигая. Допущение существования тахионов приводит к очень необычным следствиям, и мы их пока рассматривать не будем.
  
 
----
 
----
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
  | width="40%"|[[Немного истории]] <<  
+
  | width="40%"|[[Преобразования Лоренца]] <<  
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]]  
+
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_01.pdf Глава 1])
  | width="40%" align="right"| >> [[Время]]
+
  | width="40%" align="right"| >> [[Принцип параметрической неполноты]]
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии
 
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Текущая версия на 18:21, 4 апреля 2011

Преобразования Лоренца << Оглавление (Глава 1) >> Аксиоматика Эйнштейна

Рассмотрим две инерциальные системы отсчёта и . Пусть их оси и направлены параллельно друг к другу относительной скорости. Скорость системы относительно равна , а скорость относительно , соответственно, "":

Kinematic u.png

Ключевым понятием кинематики является событие. Предполагается, что оно имеет сколь угодно малые длительность и локализацию в пространстве. Событие характеризуется положением и моментом времени . Наблюдатели в каждой системе отсчета регистрируют подобное событие по своим приборам, получая значения для и для . Напомним, что наблюдатели способны проводить измерения только в своей непосредственной окрестности. Поэтому каждую систему отсчета мы представляем "заполненной" такими наблюдателями. Данное событие регистрируют два наблюдателя в и , которые находятся в том месте, где произошло событие. Благодаря процедурам синхронизации и согласования единиц времени полученные ими наблюдения будут непротиворечиво восприняты и другими собратьями из их систем отсчета. Стоит помнить, что эффекты теории относительности проявляются при больших скоростях, и для получения заметных отличий от классической кинематики часто потребуется изучать большие расстояния. Поэтому введение множества наблюдателей оказывается достаточно полезным.

Обычно представляет интерес сравнение наблюдений не единичного события, а некоторого процесса. Будем считать, что процесс состоит из двух последовательных событий: его начала в момент времени (в системе ) и конца в момент . Соответственно, его локализация в пространстве также характеризуется двумя точками и . Интервал времени между событиями и разности координат равны:

Для каждого из этих двух событий можно записать преобразования Лоренца и вычесть их друг из друга.

В силу линейности преобразований и постоянства скорости для приращений справедливы преобразования лоренцевского вида:

(1.13)

Часто мы будем записывать все соотношения для 2-мерного пространства , помня, что в силу симметрии связь проекций векторов на ось будет такой же, как и на ось .

Рассмотрим движущийся объект. Можно измерить его положение, т.е. координаты в момент времени , а затем положение в момент времени . По определению проекции его скорости в системе равны

и, аналогично, со штрихами в . Если скорость объекта постоянна, то величина интервала времени роли не играет. Для движения с переменной скоростью предполагается, что сколь угодно мал (производная координаты по времени).

Из преобразований для приращений (1.13) несложно найти связь между скоростями объекта для наблюдателей в системе и :

(1.14)

Обратные преобразования скорости получаются прямыми вычислениями. Впрочем, в силу эквивалентности инерциальных систем отсчета можно сразу изменить знак у скорости и переставить местами штрихованные и нештрихованные величины:

(1.15)

Если, например, мы стоим на перроне и — это скорость мухи относительно поезда, который движется со скоростью , то скорость мухи относительно нас будет складываться из движения поезда и движения мухи. В классической механике это сложение имеет вид:

В теории относительности подобные соотношения — лишь некоторое приближение, справедливое до тех пор, пока скорости поезда и мухи много меньше фундаментальной скорости . Чем быстрее движется муха или поезд, тем сильнее "сложение" их скоростей (1.15) отличается от классического.

Попрактикуемся в восстановлении фундаментальной константы . Для всех скоростей необходимо сделать замену , поэтому преобразование скоростей, например, вдоль оси принимает вид:

Рассмотрим объект, движущийся вдоль оси с фундаментальной скоростью . Тогда в другой системе его скорость будет равна:

Таким образом, объект, движущийся со скоростью, равной "", в одной системе отсчета, будет иметь ту же скорость и в любой другой системе. Поэтому "" можно также назвать инвариантной скоростью.

При помощи преобразований (1.14) несложно ( H) проверить, что квадрат длины скорости преобразуется следующим образом:

(1.16)

где — проекция скорости объекта на скорость системы . Если в одной системе отсчета объект движется в произвольном направлении с фундаментальной скоростью , то и в другой инерциальной системе , поэтому "" является инвариантной скоростью независимо от её направления.

Подобная инвариантность обычно в качестве постулата используется при выводе преобразований Лоренца (см. следующий раздел). Однако это, на самом деле, следствие теории относительности, причем одно из наиболее необычных и непривычных для нашего обыденного опыта.

Запишем при помощи векторных преобразований Лоренца (1.12), стр. \pageref{lorenz_vec0}, преобразование для скорости также в векторном виде. Разделив на , получаем:

(1.17)

При помощи двойного векторного произведения (тождество "бац минус цаб", стр.\pageref{abc_bac_cab}) это преобразование можно переписать в таком виде:

(1.18)

Если скорость системы отсчёта параллельна скорости тела, то произведение и (1.18) совпадает с одномерным преобразованием скорости вдоль оси (1.14).

Фундаментальная инвариантная скорость "" является также предельно возможной скоростью движения "материального" объекта. В самом деле, пусть наблюдатель в системе создаёт своего клона и отправляет его в полет со скоростью (система ). Первый клон создает второго и "отправляет" его с той же скоростью относительно себя (система ), и т.д. до бесконечности. В классической физике -тый клон относительно системы имел бы скорость , которая при также стремилась бы к бесконечности. В релятивистском мире скорость -того и -го клонов относительно системы отсчета связаны следующим образом:

Vel1.png

Если протабулировать это соотношение, начиная с , , то получится график, приведенный на рисунке справа. Скорость при стремится к . Хотя постоянно увеличивается, относительно наблюдателя в каждая добавка становится всё меньше. При можно положить и получить асимптотическое значение, не зависящее от : откуда

Найдём явную зависимость от . Закон сложения скоростей (1.15) можно записать следующим образом:

Вводя гиперболический арктангенс (стр. \pageref{m_hyperbol}), имеем:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \mathrm{ath}(u_x)=\mathrm{ath}(u'_x)+\mathrm{ath}(v),\;\;\;\;\;\;\;где\;\;\;\mathrm{ath}(v)=\frac{1}{2}\,\ln \frac{1+v}{1-v}.}

Поэтому , или:

Понятно, что при , . Формула сложения скоростей, записанная при помощи гиперболического арктангенса, имеет важный геометрический смысл, который мы обсудим при рассмотрении пространства Лобачевского (стр. \pageref{sec_spher_geometr}).

Кроме рассмотренного мысленного эксперимента с клонами, существуют также веские энергетические причины предельности скорости "", которые будут рассмотрены чуть позже.

При помощи преобразований (1.13) несложно ( H) проверить, что для любых двух событий следующая комбинация приращений имеет одинаковое значение для наблюдателей из различных инерциальных систем отсчета:

Величина называется интервалом между событиями и является инвариантом преобразований Лоренца.

Если в некоторой точке произошла вспышка света, распространяющаяся в виде сферической волны (в плоскости — окружность) со скоростью , то за время её радиус станет равным :

Light sphere.png

Следовательно, , и такие интервалы называются светоподобными. Светоподобные интервалы возникают между событиями, которые можно связать распространяющимся с фундаментальной скоростью сигналом. Светоподобный интервал равен нулю для всех наблюдателей. Поэтому сферическая световая волна будет выглядеть сферической из любой инерциальной системы отсчета.

Если , то интервал называется времениподобным. В частности, если , то равен времени , прошедшему на неподвижных в данной системе часах. События, связанные времениподобными интервалами, могут быть соединены сигналом, распространяющимся со скоростью , меньшей единицы ():

где — квадрат скорости перемещения на , за время . Естественно, свойство времениподобности интервала является инвариантным свойством для всех наблюдателей.

Наконец, если , то интервал называется пространственноподобным. Два события, для которых , нельзя связать световыми сигналами или "обычными" частицами, имеющими скорость меньше фундаментальной.

Инвариантность интервала имеет глубокий геометрический смысл. Величина является расстоянием в псевдоевклидовом 4-мерном пространстве - времени. Подробнее геометрические аспекты теории относительности мы рассмотрим в следующей главе, а сейчас сделаем ещё несколько замечаний общего характера.

Объект, летящий со скоростью, сколь угодно близкой к фундаментальной скорости "", качественно отличается от объектов, имеющих в точности скорость "". Например, преобразования Лоренца при обращаются в бесконечность. Это приводит к тому, что с объектами, имеющими скорость "", нельзя связать инерциальную систему отсчета, наполненную наблюдателями, часами и линейками.

Наш мир вполне мог быть устроен так, что в нем вообще бы отсутствовали объекты, способные двигаться со скоростью "". На самом деле, это было бы более естественным. В таком мире "" являлась бы предельной, но недостижимой никаким объектом скоростью.

Однако, по-видимому, наш мир устроен иначе, и в нем существуют принципиально отличные от остальных объектов сущности, движущиеся с фундаментальной скоростью. Их самым важным представителем является свет. Он дает нам возможность изучать удалённые предметы, а благодаря свету, испускаемому Солнцем, существует жизнь на нашей планете. При высокой энергии мы воспринимаем свет, как частицы (фотоны), а при малой — как волны (электромагнитное излучение).

Кроме света, могут существовать и другие сущности, движущиеся с фундаментальной скоростью. Например, до сих пор надежно не установлено, есть ли у нейтрино масса, и вполне вероятно, что это тоже "светоподобный" объект. Со скоростью света, по всей видимости, распространяется гравитационное взаимодействие, и т.д.

Принципиальное отличие светоподобных объектов от "обычных" в том, что, один раз родившись такими, они так и проживают всю свою "жизнь". Их нельзя, не уничтожив, затормозить и остановить. Они не меняют свою скорость. Речь, конечно, идет о движении в вакууме. В веществе скорость света становится меньше. Однако фактически эта скорость является усреднением скорости различных фотонов, переизлучаемых ("с задержкой") атомами вещества. Между атомами фотон движется со скоростью . "Неквантовая" картина того же процесса строится на основе суммирования множества вторичных волн, возникающих при колебании заряженных частиц вещества электромагнитной волной.

Раз возможны светоподобные объекты, качественно отличающиеся от обычных, то можно допустить и существование тахионов. Тахион — это объект, способный двигаться быстрее фундаментальной скорости "". В принципе, как и свет, один раз таким родившись, тахион остаётся тахионом все время. Его скорость может приближаться к скорости "" сверху, никогда её не достигая. Допущение существования тахионов приводит к очень необычным следствиям, и мы их пока рассматривать не будем.


Преобразования Лоренца << Оглавление (Глава 1) >> Принцип параметрической неполноты

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии